車(chē)險(xiǎn)定價(jià)中風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)類(lèi)別的構(gòu)造
——基于廣義線性模型與數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的分箱方法

張連增 江璐嘉

一、引言

車(chē)險(xiǎn)定價(jià)一直是非壽險(xiǎn)精算定價(jià)中的一個(gè)研究熱點(diǎn)，已有文獻(xiàn)較多(Denuit 等，2007[1]；Klein 等，2014[2]；孟生旺等，2017[3])。保險(xiǎn)公司經(jīng)營(yíng)的核心目標(biāo)是盈利，科學(xué)的風(fēng)險(xiǎn)管理技術(shù)可以為保險(xiǎn)公司的持續(xù)運(yùn)營(yíng)提供保障。精算定價(jià)人員構(gòu)造風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)類(lèi)別(insurance tariff classes)，將風(fēng)險(xiǎn)狀況相似的保戶歸入同一類(lèi)別，收取相同的保費(fèi)，使保費(fèi)與類(lèi)別的風(fēng)險(xiǎn)相匹配。風(fēng)險(xiǎn)狀況由不同的變量(variables)組合來(lái)定義，根據(jù)變量的數(shù)值特性，可以分為分類(lèi)型變量(如性別、地區(qū))和連續(xù)型變量(如駕駛員年齡、車(chē)齡)。

Denuit和Lang(2004)[4]指出，變量的不同類(lèi)型會(huì)影響風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)類(lèi)別的構(gòu)造：分類(lèi)型變量構(gòu)建風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)類(lèi)別直接明了，每一定價(jià)類(lèi)別都代表了分類(lèi)變量的特定組合；連續(xù)型變量由于其數(shù)值連續(xù)性，在一定程度上可以被理解為具有很多不同水平的分類(lèi)型變量。Ohlsson和Johansson(2010)[5]指出，如果考慮將連續(xù)變量中的每一個(gè)數(shù)值都定義為一個(gè)水平(level)，會(huì)導(dǎo)致同一個(gè)變量有很多水平，且每一個(gè)水平下的樣本數(shù)量都不多，但這樣并不利于定價(jià)模型的擬合。一種更好的方法是連續(xù)變量離散化，把連續(xù)型變量的某個(gè)區(qū)間合并為一個(gè)水平，從而轉(zhuǎn)化為包括少數(shù)水平的分類(lèi)變量。

將連續(xù)變量離散化的方法被稱為分箱法(binning)，該術(shù)語(yǔ)是由Kuhn和Johnson (2013)[6]提出的。本文將介紹一種由數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)(data driven)的分箱方法，將連續(xù)型變量轉(zhuǎn)化為包括幾個(gè)水平的分類(lèi)變量，由此構(gòu)造風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)類(lèi)別。本文使用回歸樹(shù)(regression tree)作為分箱方法，因?yàn)榛貧w樹(shù)模型會(huì)產(chǎn)生直觀的連續(xù)分割，符合我們對(duì)連續(xù)變量連續(xù)值分箱的要求。在回歸樹(shù)模型中，我們選擇采用進(jìn)化樹(shù)模型(evolutionary tree)，因?yàn)檫M(jìn)化算法可以達(dá)到全局最優(yōu)的分箱效果。Grubinger 等(2014)[7]設(shè)計(jì)的R軟件包evtree可以實(shí)現(xiàn)相關(guān)功能。

在車(chē)險(xiǎn)定價(jià)中，通過(guò)大量歷史索賠數(shù)據(jù)，可以估計(jì)出不同風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)類(lèi)別的保險(xiǎn)成本，進(jìn)而計(jì)算相應(yīng)的純保費(fèi)(pure premium)。Frees 等(2014)[8]提出純保費(fèi)的計(jì)算從兩個(gè)方面分別進(jìn)行：索賠頻數(shù)(claim frequency)和索賠強(qiáng)度(claim severity)。通常應(yīng)用廣義線性模型(GLMs)進(jìn)行車(chē)險(xiǎn)索賠頻數(shù)和索賠強(qiáng)度的擬合與預(yù)測(cè)。在索賠頻數(shù)和索賠強(qiáng)度相互獨(dú)立的假設(shè)下，保單的純保費(fèi)可以用索賠頻數(shù)的估計(jì)值乘以索賠強(qiáng)度的估計(jì)值得到。在純保費(fèi)的基礎(chǔ)上，再考慮附加費(fèi)用，就構(gòu)成了保險(xiǎn)產(chǎn)品的價(jià)格。

在GLMs中，當(dāng)存在連續(xù)型變量時(shí)，GLMs不能捕捉連續(xù)型變量的非線性效應(yīng)。此時(shí)，通常考慮應(yīng)用更加靈活的廣義可加模型(GAMs)(James等，2013[9])。廣義可加模型本質(zhì)上是一種特殊的廣義線性模型，對(duì)連續(xù)型變量，對(duì)應(yīng)的樣條函數(shù)可表示為一些基本樣條函數(shù)的線性組合。在GAMs中，可通過(guò)對(duì)連續(xù)型變量引入樣條函數(shù)，使模型的擬合效果更加平滑，反映非線性效應(yīng)。

在模型擬合中，一直存在著“擬合效果”(fitting effect)與“可解釋性”(interpretability)之間的權(quán)衡。顯而易見(jiàn)，廣義線性模型的可解釋性要優(yōu)于廣義可加模型，而廣義可加模型的擬合效果更優(yōu)。為在兩者中找到一個(gè)平衡，在本文中，我們先運(yùn)用GAMs構(gòu)造一組索賠頻數(shù)和索賠強(qiáng)度預(yù)測(cè)模型；然后運(yùn)用進(jìn)化樹(shù)分箱方法，將連續(xù)型變量離散化為分類(lèi)變量，最終運(yùn)用GLMs構(gòu)造另一組索賠頻數(shù)和索賠強(qiáng)度預(yù)測(cè)模型；將GAMs和GLMs的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行比較，找到最優(yōu)的定價(jià)預(yù)測(cè)模型。

本文后面的結(jié)構(gòu)如下：第二節(jié)是數(shù)據(jù)描述和數(shù)據(jù)預(yù)處理；第三節(jié)是GLMs和GAMs的基本介紹；第四節(jié)是GAMs在車(chē)險(xiǎn)定價(jià)中的應(yīng)用；第五節(jié)是數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)分箱構(gòu)建風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)類(lèi)別；第六節(jié)構(gòu)建GLMs，并與GAMs進(jìn)行模型整體性能的比較；第七節(jié)是總結(jié)。

二、數(shù)據(jù)描述和預(yù)處理

(一)數(shù)據(jù)描述和預(yù)處理

本文運(yùn)用的數(shù)據(jù)集是法國(guó)汽車(chē)第三者責(zé)任險(xiǎn)(簡(jiǎn)稱“三責(zé)險(xiǎn)”)理賠數(shù)據(jù)freMTPL2freq和freMTPL2sev(1)freMTPL2freq里面包含了很多特征(變量)，但不包含索賠金額ClaimAmount變量；freMTPL2sev里面只有保單信息IDpol和索賠金額ClaimAmount這兩個(gè)變量。共有的變量IDpol將freMTPL2freq和freMTPL2sev兩個(gè)數(shù)據(jù)集的保單信息連接起來(lái)。，這兩個(gè)數(shù)據(jù)集都可以在R軟件包CASdatasets里找到。freMTPL2freq里包含了678 013條法國(guó)三責(zé)險(xiǎn)的索賠次數(shù)數(shù)據(jù)，freMTPL2sev里包含了26 639條法國(guó)汽車(chē)三責(zé)險(xiǎn)的索賠強(qiáng)度數(shù)據(jù)。

為了擬合索賠強(qiáng)度模型，我們選取FF數(shù)據(jù)集中索賠強(qiáng)度大于0且小于20 000(2)FF數(shù)據(jù)集中包含一些損失特別大的極端數(shù)據(jù)，會(huì)對(duì)模型擬合產(chǎn)生影響。區(qū)間(0,20 000)包含了92.80%的索賠強(qiáng)度數(shù)據(jù)量，為此我們挑選這部分?jǐn)?shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行模型擬合。的保單信息，組合成了一個(gè)新的數(shù)據(jù)集FF.sev，新的FF.sev數(shù)據(jù)(24 743行、16列)共有24 743個(gè)保單數(shù)據(jù)信息。

表1 FF數(shù)據(jù)集變量描述

(二)進(jìn)一步的分析

根據(jù)以上描述我們知道，F(xiàn)F.sev是FF數(shù)據(jù)集的一個(gè)子集。下面我們描述FF數(shù)據(jù)集的基本數(shù)據(jù)特征，圖1是FF數(shù)據(jù)集中的一些特征(變量)展示。

在FF數(shù)據(jù)集中，對(duì)索賠次數(shù)(ClaimNb)，有94.98%的保單沒(méi)有提出索賠(即ClaimNb=0)，有4.75%的保單提出了一次索賠，剩下的0.27%的保單提出多次索賠。對(duì)風(fēng)險(xiǎn)暴露(Exposure)，24.18%的保單保障期間是1年，剩下的75.82%保單的風(fēng)險(xiǎn)暴露分布于0～1之間。在索賠金額(ClaimAmount)方面，有88.93%的索賠金額位于0～5 000區(qū)間中，剩下的11.07%索賠金額高于5 000。

圖1展現(xiàn)了FF數(shù)據(jù)集中的兩個(gè)分類(lèi)型變量：汽油類(lèi)型(VehGas)和汽車(chē)品牌(VehBrand)。在汽油類(lèi)型方面，48.99%的汽車(chē)使用柴油(Diesel)，剩下的51.01%汽車(chē)使用其他類(lèi)型。在汽車(chē)品牌方面，B12(24.49%)、B1(24.00%)和B2(23.58%)是占比最多的三種車(chē)型，剩下的27.93%是其他類(lèi)型的汽車(chē)。

FF數(shù)據(jù)中的四個(gè)連續(xù)型變量：車(chē)齡(VehAge)、駕駛員年齡(DrivAge)、獎(jiǎng)懲系統(tǒng)(BonusMalus)和對(duì)數(shù)人口密度(logDensity)也在圖1中呈現(xiàn)。在車(chē)齡方面，72.60%的保單車(chē)齡集中于0～10年，剩下的27.40%保單車(chē)齡超過(guò)10年。在駕駛員年齡方面，15.41%的駕駛員年齡在18～30歲之間，76.99%的駕駛員年齡在30～65歲之間，7.60%的駕駛員年齡高于65歲。在法國(guó)，獎(jiǎng)懲系統(tǒng)的基準(zhǔn)是100，低于100是獎(jiǎng)勵(lì)(bonus)，高于100是懲罰(malus)。在FF數(shù)據(jù)中，有98.85%的保單是獎(jiǎng)勵(lì)狀態(tài)，只有1.15%的保單是懲罰狀態(tài)。在對(duì)數(shù)人口密度中，79.19%聚集于2.5～8區(qū)間之內(nèi)，剩下的20.81%分布在其他區(qū)間。

圖1 FF數(shù)據(jù)部分特征展示

三、車(chē)險(xiǎn)定價(jià)與GLMs(GAMs)

(一)車(chē)險(xiǎn)定價(jià)基本思路

在車(chē)險(xiǎn)定價(jià)中，精算師根據(jù)已有的歷史索賠數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)出潛在損失，由此計(jì)算出保單純保費(fèi)πi。保單純保費(fèi)可以由索賠頻數(shù)和索賠強(qiáng)度分別計(jì)算得到，即πi=E(Fi)×E(Si)，其中E(Fi)是索賠頻數(shù)預(yù)測(cè)的均值，E(Si)是索賠強(qiáng)度預(yù)測(cè)的均值。索賠頻數(shù)是單位風(fēng)險(xiǎn)暴露(risk exposure)下保單的索賠次數(shù)；索賠強(qiáng)度是指在索賠發(fā)生條件下的平均單次索賠額度。

在本文中，我們假設(shè)索賠頻數(shù)和索賠強(qiáng)度相互獨(dú)立。使用數(shù)據(jù)集FF中所有保單的索賠次數(shù)歷史，為Fi構(gòu)建模型；使用數(shù)據(jù)集FF.sev中提出索賠的保單持有人的索賠歷史，為Si構(gòu)建模型。對(duì)每份保單的純保費(fèi)πi再加總求和，可以得到整體純保費(fèi)。

在本文中，我們考慮運(yùn)用GAMs和GLMs來(lái)構(gòu)建兩組回歸預(yù)測(cè)模型。

(二)GLMs和GAMs模型基本介紹

傳統(tǒng)的線性回歸模型形式如下：

(1)

其中Yi是響應(yīng)變量，xij是自變量，p為自變量的個(gè)數(shù)。

一般的廣義線性模型形式如下：

(2)

其中，μi=E(Yi)是響應(yīng)變量的均值，g(·) 是連接函數(shù)(link function)，xij是自變量，p為自變量的個(gè)數(shù)。

GAM本質(zhì)上是一種特殊的GLM，通過(guò)允許自變量存在非線性的平滑效應(yīng)(smooth effect)，同時(shí)保持可加性來(lái)擴(kuò)展線性模型。在GAM中，單個(gè)自變量的非線性平滑效應(yīng)可用樣條函數(shù)fj(xij)表示，它可表示為基本樣條函數(shù)的線性組合，代替GLM中的βjxij；兩個(gè)自變量之間也可能存在非線性交互效應(yīng)，用樣條函數(shù)fj(xij,zij)來(lái)表示自變量之間的非線性交互效應(yīng)。GAM的形式為：

(3)

四、GAMs在車(chē)險(xiǎn)定價(jià)中的應(yīng)用

在本節(jié)，我們運(yùn)用GAM對(duì)索賠頻數(shù)和索賠強(qiáng)度分別構(gòu)建回歸預(yù)測(cè)模型，R里的軟件包mgcv可以用來(lái)實(shí)現(xiàn)GLM和GAM。在最優(yōu)模型選擇方面，我們考慮使用AIC(Akaike Information Criterion)和BIC(Bayesian Information Criterion)兩個(gè)指標(biāo)。這兩個(gè)指標(biāo)都同時(shí)考慮了模型的擬合優(yōu)度(goodness of fit)和復(fù)雜度(complexity)，它們的定義如下：

AIC=-2(log-likelihood)+2·r

BIC=-2(log-likelihood)+log(n)·r

(4)

其中，log-likelihood是模型的對(duì)數(shù)似然值(擬合優(yōu)度的度量)，r是模型的參數(shù)個(gè)數(shù)(復(fù)雜度的度量)，n是數(shù)據(jù)集的樣本個(gè)數(shù)。AIC和BIC的值越低表示模型越好。與AIC相比，BIC對(duì)模型復(fù)雜度的懲罰效果更大，為此在GAMs的模型擬合中，我們選用BIC作為最優(yōu)模型選擇指標(biāo)。

(一)索賠頻數(shù)模型

+β1VehGasRegular

+f2(DrivAge)+f3(BonusMalus)

+f4(logDensity)

(5)

上述模型中包含了兩個(gè)分類(lèi)變量：汽油類(lèi)型(VehGas)和汽車(chē)類(lèi)型(VehBrand)，以及四個(gè)連續(xù)型變量：車(chē)齡(VehAge)、駕駛員年齡(DrivAge)、獎(jiǎng)懲系統(tǒng)(BonusMalus)和對(duì)數(shù)人口密度(logDensity)。

由此得到索賠頻數(shù)的最終預(yù)測(cè)模型形式為：

+f1(VehAge)+f2(DrivAge)

+f3(BonusMalus)+f4(logDensity)

+f5(VehAge,BonusMalus)

(6)

索賠頻數(shù)模型的具體擬合情況見(jiàn)表2。

表2 索賠頻數(shù)模型(GAM)的參數(shù)估計(jì)

根據(jù)圖2，在車(chē)齡(VehAge)方面：當(dāng)汽車(chē)處于 [0,2]的年齡區(qū)間時(shí)，剛買(mǎi)新車(chē)的平滑效應(yīng)最大，隨著車(chē)齡增大，平滑效應(yīng)在不斷下降。當(dāng)車(chē)齡位于 [2,5]區(qū)間時(shí)，隨著車(chē)齡增大，平滑效應(yīng)增加。當(dāng)車(chē)齡處于 [5,20]區(qū)間時(shí)，平滑效應(yīng)再次呈現(xiàn)下降趨勢(shì)，并在20年時(shí)達(dá)到了最低谷，說(shuō)明駕駛員車(chē)齡越大，駕駛技術(shù)越熟練，預(yù)估索賠頻數(shù)降低。

在駕駛員年齡(DrivAge)方面：當(dāng)駕駛員年齡處于 [18,30]區(qū)間時(shí)，隨著年齡增大，平滑效應(yīng)在不斷下降，在30歲達(dá)到最低谷。當(dāng)駕駛員年齡處于 [30,40]區(qū)間時(shí)，隨著年齡增大，平滑效應(yīng)不斷增加，但整體數(shù)值小于0。在 [40,50]區(qū)間內(nèi)，隨著年齡增大，平滑效應(yīng)在不斷增加，并且大于0。[50,60]區(qū)間內(nèi)平滑效應(yīng)有一個(gè)小幅下降。60歲以后，再次呈現(xiàn)增加趨勢(shì)。

獎(jiǎng)懲系統(tǒng)(BonusMalus)的平滑效應(yīng)隨著獎(jiǎng)懲水平的提高呈現(xiàn)增長(zhǎng)趨勢(shì)，這與我們的直覺(jué)相一致：BonusMalus越低表明駕駛員的索賠歷史記錄越好，越高表明索賠越多。

圖2 索賠頻數(shù)模型(GAM)的平滑效應(yīng)展示

對(duì)數(shù)人口密度(logDensity)的平滑效應(yīng)隨著人口密度的增加呈現(xiàn)穩(wěn)定的增長(zhǎng)趨勢(shì)，這也十分直觀：人口密度越大，該地區(qū)發(fā)生交通事故的可能性也越大，索賠次數(shù)也就越多。

車(chē)齡-獎(jiǎng)懲系統(tǒng)(VehAge-BonusMalus)的效應(yīng)區(qū)域圖中淺灰色表示負(fù)相關(guān)性，深灰色表示正相關(guān)性。高車(chē)齡-低獎(jiǎng)懲系統(tǒng)、低車(chē)齡-低獎(jiǎng)懲系統(tǒng)和低車(chē)齡-高獎(jiǎng)懲系統(tǒng)組合的風(fēng)險(xiǎn)更低一些，而高車(chē)齡-高獎(jiǎng)懲系統(tǒng)的風(fēng)險(xiǎn)更高。

(二)索賠強(qiáng)度模型

+g2(BonusMalus)

+g3(DrivAge,BonusMalus)

(7)

表3 索賠強(qiáng)度模型(GAM)的參數(shù)估計(jì)

圖3 索賠強(qiáng)度GAM平滑效應(yīng)展示

從駕駛員年齡(DrivAge)角度：在 [18,50]的年齡區(qū)間，隨著駕駛員年齡增加，索賠強(qiáng)度平滑效應(yīng)整體呈現(xiàn)增加趨勢(shì)。年齡處于 [18,40]區(qū)間時(shí)，平滑效應(yīng)小于0。[40,50]區(qū)間內(nèi)，效應(yīng)大于0。在 [50,60]區(qū)間，平滑效應(yīng)有一個(gè)下降趨勢(shì)。60歲以后，隨著駕駛員年齡增加，平滑效應(yīng)再次呈現(xiàn)上升趨勢(shì)。

獎(jiǎng)懲系統(tǒng)(BonusMalus)的平滑效應(yīng)隨著獎(jiǎng)懲水平的提高呈現(xiàn)增長(zhǎng)趨勢(shì)，這與我們的直覺(jué)相一致：BonusMalus越低表明駕駛員的索賠歷史記錄越好，越高表明索賠越多。

由圖3可知，在駕駛員年齡-獎(jiǎng)懲系統(tǒng)(DrivAge-BonusMalus)方面：低駕駛員年齡-低獎(jiǎng)懲系統(tǒng)和高駕駛員年齡-高獎(jiǎng)懲系統(tǒng)組合的平滑效應(yīng)要低于低駕駛員年齡-高獎(jiǎng)懲系統(tǒng)和高駕駛員年齡-低獎(jiǎng)懲系統(tǒng)組合的平滑效應(yīng)，其中低駕駛員年齡-高獎(jiǎng)懲系統(tǒng)組合的平滑效應(yīng)最高。

五、數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)分箱方法構(gòu)建風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)類(lèi)別

在模型擬合中，一直存在著“擬合效果——可解釋性”之間的權(quán)衡。上一節(jié)GAMs的構(gòu)建中包含一些針對(duì)連續(xù)型變量的平滑函數(shù)，可以捕捉到一些連續(xù)型變量的非線性效應(yīng)，使得擬合效果更好，預(yù)測(cè)更加精確，但也讓模型變得更加復(fù)雜和難以解釋。相比于GAMs，GLMs只包含線性形式，直觀簡(jiǎn)單，易于理解，但模型的擬合效果在一定程度上會(huì)有不足。在實(shí)務(wù)定價(jià)中，定價(jià)人員更加傾向于使用分類(lèi)變量進(jìn)行定價(jià)。在本節(jié)中，我們基于前面GAMs得到的回歸預(yù)測(cè)模型，運(yùn)用數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的分箱方法，將連續(xù)型變量離散化，將其轉(zhuǎn)化為包含少數(shù)水平的分類(lèi)變量，從而構(gòu)造風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)類(lèi)別。

(一)數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)分箱方法——進(jìn)化樹(shù)

1.回歸樹(shù)的基本介紹。

本文使用決策樹(shù)進(jìn)行分箱，將連續(xù)變量離散化。決策樹(shù)模型是一種常用的分類(lèi)與回歸方法，分類(lèi)樹(shù)輸出的結(jié)果是分類(lèi)型變量，回歸樹(shù)輸出的結(jié)果是連續(xù)型變量。本文使用回歸樹(shù)模型，一方面因?yàn)樗髻r頻數(shù)和強(qiáng)度都是連續(xù)型變量，另一方面回歸樹(shù)模型對(duì)連續(xù)型變量會(huì)產(chǎn)生直觀的連續(xù)分割，符合我們對(duì)連續(xù)變量連續(xù)值分箱的要求。

常用的回歸二叉樹(shù)(binary tree)方法，如CART(Classification And Regression Tree)算法等，都是以逐步向前搜索的方式建立模型的遞歸分割。這種方法由來(lái)已久，但CART算法的結(jié)果只是局部最優(yōu)的，因?yàn)楣?jié)點(diǎn)的選擇(從而產(chǎn)生葉子)是在上一步的基礎(chǔ)上，最大化下一步的結(jié)果。每個(gè)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的分割規(guī)則是為了最大化其子節(jié)點(diǎn)的同質(zhì)性，而不考慮回歸樹(shù)上更下一層的節(jié)點(diǎn)，由此只產(chǎn)生局部最優(yōu)的樹(shù)。另一種在樹(shù)的參數(shù)空間上搜索的方法是使用全局最優(yōu)方法，如進(jìn)化算法，對(duì)應(yīng)的回歸樹(shù)被稱為進(jìn)化樹(shù)。

2.進(jìn)化樹(shù)。

進(jìn)化算法的思路來(lái)自達(dá)爾文的自然進(jìn)化思想：物競(jìng)天擇，適者生存。進(jìn)化算法是以種群(population)為基礎(chǔ)，是個(gè)體(individual)的集合，在每一代進(jìn)化過(guò)程中，個(gè)體之間彼此競(jìng)爭(zhēng)，以評(píng)估函數(shù)(evaluation function)為指標(biāo)，保留高質(zhì)量的個(gè)體，淘汰低質(zhì)量的個(gè)體，如此循環(huán)往復(fù)，種群的質(zhì)量隨著時(shí)間的推移而不斷增加，得以進(jìn)化。

在進(jìn)化遞歸的每一次進(jìn)程中，首先，整合上一次進(jìn)化過(guò)程得到的所有個(gè)體，這些個(gè)體在該次進(jìn)化過(guò)程中被稱為父母?jìng)€(gè)體(parent individuals)。隨后，變異算子(variation operator)作用于種群中的父母?jìng)€(gè)體，改變個(gè)體的結(jié)構(gòu)，被改變后的個(gè)體被稱為新的解決方案(solutions)，也被稱為子代個(gè)體(offspring individuals)。最后，生存者選擇過(guò)程依據(jù)評(píng)估函數(shù)指標(biāo)來(lái)衡量這些個(gè)體的質(zhì)量，保留優(yōu)質(zhì)個(gè)體，淘汰劣質(zhì)個(gè)體，得以進(jìn)化。在我們的模型中，在每一代，初始的父母?jìng)€(gè)體要與經(jīng)過(guò)變異算子作用后產(chǎn)生的子代個(gè)體同時(shí)競(jìng)爭(zhēng)，優(yōu)勝劣汰，保證每一代種群的個(gè)體總數(shù)不改變。在這個(gè)進(jìn)化過(guò)程中，種群的整體質(zhì)量不斷優(yōu)化，進(jìn)化算法的具體思路如表4所示。

表4 進(jìn)化算法

當(dāng)進(jìn)化算法與決策樹(shù)模型相結(jié)合時(shí)，一棵樹(shù)即是個(gè)體，多棵樹(shù)組成的整體是種群。進(jìn)化樹(shù)中共有五種變異算子：四種突變算子(mutation operators，針對(duì)單一個(gè)體)和一種交叉算子(crossover operator，針對(duì)多個(gè)不同個(gè)體)。在進(jìn)化過(guò)程中，變異算子隨機(jī)作用于個(gè)體，修改樹(shù)的結(jié)構(gòu)，產(chǎn)生新的后代。根據(jù)Grubinger 等(2014)[7]的做法，五種變異算子如下：

(1)分叉(split)。

隨機(jī)選擇一個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)T，并為其分配一個(gè)有效的、隨機(jī)生成的分叉規(guī)則，分叉規(guī)則由相應(yīng)的分割變量x(r)和分割數(shù)值s(r)來(lái)定義。由此，被選中的葉子節(jié)點(diǎn)成為內(nèi)部節(jié)點(diǎn)r，并生成兩個(gè)新的葉子節(jié)點(diǎn)T1和T2。

(2)修剪(prune)。

隨機(jī)選擇一個(gè)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)r，它有兩個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)作為子節(jié)點(diǎn)，剪去這兩個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)，將內(nèi)部節(jié)點(diǎn)r修剪成葉子節(jié)點(diǎn)Tr。

(3)大分割規(guī)則突變(major split rule mutation)。

隨機(jī)選擇一個(gè)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)r并改變其分叉規(guī)則，其中以50%的概率，內(nèi)部節(jié)點(diǎn)r的分割變量x(r)由原特征空間X={x1,x2,…,xn}中的其他特征變量替代；如分割變量保持不變，則其分割數(shù)值s(r)發(fā)生變化。

(4)小分割規(guī)則突變(minor split rule mutation)。

與大分割規(guī)則突變運(yùn)算類(lèi)似，但它并不改變分割變量x(r)，而只是將分割數(shù)值s(r)改變一個(gè)小的幅度。

(5)交叉(crossover)。

樹(shù)在被變異算子作用后，需要對(duì)其質(zhì)量進(jìn)行衡量，我們使用的評(píng)估函數(shù)的表達(dá)式如下：

n·log(MSE)+4·α·(m+1)·log(n)

(8)

(二)由進(jìn)化樹(shù)構(gòu)造風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)類(lèi)別

本節(jié)，我們將考慮使用前面介紹的進(jìn)化樹(shù)方法，對(duì)八個(gè)平滑效應(yīng)進(jìn)行分箱處理，得到包含少數(shù)水平的分類(lèi)型變量，構(gòu)造風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)類(lèi)別。

關(guān)于索賠頻數(shù)和索賠強(qiáng)度的平滑效應(yīng)分箱，我們需要分別進(jìn)行估計(jì)。對(duì)于索賠頻數(shù)來(lái)說(shuō)，觀測(cè)值的數(shù)量nfreq=678 013；對(duì)于索賠強(qiáng)度來(lái)說(shuō)，觀測(cè)值nsev=24 743。調(diào)試變量α是模型預(yù)測(cè)精度和復(fù)雜度之間的調(diào)和值，針對(duì)不同的模型，調(diào)試參數(shù)取值不同。在α選擇方面，我們也是對(duì)索賠頻數(shù)αfreq和索賠強(qiáng)度αsev模型分別計(jì)算。參考Henckaerts(2018)[11]的做法，我們對(duì)αfreq和αsev分別取不等距集合{1,1.5,2,…,9.5,10,20,30,…,90,100,150,200,…,1 200}中的值，再分別代入模型中，以BIC為指標(biāo)，找到使得模型BIC最低的αfreq= 1 100,αsev=200。

圖4 索賠頻數(shù)模型平滑效應(yīng)分箱

圖5 索賠強(qiáng)度模型平滑效應(yīng)分箱

六、保費(fèi)結(jié)構(gòu)分析

(一)從GAMs到GLMs

上一節(jié)我們運(yùn)用了R軟件包中的evtree對(duì)幾個(gè)連續(xù)平滑效應(yīng)進(jìn)行了分箱處理，根據(jù)以上索賠頻數(shù)和索賠強(qiáng)度的分箱結(jié)果，我們得到了連續(xù)變量分箱后的分類(lèi)變量。應(yīng)用這些分類(lèi)變量構(gòu)造GLMs，由此得到了兩個(gè)模型的參數(shù)估計(jì)，見(jiàn)表5和表6(3)受篇幅限制,文中無(wú)法列出表5和表6的全部?jī)?nèi)容，僅列出部分參數(shù)估計(jì)，感興趣的讀者可聯(lián)系作者索取。。

表5 索賠頻數(shù)模型(GLM)的參數(shù)估計(jì)

表6 索賠強(qiáng)度模型(GLM)的參數(shù)估計(jì)

在最優(yōu)模型選擇方面，以同時(shí)衡量模型擬合效果和復(fù)雜度的AIC和BIC為指標(biāo)。表7列舉了GAMs和GLMs下的索賠頻數(shù)和索賠強(qiáng)度模型對(duì)應(yīng)的AIC和BIC的值，從表7可知：不管是索賠頻數(shù)模型，還是索賠強(qiáng)度模型，對(duì)應(yīng)的AIC和BIC很相近。

表7 GAMs和GLMs的AIC和BIC比較

(二)純保費(fèi)分析

為每一份保單i計(jì)算純保費(fèi)πi，純保費(fèi)πi的公式如下：

πi=E(Fi)×E(Si)

(9)

其中E(Fi)是保單i索賠頻數(shù)的期望值，E(Si)是保單i索賠強(qiáng)度的期望值。

在保費(fèi)預(yù)測(cè)時(shí)，我們?cè)俅螌?duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，刪去了那些損失特別大的極端數(shù)據(jù)，以免對(duì)模型預(yù)測(cè)產(chǎn)生極端影響。最終我們新生成了預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)集FF.pred，里面包含了677 499個(gè)保單持有人的損失數(shù)據(jù)(原數(shù)據(jù)FF中包含了678 013個(gè)數(shù)據(jù)(4)為避免極端值對(duì)模型預(yù)測(cè)產(chǎn)生影響，我們從FF數(shù)據(jù)集中刪去那些損失額大于10 000的數(shù)據(jù)，總共刪去了514個(gè)數(shù)據(jù)量，新生成的FF.pred包含677 499個(gè)數(shù)據(jù)量，用于純保費(fèi)的估計(jì)。)。此時(shí)，對(duì)預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)集FF.pred，根據(jù)以上模型，最終求得的GAM純保費(fèi)為33 942 460，GLM的純保費(fèi)為33 864 103，GLM預(yù)測(cè)的純保費(fèi)比GAM低了78 357，占比0.231%，這兩個(gè)估計(jì)都略高于實(shí)際的總損失33 742 058。

就純保費(fèi)預(yù)測(cè)精度而言，GAMs和GLMs兩者表現(xiàn)相當(dāng)。就模型解釋性而言，GLMs有直觀的風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)類(lèi)別，更易于理解和解釋；而GAMs有非線性的平滑效應(yīng)，在解釋方面較為復(fù)雜。

根據(jù)以上整體分析，分箱后的GLMs在擬合效果上近似于GAMs，解釋性優(yōu)于GAMs，以進(jìn)化樹(shù)分箱來(lái)構(gòu)造車(chē)險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)類(lèi)別的方法可以從多角度來(lái)優(yōu)化GAMs。

七、總結(jié)

在車(chē)險(xiǎn)定價(jià)中，廣義線性模型(GLM)已經(jīng)成為標(biāo)準(zhǔn)方法。對(duì)連續(xù)型自變量，很多情況下，直接應(yīng)用廣義線性模型，會(huì)忽略自變量的非線性效應(yīng)。作為傳統(tǒng)的廣義線性模型的推廣，通過(guò)引入變量的樣條函數(shù)，廣義可加模型(GAM)能很好地考慮到非線性效應(yīng)。廣義可加模型的預(yù)測(cè)精度更好，但不足之處是在實(shí)務(wù)應(yīng)用中，模型的可解釋性變差。在實(shí)務(wù)中傳統(tǒng)的做法是：對(duì)連續(xù)型自變量，直接劃分為分類(lèi)變量，再應(yīng)用廣義線性模型。但這樣做的不足之處在于，主觀性較強(qiáng)，理論依據(jù)顯得不足。

本文運(yùn)用了數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的分箱方法，對(duì)連續(xù)型變量進(jìn)行分箱處理，目的是更好地建立車(chē)險(xiǎn)定價(jià)中的風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)類(lèi)別。我們對(duì)索賠頻數(shù)和索賠強(qiáng)度這兩個(gè)響應(yīng)變量，在分箱處理前后，分別建立了廣義可加模型(GAM)和廣義線性模型(GLM)，結(jié)合這兩個(gè)模型的預(yù)測(cè)值，預(yù)測(cè)了純保費(fèi)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)分箱后的GLM可以用來(lái)優(yōu)化GAM。

本文的思路是先對(duì)法國(guó)三責(zé)險(xiǎn)數(shù)據(jù)freMTPL2freq和freMTPL2sev進(jìn)行處理，得到索賠頻數(shù)和索賠強(qiáng)度模型擬合的數(shù)據(jù)集FF和FF.sev。再以GAM框架為起點(diǎn)，構(gòu)建了一組索賠頻數(shù)-索賠強(qiáng)度模型。隨后，運(yùn)用決策樹(shù)中的進(jìn)化樹(shù)算法，對(duì)連續(xù)型變量進(jìn)行分箱處理，將連續(xù)型變量轉(zhuǎn)化為分類(lèi)變量，再構(gòu)造新的GLM，得到了一組新的索賠頻數(shù)-索賠強(qiáng)度模型，由此構(gòu)造了車(chē)險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)類(lèi)別。

模型擬合一直存在著擬合精度和可解釋性之間的權(quán)衡，不斷優(yōu)化模型的目的之一，是用更簡(jiǎn)單的模型達(dá)到更好的擬合精度，分箱后的廣義線性模型比廣義可加模型更簡(jiǎn)單、更直觀、易解釋。經(jīng)過(guò)模型預(yù)測(cè)，我們得出由廣義線性模型計(jì)算出的保費(fèi)，與由廣義可加模型得到的結(jié)論非常接近。由此，本文研究得到了一個(gè)更簡(jiǎn)單直接的模型，可作為實(shí)務(wù)中更復(fù)雜車(chē)險(xiǎn)定價(jià)模型的較好替代。

本文的研究結(jié)果中，模型里的定價(jià)類(lèi)別并沒(méi)有加入地區(qū)(Area)等空間因素自變量，但是在Fahrmeir 等(2007)[12]、Tufvesson 等(2019)[13]中考慮了地理空間因素在車(chē)險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)類(lèi)別構(gòu)造中的影響。此外，模型最終擬合中沒(méi)有加入汽車(chē)動(dòng)力(VehPower)自變量，而在Wüthrich(2020)[14]車(chē)險(xiǎn)定價(jià)模型中包含了這個(gè)自變量。

本文使用的進(jìn)化樹(shù)算法是一種近幾年才出現(xiàn)的機(jī)器學(xué)習(xí)算法，作者查閱了國(guó)內(nèi)相關(guān)文獻(xiàn)，未發(fā)現(xiàn)將進(jìn)化樹(shù)算法應(yīng)用于車(chē)險(xiǎn)定價(jià)的論文，本文重點(diǎn)介紹了進(jìn)化樹(shù)算法的原理及其精算應(yīng)用。

近年來(lái)，大數(shù)據(jù)和機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)快速發(fā)展，本文的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)進(jìn)化樹(shù)算法不僅可應(yīng)用于車(chē)險(xiǎn)定價(jià)領(lǐng)域，今后也必會(huì)應(yīng)用于其他領(lǐng)域來(lái)處理預(yù)測(cè)建模問(wèn)題。數(shù)據(jù)科學(xué)對(duì)保險(xiǎn)業(yè)的沖擊和促進(jìn)是必然趨勢(shì)，相信在不遠(yuǎn)的未來(lái)，會(huì)有越來(lái)越多的機(jī)器學(xué)習(xí)方法被應(yīng)用于精算領(lǐng)域。