關(guān)于IFS的一個經(jīng)典遍歷定理的注記

楊榮領(lǐng)， 馬東魁

(1. 廣州城市理工學(xué)院計算機工程學(xué)院， 廣州 510800； 2. 華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院， 廣州 510640)

在拓撲動力系統(tǒng)中，拓撲熵[1]是一個拓撲共軛不變量，可用來刻畫系統(tǒng)的復(fù)雜程度。非緊集的拓撲熵[2-3]與測度熵、Lyapunov 指數(shù)等密切相關(guān)[4-11]，可用來研究系統(tǒng)中的重分形譜[12]、飽和集[6]和非正則集等[5,7]。

學(xué)者們從多個角度對拓撲熵進行了深入研究，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)中滿足一定條件的零測集具有與整個系統(tǒng)相同的拓撲熵或Hausdorff 維數(shù)。如：BARREIRA和SCHMELING[4]證明了針對拓撲混合的有限型子轉(zhuǎn)移，如果H?lder 連續(xù)函數(shù)g對0是非上同調(diào)的，那么g的Birkhoff 平均不規(guī)則集上的拓撲熵等于這個有限型子轉(zhuǎn)移的拓撲熵；PESIN[5]證明了針對符號系統(tǒng)，非generic 點集上的拓撲熵等于整個系統(tǒng)的拓撲熵；CHEN等[6]證明了滿足specification性質(zhì)的非正則集上的拓撲熵等于整個系統(tǒng)的拓撲熵；TIAN[7]證明了系統(tǒng)中若干周期類點集的差集上的拓撲熵等于整個系統(tǒng)的拓撲熵；ZHU和MA[8]將文獻[6-7]的結(jié)論推廣到了自由半群作用的系統(tǒng)中。

在迭代函數(shù)系統(tǒng)(IFS)中，ELTON[13]得到了一個遍歷定理(Elton定理)：對任意連續(xù)函數(shù)，符號空間中幾乎所有的點，IFS 的時間平均等于空間平均。受文獻[4-8]的啟發(fā)，本文探討符號空間中Elton定理不成立的點構(gòu)成的集合的性質(zhì)及其拓撲熵、Hausdorff 維數(shù)與整個系統(tǒng)的拓撲熵、Hausdorff 維數(shù)的關(guān)系。

1 主要結(jié)果

設(shè)(X,d)是緊致度量空間。映射T:X→X稱為一個壓縮映射，如果d(T(x),T(y))≤θd(x,y),?x,yX，其中θ(0<θ<1)是一個常數(shù)。如果{T0,T1,…,Tm-1}是X上的壓縮映射族，那么稱(X,T0,T1,…,Tm-1)為迭代函數(shù)系統(tǒng)(IFS)。由文獻[14]可知，對于迭代函數(shù)系統(tǒng)(X,T0,T1,…,Tm-1)，如果存在唯一的非空子集E?X，使得則E被稱為(X,T0,T1,…,Tm-1)的吸引子。

且suppν是(X,T0,T1,…,Tm-1)的吸引子E,這個概率測度ν稱為是(X,T0,T1,…,Tm-1)的關(guān)于概率向量(p0,p1,…,pm-1)的不變測度。

1987年，ELTON[13]得到了迭代函數(shù)系統(tǒng)(X,T0,T1,…,Tm-1)中的一個遍歷定理：

定理A[13](Elton定理)對于X上的任意連續(xù)函數(shù)f和任意xX,有

相對于乘積測度P而言，對幾乎所有的(j0,j1,…)Σ成立。

對任意fC(X)和任意xX，記f的Elton定理不成立的點構(gòu)成的集合為

B1(f,x)={(j0,j1,…)

Tj0(x))不存在}。

根據(jù)定理A，對Σ上的每一個乘積測度P，均有P(B1(f,x))=0，B1(f,x)是σ-不變的，其中σ是Σ上的推移映射。

本文研究集合B1(f,x)的拓撲熵、Hausdorff維數(shù)與整個系統(tǒng)的拓撲熵、Hausdorff 維數(shù)的關(guān)系。

設(shè)A為m×m階矩陣，A的每個元素aij取值為0或1。設(shè)ΣA?Σ是緊致的σ-不變子集，使得任意(i0,i1,…)ΣA，滿足ainin+1=1，n≥0，映射σ|ΣA稱為由矩陣A決定的有限型子轉(zhuǎn)移。稱σ|ΣA拓撲混合當且僅當存在一個正整數(shù)k，使得Ak的所有元素的值都是正的。σ|ΣA的拓撲熵為h(σ|ΣA)=logρ(A)[15]，其中ρ(A)表示A的譜半徑。

如果存在連續(xù)函數(shù)ψ:ΣA→，存在c，使得g1-g2=ψ-ψσ+c，則稱2個函數(shù)g1,g2:ΣA→是上同調(diào)的。對于每一個連續(xù)函數(shù)g:ΣA→，定義g的Birkhoff平均的不規(guī)則集為

B(g)={(j0,j1,…)不

存在}。

注意，集合B(g)是σ-不變的。根據(jù)Birkhoff 遍歷定理[15]，對于ΣA上每一個σ-不變測度μ，有μ(B(g))=0。1997年，BARREIRA和SCHMELING[4]證明了滿足一定條件的Birkhoff 平均不規(guī)則集上的拓撲熵等于這個有限型子轉(zhuǎn)移的拓撲熵。

定理B[4]對于拓撲混合的有限型子轉(zhuǎn)移，如果 H?lder 連續(xù)函數(shù)g對0是非上同調(diào)的，那么

h(σ|B(g))=h(σ|ΣA)，

其中，h(σ|B(g))、h(σ|ΣA)分別表示B(g)、ΣA上的σ拓撲熵，B(g)表示g的Birkhoff平均不規(guī)則集，ΣA表示由矩陣A確定的符號空間Σ的σ-不變子集。

下面給出本文定理證明需要用到的一個結(jié)論：

定理C[12]對符號系統(tǒng)(Σ,σ)，對任意Z?Σ，有

h(σ|Z)=HD(Z)·logm，

其中，Σ由m個符號生成，h(σ|Z)表示Z上的拓撲熵，HD(Z)表示Z上的Hausdorff維數(shù)。

本文主要結(jié)論如下：

定理1設(shè)(X,T0,T1,…,Tm-1)是一個迭代函數(shù)系統(tǒng)，對任意gC1(X)和任意xX，這里C1(X)={gM(X),ν1≠ν2}，M(X)表示(X,T0,T1,…,Tm-1)中關(guān)于所有概率向量的不變測度的集合，有

h(σ|B1(g,x))=h(σ)=logm，

即B1(g,x)是滿熵的，且具有滿Hausdorff維數(shù)。

證明仿照定理B的證明方法，設(shè)(p0,p1,…,pm-1)和(q0,q1,…,qm-1)是任何概率向量，且

(p0,p1,…,pm-1)≠(q0,q1,…,qm-1)。

μ(C)=P1(C),CD1=C1，

對于每個可測集A?Σ，令μ(A)=μ(A∩Λ)，則μ擴展到了Σ上。

如果ε<2，那么

設(shè)(j0,j1,…)CDs，由于(j|C|-ms,j|C|-ms+1,…)當s→∞時，有因此，如果s足夠大，那么

由于δ(0,ε)，可知Λ?B1(g,x)?，F(xiàn)在設(shè)(j0,j1,…)Λ，如果q足夠大，那么

對某η(0,2ε)成立。這意味著

h(σ|B1(g,x))≥h(σ|Λ)≥hμ|Λ(σ)≥h(σ)-2ε，

由于ε是任意的，則h(σ|B1(g,x))=h(σ)。

此外，由定理C可得

證畢。

2 例子

例1設(shè)X=[0,1]，T0:x的吸引子是Cantor集E：

(i0,i1,…)

取gC(X),使得g(x)=a,x[0,1/3],g(x)=b,x[2/3,1],這里a≠b。對于任意xX，令E(g,x)={xi0 i1…|(i0,i1,…)B1(g,x)}?E。那么以下結(jié)論成立：

(1)對于任意的xX，有

h(σ|B1(g,x))=h(σ)=log 2,HD(B1(g,x))=HD(Σ),

(2)對于任意xX，有

HD(E(g,x))=HD(E)=log 2/log 3。

定理D[11]對緊致系統(tǒng)(X,f)，若存在α>1，對任意充分小的正數(shù)ε，當d(x,y)<ε時，有d(f(x),f(y))=αd(x,y)，則對任意Z?X，有

h(f|Z)=HD(Z)·logα。

例1的證明(1)設(shè)(p0,p1)和(q0,q1)為任意概率向量，且(p0,p1)≠(q0,q1)。那么p0≠q0,p1≠q1。設(shè)ν1、ν2分別表示(X,T0,T1)關(guān)于(p0,p1)、(q0,q1)的不變測度,則ν1≠ν2，且

因此

(p0a+p1b)-(q0a+q1b)=a(p0-q0)+b(p1-q1)=

(p0-q0)(a-b)≠0，

h(σ|B1(g,x))=h(σ)=log2,HD(B1(g,x))=HD(Σ)。

(2)對于迭代函數(shù)系統(tǒng)(X,T0,T1)，可以定義一個連續(xù)的自映射

ψ:E→E，