一類保持線性函數(shù)的算子的逼近

任美英

(武夷學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院，福建 武夷山 354300)

1 引言

自Phillips[1]1997年構(gòu)造研究q-Bermstein算子以來，有許多學(xué)者致力q-微積分在逼近論中的應(yīng)用研究，如文獻[2-10].近年，任[11]引進并研究了只保持常數(shù)的修正q-Durrmeyer型算子Mn，q(f；x)的逼近性質(zhì).本文的目的是引進算子Mn，q(f；x)的變種，使得新引進的算子能保持線性函數(shù)，并對該算子列的逼近性質(zhì)加以研究.

本文涉及的q-整數(shù)和q-微積分的一些相關(guān)概念可見文獻[12-13].設(shè)q＞0是任意固定的實數(shù)，k是非負整數(shù)，q-整數(shù)和q-階乘定義如下:

對非負整數(shù)n，k，n≥k，q-二項式系數(shù)定義為

讓q＞0，對非負整數(shù)n，(a-b)n的q模擬定義為:.

q-Jackson積分定義為:

注:本文中，‖f‖表示｜f(x)｜在區(qū)間[0.1]上的最大值.C是一個常數(shù)，在不同處可能表示不同的值.

2 算子的構(gòu)造

通過計算可得到算子Mn，q(f；x)的如下矩量.

引理1[11]對(1)式給出的算子Mn，q(f；x)，有

依引理1易得，Mn，q(f；x)只保持常數(shù)函數(shù).為提高{Mn，q(f；x)}收斂速率，本文對Mn，q(f；x)加以修正，目的是讓修正后的算子能保持線性函數(shù).

引理2對(2)式給出的算子有

證明根據(jù)(2)式給出的定義，類似于文獻[11]中引理2的定理，易得所述的結(jié)果.

引理3對(2)式給出的算子，有

證明(i)由引理2知，

引理4對(2)式給出的算子，有

證明由算子的定義及引理2可得，

3 主要結(jié)果及其證明

f∈C[0，1]，Peetre’sK-泛函定義如下:

對f∈C[0，1]，從文獻[14]的定理2.4可知，存在一個常數(shù)C，使得

定理1設(shè)qn∈(0，1)，則對任意的f∈C[0，1]，算子列在[0，1]上一致收斂于f，當(dāng)且僅當(dāng)

證明讓qn∈(0，1)且由文獻[15]可得，.因 此，由 引 理2和 引 理3知，對有由文獻[16]Bohman-Korovich定理知，在[0，1]上一致收斂于f.

反過來，若對f∈C[0，1]，算子列在

[0，1]上一致收斂于f，則實事上，若不然，注意到，則必存在一個子列，使得，這樣.從而.這表明算子列在[0，1]上非一致收斂于f，與已知矛盾.因此定理證畢.

2.2.6.3 發(fā)病條件。土壤溫度和含水量是影響光葉紫花苕斑枯病2個主要的環(huán)境因素。該病的最適生長溫度為25～30 ℃。春旱、秋澇，發(fā)病較嚴重。

定理2設(shè)

，則

證明由引理2可得，

因為對x，t∈[0，1]及任意的δ＞0，有｜f(t)-f(x)｜所以，

推論1設(shè)M＞0，0＜α＜1，q∈(0，1)，在[0，1]上則

證明讓，在，則有對 任 意 的因為等價于因此，由定理2知，對x∈[0，1]有從而有

定理3 設(shè)，則

證明讓f∈C[0，1]，則對任意的x，t∈[0，1]有所以，對任意的，有

由Cauchy-Schwarz不等式及引理2知，

因此，

于是，由引理2和引理3可得，

定理4設(shè)則必存在某個常數(shù)C＞0，使得

證明讓g∈W2.對x，t∈[0，1]，由泰勒公式知，.因此，由引理2和引理3可得，

對f∈C[0，1]，因為(g(x)-f(x))，所以，基于不等式(4)，并結(jié)合引理2，引理3及引理4，可得

對不等式(5)的右邊關(guān)于g∈W2取下確界，可得，因此，由(3)式知，必存在一個常數(shù)C＞0，使得該定理得證.