新加坡數(shù)學(xué)教育學(xué)教材分析與啟示
——聚焦《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)資源手冊》*

陸 珺

(蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 215006)

新加坡學(xué)生在TIMSS和PISA測試中始終名列前茅，這不僅是出色的數(shù)學(xué)教學(xué)工作的成果，更是優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)教師教育的成就．分析新加坡數(shù)學(xué)教師教育之教材，尤其是關(guān)乎教學(xué)素養(yǎng)養(yǎng)成的數(shù)學(xué)教育學(xué)教材，有助于學(xué)習(xí)與借鑒新加坡在教材建設(shè)、教師教育乃至數(shù)學(xué)教學(xué)方面的諸多良策．

1 概況

《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)資源手冊》(Teaching Secondary School Mathematics:A Resource Book，下文簡稱《資源手冊》)是新加坡南洋理工大學(xué)國立教育學(xué)院數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育學(xué)術(shù)組(Mathematics and Mathematics Academic Group，簡稱MME)在為職前數(shù)學(xué)教師開設(shè)的數(shù)學(xué)教育學(xué)課程教學(xué)中使用的主要教材．與學(xué)生在其余數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)中沒有指定教材亦無需個人購置教材不同，該書是修課的必備書籍，足見其在數(shù)學(xué)教師教育中的分量之重．其初稿誕生于1997年，之后數(shù)年間在被印刷用作內(nèi)部教學(xué)講義(圖1)的同時經(jīng)歷持續(xù)修改，并于2003和2004年兩度在講義基礎(chǔ)上被裝訂成冊，直到2005年正式出版，再于2007年由來自MME(在職18人，退休2人)和新加坡教育部(1人)的21位作者參與修訂后再版(圖2)．因此，新加坡一流數(shù)學(xué)教研團隊的十年心血與傾力合作，使這部教材十幾年來經(jīng)久不衰，并陸續(xù)為他國教師教育所采用．

圖1 圖2

該教材(2007版)共438頁，由主題教學(xué)(288頁，約占2/3課時)和閱讀材料(124頁，約占1/3課時)兩大版塊構(gòu)成內(nèi)容主體(圖3)．不同于國內(nèi)同類教材多以數(shù)學(xué)教學(xué)理論為線索呈現(xiàn)內(nèi)容，“主題教學(xué)”版塊作為該教材的核心內(nèi)容，其15個單元分別以新加坡中學(xué)數(shù)學(xué)課程所涉及的具體知識塊的教學(xué)為載體而展開．作為理論補給的“閱讀材料”版塊，其7個單元均無長篇累牘的理論闡述，而是以大量表格、圖示、實例及圖片為理論作概括、提煉、梳理與解釋．

圖3

2 “主題教學(xué)”版塊

該教材第1版主編和第2版第一主編李秉彝(Lee Peng Yee)教授，曾專門撰文探討數(shù)學(xué)教師教育中的學(xué)科知識(subject knowledge，簡稱SK)到底應(yīng)取教學(xué)所需還是教師所需．若取前者，那么僅需框定中/小學(xué)數(shù)學(xué)課程的幾個主題；而取后者，則應(yīng)超越中/小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，要求數(shù)學(xué)教師不僅要掌握授課內(nèi)容，還要學(xué)習(xí)更多的數(shù)學(xué)知識以使自己在教學(xué)中更加自信．多年來，關(guān)于SK課程該教什么，怎樣去教以及由誰來教的討論使其成為一門有些爭議的科目．盡管國立教育學(xué)院的SK課程已定位于教師需要的數(shù)學(xué)，但是，仍有不少數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育專家指出，SK課程的數(shù)學(xué)內(nèi)容不應(yīng)只關(guān)注是否超越了中/小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，更要關(guān)注其是否與中/小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容相聯(lián)系．李秉彝認(rèn)為，取教師所需的SK課程教學(xué)的關(guān)鍵在于確保其數(shù)學(xué)既“嚴(yán)謹(jǐn)”又“振奮人心”，對此可行的方法便是在數(shù)學(xué)和教學(xué)之間建立緊密聯(lián)系．由此不難理解該教材對于“主題教學(xué)”版塊的設(shè)置與構(gòu)思，為何對中學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容既重視基礎(chǔ)又有所超越，又為何能夠在數(shù)學(xué)主題與教學(xué)論述間切換自如．該教材能夠在同類教材中獨樹一幟，基本可歸因于其“主題教學(xué)”版塊特色鮮明，具體包含以下幾點．

2.1 追溯知識歷史

不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)．這一理解必然要與學(xué)科知識的來龍去脈相聯(lián)系．15個主題教學(xué)單元的寫作無一例外地對主題知識進行了追根溯源，部分還介紹了該主題下的學(xué)科分支的發(fā)展概況．譬如“代數(shù)的教學(xué)”，盡管作為中學(xué)數(shù)學(xué)的大比重內(nèi)容，一頁多篇幅的開篇闡述與其他單元的開篇相比已屬重量級，但讀來毫無雜亂之感．作者寫道，“代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生源于對求解方程的一般方法的研究．作為一種符號體系的代數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展可為教師提供有益的教學(xué)借鑒．關(guān)于代數(shù)學(xué)的歷史有大量的閱讀材料，如……(網(wǎng)址)”．隨后，作者就“什么是代數(shù)”的問題，先逐年遞進地列舉幾位數(shù)學(xué)家的觀點，后以Usiskin提出的代數(shù)學(xué)的4個定義作總結(jié)，并為每個定義給出簡單的解釋和舉例．再如“統(tǒng)計的教學(xué)”，作者用第一段講述“統(tǒng)計是收集、組織、展示和解釋被稱為‘?dāng)?shù)據(jù)’的‘?dāng)?shù)值的事實’的科學(xué)．‘統(tǒng)計’這一術(shù)語源于拉丁文中指代國家的status一詞，由18世紀(jì)中葉德國學(xué)者Gottfried Achenwall將其改造為statistics，意為國家對數(shù)據(jù)的收集、處理和使用．”而后作者用三個段落描繪了一段統(tǒng)計學(xué)發(fā)展簡史，從統(tǒng)計分析的先驅(qū)及其貢獻到另兩位早期研究者的主要工作，再到進入統(tǒng)計被用于在不確定下作決斷的19世紀(jì)時，某位統(tǒng)計學(xué)家的開拓性工作，最后闡述20世紀(jì)四位杰出的統(tǒng)計學(xué)家的工作．

2.2 梳理數(shù)學(xué)概念

對相應(yīng)主題涉及的數(shù)學(xué)概念進行梳理，其處理方式中絕大多數(shù)是介紹核心概念，有個別是介紹課程中的概念變化，篇幅因主題內(nèi)容多寡而或長或短．如在“算術(shù)的教學(xué)”中，作者先列出新加坡義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教學(xué)大綱規(guī)定的7個算術(shù)教學(xué)主題：實數(shù)，近似和估計，科學(xué)記數(shù)法，比、比率和比例，百分?jǐn)?shù)，速度，日常數(shù)學(xué)，再列出小學(xué)數(shù)學(xué)新教學(xué)大綱在算術(shù)教學(xué)中不再涵蓋的主題或概念，包括大于107的整數(shù)，不等號<,>,≤,≥的使用，最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)等13個條目，由此幫助職前數(shù)學(xué)教師把握教學(xué)任務(wù)的即時變化和中學(xué)新生的認(rèn)知基礎(chǔ)．另外，對于幾個內(nèi)容較多難度較大的主題，如函數(shù)圖象、幾何、三角學(xué)等，在梳理概念時不乏表格、流程圖、思維導(dǎo)圖等輔助表征形式．

2.3 分析學(xué)習(xí)困難

分析學(xué)習(xí)困難屬于確定教學(xué)方法和設(shè)計師生活動的奠基性工作，是各位作者在闡述主題教學(xué)時比較濃墨重彩的部分．如“代數(shù)的教學(xué)”，作者用一頁半篇幅分析學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)的三個困難：不熟悉代數(shù)的句法結(jié)構(gòu)，混淆字母的不同使用以及對代數(shù)感覺抽象，而后配以多個實例來說明其具體表現(xiàn)形式和針對性教學(xué)方法．其中對于第一個困難，給出了兩個教學(xué)方法建議：第一，多給學(xué)生提供代數(shù)表達式或方程與口語間的互化練習(xí)；第二，教學(xué)中敘述代數(shù)表達式或方程時，應(yīng)使用口語，例如應(yīng)把方程2

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-1=11念作“一個數(shù)的兩倍減去1，得到的結(jié)果是11”．作者還進一步指出，對于學(xué)生來說，尤為困難的是轉(zhuǎn)化前后不連貫的口語表達．為此其引用了Koay在1994年的一項研究中的例子加以解釋，即當(dāng)學(xué)生回答不連貫的“Jack的年齡是Mark的5倍．若Jack今年

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歲，那么Mark幾歲？”時，要比回答連貫的“Jack的年齡是Mark的5倍．若Mark今年

x

歲，那么Jack幾歲？”困難得多．

2.4 闡釋教學(xué)方法

教學(xué)方法是主題教學(xué)各單元的核心內(nèi)容．此處方法所指非講授法、討論法、發(fā)現(xiàn)引導(dǎo)法等高度概括的教學(xué)論名詞，而是不乏操作指導(dǎo)的教學(xué)策略層面的具體闡述．如在“代數(shù)的教學(xué)”中，作者在分析代數(shù)的學(xué)習(xí)困難后提出6項教學(xué)策略，包括利用算術(shù)搭建通往代數(shù)的橋梁，強調(diào)一般化策略，強調(diào)關(guān)系性理解，使用具象的材料，強調(diào)與模型方法的聯(lián)系和在訓(xùn)練、實踐中提供變式，每一項策略后附有解釋性說明的數(shù)行文字，顯得言簡意賅．又如在“幾何的教學(xué)”中，繼四頁半的范希爾理論介紹之后，作者就多邊形內(nèi)角和公式(

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-2)×180°的教學(xué)，按思維方式的差異劃分為直觀教學(xué)、演繹推理、合情(歸納)推理與猜想、基于問題的教學(xué)、以現(xiàn)實世界為背景的方法、利用動態(tài)幾何軟件等6種教學(xué)方法，并為每種方法設(shè)計3～5步不等的教學(xué)程序，輔之以必要的圖形或表格說明．作者認(rèn)為，各種方法可能給人以迥異的印象，但是實際的課堂教學(xué)，往往需要不止一種方法．

2.5 設(shè)計活動樣例

無論從教材的定位而論，還是從實際的篇幅來看，活動樣例的設(shè)計都是各單元的重頭戲．這里包括職前數(shù)學(xué)教師在專業(yè)訓(xùn)練中需要經(jīng)歷的兩類活動，一類屬于學(xué)習(xí)活動，促進其對數(shù)學(xué)知識和教學(xué)方法的理解；另一類屬于教學(xué)活動，給予其教學(xué)實踐和日后教學(xué)工作的建議，著眼于促進中學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解．

學(xué)習(xí)活動的樣例是極其豐富的．如“三角學(xué)的教學(xué)”就由易到難地提供了9個樣例．第1個要求職前數(shù)學(xué)教師學(xué)習(xí)該單元在核心概念部分描繪的“中學(xué)三角學(xué)主題知識圖”并討論其呈現(xiàn)的教學(xué)順序，而后選擇其中一個主題寫出具體的教學(xué)目標(biāo)；第9個要求職前數(shù)學(xué)教師設(shè)計一些有助于了解中學(xué)生如何進行三角學(xué)問題解決的訪談問題，如“你是如何知道的”“你從這個圖形中看出了什么”，并嘗試去訪談一些中學(xué)生，最后在班里匯報訪談結(jié)果．

教學(xué)活動樣例的豐富程度亦不相上下，且 融合了其他主題知識，形式新穎有趣．如“測量的教學(xué)”中有一個探究七巧板的教學(xué)活動方案：若七巧板中的小正方形面積為1，取出所有或部分進行重新拼接，使之滿足以下要求：(1)面積分別為2,4,8的三角形；(2)面積分別為2,4,8的正方形；(3)面積分別為2,3,6的長方形(非正方形)；(4)面積分別為2,4,6,8的平行四邊形(非長方形或正方形)．

2.6 推薦學(xué)習(xí)資源

作為一本資源手冊，指向明確的教學(xué)方法和活動樣例當(dāng)屬課程學(xué)習(xí)的主體性資源，但并非全部，課外學(xué)習(xí)資源的推薦亦是不容忽視．對此最為顯眼的便是單元末尾的拓展閱讀欄目，其中列出了若干與其主題知識和教學(xué)相關(guān)的專業(yè)書籍或期刊文章的詳細(xì)信息，供職前數(shù)學(xué)教師進行拓展學(xué)習(xí)．如內(nèi)容較多的“幾何的教學(xué)”，按活動、教學(xué)、范希爾理論、幾何畫板資源、其他等5個類別對20余個條目作了區(qū)分，以方便讀者查找．此外，還有散布在字里行間的眾多網(wǎng)站地址(如學(xué)習(xí)歐幾里得幾何的網(wǎng)站)和以附錄形式呈現(xiàn)的各種補充材料(如包含31種數(shù)位的美、歐名稱的大數(shù)列表，四種繪圖軟件的下載網(wǎng)址、開發(fā)團隊、使用特點與教學(xué)建議)，也是不可多得的資源儲備．

3 “閱讀材料”版塊

1997年，新加坡教育部長在題為“思考的學(xué)校，學(xué)習(xí)的國家”的關(guān)于未來教育制度展望的演講中，提出了三項新的舉措：國民教育，信息技術(shù)和思考技能．其中的“思考”，意味著多學(xué)少教．對應(yīng)到數(shù)學(xué)課程，即希望學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中能有更多的主動性，能更關(guān)注學(xué)習(xí)的過程，而且盡可能地在情境中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)．這些想法似乎被一脈相承地遷移至數(shù)學(xué)教育學(xué)課程，因為在“閱讀材料”版塊中，“主動性”“關(guān)注過程”“情境”等要素得以落實，這于教學(xué)理論的寫作而言頗為難得．再從內(nèi)容選取來看，誠然7個主題只是數(shù)學(xué)教學(xué)理論的冰山一角，但卻是國家特色、研究優(yōu)勢或時代需要的典型代表．譬如，自1990年新加坡教育部發(fā)布數(shù)學(xué)課程框架以來，數(shù)學(xué)問題解決一直處于新加坡數(shù)學(xué)課程的核心地位；模型法自20世紀(jì)80年代在CDIS教科書中出現(xiàn)后，即在第四屆東南亞數(shù)學(xué)教育會議上被推廣，成為新加坡學(xué)校數(shù)學(xué)的一個顯著性的標(biāo)志；信息技術(shù)既是國家層面的改革舉措之一，亦是教育現(xiàn)代化發(fā)展的必然趨勢；改變教學(xué)方法的時候，需要同時改變評價方式，等等．總之，《資源手冊》在該版塊中呈現(xiàn)的新意可歸納為以下三個方面．

3.1 列舉實例

該版塊的理論闡述因有大量實例輔助而免于空洞與枯燥．其舉例并非呈現(xiàn)寥寥數(shù)言的事例，而是描述生動具體的且動輒占據(jù)了一兩個頁面的教學(xué)情境，或是呈現(xiàn)加工成板書形式的文本框，又或是附上學(xué)生作業(yè)的掃描圖像等．如在闡述數(shù)學(xué)教育的6個學(xué)習(xí)理論時，作者將其中5個都置于一個特定的、具體的教學(xué)情境中，對此解釋為“以便對理論的應(yīng)用更具說服力和現(xiàn)實意義”．又如在探討關(guān)于問題解決教學(xué)的3種認(rèn)識時，作者分別用“探索多邊形的內(nèi)角和”“使用模型法解代數(shù)題”以及向量中的“蒼蠅和蜘蛛問題”(蒼蠅和蜘蛛分別在不同起點以不同方向和速度爬行，要求計算蜘蛛抓到蒼蠅時的位移)的教學(xué)來描述什么是通過問題解決來教學(xué)，什么是關(guān)于問題解決的教學(xué)和什么是為問題解決而教學(xué)．

3.2 構(gòu)思問題

盡管沒有像主題教學(xué)中的活動樣例一樣占據(jù)突出位置，但閱讀材料若干單元內(nèi)的討論題，實為留待職前數(shù)學(xué)教師主動探究的良好素材．如作者在“數(shù)學(xué)教育的學(xué)習(xí)理論”單元構(gòu)思了8個討論題，其中第2題要求設(shè)想在教學(xué)一個特定的數(shù)學(xué)主題時，如何安排舉例、問題解決、反例、規(guī)則(定理)、概念、技能、定義、應(yīng)用等項目的教學(xué)順序，若有需要，還可加入自己定義的項目，然后與同伴分享各自設(shè)計的教學(xué)順序；第3題為：“上述所有的理論都由西方人發(fā)明，但是一些西方國家的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績并不出眾．我們需要東方的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論嗎？如果答案是肯定的，那么東方的學(xué)習(xí)理論該是什么樣子的？”不得不說，這些立意高遠(yuǎn)、思想深刻的問題值得認(rèn)真思考，甚至頗費一番心力去探索．

3.3 提供資源

該版塊延續(xù)作為資源手冊的教材特征，除推薦閱讀材料和學(xué)習(xí)網(wǎng)站外，更直接呈現(xiàn)大量潛在的教育資源．如“中學(xué)課堂中的數(shù)學(xué)問題解決”單元，設(shè)有拓展閱讀欄目，列出了包括Schoenfeld代表作在內(nèi)的10余部相關(guān)著作．而后的附錄中，更是收集了45道適用于問題解決教學(xué)的數(shù)學(xué)題．再如作者用多達12頁的篇幅在“工作規(guī)劃與課程計劃”單元呈現(xiàn)詳細(xì)的樣例，這對于職前數(shù)學(xué)教師無疑具有明確的實操指導(dǎo)意義．另外在為闡釋理論而列舉的大量實例中，不乏可轉(zhuǎn)化為教學(xué)資源的內(nèi)容．如闡述測試項目的設(shè)計策略時所列舉的諸多創(chuàng)意數(shù)學(xué)題，不僅有助于當(dāng)下的理論消化，還給職前數(shù)學(xué)教師以啟發(fā)，供其直接或間接地用于日后教學(xué)．

4 啟示

4.1 教材建設(shè)層面

從《資源手冊》十年磨一劍的出版歷程可知，品質(zhì)上乘的教材必然離不開時間的打磨與沉淀，且往往是集體智慧的結(jié)晶，即便是在知識日新月異的信息時代，照樣經(jīng)得起歲月的淬煉．因此，與其在教材建設(shè)中不斷推陳出新，不如寧靜致遠(yuǎn)，力爭精品佳作的問世．另外，該教材落腳于“資源手冊”，處處是對癥下藥地指點迷津，而未見繁雜冗長的理論堆砌，這在同類教材中似一股清流．事實上，一部教材的知識承載量有限，一門課程的課時數(shù)亦有限，摒棄洋洋灑灑面面俱到的套路，轉(zhuǎn)向為師生打通獲取信息資源的渠道，讓教材成為教師教學(xué)與學(xué)生學(xué)習(xí)的向?qū)В斤@難能可貴．

4.2 教師教育層面

脫離具體學(xué)科知識的學(xué)科教育學(xué)課程，易導(dǎo)致內(nèi)容空洞、收效甚微，使得學(xué)生的職初實踐可能成為其曾經(jīng)教師的影射，或陷于教條主義，過分依賴教參．曾有國內(nèi)學(xué)者指出，“傳統(tǒng)職前《數(shù)學(xué)教學(xué)論》課堂教學(xué)多是‘教學(xué)論+數(shù)學(xué)例子’，沒能實現(xiàn)教學(xué)實踐性知識與教學(xué)理論性知識的結(jié)合，也沒有實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識與教學(xué)法知識的真正融合，也就談不上數(shù)學(xué)教學(xué)知識的發(fā)展了．”而《資源手冊》中15個主題教學(xué)單元，先就特定數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)困難予以條分縷析，再提出具體入微的教學(xué)指導(dǎo)和匠心獨具的教學(xué)活動，這既像升級版的教學(xué)參考書，又像簡縮版的實操指導(dǎo)手冊．因而，其指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)教育學(xué)課程教學(xué)，像是在數(shù)學(xué)教師的職前階段便施以我們國內(nèi)職初階段才有的訓(xùn)練，這為我們改進職前教師教育提供了新的視角．同時，其對知識歷史的考究與對數(shù)學(xué)概念的重視，還有在學(xué)習(xí)活動樣例中強調(diào)對數(shù)學(xué)知識的深刻理解等，正是對“高觀點”思想的生動實踐．

4.3 數(shù)學(xué)教學(xué)層面

新加坡的數(shù)學(xué)教育早已引起世界關(guān)注．美國中西部的許多中小學(xué)紛紛引進新加坡的數(shù)學(xué)教材，以期利用其教學(xué)模式來提高美國學(xué)生的數(shù)學(xué)成績．盡管《資源手冊》無法直接為中學(xué)生所用，但其豐富資源可啟發(fā)教師創(chuàng)設(shè)一些與時俱進的教學(xué)舉措．如講授如何在Excel中制作表格與編輯公式，從而生成斐波那契數(shù)列；布置網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)任務(wù)，要求上網(wǎng)自學(xué)尋找素數(shù)的方法，而后作答相應(yīng)的問題；發(fā)放用以引導(dǎo)學(xué)生通過操作幾何畫板而求解問題的學(xué)習(xí)任務(wù)單，等等．相當(dāng)部分的教學(xué)活動樣例需要信息技術(shù)的支持，其開展是在進行數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)的同時滲透信息意識和計算思維等信息技術(shù)的核心素養(yǎng)，這為不同學(xué)科間核心素養(yǎng)的協(xié)同培育作出示范．又如，在閱讀材料論及替代性評估的部分，多達10種替代性評估方法的列表分析，有助于我們跳出傳統(tǒng)紙筆測試的束縛，用更開放的視界與更理性的心態(tài)來改進數(shù)學(xué)教學(xué)評估．

致謝：

新加坡南洋理工大學(xué)國立教育學(xué)院李秉彝(第1版主編，第2版第一主編)和Toh Tin Lam(第1版、第2版作者之一)兩位教授在本文寫作中提供資料并接受作者訪談，在此表示誠摯謝意．