一類遞推數(shù)列周期性的深度探究

渠懷蓮

(江蘇省海門中學(xué),226100)

研究數(shù)列的性質(zhì)通常包括單調(diào)性、最大(小)項(xiàng)、周期性及整除性、不等關(guān)系等,其中周期性是數(shù)列相當(dāng)重要的一個(gè)性質(zhì),需要我們深入研究.本文的探究表明與周期性有關(guān)的三角函數(shù)是周期性研究的有力工具,復(fù)數(shù)的三角形式對(duì)研究數(shù)列的周期性起著同樣重要作用.現(xiàn)將部分研究成果與讀者分享,不足之處懇請(qǐng)批評(píng)指正.

一、整式線性遞推數(shù)列的周期性

例1證明:若數(shù)列{an}滿足an+2+an+1+an=0(n∈N*),則{an}是周期為3的一個(gè)數(shù)列.

證明(退位相減法)

依題意,有an+2+an+1+an=0,an+3+an+2+an+1=0,兩式相減得an+3=an(n∈N*),所以{an}是周期為3的一個(gè)數(shù)列.

變式若數(shù)列{an}滿足非齊次遞推關(guān)系an+2+an+1+an=C(非零常數(shù)),則{an}的一個(gè)周期為3.

證明(轉(zhuǎn)化為齊次型)

例2證明:若數(shù)列{an}滿足an+2-an+1+an=0,則數(shù)列{an}的一個(gè)周期為6.

證明(特征根法)

更一般地,我們有

證明由α+β=-p,αβ=q,得an+2+pan+1+qan=0可變?yōu)閍n+2-αan+1=β(an+1-αan),進(jìn)而得到an+1-αan=(a2-αa1)βn-1.

同理有an+1-βan=(a2-βa1)αn-1.與上式相減,得

例3證明:若數(shù)列{an}滿足an+2-|an+1|+an=0,則存在正整數(shù)m,使數(shù)列{an+m}的一個(gè)周期為9.

證明(迭代法)

若對(duì)任意正整數(shù)n,有an=0,則顯然{an+m}的一個(gè)周期為9.

若an=0不恒成立,則an不能恒正,也不會(huì)恒負(fù).故存在正整數(shù)m及0≤b

綜上,對(duì)任意正整數(shù)n≥m,均有an+9=an,所以存在正整數(shù)m,使數(shù)列{an+m}的一個(gè)周期為9.

二、分式線性遞推數(shù)列的周期性

證明(三角法)

更一般地,我們有

三、整式與分式線性遞推數(shù)列交匯問題

例5證明:若數(shù)列{an}滿足an+2an+1an=an+2+an+1+an,a1=1,a2=2,則{an}的一個(gè)周期為3.

分析借助轉(zhuǎn)化與化歸的思想,利用三角法將問題化歸至例1的變式.

由例1的變式，可知數(shù)列{θn}的一個(gè)周期為3,所以數(shù)列{an}的一個(gè)周期為3.

四、周期性應(yīng)用舉例

例6在數(shù)列{an}中,對(duì)1≤n≤5,有an=n2,且對(duì)一切正整數(shù)n,均有an+5+an+1=an+4+an,則a2022=______.

解法1(進(jìn)位累加法)

由an+5+an+1=an+4+an,將n依次進(jìn)位賦值,得an+6+an+2=an+5+an+1,an+7+an+3=an+6+an+2,an+8+an+4=an+7+an+3.將以上四式累加得an+8=an,故數(shù)列{an}的一個(gè)周期為8.

于是,a2022=a252×8+6=a6=a5-a2+a1=22,即a2022=22.

解法2(特征根法)

綜上,本文對(duì)由整式、分式線性遞推關(guān)系式確定的數(shù)列進(jìn)行了深度探究,為求解通項(xiàng)公式及尋找特征根的性質(zhì)提供了有益的參考資料.當(dāng)然,遞推數(shù)列相關(guān)問題的求解方法不限于退位相減法、累加法、迭代法、三角法、復(fù)數(shù)法及特征根法等手法,這需要我們不斷學(xué)習(xí)、勇于探尋.

然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.

二、利用公切線

例2已知實(shí)數(shù)a∈(e,+∞)，則函數(shù)f(x)=alnx+ax-xex的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

解函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).

當(dāng)x>0時(shí)，g′(x)=ex>0,g″(x)=ex>0,得g(x)在(0,+∞)單調(diào)增，且是凹函數(shù).