一題一課 以題研課

江蘇省宜興市張渚高級(jí)中學(xué)

陳云明

課堂是教學(xué)的主陣地，數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該有一定的廣度、深度，特別是高三復(fù)習(xí)課，更要精心選好試題，針對(duì)知識(shí)點(diǎn)，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，激活學(xué)生思維，提升探究能力.其中，“一題一課”教學(xué)是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中一種非常重要的表現(xiàn)形式，對(duì)“題”進(jìn)行深度挖掘，以“原題”為本，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和知識(shí)結(jié)構(gòu)，合理設(shè)置，巧妙引導(dǎo)，從多層面進(jìn)行“一題多解”嘗試，從多角度進(jìn)行“一題多變”創(chuàng)新，由淺入深，做一題，得一法，會(huì)一類(lèi)，通一片.

1 一題多解

一題多解是在教師精心挑選下，利用同一道題目引導(dǎo)學(xué)生用不同的思維方法來(lái)破解，利用發(fā)散、聯(lián)想、類(lèi)比等思維方法對(duì)題目進(jìn)行多角度、多方位的分析與思考，利用不同的知識(shí)、方法、工具等來(lái)分析與處理問(wèn)題.一題多解能有效促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，提升數(shù)學(xué)思維能力、創(chuàng)新能力與應(yīng)用能力等.

例1(2020年高考數(shù)學(xué)江蘇卷第11題)設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列.已知數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Sn=n2-n+2n-1(n∈N*)，則d+q的值是______.

分析：此題是以兩個(gè)特殊類(lèi)型的等差數(shù)列與等比數(shù)列加以融合與交匯，結(jié)合數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和的表達(dá)式來(lái)確定對(duì)應(yīng)數(shù)列的公差d與公比q的和式的值問(wèn)題.

思維視角一：代數(shù)運(yùn)算.

解法1：(代數(shù)運(yùn)算法)當(dāng)n=1時(shí)，S1=a1+b1=1-1+2-1=1；

當(dāng)n≥2時(shí)，an+bn=Sn-Sn-1=n2-n+2n-1-[(n-1)2-(n-1)+2n-1-1]=2n-1+2n-2.

則有a2+b2=22-1+2×2-2=4，a3+b3=23-1+2×3-2=8，a4+b4=24-1+2×4-2=14.

于是a1+d+b1q=4，a1+2d+b1q2=8，a1+3d+b1q3=14.

將a1+b1=1與以上三式依次對(duì)應(yīng)相減，可得

d+b1(q-1)=3，d+b1q(q-1)=4，d+b1q2(q-1)=6.

即b1(q-1)=3-d，b1q(q-1)=4-d，b1q2(q-1)=6-d.

故填答案：4.

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)n的分類(lèi)討論以及數(shù)列{an+bn}的前4項(xiàng)的確定，結(jié)合a1+b1=1與相應(yīng)的關(guān)系式進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，并結(jié)合條件關(guān)系式的轉(zhuǎn)化建立相應(yīng)的方程，從而得以確定d與q的值.其實(shí)，在確定an+bn=2n-1+2n-2時(shí)，分別利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的函數(shù)性，直接得以確定an=2n-2，bn=2n-1，進(jìn)而確定公差與公比的值，在解決小題時(shí)可以這樣處理，節(jié)省時(shí)間.

思維視角二：公式應(yīng)用.

解法2：(對(duì)比系數(shù)法)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，根據(jù)題意知q≠1.

則等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式為

等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和公式為

所以d+q=2+2=4.

故填答案：4.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式建立相應(yīng)的關(guān)系式，結(jié)合條件Sn=n2-n+2n-1，通過(guò)對(duì)比相應(yīng)數(shù)列求和中的系數(shù)關(guān)系建立對(duì)應(yīng)的方程組，進(jìn)而得以確定相關(guān)參數(shù)d與q的值.

2 一題多變

一題多變是在教師精心安排下，在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，以一道典型例題為模板，在解決問(wèn)題的基礎(chǔ)上再?gòu)亩嘟嵌?、多方位、多層面等思維視角提出不同的問(wèn)題，以進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握.一題多變能有效促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法和能力的融會(huì)貫通、舉一反三、觸類(lèi)旁通，培養(yǎng)創(chuàng)新思維與創(chuàng)新意識(shí)，提升創(chuàng)新能力與核心素養(yǎng).

故選：D.

變式方向1：改變題目中的相關(guān)數(shù)據(jù)，難度相當(dāng).

故選：B.

變式方向2：改變圓錐曲線的類(lèi)型，難度相當(dāng).

故選：B.

變式方向3：改變題目已知條件，難度相當(dāng).

通過(guò)“一題多變”，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)向機(jī)智及思維的應(yīng)變性，實(shí)現(xiàn)提高發(fā)散思維的變通性.

“一題一課”教學(xué)，借助一題多解，一題多變等方式，合理達(dá)到一題一練一測(cè)一思一小結(jié).以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)為導(dǎo)向，教師體現(xiàn)主導(dǎo)作用加以合理引導(dǎo).充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，知識(shí)盡可能讓學(xué)生回顧，思路盡可能讓學(xué)生探尋，方法盡可能讓學(xué)生尋找，變式盡可能讓學(xué)生嘗試，從而真正實(shí)現(xiàn)知識(shí)回顧問(wèn)題化，思路探尋發(fā)散化，方法尋找多樣化，變式嘗試創(chuàng)新化，全面提升數(shù)學(xué)能力，提高思維品質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).