基于模型重構(gòu)的凸輪加工在線補償方法

杜柳青, 李祥，呂發(fā)良，余永維

(重慶理工大學機械工程學院，重慶 400054)

0 前言

高精度凸輪加工采用CNC控制的-軸聯(lián)動高速磨削，高端數(shù)控磨床上都帶有位移補償裝置，想要進一步提升凸輪加工精度，就必須降低-軸聯(lián)動加工的同步誤差，而降低同步誤差的最好方式是對加工過程進行閉環(huán)微分補償。-軸聯(lián)動加工模型實現(xiàn)微分補償需要計算模型導數(shù)，而模型的數(shù)學公式非常復雜，導數(shù)計算難度和計算量都非常大，在高速加工過程中無法確保數(shù)據(jù)能夠進行實時交互。如何簡化模型成為實現(xiàn)在線補償?shù)囊粋€關(guān)鍵問題。

國內(nèi)外學者對凸輪-軸聯(lián)動加工進行了大量研究。陳硯坤等應用-軸聯(lián)動模型設計了凸輪輪廓誤差迭代器。隋振等人研究了分別以仿形誤差、切向輪廓位置誤差、等效誤差算法等方式進行的加工補償。劉偉等人設計了凸輪加工位移檢測實驗平臺。張培碩等研究了凸輪磨削砂輪磨損誤差對凸輪加工的影響。孫海峰等對凸輪在線檢測加工工藝進行了一系列研究。程智勇針對圓柱凸輪，提出了一種采用線性誤差進行控制的四軸加工方法，與傳統(tǒng)的加工方法相比，加工精度明顯提升。

現(xiàn)有研究均先分析凸輪-軸聯(lián)動加工數(shù)學模型，然后進行加工補償。這種補償方式僅考慮了理論情況下凸輪輪廓的變化情況，而實際加工中其他因素導致的加工誤差并未被消除。如果考慮所有因素帶來的誤差會使數(shù)學模型非常復雜，不利于計算。實際加工通常都是對單級運動進行反饋補償，而消除凸輪-軸聯(lián)動加工同步誤差的研究較少。

為解決上述問題，提出一種凸輪加工檢測及補償方法。利用該方法，在加工的同時可檢測凸輪輪廓信息并反饋至終端，然后終端經(jīng)-軸聯(lián)動加工模型計算后反饋給NC，實現(xiàn)閉環(huán)補償。實際的-軸聯(lián)動加工速度非?？欤员疚淖髡哚槍@一特點，通過分析升程和速度瞬心數(shù)學關(guān)系，重構(gòu)-軸聯(lián)動加工數(shù)學模型，取得了較好效果。

1 凸輪加工補償數(shù)學模型

為得到凸輪加工補償?shù)臄?shù)學模型，首先要對已有的-軸聯(lián)動模型進行分析，以找到一個可行的簡化方法。

1.1 磨削時X-C軸聯(lián)動加工數(shù)學模型

進行凸輪磨削加工時，一般提供的是凸輪升程表，或者是輪廓曲線方程()。通常情況下，輪廓曲線方程和升程表是可以相互轉(zhuǎn)換的。升程表的優(yōu)點是加工時只需要輸入升程數(shù)據(jù)，然后由數(shù)控系統(tǒng)自動完成插補；而輪廓曲線方程的優(yōu)點是理論計算推導時無需擬合輪廓曲線。在實際加工時，為得到規(guī)則化輸出，通常采用擬合輪廓曲線的方式。

凸輪的升程表是根據(jù)工作狀況給定的，分為滾子、平頂、尖頂3種從動件，為方便分析，統(tǒng)一用1個滾子代替3種從動件。如圖1所示，以為圓心、為半徑的圓為工作從動件，=0、=∞、=分別代表尖頂、平頂、滾子3種從動件的半徑；為砂輪半徑；為砂輪圓心；為基圓半徑；為凸輪圓心；為工作轉(zhuǎn)角；為加工轉(zhuǎn)角；為加工狀態(tài)轉(zhuǎn)角；點為工作狀態(tài)下的速度瞬心。

圖1 凸輪X-C軸聯(lián)動加工模型

由速度瞬心的相關(guān)關(guān)系可以推導出：

(1)

=++()

(2)

式中:()為輪廓曲線方程。

令=∠，則:

(3)

在△中,由余弦定理可得：

(4)

為磨削點的極半徑大小，用來表示：

(5)

最終可得：

(6)

得到-軸聯(lián)動加工模型如下：

(7)

1.2 模型重構(gòu)

凸輪加工時通常是將升程數(shù)據(jù)直接存儲到NC系統(tǒng)中的升程表中，則補償數(shù)據(jù)也應以同樣形式存儲到補償表中。對-軸聯(lián)動模型求導得到如下補償模型:

(8)

其中：

式中:Δ為測頭檢測出的實際量與理論升程差值，Δ為軸補償量，Δ為軸的補償量。

從公式(8)可知,補償數(shù)據(jù)計算非常復雜，涉及升程的一階微分運算和大量的平方和開根號。在實時動態(tài)補償過程中需要做到毫秒級的計算速度，上述公式在NC系統(tǒng)中無法達到這一要求。

根據(jù)凸輪工作狀態(tài)的不同,升程和補償數(shù)據(jù)的計算方式不同，當平頂作為從動件時速度瞬心和圖1中垂足點剛好重合，當兩點重合后模型的幾何關(guān)系與參數(shù)量都得到了大幅簡化；而不同工況的升程間可以互相轉(zhuǎn)換，將所有工況的凸輪升程全部轉(zhuǎn)化為平頂工況，采用平頂測頭進行在線測量就可以使用簡化模型來補償。簡化后的模型如圖2所示，為凸輪軸圓心；為砂輪圓心；為工作狀態(tài)轉(zhuǎn)角；為加工狀態(tài)轉(zhuǎn)角；點為工作狀態(tài)下的速度瞬心。

圖2 凸輪X-C軸聯(lián)動加工重構(gòu)模型

在△中,由幾何關(guān)系可得：

(9)

=--

(10)

(11)

=++()

(12)

(13)

由圖2中角的關(guān)系可得：

=+

(14)

(15)

綜合可得：

(16)

由此得到最后的簡化模型：

(17)

2 基于模型重構(gòu)的在線補償

2.1 凸輪升程轉(zhuǎn)換

簡化模型是在平頂從動件的基礎(chǔ)上推導而來的，但多數(shù)情況下升程數(shù)據(jù)并非一定是平頂工況的，所以還需要對不同工況下的升程數(shù)據(jù)作相應轉(zhuǎn)換。圖3所示為不同工況下升程與轉(zhuǎn)角的關(guān)系。

圖3 不同從動件下的升程示意

圖4中，為滾子圓心、為滾子半徑；為平頂工況下轉(zhuǎn)角；為加工轉(zhuǎn)角；為滾子工況下轉(zhuǎn)角。

圖4 X-C軸聯(lián)動凸輪升程轉(zhuǎn)換模型

假設平頂工況下升程定義為

=-

(18)

滾子工況定義為

=--

(19)

又由于+=·cos，最后化簡得：

=(++)·cos--

(20)

點為滾子工況下的速度瞬心，∠=∠+∠，由速度瞬心定理可得：

(21)

綜合以上公式可以得到升程轉(zhuǎn)換公式如下：

(22)

當升程為尖頂從動件時，令=0。

2.2 在線補償方法

計算簡化模型的微分形式就可以得到簡化的在線補償模型，補償微分公式如式(23)所示：

(23)

數(shù)控系統(tǒng)中補償表使用的是平均間隔增量數(shù)據(jù)，然而從補償公式中得到的是不規(guī)則間隔數(shù)據(jù)，即角度+Δ對應的升程為+Δ，微分算子導致了間隔不可能相同。為得到規(guī)則化的補償數(shù)據(jù)，可以通過最小二乘法擬合得到原曲線方程，然后通過曲線方程得到規(guī)則化的升程數(shù)據(jù)。

本文作者擬采用的在線補償方式是通過凸輪前一輪加工的檢測數(shù)據(jù)對下一輪加工進行補償。這種補償方式需要模型有極高的靈敏度。而簡化模型最大的優(yōu)勢就是模型復雜度低，計算中用到的一階和二階微分都可以在加工之前計算存儲到系統(tǒng)中，極大地減少了計算量，避免了計算滯后，為實時補償提供了保障。

在實際補償時，由于會用到前一輪的檢測數(shù)據(jù)，而初始加工時是沒有檢測數(shù)據(jù)的，所以第一輪的加工是不帶補償?shù)?。基于這一特點，該補償方式叫做延遲補償模式。延遲檢測補償?shù)墓ぷ髟硎峭馆喖庸で耙惠喌臋z測數(shù)據(jù)經(jīng)過模型計算得到補償后，疊加到下一輪的加工中。延遲補償工作過程如圖5所示，凸輪經(jīng)過多輪加工后得到最終輪廓曲線。

圖5 延遲補償過程示意

3 實驗驗證及分析

本文作者對小基圓凸輪加工的檢測數(shù)據(jù)進行模擬驗證。首先，根據(jù)升程表繪制凸輪的散點圖，以觀察輪廓曲線變化趨勢，如圖6所示。然后，根據(jù)-軸聯(lián)動數(shù)學模型得到聯(lián)動加工曲線圖，如圖7所示，該曲線為理論輪廓曲線的參考曲線。

圖6 升程散點 圖7 X-C軸聯(lián)動數(shù)據(jù)曲線

在高速外圓磨床HBW23-P上對該凸輪進行磨削檢測實驗，并在線檢測記錄每輪磨削后的實際輪廓，隨機抽取一輪檢測結(jié)果，繪制出實際與理論輪廓的對比圖，如圖8所示。

圖8 檢測對比

以相同條件進行磨削補償實驗，隨機抽取一輪補償測試結(jié)果數(shù)據(jù)與檢測數(shù)據(jù)作對比，如圖9所示?？梢钥闯觯航?jīng)過補償后，每輪的平均誤差都會減小，凸輪輪廓更接近理論的輪廓曲線，驗證了文中補償方法能夠有效提高凸輪的磨削精度。

圖9 補償測試結(jié)果與檢測結(jié)果對比

4 總結(jié)

本文作者通過分析現(xiàn)有-軸聯(lián)動加工模型，提出了補償模型重構(gòu)的方法。該重構(gòu)模型與原模型相比較，算法復雜程度更低，降低了計算補償數(shù)據(jù)的時間，使它能夠很好地運用在實際的凸輪檢測補償加工中；結(jié)合升程轉(zhuǎn)換理論，使這種模型可以普及到不同從動件工況的凸輪加工中，最終得到通用的補償模型；通過延遲補償模式，實現(xiàn)了在線檢測補償功能，通過實驗驗證了該模型的有效性。