深入本質(zhì) 立足建模 提升思維
——“用一元一次方程解決利潤(rùn)問題”的教學(xué)與思考

付小飛

(江蘇省蘇州市第十六中學(xué)校 215003)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》在核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)及其內(nèi)涵中明確指出：“初步感知數(shù)學(xué)建模的基本過程，從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律”．方程的本質(zhì)是描述現(xiàn)實(shí)世界中的等量關(guān)系，更形象地說，用等號(hào)連接兩種不同的表示方法表達(dá)相同或相等的量，用方程解決問題在初中階段對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力起著至關(guān)重要的作用．但是在實(shí)際的教學(xué)過程中，有些教師習(xí)慣于將方程的應(yīng)用根據(jù)題目的實(shí)際背景分成不同類型，先分析類型特征、歸納常用等量關(guān)系，再通過例題示范、變式訓(xùn)練來教學(xué)．新課的教學(xué)不知不覺就變成了習(xí)題課，大量的變式題排山倒海而來，這種教學(xué)方式不僅沒有抓住方程的本質(zhì)，還會(huì)多出大量的所謂解題的“套路”，一旦遇到“非標(biāo)準(zhǔn)”的類型時(shí)，學(xué)生就會(huì)束手無(wú)策，長(zhǎng)此以往不利于學(xué)生思維水平的提升．帶著這些問題，筆者對(duì)蘇科版七年級(jí)上冊(cè)“用一元一次方程解決利潤(rùn)問題”作了全新的教學(xué)設(shè)計(jì)，并在全市上了一節(jié)示范課，得到了與會(huì)專家和教師的高度評(píng)價(jià)．現(xiàn)對(duì)其主要的教學(xué)環(huán)節(jié)進(jìn)行介紹，并且給出各環(huán)節(jié)的教學(xué)分析以及教學(xué)建議，以供同行參考．

1 創(chuàng)設(shè)情境，引入新知

活動(dòng)1 在剛剛過去的“雙11”購(gòu)物節(jié)中，小明以每個(gè)20元的價(jià)格進(jìn)了一批玩具，貼上每個(gè)30元的標(biāo)簽，為了吸引顧客，打出“大酬賓，九折優(yōu)惠”的廣告，則進(jìn)價(jià)是

元，標(biāo)價(jià)是

元，售價(jià)是

元，利潤(rùn)是

元，利潤(rùn)率是

．

問題1：你能列舉打折促銷中的哪些常用量?

問題2：說出商家從進(jìn)貨到銷售的過程中涉及哪些量?你能寫出各個(gè)量之間的關(guān)系嗎？

問題3：售價(jià)有幾種表示方式呢?

教學(xué)分析與建議

在課前可以讓學(xué)生做一次社會(huì)調(diào)查，體會(huì)商品銷售問題中的現(xiàn)實(shí)情境，收集各種打折銷售的活動(dòng)方式．有了真實(shí)的體驗(yàn)，可進(jìn)一步幫助學(xué)生更深刻地理解相關(guān)術(shù)語(yǔ)．然后再通過問題情境，通過具體的數(shù)字，利用銷售流程(圖1)和柱狀圖(圖2)理清銷售問題各個(gè)量之間的關(guān)系，并且歸納出售價(jià)的兩種不同表示方法．這種設(shè)計(jì)從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過創(chuàng)設(shè)實(shí)際的生活情境，將學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)與生活實(shí)際相聯(lián)系，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲望．

圖1 圖2

2 數(shù)形探究，分析問題

活動(dòng)2 商店將進(jìn)價(jià)為140元的商品按標(biāo)價(jià)的8折銷售，仍可獲利28元，問商品的標(biāo)價(jià)為多少元？

師：如果設(shè)標(biāo)價(jià)為

x

元，有幾種列式的方法？生1：0

.

8

x

=140+28．

師：請(qǐng)解釋一下方程兩邊所表示的意義．

生1：左邊的式子表示售價(jià)，右邊的式子也表示售價(jià)．

師：有沒有列方程的其他方法？

生2：0

.

8

x

-28=140，左邊的式子表示進(jìn)價(jià)，右邊的式子也表示進(jìn)價(jià)．生3：0

.

8

x

-140=28，左邊的式子表示利潤(rùn)，右邊的式子也表示利潤(rùn)．生4：我用的是小學(xué)學(xué)的算式的方法，(140+28)÷0

.

8．師：如果左邊用

x

表示，則可以得到

x

=(140+28)÷0

.

8，實(shí)際上這也是一個(gè)方程．

生4：左邊表示的是標(biāo)價(jià)，右邊也是標(biāo)價(jià)．

師：上面列出幾種不同的方程，方程的兩邊都是表示同一個(gè)量，因此我們?cè)诹蟹匠探鈶?yīng)用題時(shí)，可以利用題目中某些量的兩種不同表示方法來列方程．

圖3

學(xué)生討論過程中教師巡視，借助銷售條形圖(圖3)引導(dǎo)學(xué)生列出不同的方程．

教學(xué)分析與建議

在初中階段用方程解決實(shí)際問題時(shí)學(xué)生“最大的痛點(diǎn)”就是無(wú)法將實(shí)際問題中各個(gè)量用代數(shù)語(yǔ)言描述并構(gòu)建方程．如果教師僅僅告訴學(xué)生要通過審題，找出等量關(guān)系，再列出方程，那么對(duì)于學(xué)生來說是比較含糊的，容易使學(xué)生望而生畏．因此在教學(xué)時(shí)教師要給學(xué)生指出一個(gè)明確的方向，告訴學(xué)生列方程實(shí)質(zhì)上就是用兩種方式表示相同或相等的量．例如活動(dòng)2中，可從以下幾個(gè)方向思考：思考1 以兩種方式表達(dá)進(jìn)價(jià)，即0

.

8

x

-28=140 ①；思考2 以兩種方式表達(dá)利潤(rùn)，即0

.

8

x

-140=28 ②；

思考3 以兩種方式表達(dá)8折，即③；

思考4 以兩種方式表示售價(jià)，即0

.

8

x

=140+28 ④；思考5 以兩種方式表示標(biāo)價(jià)，即

x

=(140+28)÷0

.

8 ⑤

.

通過以上幾個(gè)方程的列出過程，我們可以發(fā)現(xiàn)題目中給出的任何一個(gè)量都可以用兩種不同方式來表示，要得到方程就是“信手拈來”，這樣為學(xué)生用方程解決實(shí)際問題指明了方向．同時(shí)利用圖表的示意作用讓思維可視化，解除了學(xué)生的畏難心理．

尤其對(duì)于方程⑤，如果把右端的

x

抹去，就是小學(xué)時(shí)的算術(shù)解法．而當(dāng)學(xué)生提出用算術(shù)的方法時(shí)，如果教師直接告訴學(xué)生算術(shù)解法不如列方程來得簡(jiǎn)潔，這時(shí)學(xué)生就會(huì)產(chǎn)生疑惑．初一的學(xué)生正面臨從算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡，我們可以通過比較算術(shù)方法和方程方法的優(yōu)劣性，讓學(xué)生體會(huì)從算術(shù)到方程的通性，學(xué)生自然就可以從小學(xué)的算術(shù)思想過渡到方程思想．

3 典例示范，內(nèi)化新知

活動(dòng)3 一件夾克衫先按成本提高50%標(biāo)價(jià)，再以8折出售，結(jié)果獲利28元，這件夾克衫的成本價(jià)是多少元?

圖4

師：銷售這件夾克衫涉及哪些價(jià)格？

生1：成本、標(biāo)價(jià)、售價(jià)．

師：說得很好！如果設(shè)這件夾克衫的成本是

x

元，我們可以從中找出的等量關(guān)系是什么？(生討論發(fā)言)

師：在實(shí)際操作中，我們可以畫線性示意圖或畫柱狀示意圖．

師：獲利28元是從哪里來的？(生討論發(fā)言)

師：從柱狀示意圖(圖4)中，可以得到的相等關(guān)系是什么?

生：發(fā)現(xiàn)售價(jià)有兩種不同的表示方法，這兩個(gè)代數(shù)式相等，即為等量關(guān)系．

(學(xué)生做，教師用多媒體演示)

師：請(qǐng)大家做完后想一想，還有沒有其它的量可以用不同方法表示，從而得到方程？如果有，哪一個(gè)列式方法相對(duì)簡(jiǎn)單?

教學(xué)分析與建議

本活動(dòng)的重點(diǎn)是借助柱狀示意圖尋找各個(gè)量之間的數(shù)量關(guān)系，嘗試多種方法列方程后，引導(dǎo)學(xué)生合理選擇要表達(dá)的量作為列方程的依據(jù)，突破“找等量關(guān)系”這個(gè)難點(diǎn)．在實(shí)際教學(xué)中，在給學(xué)生充分時(shí)間思考后，學(xué)生給出了多達(dá)8種不同的列方程的方法，通過分析比較，讓學(xué)生理解為什么在這個(gè)問題中以售價(jià)作為要表達(dá)的量最為簡(jiǎn)捷．這就好比A要從甲地(題中的已知)送物品給乙城的B(題中設(shè)為

x

的未知量)，最為節(jié)省時(shí)間的方法就是A，B約定同時(shí)到兩地之間某個(gè)地點(diǎn)來交換物品．而售價(jià)就好比A，B兩人相約的地點(diǎn)．相當(dāng)于列方程時(shí)我們思考的工作量被分成了兩段，就是分別用進(jìn)價(jià)和標(biāo)價(jià)來表示售價(jià)，然后用等號(hào)連接就得到方程．而小學(xué)算術(shù)解法中的算式，就相當(dāng)于是A到乙城直接送交到B手中，思維上要求就更高一點(diǎn)．所以快速準(zhǔn)確地找到最合適的表達(dá)量來列方程，可大大減少思考的難度．

4 自主學(xué)習(xí)，類比理解

活動(dòng)4 請(qǐng)以下列方程各編寫一道關(guān)于商品利潤(rùn)的應(yīng)用題：(1)140(1+

x

)=210×80%，(2)140+28=210

x

．(學(xué)生合作交流)

生：商店將進(jìn)價(jià)為140元的商品標(biāo)價(jià)為210元，打八折銷售后，利潤(rùn)率是多少？

生：商店將進(jìn)價(jià)為140元的商品標(biāo)價(jià)為210元，問商品打幾折銷售后可獲得28元的利潤(rùn)？

師：你能說出方程兩邊表示的實(shí)際意義嗎？

生：方程(1)和(2)左右兩邊都是表示售價(jià)，左邊是用進(jìn)價(jià)表示，右邊是用標(biāo)價(jià)表示．

教學(xué)分析與建議

通過分小組討論，自編題目，互評(píng)互檢，并引導(dǎo)學(xué)生說出方程兩邊分別表達(dá)的量的意義，強(qiáng)化用兩種方式表達(dá)同一個(gè)量來列方程的解題思路．讓學(xué)生從多個(gè)方向、多個(gè)層次進(jìn)行思考，

從而提升思維水平．同時(shí)，讓學(xué)生自己設(shè)計(jì)習(xí)題，也能更好地鍛煉學(xué)生的建模能力，當(dāng)學(xué)生面對(duì)自己“創(chuàng)造”出的習(xí)題更感興趣時(shí)，練習(xí)也就更投入了．

5 合作探究，提高技能

活動(dòng)5 某件商品因換季準(zhǔn)備打折出售，如果按標(biāo)價(jià)的七五折出售將賠25元；而按標(biāo)價(jià)的九折出售將賺20元，問這件商品的標(biāo)價(jià)是多少？

圖5

師生活動(dòng)：讓學(xué)生獨(dú)立思考后，通過以下問題串，引導(dǎo)學(xué)生選擇用合適的量作為目標(biāo)來建立相等關(guān)系列方程：

(1)題目中涉及到幾種價(jià)格？

(2)你能否準(zhǔn)確設(shè)出未知數(shù)?

(3)你能否畫出本題中的柱狀示意圖?

(4)你能否用不同的方式來表達(dá)這個(gè)量?

(5)你認(rèn)為選哪一個(gè)量作為列方程的依據(jù)最為簡(jiǎn)單?

教學(xué)分析與建議

通過活動(dòng)5，讓學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)如何合理選擇要表達(dá)的量．在教學(xué)時(shí)可類比盈不足問題選取不變的量．比如：“某工廠計(jì)劃做一批“中國(guó)結(jié)”，如果每人做5個(gè)，那么比計(jì)劃多做了9個(gè)；如果每人做4個(gè)，那么比計(jì)劃少做了15個(gè)，問：該小組共有多少名成員?他們計(jì)劃做多少個(gè)中國(guó)結(jié)?”我們可以選擇原計(jì)劃制作的中國(guó)結(jié)總數(shù)的兩種不同表示來列方程，如果設(shè)小組成員有

x

名，則可列方程：5

x

-9=4

x

+15．也可以選擇小組總成員數(shù)的兩種不同表示來列方程，設(shè)計(jì)劃做

x

個(gè)中國(guó)結(jié)，可列方程：通過這樣的類比練習(xí)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的建模能力，提升思維水平．

列方程解決實(shí)際問題的學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生以后學(xué)習(xí)分式方程、不等式以及函數(shù)都有一定的啟發(fā)作用，所以學(xué)生學(xué)習(xí)本章的結(jié)果將直接影響學(xué)生對(duì)后續(xù)內(nèi)容的理解與掌握．《義務(wù)教學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》要求“應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生經(jīng)歷對(duì)現(xiàn)實(shí)問題中量的分析，借助用字母表達(dá)的未知數(shù)，建立兩個(gè)量之間關(guān)系的過程，知道方程或不等式是現(xiàn)實(shí)問題中含有未知數(shù)的等量關(guān)系或不等關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)；體會(huì)算術(shù)與代數(shù)的差異．”基于這些原因，在教學(xué)設(shè)計(jì)的過程中，務(wù)必力求做到從學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，注重新舊知識(shí)的聯(lián)系，恰當(dāng)?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)，做到一題多解，重視展示思維過程，讓學(xué)生通過比較來感悟方程解決問題的優(yōu)越性，從中了解和體會(huì)數(shù)學(xué)地研究問題的思路與方法．