基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“等比數(shù)列前n項(xiàng)和”的教學(xué)

西華師范大學(xué)

曾 盼 孫 海

1 引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》)要求學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的同時(shí)也能完成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).等比數(shù)列前n項(xiàng)和是高中數(shù)學(xué)教材中的重點(diǎn)，而如何使學(xué)生獲得求等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的思路是廣大教師探究的重點(diǎn)，本文就如何在數(shù)學(xué)課堂中落實(shí)核心素養(yǎng)進(jìn)行闡述.

2 引入環(huán)節(jié)“數(shù)學(xué)抽象”核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)抽象是指不涉及事物的所有與數(shù)學(xué)無關(guān)的本質(zhì)，從事物之間、事物內(nèi)部的關(guān)系中抽象出一般規(guī)則，從數(shù)量及圖形關(guān)系兩個(gè)角度抽象出數(shù)學(xué)概念與概念之間的聯(lián)系，并用數(shù)學(xué)語言來進(jìn)行展示的過程，是數(shù)學(xué)的基本思想[1].

教學(xué)片段1：

師：國王要獎(jiǎng)賞國際象棋的發(fā)明者，發(fā)明者提出，在棋盤的第一格中放1顆麥粒，在后面每格都放比前一格多一倍的麥粒，直到64格全部放滿，把格子里所有的麥粒都賞給他.國王覺得這個(gè)要求很容易做到，不僅答應(yīng)了這位發(fā)明者，還提出要給雙倍獎(jiǎng)賞.請問，國王可以實(shí)現(xiàn)他的要求嗎？

學(xué)生有的贊同，有的則不然.

師：你們的理由是什么？可以把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題嗎？發(fā)明者要的麥粒數(shù)的本質(zhì)是什么？

生1：我得出了1+2+22+……+263的式子.

生2：我將上式中的每一項(xiàng)提出來，構(gòu)成等比數(shù)列{an}，首項(xiàng)為1，公比為2.

生3：1，2，……，263就是數(shù)列{an}的1到64項(xiàng)，該數(shù)列的前64項(xiàng)的和為1+2+22+……+263.

至此，將抽象的“國王獎(jiǎng)賞”問題轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)問題.

設(shè)計(jì)意圖：在引入時(shí)，教師采用故事激發(fā)學(xué)生的興趣，引發(fā)學(xué)生思考.教師不斷提出問題“可以把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題嗎？”“發(fā)明者要的麥粒數(shù)的本質(zhì)是什么？”，引導(dǎo)學(xué)生將故事情境抽象成數(shù)學(xué)問題.

3 思路探究環(huán)節(jié)“邏輯推理”核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

《標(biāo)準(zhǔn)》對邏輯推理是這樣定義的，以一定的規(guī)則為基礎(chǔ)，以一些事實(shí)為出發(fā)點(diǎn)，得到其他規(guī)律的素養(yǎng)[2].教師先列出1+2+22+……+263，再引導(dǎo)學(xué)生思考“這種算法是否適用于所有的等比數(shù)列？”

教學(xué)片段2：

師：S64=1+2+22+……+263①是一個(gè)特殊的等比數(shù)列求和，如果是n個(gè)棋盤格呢？

生1：那應(yīng)該列Sn=1+2+22+……+2n-1.

師：很好.如果第一格棋盤不是放一粒，而是任意數(shù)量；后面每格不是比前格多一倍，而是多任意倍數(shù)呢？

生2：假設(shè)第一格放a1，后面每格放的麥粒數(shù)是前一格的q倍，則Sn=a1+a1q+a1q2+……+a1qn-1.

同樣地，在求得等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，也展示了邏輯推理素養(yǎng).

教學(xué)片段3：

師：如何求棋盤上麥粒的總數(shù)呢？還有什么信息沒用到嗎？

生1：國王說要加倍獎(jiǎng)賞，所以是2S64=2+22+23+……+263+264②.

生2：可以用②式-①式.

師：非常好，你是怎么想到的？能分享一下嗎？

生2：我發(fā)現(xiàn)①式和②式有很多相同的項(xiàng)，相減就可以抵消.

學(xué)生板書：

S64=1+2+22+……262+263

①

2S64=2+22+23+……+263+264

②

②-①，得2S64-S64=264-1，所以S64=264-1.

師：數(shù)列求和的過程實(shí)際上是一個(gè)式子化簡的過程.能想到在等式兩邊同時(shí)乘2，又發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)式子的特殊性，是非常不錯(cuò)的.264-1是一個(gè)很大的數(shù)字，那現(xiàn)在大家覺得國王可以實(shí)現(xiàn)嗎？

生：不可以.

設(shè)計(jì)意圖：通過探究特殊情況的等比數(shù)列求和，學(xué)生發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn=a1(1+q+q2+……+qn-1)，其本質(zhì)就是1+q+q2+……+qn-1的和，與1+2+22+……+263求和的思想方法是相同的.因此，可以采用類似的方法，推出等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式.這個(gè)過程符合學(xué)生由簡單到復(fù)雜的思維特點(diǎn)，體現(xiàn)了從特殊轉(zhuǎn)化為一般的邏輯推理素養(yǎng).在對等比數(shù)列求和公式進(jìn)行推算時(shí)，很難想到在S64=1+2+22+……+263等式兩邊同時(shí)乘2，教師必須想辦法引導(dǎo)學(xué)生自主產(chǎn)生這一種思路，所以在引入課題時(shí)，提出“國王要加倍獎(jiǎng)賞”，這就提示學(xué)生“乘q”.學(xué)生通過觀察思考出②式-①式的方法.整個(gè)過程教師一直在推動(dòng)學(xué)生進(jìn)行邏輯推理.

數(shù)學(xué)不僅僅是運(yùn)算，同時(shí)也包含邏輯和推理.運(yùn)算固然重要，但也要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)思維得到提升.邏輯推理能力是人類智力五大因素之一，而且愛因斯坦提出演繹推理和歸納推理是歐幾里得幾何學(xué)的兩大成就[2].故“邏輯推理”素養(yǎng)的培養(yǎng)是影響學(xué)生發(fā)展的重要因素.

4 公式推導(dǎo)和應(yīng)用環(huán)節(jié)“數(shù)學(xué)運(yùn)算”核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

《標(biāo)準(zhǔn)》提出：“數(shù)學(xué)運(yùn)算是以某些運(yùn)算法則為依據(jù)，在確定運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).”分為如下環(huán)節(jié)：首先確定運(yùn)算對象是什么，要使用的運(yùn)算法則是否掌握；其次思考怎樣的運(yùn)算思路是恰當(dāng)?shù)?，怎樣的運(yùn)算方法是有效的，運(yùn)算過程該如何設(shè)計(jì)；最后得到運(yùn)算結(jié)果等.“數(shù)據(jù)分析是根據(jù)研究對象得到數(shù)據(jù)，通過數(shù)學(xué)方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析，達(dá)成基于研究對象知識(shí)的素養(yǎng).主要包括：數(shù)據(jù)收集，數(shù)據(jù)整理，信息提取，模型建構(gòu)，進(jìn)行推理，得到結(jié)論.”[3]

教學(xué)片段4：

師：我們算出了特殊等比數(shù)列的和，怎么推廣到一般情況呢？Sn=a1+a1q+a1q2+……+a1qn-2+a1qn-1如何化簡呢？

生1：等式兩邊同時(shí)乘2.

生2：不對，同時(shí)乘2得到的新式子和原式相減不能抵消.

生3：應(yīng)該乘q.

師：很好.我們剛剛乘2是因?yàn)槊扛袷乔耙桓竦?倍，現(xiàn)在是前一格的q倍，所以應(yīng)該乘q.

教師板書：

Sn=a1+a1q+a1q2+……+a1qn-2+a1qn-1

③

qSn=a1q+a1q2+a1q3+……+a1qn-1+a1qn

④

③-④，得(1-q)Sn=a1(1-qn).

師：兩邊同時(shí)除以(1-q)是否可以實(shí)現(xiàn)？

生：要看1-q是否為0.

師：所以分為q=1與q≠1兩種情況，最后得出一般性公式

接下來我們來運(yùn)用公式算一算，請看例題.

分析：此題數(shù)據(jù)看起來較難運(yùn)算，且運(yùn)算結(jié)果不是整數(shù)，這就需要學(xué)生在扎實(shí)的數(shù)據(jù)運(yùn)算基礎(chǔ)上建立信心.

設(shè)計(jì)意圖：在推出等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式后，給出例題，可以讓學(xué)生鞏固知識(shí)并且檢驗(yàn)自己的學(xué)習(xí)成果.

數(shù)學(xué)運(yùn)算是最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)能力，其他數(shù)學(xué)能力的提升必須以掌握數(shù)學(xué)運(yùn)算為基礎(chǔ).高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運(yùn)算是最基本的素養(yǎng).

5 解決實(shí)際問題環(huán)節(jié)“數(shù)學(xué)建模”核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)建模是以實(shí)際問題為基礎(chǔ)，通過某些方式建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，分析求解該數(shù)學(xué)模型，檢驗(yàn)后若通過則投入使用，若不通過則重復(fù)上述環(huán)節(jié)的一個(gè)過程.

教學(xué)片段5：

師：下面來探究一道生活里的問題，請看例題.

例2某工廠本月生產(chǎn)了5 000 臺(tái)計(jì)算機(jī)，如果每月的產(chǎn)量比上一個(gè)月的產(chǎn)量增加10 %，則從本月起，大約需要幾個(gè)月可以讓總產(chǎn)量達(dá)到30 000 臺(tái)？(結(jié)果保留到個(gè)位，其中l(wèi)og1.11.6≈5.)

解析：由題意得，從本月開始每月的產(chǎn)量可以組成等比數(shù)列{an}，其中首項(xiàng)a1=5 000,公比q=1+10%=1.1,Sn=30 000.

故大約5個(gè)月可以讓總產(chǎn)量達(dá)到30 000臺(tái).

設(shè)計(jì)意圖：把計(jì)算機(jī)的銷售問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和問題，在題干中提取有效運(yùn)算數(shù)據(jù)把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，分析運(yùn)算數(shù)據(jù)體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)抽象”和“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng).數(shù)學(xué)來源于生活，最終也要走向生活.高中時(shí)期用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題時(shí)，利用初等數(shù)學(xué)模型是解決問題的一種快捷方式，建立模型則是解決實(shí)際問題的關(guān)鍵一步[4].以生活中的實(shí)際背景進(jìn)行引入的方式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也要求教師能引導(dǎo)學(xué)生從復(fù)雜的實(shí)際問題中舍棄干擾的信息，找到問題的核心，用數(shù)學(xué)語言展示數(shù)學(xué)問題，通過數(shù)學(xué)知識(shí)和方法建構(gòu)數(shù)學(xué)模型來解決問題，最后用數(shù)學(xué)模型實(shí)現(xiàn)實(shí)際問題的解釋.在教師的不斷引導(dǎo)下，學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)慢慢提升.

6 結(jié)論

綜上所述，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是一項(xiàng)長期且有意義的過程.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之間相輔相成，在解決問題時(shí)通常一起滲透.同時(shí)，教師以自身為主導(dǎo)，以學(xué)生為主體，探究合適的教學(xué)方式，充分發(fā)揮課堂作用，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).