含石墨烯四層平面波導(dǎo)TM振蕩模的傳輸特性

沈陸發(fā)

(湖州師范學(xué)院 理學(xué)院，浙江 湖州 313000)

0 引 言

2004年，英國曼徹斯特大學(xué)物理學(xué)家Andre Geim和Konstantin Novoselov從石墨中成功分離出石墨烯[1].該材料是一種由單層碳原子構(gòu)成的片狀結(jié)構(gòu)，具有無可比擬的力學(xué)、電學(xué)、熱學(xué)和光學(xué)等特性[2-5]，被廣泛應(yīng)用于電子學(xué)、光電子學(xué)、生物醫(yī)學(xué)、熱學(xué)和力學(xué)等學(xué)科領(lǐng)域，并受到全球?qū)W者們的高度關(guān)注.一些學(xué)者對含石墨烯傳感器進(jìn)行了相關(guān)研究[6-7]，成功實(shí)現(xiàn)了NO2的選擇性檢測，并提高了調(diào)制器的調(diào)制性能.還有一些學(xué)者對含石墨烯波導(dǎo)進(jìn)行了研究[8-11]，如：基于石墨烯的多波段新型吸收器、基于石墨烯結(jié)構(gòu)的等離子體誘導(dǎo)透明，以及外加電壓不能調(diào)節(jié)TM表面模等.但這些研究大多是針對TM表面模的，缺乏對TM的全面研究.本文主要對含石墨烯四層平面波導(dǎo)TM振蕩模進(jìn)行相關(guān)研究，根據(jù)Maxwell方程組得到TM振蕩模的色散方程和功率流方程，并根據(jù)這些方程畫出相關(guān)特性曲線，從而發(fā)現(xiàn)該模的一些新特性.

1 含石墨烯四層平面波導(dǎo)TM振蕩模的色散方程和功率流方程

1.1 石墨烯材料

石墨烯(Graphene)是一種由碳原子以sp2雜化軌道組成六角形呈蜂巢晶格的平面薄膜，且只有一個(gè)碳原子厚度的二維材料.它的磁導(dǎo)率為1.0，有效介電常數(shù)為[12]：

(1)

單層石墨烯的電導(dǎo)率服從Kubo公式[13]:

(2)

其中,T為溫度(本文采用室溫，即300 K)，kB、h分別為Boltzmann常數(shù)和Planck常數(shù)，fD(ξ)=[exp(ξ-μc/kBT)+1]-1為 Fermi-Dirac函數(shù)，τ=0.1 meV.

石墨烯的化學(xué)勢與外加電壓Vg有關(guān)，即：

(3)

其中，?為Dirac常數(shù),vF為Fermi速度，近似為106m/s，a0=9×1016m-1V-1，Vdirac與石墨烯摻雜有關(guān).本文采用Vdirac=0.根據(jù)式(2)和式(3)可知，石墨烯的電導(dǎo)率與頻率、溫度和化學(xué)勢等物理量有關(guān).假定溫度為室溫(300 K),而化學(xué)勢與外加電壓有關(guān).下面根據(jù)頻率、外加電壓、波導(dǎo)厚度等物理量對該波導(dǎo)的傳輸特性進(jìn)行詳細(xì)分析.

1.2 含石墨烯四層平面波導(dǎo)TM振蕩模的色散方程

含石墨烯四層平面波導(dǎo)結(jié)構(gòu)如圖1所示.波導(dǎo)的芯層是普通介質(zhì)2，其厚度為d2，介電常數(shù)為ε2，磁導(dǎo)率為μ2；覆蓋層(介質(zhì)1)和襯底(介質(zhì)3)為普通材料，其介電常數(shù)和磁導(dǎo)率分別為ε1、ε3和μ1、μ3.在介質(zhì)1和介質(zhì)2之間的薄層為石墨烯，其介電常數(shù)為εg，磁導(dǎo)率為μ0，厚度約為0.34 nm.石墨烯的厚度比波導(dǎo)其他介質(zhì)層的厚度小得多，可以忽略不計(jì).類似的處理方法見文獻(xiàn)[8].為簡化，因子exp[i(ωt-βz)]在下列所有方程中被省略，因子中的ω和β分別為角頻率和縱向傳播常數(shù).對于振蕩模，電磁場在芯層是振蕩的，在覆蓋層和襯底是衰減的.對于含石墨烯平面波導(dǎo)，由于TE模較弱，因此本文主要討論TM振蕩模，該模只有Hy、Ex和Ez3個(gè)電磁分量.根據(jù)Maxwell方程組,芯層(介質(zhì)2)的電磁場應(yīng)滿足下列方程：

(4)

(5)

(6)

圖1 含石墨烯四層平面波導(dǎo)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 The schematic geometry of a four-layer slab waveguide with graphene

同樣,在覆蓋層(介質(zhì)1)和襯底層(介質(zhì)3)，只要將上述方程中的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率改為對應(yīng)介質(zhì)層的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率，也可得到類似的電磁場方程.經(jīng)計(jì)算，得到波導(dǎo)在各介質(zhì)層中的磁場分布為：

Hy1=Aexp[-q1(x-d2)],x>d2，

(7)

Hy2=Bcos(k2x-φs), 0

(8)

Hy3=Cexp(q3x),x<0,

(9)

在介質(zhì)1和2之間是單層石墨烯，其相應(yīng)的邊界條件為(當(dāng)x=d2)：

Hy1-Hy2=σEz1.

(10)

將式(10)代入式(7)～(9)，得TM振蕩模的色散方程為：

(11)

其中，m為模階數(shù).

1.3 含石墨烯四層平面波導(dǎo)TM振蕩模的功率流方程

根據(jù)電磁場理論，波導(dǎo)中的功率流可通過Poynting矢量積分求得.關(guān)于TM振蕩模，其波導(dǎo)各層介質(zhì)的功率流公式為[15]：

(12)

其中，l=1、2、3，Pl為波導(dǎo)各層所傳輸?shù)墓β柿?

將式(7)～(9)代入式(12),得波導(dǎo)各層的功率流為:

(13)

(14)

(15)

其中，P1、P2和P3分別為波導(dǎo)覆蓋層、芯層和襯底的功率流.

為深入分析TM振蕩模功率流在波導(dǎo)芯層中的傳輸特性，本文采用以下歸一化形式：

(16)

其中：|Pl|為波導(dǎo)各層傳輸功率流的絕對值；Pcore為波導(dǎo)芯層功率流與總功率流的比值，即歸一化芯層功率流.若Pcore=1，則功率流集中在芯層傳輸；若Pcore=0.5，則芯層功率流與包層功率流達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡；若Pcore=0，則功率流只在覆蓋層和襯底中傳輸.

2 結(jié)果與分析

2.1 含石墨烯四層平面波導(dǎo)TM振蕩模的色散特性

2.1.1 外加電壓對TM基模色散特性的影響

根據(jù)方程(1)～(11)，當(dāng)波導(dǎo)厚度d2=0.20 mm,外加電壓分別為Vg=0.1 μV、 0.1 mV、0.1 V時(shí)，TM0模的色散曲線如圖2所示.

圖2 外加電壓對TM0模色散曲線的影響Fig.2 The dispersive curves of TM0 mode depend on the gate voltages

從圖2可以看出，隨著頻率的增加，有效折射率單調(diào)增加.當(dāng)頻率小于55 THz時(shí)，有效折射率緩慢增加；當(dāng)頻率從55 THz增加到150 THz時(shí)，有效折射率較快增加(從1.6增加到2.6)，該特性將有益于制備新型傳感器；當(dāng)頻率超過150 THz時(shí)，有效折射率又緩慢增加，最后趨于定值(3.2)，且該模始終具有正常的色散特性.

從圖2還可以看出,當(dāng)石墨烯外加電壓從Vg=0.1 μV增加到0.1 mV及0.1 V時(shí)，色散曲線幾乎重合.為進(jìn)一步探討外加電壓對TM振蕩模的影響，調(diào)整頻率和有效折射率的范圍，畫出相關(guān)色散曲線，如圖2中的右上圖所示.通過分析發(fā)現(xiàn)，外加電壓對TM振蕩模的色散特性有較小的影響，隨著外加電壓的增加，色散曲線下移，有效折射率變小，且這些變化是不均勻的.當(dāng)外加電壓從Vg=0.1 μV增加到0.1 mV時(shí)，有效折射率的減小幅度較大；當(dāng)外加電壓從0.1 mV增加到0.1 V時(shí)，有效折射率的減小幅度較小.可見，外加電壓的改變對TM振蕩模的色散特性只有小范圍的影響.有學(xué)者發(fā)現(xiàn)，外加電壓對單層石墨烯波導(dǎo)TM表面模無影響[6].總之，外加電壓對單層石墨烯波導(dǎo)TM模的影響較小或無影響.

2.1.2 波導(dǎo)厚度對TM0振蕩模色散特性的影響

根據(jù)方程(1)～(11)，當(dāng)外加電壓Vg=0.1 mV時(shí)，不同波導(dǎo)厚度(d2=0.02 mm、0.20 mm、2.00 mm)TM0模的色散曲線如圖3所示.通過分析發(fā)現(xiàn)，它們都屬于正常色散，且隨著波導(dǎo)厚度的增加，曲線左上移，低頻段有效折射率快速變大，特別是當(dāng)波導(dǎo)厚度d2=2.00mm、頻率從10 THz增加到20 THz時(shí)，有效折射率從1.95快速增加到2.94.該特性將有助于新型傳感器的設(shè)計(jì).

圖3 波導(dǎo)厚度對TM0振蕩模色散曲線的影響Fig.3 The dispersive curves of TM0 oscillating mode depend on the waveguide thickness

2.1.3 模階數(shù)對TM振蕩模色散特性的影響

根據(jù)方程(1)～(11)，當(dāng)外加電壓Vg=0.1 mV、波導(dǎo)厚度d2=0.20 mm時(shí)，不同模階數(shù)(m=0、1、2) TM振蕩模的色散曲線如圖4所示.通過分析發(fā)現(xiàn)，隨著模階數(shù)的增加，色散曲線沿右下方移動(dòng)，有效折射率變小，截止頻率變大.當(dāng)頻率低于250 THz時(shí)，只有TM0模傳輸；當(dāng)頻率高于250 THz且低于480 THz時(shí)，TM0與TM1雙模傳輸；當(dāng)頻率高于500 THz時(shí)，TM0、TM1和TM2三模共存.因此，當(dāng)波導(dǎo)厚度為0.20 mm時(shí)，要實(shí)現(xiàn)TM基模傳輸，頻率應(yīng)低于250 THz.

圖4 不同模階數(shù)TM振蕩模的色散曲線Fig.4 The dispersive curves for TM oscillating modes depend on the mode number

2.2 含石墨烯四層平面波導(dǎo)TM振蕩模芯層功率流的特性

2.2.1 外加電壓對基模TM0芯層功率流的影響

根據(jù)方程(1)～(11)和方程(13)～(16)，當(dāng)波導(dǎo)厚度d2=0.20 mm、外加電壓Vg=0.1 μV、0.1 mV、 0.1 V時(shí)，TM0模芯層功率流特性曲線如圖5所示.通過分析發(fā)現(xiàn)，隨著外加電壓的增加，功率流特性曲線幾乎重合.當(dāng)頻率低于5.0 THz時(shí)，Pcore=0，芯層功率流為零，功率流全部集中在覆蓋層和襯底層；隨著頻率的增加，芯層功率流緩慢增加；當(dāng)頻率高于20 THz且低于80 THz時(shí)，芯層功率流較快增加；當(dāng)頻率超過120 THz時(shí)，Pcore=1，全部功率流集中在芯層，稱為最大芯層功率流，覆蓋層和襯底層的功率流等于零.這體現(xiàn)了石墨烯良好的聚光效應(yīng)，也為制造超薄型平面波導(dǎo)指明了方向.為進(jìn)一步探究外加電壓對TM模功率流特性的影響，畫出當(dāng)頻率從99 THz增加到到99.2 THz時(shí)的功率流特性曲線，如圖5中的右上圖所示.通過分析發(fā)現(xiàn)，隨著電壓的增加，曲線下移，芯層功率流變小.其原因可能是有效折射率變小，使得波導(dǎo)聚光能力變?nèi)酰瑥亩鴮?dǎo)致芯層功率流變小.當(dāng)外加電壓從0.1 μV增加到0.1 V時(shí)，芯層功率流(頻率為99.2 THz)從0.976 30減小到0.976 21.所以，外加電壓可對TM模功率流進(jìn)行微調(diào).

圖5 外加電壓對TM0振蕩模芯層功率流的影響Fig.5 The dependence of the normalized power flow curves of TM0 oscillating mode on the gate voltages

2.2.2 波導(dǎo)厚度對基模TM0芯層功率流的影響

根據(jù)方程(1)～(11)和方程(13)～(16)，當(dāng)外加電壓Vg=0.1 mV，波導(dǎo)厚度分別為d2=0.02 mm、0.20 mm、2.00 mm時(shí)，TM0模芯層功率流特性曲線如圖6所示.通過分析發(fā)現(xiàn)，隨著波導(dǎo)厚度的增加，功率流特性曲線沿左上方移動(dòng)，特性曲線單調(diào)變化，芯層傳輸最大功率流(Pcore=1)對應(yīng)的頻率變小.當(dāng)波導(dǎo)厚度為0.02 mm時(shí)，只要頻率高于800 THz，芯層就能傳輸最大功率流；當(dāng)波導(dǎo)厚度為0.20 mm時(shí)，頻率高于120 THz，芯層也能傳輸最大功率流；當(dāng)波導(dǎo)厚度為2.00 mm時(shí)，只要頻率高于25 THz，芯層就能傳輸最大功率流；當(dāng)波導(dǎo)厚度從0.02 mm增加到2.00 mm時(shí)，實(shí)現(xiàn)Pcore=1的工作頻率從800 THz快速減小到25 THz.芯層功率流的這些新特性為不同波段超薄型平面波導(dǎo)的研究指明了方向.

圖6 波導(dǎo)厚度對TM0振蕩模芯層功率流的影響Fig.6 The dependence of core power propagation curves for TM0 oscillating mode on the waveguide thickness

2.2.3 模階數(shù)對TM模芯層功率流的影響

根據(jù)方程(1)～(11)和方程(13)～(16)，當(dāng)外加電壓Vg=0.1 mV、波導(dǎo)厚度d2=0.20 mm時(shí)，不同模階數(shù)TM模芯層功率流特性曲線如圖7所示.通過分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)模階數(shù)m=0、1、2時(shí)，它們有類似的芯層功率流特性曲線.隨著模階數(shù)的增加，曲線右移，最大芯層功率流(Pcore=1)的工作頻率變大，對應(yīng)的最小工作頻率分別為130 THz、350 THz和550 THz.總之，隨著模階數(shù)的增加，實(shí)現(xiàn)芯層最大功率流所對應(yīng)的最小頻率也不斷增加.這為不同模式、不同波段超薄型波導(dǎo)的研究指明了方向.

圖7 模階數(shù)對TM振蕩模芯層功率流的影響Fig.7 The core-power flow propagation curves for TM modes depending on the mode number

3 結(jié) 論

本文對含石墨烯四層平面波導(dǎo)TM振蕩模進(jìn)行了相關(guān)研究.該波導(dǎo)的芯層為硅及單層石墨烯，覆蓋層和襯底層為二氧化硅；根據(jù)Maxwell方程組和切向邊界條件，得到了含石墨烯四層平面波導(dǎo)TM振蕩模的色散方程和芯層功率流方程，并根據(jù)這些方程畫出了相關(guān)的特性曲線.通過分析這些曲線發(fā)現(xiàn)：

(1) 隨著頻率的增加，有效折射率、芯層功率流單調(diào)增加，且呈現(xiàn)先慢后快再慢的變化規(guī)律.波導(dǎo)厚度和模階數(shù)對它們有明顯的影響，外加電壓可以對其實(shí)現(xiàn)微調(diào).而普通的平面波導(dǎo)在制備后，其傳輸特性就不能更改，這也是該類波導(dǎo)的特性之一.

(2) 隨著波導(dǎo)厚度的增加，實(shí)現(xiàn)芯層最大功率流的頻率變低；隨著模階數(shù)的增加，實(shí)現(xiàn)芯層最大功率流的頻率變高.當(dāng)波導(dǎo)厚度為0.20 mm、頻率高于120 THz且低于250 THz時(shí)，芯層能傳輸最大功率流，且是單模傳輸.這些發(fā)現(xiàn)將有助于新型傳感器和超薄型波導(dǎo)等器件的開發(fā).