高考壓軸題的結構特征與突破路徑探析*

劉綠芹

(浙江師范大學教師教育學院 321004 江蘇省鹽城市教師發(fā)展學院 224001)

《普通高中數(shù)學課程標準》(2017年版2020年修訂)中關于評價提出了“要有利于考查學生的思維過程、思維深度和思維廣度”的要求，而高考數(shù)學壓軸題正是體現(xiàn)該要求的載體之一.然而，從高三數(shù)學教學實踐來看，突破壓軸題卻是學生最頭疼的問題之一，主要表現(xiàn)為“一看答案就會,不看不會”.之所以會出現(xiàn)這樣的問題，主要是對壓軸題的內在思維結構水平要求沒有深刻的認知，不同的問題有著不同的思維結構水平要求，同時，學生解決問題時，也能夠表現(xiàn)出其思維結構水平.因此，我們可以從壓軸題的思維結構水平方面，尋找突破壓軸題的路徑.

1 思維結構的理論基礎與水平劃分

對于思維結構，在不同的研究領域有著不同的闡釋、理解與劃分標準.在高中數(shù)學壓軸題突破方面，我們以SOLO分類理論作為思維結構的理論基礎，該理論是澳大利亞學者彼格斯(Biggs)和科利斯(Collis)兩位教授在皮亞杰認知發(fā)展階段論的理論基礎上發(fā)展起來的.SOLO分類理論認為，學生回答具體問題時所表現(xiàn)出來的思維結構是可觀察的、可檢測的，稱為“可觀察的學習結果結構”(Structure of the Observed Learning Outcome).由此可見，雖然人們很難根據皮亞杰的分類法認定學生處于哪一個發(fā)展階段，但卻可以根據SOLO分類理論，判斷學生在回答某一具體問題時的思維結構處于哪一層次.目前，SOLO分類理論不僅已經被廣泛應用于理科，諸如數(shù)學、物理、化學等，還應用于歷史、地理、英語等文科類學科的教學和評價上.

學習是一個逐漸積累、不斷演進的過程，學生對某一內容的理解存在多個不同的中間水平.根據SOLO分類理論，可將思維結構水平劃分為五個層次：前結構水平(P)、單點結構水平(U)、多點結構水平(M)、關聯(lián)結構水平(R)和抽象擴展結構水平(E).在前結構水平層次上，學生無法找到解決問題的相關素材以及線索，只能用一些與問題毫不相關的內容來解答，解決不了具體問題.在單點結構水平層次上，學生只能夠找到解決問題的線索和相關素材中的個別，依然無法解決相關問題.在多點結構水平上，學生找到了解決問題的多個線索或多個孤立的相關素材，但未能有效整合這些素材，同樣無法真正解決問題.在關聯(lián)結構水平層次上，學生不僅能夠找到解決問題所需的線索以及所需的相關素材，而且能夠將這些相關素材進行整合與關聯(lián)，能夠解決相關問題.在抽象擴展水平結構層次上，學生在找準問題線索的基礎上，不僅能夠將相關素材進行關聯(lián)，同時還能夠結合相關假設，解決相關問題，獲得新的解答、新的方法或新的結論.

思維結構水平劃分針對的是學生回答或解決問題時所反應出來的學習結果的結構，是對學生的思維水平進行質性劃分，其聚焦點為學生.而思維結構水平要求是針對具體問題而言，通過對問題的分析，提出解決問題時需要學生具備什么樣的結構水平，其聚焦點為問題.對于解決高考壓軸題而言，需要根據試題進展的不同階段，提出具體的思維結構水平要求，并針對性地進行突破，力求讓更多的學生達到更高的思維結構水平.

2 壓軸題的思維結構特征

高考數(shù)學壓軸題之所以難度大，是因為它對思維結構的要求有別于普通試題.在普通綜合類數(shù)學試題中，往往注重循序漸進，思維結構水平要求起點低，一般是從單一結構水平(U)出發(fā)為主，終點多為關聯(lián)結構水平(R).在進展過程中，逐步要求，逐級提升，呈線性狀態(tài).而高考數(shù)學壓軸題的思維結構水平要求起點較高，多以多點結構水平(M)為起點，抽象擴展水平(E)為終點，其思維結構水平要求呈逐漸加速形態(tài)，如下圖.因此，探析壓軸題思維結構水平要求特征將有助于進一步明確突破路徑.

圖1 試題進展與思維結構水平要求的關系

2.1 單一結構水平為表象，多點結構水平為實質

在高考壓軸題中，經常會出現(xiàn)一類題設較短、知識背景看似簡單的問題，乍一看是單一結構水平(U)要求，但實則是多點結構水平(M)要求.該類試題常常將以鮮明的單點知識為表象，但在試題解決的進程中不知不覺地需要帶入其他知識點或解題方法，僅憑單一結構水平無法解決相關問題的.

例1

(2021年高考全國乙卷第19題)設{

a

}是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列{

b

}滿足已知

a

,3

a

,9

a

成等差數(shù)列

.

(1)求{

a

}和{

b

}的通項公式；(2)記

S

,

T

分別為{

a

}和{

b

}的前

n

項和

.

證明：從該題的表面條件來看，是等比數(shù)列問題，然而數(shù)列{

a

}中的

a

,

a

,

a

間又有特殊的關聯(lián)關系，顯然，該問題不得不引入等差數(shù)列的知識——等差中項，運用

a

+9

a

=2×3

a

,再結合

a

=1，可解出進而{

a

},{

b

}的通項公式不難得出

.

根據第(1)問可知從結構上看，分子是等差數(shù)列，分母是等比數(shù)列，究竟用等差數(shù)列求和公式還是等比數(shù)列求和公式解決該問題呢？顯然，

T

既不是等差數(shù)列的求和，也不是等比數(shù)列的求和，單純靠一種方法已無法解決該問題，需要引入新的解決問題方法——錯項相減法，即在兩邊同乘得再將兩式相減，得其中即為新轉化的等比數(shù)列求和問題，至此，第(2)問不難解決

.

由此可見，該題僅靠單一的等比數(shù)列的公式或等差數(shù)列的公式是無法解決的，必須引入新的知識和方法，只有在多點結構水平的基礎上才能解決問題

.

2

.

2 多點結構水平為臺階，關聯(lián)結構水平為核心

高考壓軸題一般設置多問，難度逐步遞進，呈臺階式發(fā)展，知識方法的使用也呈現(xiàn)出多樣態(tài)，并相互關聯(lián)

.

此類問題以多點結構水平要求為基礎，搭建臺階，但徹底解決相關問題則需要達到關聯(lián)結構水平要求

.

例如，圓錐曲線問題往往與直線一起出現(xiàn)，并以直線的變化為主線，主導著試題的變化與發(fā)展方向

.

在實踐中，多點結構水平能夠解決多個相對獨立的基本問題，但由于直線的變化，導致相關知識之間的聯(lián)系較為密切，問題變得錯綜復雜

.

顯然，單點結構水平無法解決相關問題，這就需要關聯(lián)結構水平來解決問題

.

例2

(2019年全國卷Ⅱ第21題)已知點

A

(-2,0),

B

(2,0),動點

M

(

x

,

y

)滿足直線

AM

與

BM

的斜率之積為記

M

的軌跡為曲線

C.

(1)求

C

的方程，并說明

C

是什么曲線

.

(2)過坐標原點的直線交

C

于

P

,

Q

兩點，點

P

在第一象限，

PE

⊥

x

軸，垂足為

E

，連結

QE

并延長交

C

于點

G.

①證明：△

PQG

是直角三角形；②求△

PQG

面積的最大值

.

該題的結構是以橢圓為框架，以直線變化為核心，構建圓錐曲線中的基本圖形——三角形

.

第(1)問中，僅需運用斜率之積為和橢圓標準方程即可解決問題，求得

C

的方程為第(2)問中，根據條件，由直線

PQ

逐步演變至

PE

,

QE

及

QG

,逐步形成△

PQG

，并證明該三角形是直角三角形，求該三角形面積的最大值

.

顯然，該題演變至此，已無法僅靠橢圓的知識和方法來解決問題，需要將橢圓、直線、函數(shù)等關聯(lián)起來解決問題

.

第(2)問中的第①小問通過“設而不求”的方法，即設直線

PQ

的方程為

y

=

kx

(

k

>0)，將其與橢圓方程組成方程組，求得含參數(shù)的

P

,

Q

,

E

點的坐標分別為(

t

,

tk

),(-

t

, -

tk

),(

t

,0)，其中進而將直線

QG

與橢圓組成方程組，得到含參數(shù)的

G

點坐標，并求得

PG

的斜率為至此，該小題得證

.

對于第②問，它是在第①問的基礎上，得到故△

PQG

的面積由此，該問題演變成了函數(shù)求最值的問題，即令可將問題轉化為基本不等式問題，從而求解出△

PQG

的最大值

.

從整體上看，該題一步一個臺階，拾級而上，逐步關聯(lián)各種數(shù)學知識、數(shù)學方法，最終解決問題

.

2

.

3 關聯(lián)結構水平為基礎，抽象擴展水平為目的

高考數(shù)學壓軸題之所以難，是因為壓軸題不僅要求學生具有扎實的基礎，還要求能夠將多種數(shù)學知識、方法、思想等關聯(lián)、融合，并在此基礎上，跳出原有體系框架，進行抽象擴展，獲得新的解決問題的途徑與方法

.

擴展抽象水平必須建立在關聯(lián)結構水平的基礎之上，它是思維結構水平中的最高層次

.

因此，高考的最后一道壓軸題主要以該水平為命題的出發(fā)點，考查學生的抽象擴展能力

.

例3

(2021年新高考Ⅰ卷第22題)已知函數(shù)

f

(

x

)=

x

(1-ln

x

)

.

(1)討論

f

(

x

)的單調性；(2)設

a

,

b

為兩個不相等的正數(shù)，且

b

ln

a

-

a

ln

b

=

a

-

b

，證明：該題的條件較為簡潔，只有唯一的一個，即函數(shù)

f

(

x

)=

x

(1-ln

x

)，再無其他信息

.

問題也較為清晰，第(1)問討論該函數(shù)的單調性，第(2)問是在等式的基礎上，證明不等式

.

該題的第(1)問屬于基礎題，不難解得

f

(

x

)的單調增區(qū)間為(0,1)，單調減區(qū)間為(1,+∞)

.

然而，該題的第(2)問卻無法直接看出與條件函數(shù)

f

(

x

)=

x

(1- ln

x

)及第(1)問的聯(lián)系，試題難度突然陡增，導致一些學生在此結束該題

.

但一部分具備了關聯(lián)結構水平的學生能夠繼續(xù)探索，他們想到了將第(2)問中的條件“

b

ln

a

-

a

ln

b

=

a

-

b

”與主題干中條件“函數(shù)

f

(

x

)=

x

(1-ln

x

)”相關聯(lián)，這是解決問題的關鍵，于是有了整理“同類項”，構造函數(shù)的想法，將“

b

ln

a

-

a

ln

b

=

a

-

b

”變形為隨后卻發(fā)現(xiàn)，不具備函數(shù)

f

(

x

)的結構特征，不滿足

f

(

a

)=

f

(

b

)，于是一部分學生便束手無策

.

到此，該題進入了抽象擴展水平要求階段，盡管該題

f

(

a

)≠

f

(

b

)，但若學生具備了抽象擴展水平，能夠從

a

擴展到從

b

擴展到的話，即可獲得再令進而將證明p

+

q

>2和

p

+

q

.

接下來再通過構造函數(shù)，用導數(shù)的方法，結合第(1)問即可證得，從而問題得解

.

從該題的結構來看，該是以關聯(lián)結構水平為基礎，主要目的是考察學生的抽象擴展水平

.

3 壓軸題的突破路徑探析

突破壓軸題需要具備一定的基本知識和基本技能，僅僅處在前結構水平和單一結構水平上是無法有效突破壓軸題的，因此，壓軸題的突破路徑應至少建立在多點結構水平之上，否則無法實施.

3.1 注重核心內容的周邊知識積累，提升多點結構水平

作為綜合題的高考數(shù)學壓軸題，不可能僅僅由一種知識構成，它往往是圍繞某一核心內容做文章，并配以其他知識作為補充，以求達到綜合的效果.根據往年的高考試卷統(tǒng)計，在高中數(shù)學的眾多考點中，能夠設置為高考數(shù)學壓軸題的核心知識較為明確，一般為函數(shù)綜合、導數(shù)綜合、數(shù)列綜合和解析幾何綜合四大類.在突破這些壓軸題時，不僅需要對這些核心知識有較為深刻的掌握，同時，還要對周邊相關知識有一定量的積累，例如，解決函數(shù)類壓軸題需要用到的周邊知識有集合、方程、導數(shù)、不等式等；解決導數(shù)類壓軸題需要用的周邊知識有函數(shù)及其性質、幾何、不等式等；解決數(shù)列類壓軸需要用的周邊知識有函數(shù)、方程、不等式等；解決解析幾何類壓軸題需要用到函數(shù)、向量、方程、不等式等.

在探尋壓軸題突破路徑時，除了深入掌握核心知識外，要特別注重梳理核心內容的周邊知識，它們往往就是突破壓軸題的一個節(jié)點，缺少了任何一個都將影響問題的解決.在實踐中，通過對周邊知識的梳理，我們往往能找到突破壓軸題的相關知識.因此，扎扎實實的多點結構水平是突破壓軸題的基礎.

3.2 挖掘多種知識間的隱藏聯(lián)系，形成關聯(lián)結構水平

高考數(shù)學壓軸題中的多種知識是試題結構中的節(jié)點，這些節(jié)點之間通過數(shù)學思想、數(shù)學方法構成各種各樣的聯(lián)系，然而，聯(lián)系往往又是隱性的，并不表露于試題，因此，挖掘多種知識間的隱藏聯(lián)系是解決壓軸題的核心，挖掘出壓軸題中蘊含的數(shù)學方法和數(shù)學思想是突破壓軸題的重要途徑.

一是函數(shù)綜合壓軸題中蘊含著函數(shù)與方程、數(shù)形結合、轉化與化歸、分類討論、待定系數(shù)法、構造法等數(shù)學思想與方法；二是導數(shù)綜合壓軸題中蘊含著數(shù)形結合、轉化、換元等數(shù)學思想與方法；三是數(shù)列綜合壓軸題中蘊含著函數(shù)與方程、等價轉換、分類討論、構造法、數(shù)學歸納法等數(shù)學思想與方法；四是解析幾何綜合類壓軸題中蘊含著等價轉化、函數(shù)與方程、數(shù)形結合、分類討論、待定系數(shù)法、參數(shù)法等數(shù)學思想與方法.由此可見，數(shù)學思想與方法并不固定屬于某一類壓軸題，它可以存在于不同的問題類型里，這些隱藏著的數(shù)學思想與方法是多種知識間的紐帶，通過它們可以將壓軸題由繁化簡、由難轉易.

因此，當學生處在關聯(lián)結構水平層次上時，能夠發(fā)現(xiàn)壓軸題中多種知識的隱藏聯(lián)系，并通過數(shù)學思想與方法，游刃有余地將不同類型的知識進行互相轉換、重新組合，將其轉變成熟悉的數(shù)學問題，進而使壓軸題得到突破.

3.3 密集發(fā)散性思維觸角，突破抽象擴展水平

突破高考壓軸題除了需要具有廣泛的基礎知識、靈活的思想方法外，還需要具有密集的發(fā)散性思維觸角，能夠敏銳感知到與問題相關的各種內容、各種思路.發(fā)散性思維的觸角越多越敏銳，則突破抽象擴展水平的可能性越大，解決壓軸題的可能性也將越大.

解決高考壓軸類問題時，需要思維由已知分別發(fā)散到高度相關的內容、一般相關的內容或較少相關的內容.在平時的實踐過程中，要有意識地關注與提煉看似邊緣知識里的核心內容，以此來密集發(fā)散性思維觸角，同時，要注重提煉其中的核心方法與核心思想，以提升發(fā)散性思維觸角的敏銳度，達到隨時抽象與擴展的要求.然而，鑒于人的思維層次從關聯(lián)結構提升到抽象擴展結構需要付出巨大的努力，指望所有的學生達到更高層次是很不現(xiàn)實的.因此，在平時教學過程中，教師要特別注重因材施教，盡量讓每個學生在數(shù)學中得到最大可能的發(fā)展，但不勉強每一個學生都達到抽象擴展水平.

4 結束語

高考壓軸題千變萬化，在基于SOLO分類理論的思維結構視域下，突破高考壓軸題需要教師深入分析多種不同類型的高考壓軸題，明確各種壓軸題的思維結構要求，并由此選擇不同的思維結構水平進階路徑.同時，要劃分不同學生現(xiàn)有壓軸題思維結構水平，并根據不同的學生給予不同的突破路徑及具體策略，在學生明確了自己的等級水平后，再進一步激發(fā)其深入學習的欲望.當壓軸題的思維結構要求與學生的現(xiàn)有思維結構水平相匹配時，突破高考壓軸題將不再是可望而不可及的目標.

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