機(jī)器人柔性掃描測(cè)量系統(tǒng)標(biāo)定方法*

王鈺鑫，周志龍，劉 巍

(大連理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116024)

隨著制造業(yè)水平的不斷發(fā)展，廣泛涌現(xiàn)出一些大尺寸復(fù)雜曲面零件[1-3]。這些零件具有測(cè)量尺寸大、型面復(fù)雜、難以移動(dòng)等特點(diǎn)，因此難以采用三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)等方式進(jìn)行接觸式測(cè)量。與坐標(biāo)測(cè)量機(jī)相比，以結(jié)構(gòu)光視覺測(cè)量為代表的非接觸式測(cè)量得到了廣泛的應(yīng)用[4-6]。將結(jié)構(gòu)光掃描儀集成到機(jī)器人系統(tǒng)中即可構(gòu)成柔性測(cè)量系統(tǒng)。該系統(tǒng)兼顧了結(jié)構(gòu)光掃描儀精度高、效率高和機(jī)器人柔性好、可適用于不同工作場(chǎng)景的特點(diǎn)。為了實(shí)現(xiàn)測(cè)量結(jié)果從掃描儀坐標(biāo)系到機(jī)器人基坐標(biāo)系的統(tǒng)一高精轉(zhuǎn)換，必須進(jìn)行考慮到機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差的手眼關(guān)系標(biāo)定[7]。

傳統(tǒng)的手眼標(biāo)定方法可以轉(zhuǎn)化為對(duì)AX=XB這個(gè)方程的求解問題。Tsai[8]通過機(jī)器人變換不同位姿對(duì)標(biāo)定物進(jìn)行拍攝，將手眼矩陣拆為平移部分和旋轉(zhuǎn)部分，再依次進(jìn)行求解。Horaud[9]對(duì)此方程給出了一種基于四元數(shù)的求解方法。Zhuang[10]將相機(jī)和機(jī)器人作為整體進(jìn)行一次性標(biāo)定，從而求解出手眼標(biāo)定參數(shù)。Ma[11]通過機(jī)器人做特定運(yùn)動(dòng)從而建立約束并進(jìn)行求解。這些求解方式的共同特點(diǎn)是需要機(jī)器人做一些特定運(yùn)動(dòng)，將機(jī)器人作為標(biāo)定精度鏈中的一環(huán)。但是，由于在制造裝配時(shí)存在誤差，工業(yè)機(jī)器人的理論運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和實(shí)際運(yùn)動(dòng)學(xué)模型間存在偏差，因此這些方法會(huì)引入機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差，進(jìn)而影響到手眼標(biāo)定的準(zhǔn)確性。

本文提出了一種基于機(jī)器人與結(jié)構(gòu)光掃描儀的柔性測(cè)量系統(tǒng)標(biāo)定方法。首先通過機(jī)器人單軸旋轉(zhuǎn)以及基于羅德里格矩陣的算法進(jìn)行手眼標(biāo)定，獲得手眼關(guān)系矩陣；然后機(jī)器人變換不同位姿，測(cè)量特征點(diǎn)，基于距離約束對(duì)手眼關(guān)系參數(shù)和機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)進(jìn)行進(jìn)一步標(biāo)定；最后通過測(cè)量距離誤差來驗(yàn)證標(biāo)定結(jié)果的準(zhǔn)確性。

1 測(cè)量原理

柔性測(cè)量系統(tǒng)由工業(yè)機(jī)器人和結(jié)構(gòu)光掃描儀組成(見圖1)，結(jié)構(gòu)光掃描儀通過夾具安裝在機(jī)器人末端。測(cè)量時(shí)通過機(jī)器人變換不同位姿，掃描儀對(duì)被測(cè)特征進(jìn)行拍攝，并將測(cè)量結(jié)果從掃描儀坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到機(jī)器人基坐標(biāo)系。柔性測(cè)量系統(tǒng)的主要坐標(biāo)系包括機(jī)器人基坐標(biāo)系Ob-XbYbZb、機(jī)器人末端坐標(biāo)系Of-XfYfZf、掃描儀坐標(biāo)系Os-XsYsZs和掃描儀夾具坐標(biāo)系Oc-XcYcZc。則可得到特征點(diǎn)在機(jī)器人基坐標(biāo)系下的坐標(biāo)表示為：

(1)

2 系統(tǒng)標(biāo)定

2.1 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

本文選用的機(jī)器人為六自由度工業(yè)機(jī)器人，采用目前最廣泛的DH模型對(duì)機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)建模，即通過連桿長(zhǎng)度ai、連桿轉(zhuǎn)角αi、連桿偏距di和關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θi這4個(gè)參數(shù)求出相鄰連桿坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換矩陣[12]：

(2)

式中，TZ(di)、TX(ai)為平移矩陣；RZ(θi)、RX(αi)為旋轉(zhuǎn)矩陣。慮及相鄰關(guān)節(jié)軸線平行或接近平行產(chǎn)生的奇異性問題，引入繞Y軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)角β，建立機(jī)器人MDH模型[13]，則相鄰連桿坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換矩陣為：

(3)

式中，cθi表示cosθi；sθi表示sinθi；依次類推。當(dāng)相鄰軸不平行時(shí)，轉(zhuǎn)角β取零；當(dāng)相鄰軸平行時(shí)，連桿偏距d取零。

2.2 手眼關(guān)系初步標(biāo)定

(4)

(5)

(6)

(7)

要求解此方程，首先需要得到特征點(diǎn)的重心化坐標(biāo)，即將特征點(diǎn)原點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為特征點(diǎn)的重心坐標(biāo)，計(jì)算式如下：

(8)

將式8代入式7可得：

(9)

對(duì)式9兩端取2-范數(shù)，因?yàn)棣?0且R為正交矩陣，因此可得：

(10)

對(duì)λ進(jìn)行最小二乘估計(jì)，即可解出λ：

(11)

接下來求解R。引入一個(gè)反對(duì)稱矩陣：

(12)

式中，S包含a、b、c三個(gè)羅德里格參數(shù)。由羅德里格矩陣的性質(zhì)可知：

(13)

式中，I為三階單位矩陣。將式13代入式9，整理后得：

(14)

由間接平差模型可得：

(15)

由最小二乘估計(jì)，可得：

X=(BTB)-1BTl

(16)

2.3 手眼關(guān)系誤差與機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差聯(lián)合標(biāo)定

為了提高測(cè)量系統(tǒng)的測(cè)量精度，考慮到手眼關(guān)系參數(shù)誤差和機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差，提出了一種基于距離約束的標(biāo)定方法，進(jìn)一步修正手眼關(guān)系參數(shù)和機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)。即以兩特征點(diǎn)之間精確的已知距離作為校準(zhǔn)目標(biāo)，通過對(duì)特征點(diǎn)距離進(jìn)行測(cè)量以求解機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差和手眼關(guān)系參數(shù)誤差[16]。

特征點(diǎn)在機(jī)器人基坐標(biāo)系下的理論測(cè)量結(jié)果可表示為：

(17)

由于手眼關(guān)系參數(shù)和機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)存在誤差，特征點(diǎn)的實(shí)際測(cè)量結(jié)果與理論測(cè)量結(jié)果有所差距，慮及測(cè)量誤差的實(shí)際測(cè)量結(jié)果可以表示為：

(18)

(19)

由微分運(yùn)動(dòng)學(xué)可得手眼關(guān)系誤差：

(20)

(21)

同理，由微分運(yùn)動(dòng)學(xué)可得機(jī)器人位姿誤差：

(22)

(23)

因需要求出機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差，故需建立出機(jī)器人末端位姿誤差和運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差之間的關(guān)系。由式3可知，受機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差影響下的相鄰連桿坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換矩陣為：

(24)

由微分運(yùn)動(dòng)學(xué)可得轉(zhuǎn)換矩陣誤差：

(25)

(26)

(27)

則有：

(28)

對(duì)比式26和式28可得：

(29)

(30)

式中，Gi為誤差系數(shù)矩陣；ΔEi為連桿i的參數(shù)誤差導(dǎo)致的連桿i末端誤差，需要將各個(gè)連桿的誤差轉(zhuǎn)換到機(jī)器人末端。設(shè)連桿坐標(biāo)系{i}到機(jī)器人末端坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣為：

(31)

則連桿坐標(biāo)系{i}到機(jī)器人末端坐標(biāo)系的雅可比矩陣為：

(32)

(33)

式中，ΔP= [Δθ1…Δθ6,Δd1…Δd6, Δa1…Δa6,Δα1…Δα6,Δβ2]，共24個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差。代入式23得：

(34)

式34與式19、式21聯(lián)立，可得：

(35)

(36)

距離誤差可表示為：

(37)

將式36代入式37，得：

(38)

由于ΔK包含30個(gè)未知參數(shù)，因此需要機(jī)器人對(duì)至少30組特征點(diǎn)間的距離進(jìn)行測(cè)量，進(jìn)而建立具有30個(gè)以上式38的方程組，對(duì)該方程組進(jìn)行求解，即可得到所求參數(shù)。

由于Q矩陣不滿秩，因此無法采用最小二乘法對(duì)此方程組進(jìn)行求解。在這里采用Levenberg-Marquardt算法進(jìn)行求解[18]。Levenberg-Marquardt算法的具體流程如下。

步驟1：設(shè)置權(quán)系數(shù)μ(一般取0.001)、初始點(diǎn)ΔK0和容許誤差ΔLmax。

步驟2：由參數(shù)誤差ΔKi求出距離測(cè)量值Li和系數(shù)矩陣Qi，其中i為迭代次數(shù)。

步驟3：由距離實(shí)際值Lr和距離測(cè)量值Li做差，得到距離誤差ΔLi。

步驟5：若ΔLi+1<ΔLmax，則輸出ΔKi，結(jié)束流程；若ΔLi+1<ΔLi，則令ΔKi+1=ΔKi，μ=10μ，轉(zhuǎn)步驟4；否則，令μ=μ/10，轉(zhuǎn)步驟2。

3 試驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 試驗(yàn)系統(tǒng)

試驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)的測(cè)量系統(tǒng)如圖4所示，機(jī)器人型號(hào)為KUKA KR10 R1420，最大工作范圍為1 420 mm，重復(fù)定位精度為0.04 mm；激光跟蹤儀型號(hào)為L(zhǎng)eica AT960MR，測(cè)量精度為±15 μm+6 μm/m；掃描儀型號(hào)為Gocator 3506，測(cè)量精度為±12 μm。掃描儀通過夾具安裝在機(jī)器人末端，同時(shí)在掃描儀夾具上安裝靶球，以便激光跟蹤儀進(jìn)行測(cè)量。

3.2 試驗(yàn)過程

(39)

(40)

表1 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差

3.3 試驗(yàn)結(jié)果

修正參數(shù)后，重新計(jì)算特征點(diǎn)間的距離誤差，修正前后每組特征點(diǎn)距離誤差如圖6所示，距離誤差的最大值由0.870 0 mm減小到0.404 2 mm，平均值由0.661 4 mm減小到0.300 6 mm，驗(yàn)證了該標(biāo)定方法的有效性。

為了驗(yàn)證機(jī)器人在全部工作空間內(nèi)的標(biāo)定精度，將靶尺在機(jī)器人的工作空間內(nèi)均勻移動(dòng)10個(gè)位置，對(duì)這10個(gè)位置的特征點(diǎn)距離進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量得到的標(biāo)定前后每組特征點(diǎn)距離誤差如圖7所示，距離誤差的最大值由0.889 3 mm減小到0.424 9 mm，平均值由0.778 4 mm減小到0.385 2 mm，可見對(duì)柔性系統(tǒng)進(jìn)行標(biāo)定在機(jī)器人的全部工作空間內(nèi)均有效。

4 結(jié)語

本文針對(duì)柔性測(cè)量系統(tǒng)整體測(cè)量精度不足問題，提出了一種基于距離約束的手眼關(guān)系參數(shù)和機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)聯(lián)合標(biāo)定方法。首先，通過機(jī)器人單軸旋轉(zhuǎn)與基于羅德里格矩陣的算法實(shí)現(xiàn)手眼關(guān)系初始標(biāo)定，然后，基于距離約束實(shí)現(xiàn)對(duì)手眼關(guān)系參數(shù)誤差和機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差的辨識(shí)及修正，并通過試驗(yàn)，驗(yàn)證了標(biāo)定精度。試驗(yàn)結(jié)果表明，在機(jī)器人的工作空間內(nèi)，距離誤差的最大值由0.889 3 mm降低到0.424 9 mm，平均值由0.778 4 mm降低到0.385 2 mm，驗(yàn)證了該測(cè)量系統(tǒng)具有較高的測(cè)量精度。