基于Cosserat連續(xù)體理論的微納米螺旋結(jié)構(gòu)軸向負載力做功研究

顧正法，尤 嘉，戴 璐

（蘇州科技大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇 蘇州 215009）

三維螺旋結(jié)構(gòu)普遍存在于自然、科學(xué)、藝術(shù)以及建筑學(xué)中，而微納米尺寸螺旋結(jié)構(gòu)的應(yīng)用遍布于當(dāng)今科學(xué)的各個領(lǐng)域，如電子學(xué)、光電子學(xué)、微納米電子機械系統(tǒng)、傳動傳感系統(tǒng)等[1-4]。實驗發(fā)現(xiàn)某些微納米螺旋在高負載的作用下產(chǎn)生較大的軸向形變，當(dāng)撤去負載時，螺旋恢復(fù)原形，這一性質(zhì)體現(xiàn)出螺旋具有優(yōu)秀的彈性性質(zhì)[5-10]。微納螺旋的超彈性使得其在介觀／量子器件及其集成上具有更巨大應(yīng)用潛力，特別是在傳動器、振蕩器、發(fā)動機、緩沖裝置、磁場探測器、化學(xué)生物傳感器、彈性能儲存器件以及電磁波吸收裝置等能獲益于彈性性能的領(lǐng)域，比如具有超大帶寬的微波納米天線，可以提供超高共振頻率[11]。

筆者基于Cosserat連續(xù)體理論，建立模型并定量研究了在螺旋拉伸端不可自由旋轉(zhuǎn)和可以自由旋轉(zhuǎn)兩種條件下，圓形橫截面螺旋、矩形橫截面法線螺旋和矩形橫截面副法線三種螺旋結(jié)構(gòu)的軸向負載力做功問題。研究結(jié)果表明，拉伸端不可自由旋轉(zhuǎn)的條件下，相同應(yīng)變時，矩形橫截面法線螺旋負載力做功值最大。

1 圓截面螺旋結(jié)構(gòu)

1.1 模型

基于Cosserat連續(xù)體理論，筆者建立了圓形橫截面螺旋模型來研究碳納米管螺旋結(jié)構(gòu)在軸向負載拉伸時的負載力做功問題（如圖1所示）。由圖1（a）可見，假設(shè)一圓形橫截面螺旋HCI，半徑a0，螺距b0，匝數(shù)N0，圓截面半徑r，螺旋方向基矢Di（i=1，2，3）。由圖1（b）可見，若螺旋拉伸端不能旋轉(zhuǎn)，在軸向拉伸力F作用下，螺旋HCI形變?yōu)槁菪鼿CF1，半徑a，螺距b，匝數(shù)N0，螺旋方向基矢di（i=1，2，3）。由圖1（c）可見，若螺旋拉伸端可以旋轉(zhuǎn)，在軸向拉伸力F作用下，螺旋HCI形變?yōu)槁菪鼿CF2，半徑a，螺距b，匝數(shù)N。由于螺旋一端可以自由旋轉(zhuǎn)，所以在負載過程中螺旋的匝數(shù)會發(fā)生變化。

圖1 拉伸端不可旋轉(zhuǎn)和可旋轉(zhuǎn)圓形橫截面螺旋結(jié)構(gòu)受到軸向拉伸力作用后發(fā)生形變

在之前的研究中，筆者發(fā)現(xiàn)圓形橫截面螺旋具有旋轉(zhuǎn)反轉(zhuǎn)特性，即在軸向拉伸過程中，螺旋自由端先過卷再退卷，螺旋匝數(shù)先增大后減少[12]。方向基矢Di和di分別由兩組歐拉角φ0，θ0，ψ0和φ，θ，ψ定義[13，15]。根據(jù)Cosserat模型中圓截面螺旋結(jié)構(gòu)的推導(dǎo)過程[16]，對于螺旋拉伸端不能旋轉(zhuǎn)的情況，考慮到拉伸過程中螺旋的匝數(shù)不變，可以寫出形變前螺旋的半徑、螺距的表達式為

軸向形變后，螺旋半徑、螺距的表達式為

以及軸向負載力F滿足的平衡方程

對于拉伸端可以旋轉(zhuǎn)的情況，考慮到螺旋軸向力矩為零，形變前半徑、螺距的表達式與方程（1）和（2）相同。推導(dǎo)得到螺旋的半徑、螺距的表達式為

以及軸向負載力F滿足的平衡方程

其中

其中E2=KGπr2，E3=Eπr2，B=EI以及C=GJ。K為TimosHenko剪切系數(shù)[14]，可用泊松比ν來表示

E和G=E/2（1+ν）分別是楊氏模量和切模量[17-18]。圓截面的I=（πr4）/4和J=（πr4）/2分別是截面的轉(zhuǎn)動慣量和極轉(zhuǎn)動慣量。計算負載力做功，忽略細桿的拉伸和剪切形變，即基爾霍夫模型的情況。根據(jù)方程（4）和（7），此時拉伸端不可旋轉(zhuǎn)和拉伸端可旋轉(zhuǎn)的螺距表達式分別簡化為

同樣，忽略細桿的拉伸和剪切應(yīng)變之后，結(jié)合方程（5）和（8），此時拉伸端不可旋轉(zhuǎn)和拉伸端可旋轉(zhuǎn)的軸向負載力F滿足的平衡方程可以簡化為

對拉伸端不可旋轉(zhuǎn)的情況，根據(jù)方程（10）和（12），以及功的定義W=∫Fdx得到軸向負載力F做的功為

對拉伸端可旋轉(zhuǎn)的情況，根據(jù)方程（9）、（11）和（13），以及功的定義得到軸向負載力F做的功為

1.2 結(jié)果與討論

利用碳納米管螺旋負載實驗結(jié)果來定量研究軸向負載力拉伸圓截面螺旋被軸向拉伸時的做功問題。參數(shù)如下：a0=1.18 μm，b0=4.47 μm，r=226 nm，N0=6，ν=0.32[10]。因為實驗中的螺旋結(jié)構(gòu)是由碳納米管和聚氨酯組成的復(fù)合材料，為了得到其精確的楊氏模量值，利用方程（2）-（5）和文獻[10]中圖2（d）負載力隨應(yīng)變變化的曲線，在900%應(yīng)變范圍內(nèi)，計算得到楊氏模量的平均值為E=2.5 GPa。如圖2（a）所示，分別結(jié)合方程（2）、（4）、（5）和方程（2）、（7）、（8）、（9），以及以上幾何參數(shù)和材料參數(shù)，計算得到了在螺旋拉伸端不可旋轉(zhuǎn)的條件下HCF1（實線）和在螺旋拉伸端可旋轉(zhuǎn)的條件下HCF2（點線）的軸向負載力隨軸向應(yīng)變的變化關(guān)系。在螺旋拉伸量為原長的0～500%時，兩種結(jié)構(gòu)在同應(yīng)變情況下軸向拉伸力幾乎相同，軸向負載力的變化范圍是0～0.3 N。當(dāng)拉伸量為原長的500%～800%時，對于相同的軸向應(yīng)變量，螺旋HCF1的負載拉伸力比螺旋HCF2的大。在應(yīng)變達到800%時，螺旋HCF1的軸向拉伸力為1.35 N，螺旋HCF2的拉伸力為1.15 N。

圖2 拉伸端不可旋轉(zhuǎn)和可旋轉(zhuǎn)圓形橫截面螺旋結(jié)構(gòu)的軸向負載力和做功隨應(yīng)變的變化

如圖2（b）所示，分別根據(jù)方程（2）、（4）、（14）和方程（2）、（7）、（9）、（15），及以上幾何參數(shù)和材料參數(shù)，計算得到了螺旋HCF1（實線）和螺旋HCF2（點線）的軸向負載力做功隨軸向應(yīng)變的變化關(guān)系。兩條曲線幾乎重合，在拉伸到原長的800%時，螺旋HCF1的負載力做功為4.80 mJ，螺旋HCF2的負載力做功為4.82 mJ，兩者僅相差螺旋HCF1值的0.4%。

2 矩形截面螺旋結(jié)構(gòu)

2.1 結(jié)構(gòu)模型

利用Cosserat理論，除了研究圓形橫截面螺旋結(jié)構(gòu)的做功問題，還能研究矩形橫截面螺旋結(jié)構(gòu)的做功問題。如圖3（a）所示，假設(shè)一法線矩形橫截面螺旋HNI[19]，半徑a0，螺距b0，匝數(shù)N0，矩形橫截面長w、寬t（w>t），螺旋方向基矢Di（i=1，2，3）。如圖3（b）所示，若螺旋拉伸端不可旋轉(zhuǎn)，在軸向拉伸力F作用下，螺旋HNI形變?yōu)槁菪鼿NF1，半徑a，螺距b，匝數(shù)N0，螺旋方向基矢di（i=1，2，3）。如圖3（c）所示，若拉伸端可以旋轉(zhuǎn)，在軸向拉伸力F作用下，螺旋HNI形變?yōu)槁菪鼿NF2，半徑a，螺距b，匝數(shù)N。圖3（d）-3（f）分別表示的是：形變前的副法線矩形橫截面螺旋HBI[20]；螺旋拉伸端不可旋轉(zhuǎn)時，軸向拉伸形變后的螺旋HBF1；螺旋拉伸端可以旋轉(zhuǎn)時，軸向拉伸形變后的螺旋HBF2。

筆者之前的研究表明，在軸向形變過程中，法線螺旋會發(fā)生過卷（即螺旋匝數(shù)增加），而副法線螺旋會發(fā)生退卷 （即螺旋匝數(shù)減少）[12]。根據(jù)Cosserat模型中矩形截面螺旋結(jié)構(gòu)的 推 導(dǎo) 過 程[12，21]，形 變 前 后 螺旋的半徑、螺距的表達式分別和方程（1）－（4）形式相同。

軸向拉力F滿足的平衡方程

圖3 拉伸端不可旋轉(zhuǎn)和可旋轉(zhuǎn)矩形橫截面螺旋結(jié)構(gòu)受到軸向拉伸力作用后發(fā)生形變

在以上方程中，對于拉伸端不可旋轉(zhuǎn)的情況，根據(jù)拉伸過程中螺旋匝數(shù)不變，可得

對于拉伸端可旋轉(zhuǎn)的情況，根據(jù)螺旋軸向力矩為零，可得

其中Δ=I2/I1，i=1（i=2）對應(yīng)的是矩形的法線螺旋（副法線螺旋）結(jié)構(gòu)，δi2是Kronecker常數(shù)，E1=E2=KGwt，E3=Etw，B=EIi并且C=4GI1I2/（I1+I2）[22]，I1=w3t/12，I2=wt3/12，K=（5+5v）/（6+5v）[23]，E和G（G=E/2（1+v））分別是材料的楊氏模量和切模量。

同樣，計算負載力做功時，忽略細桿的拉伸和剪切形變，即基爾霍夫模型的情況。此時拉伸端不可旋轉(zhuǎn)和拉伸端可旋轉(zhuǎn)的螺距表達式分別與方程（10）-（13）相同。

對拉伸端不可旋轉(zhuǎn)的情況，根據(jù)方程（10）、（11）、（16）和（17），以及功的定義W=∫Fdx得到軸向負載力F做的功為

對拉伸端可旋轉(zhuǎn)的情況，根據(jù)方程（12）、（13）、（16）和（18），以及功的定義得到軸向負載力F做的功為

其中i=1（i=2）對應(yīng)的是矩形的法線螺旋（副法線螺旋）結(jié)構(gòu)。

2.2 結(jié)果與討論

利用SiGe/Si/Cr微米螺旋帶的材料參數(shù)[12]來定量研究軸向負載力拉伸矩形截面螺旋被軸向拉伸時的做功問題。參數(shù)如下：a0=1.18 μm，b0=4.47 μm，t=1.57 μm，w=31 nm，N0=6，E=2.5 GPa，ν=0.31。首先，筆者研究了法線螺旋的情況，如圖4所示。

圖4 拉伸端不可旋轉(zhuǎn)和可旋轉(zhuǎn)矩形橫截面螺旋結(jié)構(gòu)的軸向負載力和做功隨應(yīng)變的變化

如圖4（a）所示，分別結(jié)合方程（2）、（4）、（16）、（17）和方程（2）、（4）、（16）、（18）（公式中取i=1），及以上幾何參數(shù)和材料參數(shù)，計算得到了矩形橫截面法線螺旋在拉伸端不可旋轉(zhuǎn)的條件下HNF1（實線）和拉伸端可旋轉(zhuǎn)的條件下HNF2（點線）的軸向負載力隨軸向應(yīng)變的變化關(guān)系。螺旋軸向應(yīng)變隨負載力的增加而增大，對于相同應(yīng)變，螺旋HNF1比螺旋HNF2的負載力更大。在螺旋拉伸量為原長的80%時，螺旋HNF1軸向拉伸力為70 mN，螺旋HNF2軸向拉伸力為20 mN。如圖4（b）所示，筆者分別結(jié)合方程（2）、（4）、（19）和方程（2）、（4）、（20）（公式中i=1），及以上的幾何參數(shù)和材料參數(shù)，計算得到了矩形橫截面法線螺旋在拉伸端不可旋轉(zhuǎn)的條件下HNF1（實線）和可旋轉(zhuǎn)的條件下HNF2（點線）的軸向負載力做功隨軸向應(yīng)變的變化關(guān)系。螺旋HNF1對應(yīng)的做功值隨著應(yīng)變增加而顯著增大，當(dāng)應(yīng)變?yōu)樵L的80%時，其軸向力做功為3.2 nJ。而螺旋HNF2對應(yīng)的做功值隨著應(yīng)變增加幾乎不變，當(dāng)應(yīng)變?yōu)樵L的80%時，其軸向力做功僅為0.3 nJ，是螺旋HNF1的軸向力做功值的1/10。其次，研究了副法線螺旋的情況，如圖4（c）所示分別結(jié)合方程（2）、（4）、（16）、（17）和方程（2）、（4）、（16）、（18）（公式中取i=2），及以上的幾何參數(shù)和材料參數(shù)，計算得到了矩形橫截面副法線螺旋在拉伸端不可旋轉(zhuǎn)的條件下HBF1（實線）和可旋轉(zhuǎn)的條件下HBF2（點線）的軸向負載力做功隨軸向應(yīng)變的變化關(guān)系。螺旋軸向應(yīng)變隨負載力的增加而增大，對于相同應(yīng)變，螺旋HBF1比螺旋HBF2的負載力更大。在螺旋拉伸量為原長的80%時，螺旋HBF1軸向拉伸力為1 μN，螺旋HBF2軸向拉伸力為0.6 μN。如圖4（d）所示，分別結(jié)合方程（2）、（4）、（19）和方程（2）、（4）、（20）（公式中i=2），及以上的幾何參數(shù)和材料參數(shù)，計算得到了矩形橫截面副法線螺旋在拉伸端不可旋轉(zhuǎn)的條件下HBF1（實線）和可旋轉(zhuǎn)的條件下HBF2（點線）的軸向負載力做功隨軸向應(yīng)變的變化關(guān)系。功隨著應(yīng)變增加而增大，對于相同的應(yīng)變，拉伸端不可旋轉(zhuǎn)的副法線螺旋HBF1比可以旋轉(zhuǎn)的副法線螺旋HBF2的做功值更大。但是，同法線螺旋的情況相比，這種差別要小的多。當(dāng)應(yīng)變?yōu)樵L的80%時，螺旋HBF1的軸向力做功為6.5 pJ，螺旋HBF2的軸向力做功為5 pJ，兩者相差螺旋HBF1值的23%。所以，無論是法線螺旋還是副法線螺旋，都是拉伸端不可旋轉(zhuǎn)的條件下，相同應(yīng)變對應(yīng)的做功值更大，機械性質(zhì)更好。

3 拉伸端不可旋轉(zhuǎn)的條件下，三種結(jié)構(gòu)的做功對比

根據(jù)第2節(jié)討論結(jié)果，拉伸端不可旋轉(zhuǎn)的螺旋，機械性質(zhì)更好。如圖5所示，筆者對比了拉伸端不可旋轉(zhuǎn)的條件下，圓形橫截面螺旋HCF1（點劃線）、矩形橫截面法線螺旋HNF1（實線）和矩形橫截面副法線螺旋HBF1（點線）的軸向負載力做功值隨軸向應(yīng)變的變化關(guān)系。用到的公式分別為（2）、（4）、（14）和方程（2）、（4）、（19）（i=1對應(yīng)法線螺旋HNF1；i=2對應(yīng)副法線螺旋HBF1）。

圖5 拉伸端不可旋轉(zhuǎn)的圓形橫截面螺旋結(jié)構(gòu)和矩形橫截面螺旋結(jié)構(gòu)的軸向負載力做功隨應(yīng)變的變化

這里，為了有效對比三種結(jié)構(gòu)，筆者計算圓形橫截面螺旋HCF1時，除了橫截面半徑r之外，用了碳納米管和聚氨酯的復(fù)合材料的幾何參數(shù)和材料參數(shù)，即與矩形橫截面螺旋的面積相同。對于橫截面半徑r，筆者假設(shè)圓形橫截面面積和實驗材料的橫截面面積相同，由此計算得到半徑r=124 nm。對于在應(yīng)變區(qū)間0～11%，三種結(jié)構(gòu)在相同應(yīng)變時的軸向拉伸力做功值幾乎相同，做功的變化范圍是0～0.1 pJ。在應(yīng)變區(qū)間11%～80%，對于相同應(yīng)變，螺旋HNF1的負載力做功值明顯比螺旋HCF1和螺旋HBF1的大很多。在應(yīng)變值80%時，這三種結(jié)構(gòu)對應(yīng)的做功值分別為3.2 nJ、0.27 nJ和5 pJ。矩形橫截面法線螺旋HNF1的做功值是矩形橫截面副法向螺旋HBF1做功值的640倍，是圓形橫截面螺旋HCF1做功值的11.8倍。所以，三種結(jié)構(gòu)中，螺旋HNF1機械性能最好。

4 結(jié)語

筆者基于Cosserat連續(xù)體理論，建立模型并定量研究了圓形橫截面螺旋、矩形橫截面法線螺旋和矩形橫截面副法線三種螺旋結(jié)構(gòu)的機械性質(zhì)。推導(dǎo)得到螺旋拉伸端不可自由旋轉(zhuǎn)和可以自由旋轉(zhuǎn)兩種條件下，三種螺旋結(jié)構(gòu)做功的表達式。利用碳納米管螺旋材料和聚氨酯的復(fù)合材料材料的幾何參數(shù)和材料參數(shù)，計算對比了三種螺旋結(jié)構(gòu)在兩種條件下軸向負載力總功的情況。計算結(jié)果表明，對于圓形橫截面螺旋結(jié)構(gòu)，在大負載范圍內(nèi)，即螺旋幾乎被拉伸為直線情況下，拉伸端是否可以自由旋轉(zhuǎn)，對負載力做功值幾乎沒有影響。對于矩形橫截面螺旋結(jié)構(gòu)，在幾乎所有拉伸范圍內(nèi)，相同應(yīng)變時，拉伸端不可自由旋轉(zhuǎn)的條件下，負載力做功值更大。進而對比了拉伸端不可自由旋轉(zhuǎn)的條件下三種螺旋結(jié)構(gòu)的軸向負載力做功值。結(jié)果表明，矩形橫截面法線螺旋在相同應(yīng)變時，負載力做功值最大，在應(yīng)變值80%時，是矩形橫截面副法向螺旋做功值的640倍，是圓形橫截面螺旋做功值的11.8倍。所以，三種結(jié)構(gòu)中，矩形橫截面法線螺旋的機械性能最好。該文為將螺旋結(jié)構(gòu)更好地應(yīng)用于微納米電子機械系統(tǒng)提供了理論框架。