“雙減”背景下以學(xué)生錯(cuò)題為本的數(shù)學(xué)教學(xué)探究
——以一個(gè)數(shù)軸距離問(wèn)題為例

舒美清

(長(zhǎng)興縣龍山中學(xué)，浙江 長(zhǎng)興 313100)

數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程可以有效促進(jìn)學(xué)生掌握知識(shí)和方法，同時(shí)反饋學(xué)生的知識(shí)疑難點(diǎn)和方法疑難處.波利亞的《怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法》告訴我們：解題是一種實(shí)踐性的技能，我們可以通過(guò)模仿和實(shí)踐來(lái)學(xué)會(huì)任何一種實(shí)踐性技能.在學(xué)習(xí)解題方法時(shí)，我們首先應(yīng)觀察和模仿別人解題時(shí)的做法，然后通過(guò)解題而學(xué)會(huì)解題.因此，要想提高學(xué)生的解題能力，必須給予其足夠的機(jī)會(huì)去模仿和實(shí)踐[1].

在“雙減”背景下，如何做到既能提升學(xué)生的解題能力，又能減輕學(xué)生過(guò)重的作業(yè)負(fù)擔(dān)，是教師們值得深入思考的問(wèn)題.教師提供給學(xué)生完備的學(xué)習(xí)過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)歸納和方法梳理，設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的教學(xué)，這些都是提升學(xué)生學(xué)習(xí)能力和減輕課業(yè)負(fù)擔(dān)的有效方法.因此，巧借錯(cuò)題揭示問(wèn)題的本質(zhì)，拓展學(xué)生解決問(wèn)題的思路，才能構(gòu)建有效課堂，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.

本文以一個(gè)數(shù)軸距離問(wèn)題為例，從學(xué)生的錯(cuò)誤點(diǎn)入手，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，鞏固所學(xué)知識(shí)，并通過(guò)類(lèi)型問(wèn)題的歸納，幫助學(xué)生找到解決這類(lèi)問(wèn)題的有效方法，使其體驗(yàn)不同問(wèn)題解法過(guò)程的共性特點(diǎn).

1 呈現(xiàn)原題解答錯(cuò)誤，分析錯(cuò)誤原因

原題如圖1，在數(shù)軸上，點(diǎn)B與點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離相等，A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是1和則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是________.

圖1 題圖Fig.1 Problem analysis diagram

關(guān)于該題，學(xué)生的解答錯(cuò)誤比較多，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

(1) 沒(méi)有解題思路，無(wú)法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解答；

(3) 由于對(duì)符號(hào)的忽視，造成對(duì)距離與數(shù)的轉(zhuǎn)化不到位.

學(xué)生出現(xiàn)這一系列問(wèn)題，說(shuō)明其對(duì)數(shù)軸上的距離問(wèn)題不理解，不能抓住數(shù)軸上的距離特征.通過(guò)錯(cuò)誤結(jié)果的呈現(xiàn)，讓學(xué)生重新認(rèn)識(shí)問(wèn)題，這既符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，又易發(fā)揮學(xué)生的主體參與意識(shí).同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生分析錯(cuò)誤的原因，并對(duì)錯(cuò)誤結(jié)果進(jìn)行再思考，從而提升再學(xué)習(xí)的效果.

2 理解數(shù)軸上的距離，歸納解題方法

數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要手段和方法.數(shù)軸上點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)的特征，很好地將數(shù)與形進(jìn)行了完美的結(jié)合[2].數(shù)軸不僅能有效體現(xiàn)數(shù)與形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，還能直觀表示兩個(gè)實(shí)數(shù)點(diǎn)之間的距離.因此，解決數(shù)軸上的距離問(wèn)題，首先要明確數(shù)軸上每一個(gè)數(shù)所表達(dá)的距離特點(diǎn)，其次要明確每一個(gè)距離所表示的數(shù).利用數(shù)軸的特征，不僅能幫助學(xué)生形成距離的概念，還能培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的思維[3-4].

理解數(shù)軸上距離的概念，是對(duì)知識(shí)的回顧和思考.只有回歸到學(xué)生的知識(shí)起點(diǎn)，激活學(xué)生對(duì)已有知識(shí)的再認(rèn)知，才能發(fā)揮學(xué)生的主體意識(shí)，讓學(xué)生在探究活動(dòng)中體現(xiàn)主動(dòng)性，從而將學(xué)生的零散知識(shí)進(jìn)行有效整合，使其達(dá)到知識(shí)全面化、方法統(tǒng)一化、思維系統(tǒng)化.

問(wèn)題1(知識(shí)點(diǎn))：如圖2中的①、②、③，根據(jù)圖中A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)，說(shuō)出這兩點(diǎn)之間的距離.

圖2 題圖Fig.2 Problem analysis diagram

在教學(xué)中，教師可通過(guò)利用數(shù)軸上點(diǎn)的具體數(shù)值，引導(dǎo)學(xué)生利用點(diǎn)A和點(diǎn)B的數(shù)值求出A、B之間的距離，并體會(huì)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的求解方法.問(wèn)題的設(shè)計(jì)既關(guān)注了數(shù)的特征和相應(yīng)點(diǎn)位置的變化，也注重了數(shù)與點(diǎn)位置變化的層次性.

在學(xué)生求解完畢后，教師可引導(dǎo)學(xué)生歸納求解方法，并將問(wèn)題一般化，以達(dá)到方法的及時(shí)類(lèi)比和遷移，從而使學(xué)生的學(xué)習(xí)邁向新臺(tái)階.

問(wèn)題2(知識(shí)點(diǎn))：如圖3中的④、⑤、⑥，根據(jù)圖中A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)，說(shuō)出這兩點(diǎn)之間的距離.

圖3 題圖Fig.3 Problem analysis diagram

將知識(shí)點(diǎn)的具體性問(wèn)題，通過(guò)類(lèi)比的方法給出一組字母類(lèi)型的題組，從而轉(zhuǎn)化為一般性問(wèn)題.讓學(xué)生經(jīng)歷由特殊性到一般性、由已知量到未知量的思維探究過(guò)程，并在探究過(guò)程中獲得解決問(wèn)題方法的共性點(diǎn)，體驗(yàn)解法的相通之處.在實(shí)際教學(xué)中，通過(guò)學(xué)生的探究和交流，得出數(shù)軸上任意兩點(diǎn)之間的距離為數(shù)軸上兩點(diǎn)所表示數(shù)的差的絕對(duì)值，即|AB|=|b-a|=|a-b|.

問(wèn)題3(解決原題)：如圖4，在數(shù)軸上，點(diǎn)B與點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離相等，A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是1和則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是________.

圖4 題圖Fig.4 Problem analysis diagram

分析由題目條件又因?yàn)閨AB|=|AC|，所以由此所以點(diǎn)C表示的實(shí)數(shù)是

學(xué)生借助數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的計(jì)算方法AB=|b-a|=|a-b|，很容易求出A、B兩點(diǎn)之間的距離，從而得出A、C兩點(diǎn)之間的距離.在教學(xué)中，教師可進(jìn)一步幫助學(xué)生形成 “如何將距離轉(zhuǎn)化到數(shù)”的思路，引導(dǎo)學(xué)生思考：①已知AC的距離，將點(diǎn)A怎樣移動(dòng)才能得到點(diǎn)C？②向右移動(dòng)可以利用什么運(yùn)算？③得到怎樣的算式，點(diǎn)C表示的數(shù)是多少？學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，借助數(shù)軸上的距離特點(diǎn)和加法運(yùn)算，求出點(diǎn)C表示的數(shù)，并歸納方法：找距離、尋關(guān)系、列算式、得答案.由此，學(xué)生就有了明確的解題思路和方法，且在后續(xù)的學(xué)習(xí)中也能感悟不同問(wèn)題的共性解法.

3 解決數(shù)軸上的距離問(wèn)題，拓展解題方法

在前一環(huán)節(jié)，教師對(duì)學(xué)生求解數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的方法進(jìn)行了提煉，并幫助學(xué)生鞏固方法，提升其解決問(wèn)題的能力.事實(shí)上，學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解程度如何？方法的運(yùn)用能力如何？正確率多高？都必須通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題才能有效地反饋.學(xué)生及時(shí)進(jìn)行模仿和操作，能有效地幫助其形成這一類(lèi)問(wèn)題的正確解法.

筆者設(shè)計(jì)以下3個(gè)問(wèn)題，通過(guò)這一組題，一方面是為檢測(cè)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，及時(shí)了解學(xué)生對(duì)方法的理解程度；另一方面是為及時(shí)幫助學(xué)生掌握方法，并為后續(xù)方法的鞏固和思維的形成作鋪墊.

問(wèn)題1如圖5，在數(shù)軸上，點(diǎn)B與點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離相等，A、C兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是1和則點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是________.

圖5 題圖Fig.5 Problem analysis diagram

分析由題目條件又因?yàn)閨AB|=|AC|，所以由此所以點(diǎn)B表示的實(shí)數(shù)是

問(wèn)題2如圖6，在數(shù)軸上，點(diǎn)A與點(diǎn)B表示的數(shù)分別是10和-2，在點(diǎn)A、B間插入點(diǎn)C和點(diǎn)D，使這4個(gè)點(diǎn)每相鄰的兩個(gè)點(diǎn)之間的距離相等，則點(diǎn)C、D對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是________.

圖6 題圖Fig.6 Problem analysis diagram

分析由題目條件|AB|=|10-(-2)|=12，又因?yàn)閨AD|=|DC|=|CB|，所以|AD|=4，|DC|=4，|CB|=4，所以點(diǎn)C、D表示的實(shí)數(shù)是2和6.

問(wèn)題3如圖7，在數(shù)軸上，點(diǎn)A與點(diǎn)B表示的數(shù)分別是6和在點(diǎn)A、B間插入點(diǎn)C，使點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)C到點(diǎn)B距離的2倍，則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是________.

圖7 題圖Fig.7 Problem analysis diagram

分析由題目條件又因?yàn)閨AC|=2|BC|，|AC|+|BC|=|AB|,所以由此所以點(diǎn)C表示的實(shí)數(shù)是

問(wèn)題類(lèi)型的類(lèi)比化，有助于幫助學(xué)生更好地思考問(wèn)題、解決問(wèn)題、鞏固方法，從而達(dá)到對(duì)問(wèn)題解法的通性通法.

針對(duì)問(wèn)題1，教師可要求學(xué)生在解決原題的基礎(chǔ)上直接求解.針對(duì)問(wèn)題2和問(wèn)題3，教師在課堂上并不是讓學(xué)生直接求解，而是要學(xué)生將其與問(wèn)題1進(jìn)行類(lèi)比，引導(dǎo)學(xué)生找到這兩個(gè)問(wèn)題與問(wèn)題1的不同之處和相同之處.問(wèn)題1是距離的2等分，問(wèn)題2是距離的3等分，如何將2等分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為3等分問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)是將點(diǎn)向右(或向左)進(jìn)行2次等距離的移動(dòng)，這樣可使學(xué)生利用已掌握的方法求出結(jié)果.將問(wèn)題3與問(wèn)題2進(jìn)行類(lèi)比，引導(dǎo)學(xué)生理解距離的2倍關(guān)系，讓學(xué)生根據(jù)已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)將AC等分，從而轉(zhuǎn)化為類(lèi)似問(wèn)題2的問(wèn)題，進(jìn)一步感受解法的共性美.

4 拓展數(shù)軸上的距離，方法類(lèi)比遷移

數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決在于能將問(wèn)題進(jìn)行有效拓展，使學(xué)生通過(guò)模仿解題形成良性的思維拓展.學(xué)生通過(guò)類(lèi)比解決問(wèn)題，還需具有“跳一跳”再解決問(wèn)題的思路.在教學(xué)中，教師應(yīng)拓展學(xué)生思維的廣度和深度，讓學(xué)生在思維拓展中有效地解決問(wèn)題，并感悟得一法通一類(lèi)，從而體現(xiàn)解法在類(lèi)型問(wèn)題解決上的優(yōu)勢(shì).

問(wèn)題1如圖8，點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形的頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合，開(kāi)始沿著數(shù)軸向左無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)一周到達(dá)點(diǎn)B，則點(diǎn)B表示的數(shù)是________.

圖8 題圖Fig.8 Problem analysis diagram

分析由題目條件正方形向左無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)一周，即點(diǎn)A向左平移正方形周長(zhǎng)的距離，所以|AB|=4，由此所以點(diǎn)B表示的實(shí)數(shù)是

問(wèn)題2如圖9，在半徑為2的圓上，點(diǎn)A與表示數(shù)5的點(diǎn)重合，從點(diǎn)A開(kāi)始沿著數(shù)軸向左無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)一周，滾動(dòng)一周后到達(dá)點(diǎn)B，則點(diǎn)B表示的數(shù)是________(用含π的代數(shù)式表示).

圖9 題圖Fig.9 Problem analysis diagram

分析本題類(lèi)似上一題，相當(dāng)于向左平移的距離是圓的周長(zhǎng).所以點(diǎn)B表示的實(shí)數(shù)是5-4π.

問(wèn)題的提升，需考慮到學(xué)生思維的立足點(diǎn)和問(wèn)題的關(guān)聯(lián)度.針對(duì)問(wèn)題1和問(wèn)題2，學(xué)生應(yīng)先尋找移動(dòng)的距離，然后根據(jù)距離列出相應(yīng)的算式，最終求出正確結(jié)果.這兩個(gè)問(wèn)題雖然難度不大，但仍需要一個(gè)思維的形成和轉(zhuǎn)變的過(guò)程.

問(wèn)題3如圖10，在半徑為2的圓上，點(diǎn)A與表示數(shù)3的點(diǎn)重合，從點(diǎn)A開(kāi)始沿著數(shù)軸向左無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)一周，滾動(dòng)一周后與數(shù)軸上點(diǎn)B的距離為2，則點(diǎn)B表示的數(shù)是________(用含π的代數(shù)式表示).

圖10 題圖Fig.10 Problem analysis diagram

分析由題目條件,向左滾動(dòng)1周相當(dāng)于向左平移的距離是圓的周長(zhǎng)，而點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)后的終點(diǎn)可能在點(diǎn)B的左側(cè)或右側(cè),因而對(duì)點(diǎn)A的情況要分類(lèi)求解.若點(diǎn)A的終點(diǎn)在點(diǎn)B的右側(cè)，則點(diǎn)B表示的數(shù)是1-4π；若點(diǎn)A的終點(diǎn)在點(diǎn)B的左側(cè)，則點(diǎn)B表示的數(shù)是5-4π.

問(wèn)題3與問(wèn)題1和問(wèn)題2類(lèi)似，但由于點(diǎn)B的不確定性，因此需要進(jìn)行分類(lèi)討論.考慮運(yùn)動(dòng)后點(diǎn)A的最終位置在點(diǎn)B的左側(cè)還是右側(cè)，進(jìn)而根據(jù)距離關(guān)系的共性解法求得點(diǎn)B表示的數(shù).

以上這組題涉及：直線(xiàn)型和曲線(xiàn)型運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的距離；圖形滾動(dòng)的路程與移動(dòng)距離的關(guān)系；圖形的周長(zhǎng)與兩點(diǎn)間距離的關(guān)系.在教學(xué)中，教師可引導(dǎo)學(xué)生將此題與前一組問(wèn)題進(jìn)行類(lèi)比，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)在距離上表述的不同之處，感悟解法的共性之處.

5 結(jié) 語(yǔ)

本文從學(xué)生的錯(cuò)題入手，在知識(shí)梳理中體現(xiàn)學(xué)生探究結(jié)論的思維過(guò)程，在問(wèn)題解決中體現(xiàn)解法共性的探究.教師在設(shè)計(jì)小專(zhuān)題課時(shí)，對(duì)知識(shí)點(diǎn)的再梳理和再探究尤為重要.教師應(yīng)重視學(xué)生在知識(shí)理解上的困難和在問(wèn)題解決上的方法不足，重視學(xué)生的障礙點(diǎn)，做到由淺入深、由易到難，重視方法的類(lèi)比和遷移，既要做到對(duì)方法的鞏固和運(yùn)用，又要讓學(xué)生感悟題變而法不變.通過(guò)問(wèn)題的層層遞進(jìn)和解法的靈活運(yùn)用，體現(xiàn)同一解法在不同問(wèn)題中的運(yùn)用，精準(zhǔn)有效地培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，強(qiáng)化學(xué)生的思維能力.