一種基于緊致差分算子的擴散方程離散格式構造及分析

王含逍, 羅紫洋, 張新東

(新疆師范大學 數(shù)學科學學院, 新疆 烏魯木齊 830017)

0 引言

擴散方程是一類描述物理量隨時間的推移而不斷擴散和衰減的基本方程, 在環(huán)境科學, 能量開發(fā)等許多領域中有著廣泛的應用. 方程中所求變量的不同可以表示眾多物理現(xiàn)象, 如以濃度為變量的擴散方程可以用來描述河流污染[1], 大氣污染[2]和核污染中污染物質(zhì)的分布, 以溫度為變量的擴散方程可以用來描述流體傳熱現(xiàn)象[3-4]. 這些物理現(xiàn)象本身是非常復雜的, 其對應方程的精確解很難求得, 因此研究其數(shù)值求解方法具有重要的理論價值.

在研究擴散方程的數(shù)值解法中, 學者們提出了許多高精度格式. 楊曉佳等人[5]針對一維擴散方程, 空間方向采用二階導數(shù)的四階緊致差分格式進行離散, 時間方向采用泰勒級數(shù)展開的方法進行離散, 推導出了一種高精度顯式緊致差分格式; 然后通過Fourier分析方法給出了格式的穩(wěn)定性條件為λ≤1/2(λ為網(wǎng)格比). Noye等人[6]，提出了一種三階半隱式五點有限差分方法來解決對流擴散方程, 并采用加權修正方程方法得出格式是無條件穩(wěn)定的. 馬明書[7]對一維拋物型方程構造了一個新的顯格式, 截斷誤差可達O(τ3+h3). 徐金平等人[8]引入耗散項的方法, 構造一個條件穩(wěn)定的顯格式, 其穩(wěn)定性條件為r≤1/2. 袁權龍[9]采用待定系數(shù)法導出了一類拋物型方程的高精度三層顯式差分格式, 它的截斷誤差為O(τ2+h4), 并討論了差分格式的穩(wěn)定性條件. Dehghan等人[10]將幾種數(shù)值方法應用于一維對流擴散方程, 較為容易的構造出兩層顯示差分格式, 且是無條件穩(wěn)定的. 本文將建立一種新的高精度二層隱式緊致差分格式. 求解如下擴散方程的初邊值問題，

(1)

其中,a,L和T是任意正整數(shù),f(x,t),φ1(x)和φ2(x)是給定的光滑函數(shù).

1 格式離散

本節(jié)主要考慮式(1)的離散格式的構建.以下這些符號將在本節(jié)及之后的章節(jié)中使用.先給出一些函數(shù)空間,

定義緊致算子H如下，

在本文中,C為任意正常數(shù), 且不同位置C的值可以是不同的.

引理1[11]設u(x)∈C6[0,L], 則

(2)

(3)

利用式(2), 式(3)及緊致算子H, 由式(1),可得

(4)

(5)

2 穩(wěn)定性分析

本節(jié)主要討論離散格式(5)的穩(wěn)定性.方便起見, 以下討論中忽略下標j.

下面是關于離散格式(5)的穩(wěn)定性定理.

定理1 設Un是離散格式(5)給定初值和邊界條件的數(shù)值解, 則

其中C為正常數(shù).

證明由離散格式(5), 可得

(6)

式(6)的兩邊同時與HUn+1做內(nèi)積,得

由引理2, 得

(HUn+1,HUn+1)≤(HUn-1,HUn+1)+2τ(Hfn,HUn+1)

(7)

接下來, 將用數(shù)學歸納法來完成定理的證明.當n=0時, 由式(7), 有

(HU1,HU1)≤(HU-1,HU1)+2τ(Hf0,HU1).

由柯西-施瓦茲不等式得

‖HU1‖2≤‖HU-1‖‖HU1‖+2τ‖Hf0‖‖HU1‖,

由上式及引理3，可得

進一步，可得

‖HU1‖≤3‖HU0‖+4τ‖Hf0‖≤C(‖HU0‖+‖Hf0‖).

再由引理4，可得

‖HU1‖≤C(‖HU0‖+‖Hf0‖)≤C(‖U0‖+‖f0‖).

假設k=1,2,…,n-1時, 結論成立, 即

(8)

當k=n時,由式(7), 可得

(HUn,HUn)≤(HUn-2,HUn)+2τ(Hfn-1,HUn),

由柯西-施瓦茲不等式，得

‖HUn‖2≤‖HUn-2‖‖HUn‖+2τ‖Hfn-1‖‖HUn‖,

再由式(8)，可得

由引理4，有

因此

其中C為正常數(shù).定理得證.

3 誤差估計

本節(jié)主要討論離散格式的誤差估計及收斂階, 得到如下定理.

‖en‖≤C(τ2+h4),1≤n≤N,

其中,C為正常數(shù).

證明用式(4)減去式(5), 得

(9)

在式(9)兩邊同時與Hen+1做內(nèi)積得

由引理2和柯西-施瓦茲不等式，可得

‖Hen+1‖2≤‖Hen-1‖‖Hen+1‖+‖Rn‖‖Hen+1‖,

即

‖Hen+1‖≤‖Hen-1‖+‖Rn‖

(10)

‖Φ0‖≤Ch4‖u0‖4≤Ch4‖u0‖,

由引理3，可得

‖e-1‖=‖u(x,t-1)-U-1‖=‖u(x,t-1)-u-1+u-1-U-1‖=

(11)

‖He1‖≤‖He-1‖+‖R0‖≤‖e-1‖+‖R0‖≤C(τ2+h4).

假設k=1,2,…,n-1時, 結論成立, 即

‖Hek‖≤C(τ2+h4)

(12)

當k=n時,由式(10)和式(12), 可得

‖Hen‖≤‖Hen-2‖+‖Rn-1‖≤C(τ2+h4).

由引理4，有

因此

‖en‖≤C(τ2+h4),

其中,C為正常數(shù).定理得證.

4 結論

提出了擴散方程的高階緊致差分格式, 證明了該格式是無條件穩(wěn)定且具有時間二階精度和空間四階精度.本文的創(chuàng)新是利用緊致差分算子來離散空間項, 利用中心差分來離散時間項, 使其精度得到進一步提升.在以后的研究中, 將致力于用該方法求解分數(shù)階問題.