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    試題命制視角下初中生“幾何直觀”能力培養(yǎng)探究

    2022-09-20 11:09:04林碧鳳
    關(guān)鍵詞:幾何直觀命制本題

    林碧鳳

    (南安市洪新中學(xué),福建 南安 362300)

    荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾曾提出,幾何直觀可以告訴我們哪些屬于可能重要及有意義或者是可接近的,并能夠讓我們?cè)谡n題、概念及方法的荒原上不必陷于歧途。而希爾伯特在其所著《直觀幾何》里面提到:依靠直觀想象,我們可以闡述幾何中的各類事實(shí)與問題,且在許多情況下可用幾何輪廓描述相關(guān)研究,而避免對(duì)嚴(yán)格定義實(shí)際計(jì)算的累贅闡述?!读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022 年版》也提到:幾何直觀重點(diǎn)借助圖形描述和分析問題,它能夠讓原本復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明而形象,幫助學(xué)習(xí)者探索解決問題的理想思路,并對(duì)結(jié)果加以預(yù)測(cè)。

    一、幾何直觀的定義及價(jià)值

    (一)幾何直觀的定義

    幾何直觀指的是利用圖形,以及圖形的關(guān)系、變化、運(yùn)動(dòng)軌跡等,比較直接地理解問題本質(zhì),并得到解決問題的解決思路,產(chǎn)生推斷問題結(jié)論的直觀性較強(qiáng)的感覺及思維方式,通常其為依托與利用圖形所進(jìn)行數(shù)學(xué)各項(xiàng)內(nèi)容的思考和想象。

    (二)幾何直觀的價(jià)值

    數(shù)學(xué)內(nèi)容普遍具有雙重性,既具有數(shù)的特征,又具有形的特征。從雙重性視角去客觀而全面地認(rèn)知數(shù)學(xué)能增進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)意義的理解。在這方面,幾何直觀能力有著獨(dú)特優(yōu)勢(shì),它能夠幫助揭示研究對(duì)象的性質(zhì)與關(guān)系,讓科學(xué)正確的世界觀與方法論被學(xué)生所認(rèn)可與接受。幾何直觀的價(jià)值可總結(jié)為下述四點(diǎn):

    1.理解價(jià)值。理解價(jià)值,即借助幾何直觀實(shí)現(xiàn)對(duì)抽象數(shù)學(xué)概念、定義、定理、公式等的直觀化與可視化轉(zhuǎn)化,使他們能明確數(shù)學(xué)概念、定義等的內(nèi)涵、外延,并了解相關(guān)概念的異同點(diǎn),且對(duì)定理、公式由來、推斷過程以及適用范圍等加以理解。

    2.發(fā)現(xiàn)價(jià)值。可借助幾何直觀發(fā)展觀察力與分析力,有助于學(xué)習(xí)者直接發(fā)現(xiàn)新結(jié)論、新思路、新方法等。

    3.解決價(jià)值??赏ㄟ^幾何直觀整合數(shù)學(xué)問題有效信息、將其中的數(shù)學(xué)模型抽象出來,繼而找到處理問題的思路。

    4.創(chuàng)新價(jià)值。創(chuàng)新價(jià)值,即在幾何直觀的幫助下,讓學(xué)生擁有創(chuàng)新機(jī)會(huì),在提升抽象力的前提下發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造性思維[1]。

    二、試題命制角度的幾何直觀能力培養(yǎng)

    (一)幾何問題原型

    案例1.如圖1 所示,現(xiàn)在已經(jīng)知道AB=12,AB⊥BC 于點(diǎn)B 位置,AB⊥AD 于點(diǎn)A 位置,且AD=5,BC=10,CD 中點(diǎn)是E,那么AE 長(zhǎng)度是多少?

    圖1

    【解法分析】該題的命制從學(xué)生幾何直觀能力形成與應(yīng)用方面提出的。首先,在學(xué)生意識(shí)到問題中給出“AD=5”“BC=10”“CD 中點(diǎn)是E”這些條件后,很容易想到中位線定理的知識(shí);其次,題目中的“AB 和BC 在B 點(diǎn)垂直”“AB 和AD 在A 點(diǎn)垂直”則屬于極具典型性的平行線條件,也容易聯(lián)想到平形四邊形相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。該題考查學(xué)生的幾何直觀能力,若是可以快速找出題圖與平行四邊形的聯(lián)系,如圖2 所示,該題的解答會(huì)非常簡(jiǎn)單。

    圖2

    【理論分析】初中生在處理幾何試題時(shí),若遇到稍顯復(fù)雜的問題,一般情況下會(huì)利用作輔助線的方法,而簡(jiǎn)單輔助線并不足以支撐幾何直觀能力形成,此時(shí)教師可嘗試使學(xué)生轉(zhuǎn)換思維,借助基本圖形疊加法,讓原本復(fù)雜的圖形趨于簡(jiǎn)單化。幾何直觀需要以特定的幾何背景為條件才能產(chǎn)生效果,即幾何直觀需要以幾何圖形為載體。以本題為例,題目中給出的幾個(gè)條件看似簡(jiǎn)單,實(shí)際上恰可以充當(dāng)展現(xiàn)幾何直觀能力的背景,也就是能夠暗示學(xué)生發(fā)掘“背景”中的內(nèi)在含義、引申含義等。再者,幾何直觀對(duì)象普遍具有可視性和層次性,本題的點(diǎn)和線特殊位置關(guān)系巧妙之處在于:學(xué)生可利用已知垂直條件聯(lián)想到平行,再利用連接右上角部分“缺失”的做法,把圖形“補(bǔ)充完整”,整個(gè)過程是可視的、有層次的,最終能夠轉(zhuǎn)變?yōu)橛行У摹靶聦?duì)象”。最后,幾何直觀致力于揭示探索對(duì)象的性質(zhì)與關(guān)系,在看似簡(jiǎn)單的圖形中進(jìn)行基于幾何直觀的高級(jí)、抽象空間形式轉(zhuǎn)化,本題符合這一要求,可讓圖形在重新加工后以新圖形面貌出現(xiàn),從而讓題目變得直觀易解。

    總之,從幾何直觀能力定義的角度看,該問題利用圖形直觀的位置關(guān)系構(gòu)造平行四邊形,從而得到問題的解決思路。從試題命制的角度看,該圖形的直觀性較強(qiáng),通過對(duì)中點(diǎn)與中位線定理之間的聯(lián)系達(dá)到對(duì)本題涉及的多個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行合理的思考與想象,從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

    (二)幾何問題拓展

    除了基本問題外,中學(xué)數(shù)學(xué)教師還可以在考核學(xué)生“幾何直觀”能力的試題命制時(shí),注意拓展問題的價(jià)值,以便給學(xué)生提供足夠豐富的研究材料?,F(xiàn)以兩個(gè)問題為例,對(duì)幾何直觀能力價(jià)值與應(yīng)用進(jìn)行分析。

    案例2.如圖3 所示,在矩形ABCD 中,以BC 為直徑,繪制半圓O,OE⊥OA 于點(diǎn)E,對(duì)角線AC 同半圓O 另一交點(diǎn)是P,在連接AE 后,請(qǐng)證明AE 為半圓O 切線,另外,若PA=2,PC=4,那么AE 長(zhǎng)度是多少。

    圖3

    【案例分析】對(duì)于第一個(gè)問題,可基于構(gòu)造不同幾何模型的策略,給出不同解法。例如,學(xué)生可在教師的提示下,先做輔助線OF⊥AE 于F,從“一線三直角”模型,得到△ABO∽△OCE,再引出,繼而得出△ABO∽△AOE,借助角平分線性質(zhì),便可證明OF=OB,接下來的過程可由學(xué)生自主推導(dǎo),教師進(jìn)行從旁的適時(shí)提醒。

    對(duì)于第二個(gè)問題,相對(duì)而言難度較大,因?yàn)橐阎c所求間關(guān)系不是特別明顯,入手不易,此時(shí)建議學(xué)生從已知出發(fā),考慮到BC 為直徑,P 為圓周上點(diǎn),所以可以聯(lián)結(jié)BP,產(chǎn)生△ABP∽△ACB 的結(jié)論,順勢(shì)求出AB,從而得到BC、BO,再借助△ABO∽△AOE,順利解決問題。讓學(xué)生在此過程中感受幾何直觀能力的應(yīng)用技巧,從而進(jìn)一步提高學(xué)生的幾何直觀能力。

    【策略歸納】本題屬于圓的綜合題,如果站在知識(shí)角度分析,可看到它比較直接地考查了切線判定與性質(zhì)、矩形性質(zhì),以及相似三角形和全等三角形等方面知識(shí),若基于思想方法進(jìn)行探討,可注意其涉及轉(zhuǎn)化法和截長(zhǎng)法、補(bǔ)短法等,而如果從幾何變換、幾何模型角度分析,又有對(duì)翻折變換及等腰三角形等知識(shí)點(diǎn)。一般而言,有效提高和拓展幾何直觀能力,不僅要從問題中的知識(shí)角度進(jìn)行綜合分析,更要掌握數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用。

    (三)幾何問題進(jìn)階

    案例3.圖4 中,△ABC 為等腰直角三角形,其中∠BAC=90°,如果把△ABC 繞點(diǎn)C 進(jìn)行順時(shí)針旋轉(zhuǎn),可產(chǎn)生△A'B'C,標(biāo)記旋轉(zhuǎn)角α,若90°<α<180°,作A'D⊥AC,A'和B'C 相交點(diǎn)E。在∠CA'D=15°時(shí),試作∠A'EC平分線EF,使之交BC 于點(diǎn)F。請(qǐng)寫出旋轉(zhuǎn)角α 是多少度,并嘗試求證EA'+EC=EF。

    圖4

    【案例分析】在原有條件下,設(shè)P 為直線A'D 上一動(dòng)點(diǎn),再將PA 與PF 連接起來,在AB=2 的情況下,得到線段PA+PF 最小值。原問題與拓展問題相結(jié)合,是一道既有較強(qiáng)綜合性,又有較大難度與較高靈活性的幾何試題。

    幾何問題進(jìn)階絕不是簡(jiǎn)單直觀就可以捕捉到解題方法。只有從基本幾何模型出發(fā),基于直觀能力添加模型常用輔助線,并做更進(jìn)一步的具體分析,才能有效解決問題。

    三、啟示

    經(jīng)對(duì)兩個(gè)綜合性較強(qiáng)問題的分析可知,一些試題命制非常注重考查學(xué)生對(duì)幾何基本知識(shí)與基本技能的掌握。且十分關(guān)注學(xué)生在幾何證明基本方法及對(duì)應(yīng)變換方面的能力,包括圖形平移、旋轉(zhuǎn),以及對(duì)軸對(duì)稱的利用等,其可給教師培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力進(jìn)一步啟示[2]。

    其一,幾何直觀能力對(duì)于描述、分析問題很重要,對(duì)于解決問題也很重要。切實(shí)加強(qiáng)幾何直觀教學(xué),可有效增強(qiáng)學(xué)生興趣、提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力。優(yōu)化幾何基本圖形及基本結(jié)論教學(xué),對(duì)于幾何教學(xué),以及代數(shù)、統(tǒng)計(jì)和概率教學(xué)等均可成為基礎(chǔ)與重點(diǎn),其為培養(yǎng)以幾何為載體解題能力的前提。

    其二,幾何變換是圖形關(guān)系研究的重要手段,是初中階段的核心數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容之一。幾何變換包括全等變換與位似變換等幾何變換知識(shí),其中全等變換中包括平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等變換形式。

    其三,在平面幾何中,像各類試題中的平行線內(nèi)的M 角模型、三角形中的中點(diǎn)模型、角平分線中的對(duì)稱全等模型等,均可以幫助學(xué)習(xí)者處理綜合問題,快速發(fā)現(xiàn)突破口。因此加強(qiáng)數(shù)學(xué)模型意識(shí),可以讓其幾何直觀、邏輯思維等各項(xiàng)能力得到潛移默化進(jìn)步[3]。

    其四,一題多解、一題多變以及多題一解等解題方法,可培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí).在此過程中,多種數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法將得到應(yīng)用,如數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、和差法、割補(bǔ)法等。

    四、總結(jié)

    幾何直觀能力一方面涉及數(shù)學(xué)知識(shí)探究過程,另一方面因其抽象性、動(dòng)態(tài)性、模型性,有助于學(xué)生將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化,促進(jìn)其學(xué)習(xí)效率的提升。從試題命制角度出發(fā)培養(yǎng)幾何直觀能力,是一種正本清源的做法,希望能夠給相關(guān)教育工作提供一些參考。

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