數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生品味到數(shù)學(xué)的“味道”

徐海周

(海南省儋州市第一中學(xué) 571700)

隨著我國數(shù)學(xué)課程改革的不斷推進(jìn)和數(shù)學(xué)教學(xué)改革的不斷深入，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)的確在幫助學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識、提升數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平方面取得了可喜的成績，但是我們卻忽視了學(xué)生“討厭數(shù)學(xué)”現(xiàn)象的發(fā)生，忽視了學(xué)生積極學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)情感的快速消退．長此下去，最終會(huì)導(dǎo)致什么樣的結(jié)局呢？有一個(gè)事實(shí)最能回答這個(gè)問題：21世紀(jì)教育研究院的楊東平院長在一次論壇上提到，中國從20世紀(jì)80年代中期就參與高中階段的國際奧林匹克數(shù)學(xué)競賽，擁有了很多金牌得主，但是幾十年過后，人們發(fā)現(xiàn)很多人從數(shù)學(xué)領(lǐng)域消失了，而當(dāng)年與他們同臺獲獎(jiǎng)的其他國家的選手，有很多人已經(jīng)成為數(shù)學(xué)大師．以上的事實(shí)足以說明我們的數(shù)學(xué)教學(xué)的生命力是如此脆弱、學(xué)生的可持續(xù)學(xué)習(xí)能力是如此低下！

為什么我們的數(shù)學(xué)教學(xué)會(huì)出現(xiàn)上述令人尷尬的局面呢？究其原因，許多數(shù)學(xué)教師受應(yīng)試教育的影響，身心早已被“分?jǐn)?shù)為王”的魔咒所禁錮，向?qū)W生灌輸考點(diǎn)、教授解題套路、傳授得分技巧成了教學(xué)的全部，在教學(xué)中有意加快進(jìn)度、增大難度、提高強(qiáng)度，借此來提高分?jǐn)?shù)．然而卻忽略了數(shù)學(xué)味道的提煉與生成，從而導(dǎo)致本該充滿力量的、自由的、唯美的、浪漫的、飽含故事的、應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)變得單調(diào)、枯燥、乏味，這是多么令人惋惜的事實(shí)．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確提出“數(shù)學(xué)教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生終身學(xué)習(xí)的能力”，這就要求數(shù)學(xué)教學(xué)不能再僅僅追求學(xué)生考取高分，更應(yīng)該追求依附在高分之上的積極地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感和態(tài)度．忽視這一點(diǎn)，恰恰是一些數(shù)學(xué)尖子從數(shù)學(xué)領(lǐng)域消失的真正原因．讓數(shù)學(xué)教學(xué)回歸本真，給我們的數(shù)學(xué)教學(xué)加點(diǎn)“料”，讓學(xué)生能夠品味到數(shù)學(xué)的“味道”，自然也就成為我們當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)亟待改進(jìn)的問題．

1 讓學(xué)生品味到數(shù)學(xué)是“有力”的

數(shù)學(xué)是什么？數(shù)學(xué)是一種改變世界的偉大力量！數(shù)學(xué)支配宇宙(畢達(dá)哥拉斯語)！數(shù)學(xué)教學(xué)首先要讓學(xué)生品味到數(shù)學(xué)的偉大力量．眾所周知，指數(shù)函數(shù)的爆炸性增長能產(chǎn)生巨大的力量，為了能讓學(xué)生感受到這種力量，在學(xué)習(xí)完指數(shù)函數(shù)的概念之后，我向?qū)W生拋出了這樣一個(gè)問題：世界最高的山峰珠穆朗瑪峰的高度是8 848.86 m(2020年12月8日測量)，而一張A4紙的厚度僅僅約為0.088 mm，對折1次其厚度增加為原來的2倍，對折2次其厚度增加為原來的4倍……假如紙張足夠大，一直對折27次，那么此時(shí)的厚度能否超過珠穆朗瑪峰的高度？問題一出，全班學(xué)生立即爭論起來，大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為紙張的厚度不可能超過珠穆朗瑪峰的高度，只有極個(gè)別學(xué)生認(rèn)為能，但又無法提供證據(jù)．接下來我就讓他們計(jì)算紙張的厚度，學(xué)生很快就算出其厚度約為 11 811.2 m，當(dāng)看到計(jì)算結(jié)果時(shí)，那些認(rèn)為不能的學(xué)生是一臉的驚詫，從他們驚詫的眼神中可以看出指數(shù)函數(shù)的爆炸性增長產(chǎn)生的力量在他們的內(nèi)心深處產(chǎn)生了不小的震動(dòng)．

數(shù)學(xué)的力量可以決定一場戰(zhàn)爭的勝負(fù)！在學(xué)習(xí)完有限樣本空間與隨機(jī)事件之后，我就給學(xué)生講述二戰(zhàn)時(shí)期英美兩國利用概率知識贏得戰(zhàn)爭勝利的故事：太平洋戰(zhàn)爭初期，英美兩國急需將坦克、火炮、汽油、槍支彈藥等大量軍用物資運(yùn)送到大西洋彼岸的作戰(zhàn)前線，為此，他們派遣了大量的護(hù)衛(wèi)艦為運(yùn)輸船隊(duì)護(hù)航，但是他們的艦隊(duì)常常遭到德國潛艇的襲擊，導(dǎo)致大量軍用物資還未送到前線將士手中就沉入了海底．當(dāng)時(shí)，英美兩國又不可能增派大量護(hù)航艦只，如果運(yùn)輸船隊(duì)不能及時(shí)將作戰(zhàn)物資運(yùn)送到戰(zhàn)爭前線，等待他們的只能是慘?。?dāng)時(shí)的美國海軍請教幾位數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)家們運(yùn)用概率論分析發(fā)現(xiàn)，艦隊(duì)與敵潛艇相遇是一個(gè)隨機(jī)事件，它具有一定的規(guī)律性：一定數(shù)量的船只，編隊(duì)規(guī)模越小，編次就越多，而編次越多，與敵人相遇的概率就越大．美國海軍接受了數(shù)學(xué)家的建議，命令船隊(duì)在指定海域集合，再集體通過危險(xiǎn)海域，然后各自駛向預(yù)定港口．結(jié)果，使原來被擊沉25%的概率降低為1%，大大減少了損失，保證了物資的及時(shí)供應(yīng)．故事講完了，同學(xué)們也深深地被數(shù)學(xué)的力量折服了．

2 讓學(xué)生品味到數(shù)學(xué)是“有用”的

數(shù)學(xué)是一門應(yīng)用十分廣泛的科學(xué)，我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚教授曾指出：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數(shù)學(xué)．”華老的這番話深刻地揭示了數(shù)學(xué)應(yīng)用的深入性與廣泛性，可是數(shù)學(xué)的這些應(yīng)用太過高深，只接受過高中數(shù)學(xué)教育的學(xué)生根本體會(huì)不到，要想使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)是有用的，務(wù)必從學(xué)生身邊的生活實(shí)際尋找實(shí)例．

在學(xué)習(xí)完基本不等式之后，我給學(xué)生設(shè)計(jì)了一個(gè)問題：油價(jià)經(jīng)常波動(dòng)，給汽車加油，“每次加300元”與“每次加40升”，哪一種加油方式更省錢？接著，我就引導(dǎo)學(xué)生分別計(jì)算這兩種方式加油的平均油價(jià)，在假設(shè)“兩種方式各加了兩次油，價(jià)格分別為

a

元

/

升、

b

元

/

升”的前提下分別算得它們的平均價(jià)格分別為學(xué)生根據(jù)所學(xué)的基本不等式的知識很快得到這時(shí)學(xué)生才明白還是“每次加300元”的方式更劃算．

在學(xué)習(xí)了概率的基本性質(zhì)之后，我給學(xué)生設(shè)計(jì)了一個(gè)問題：美國曾搞過一種電視大獎(jiǎng)游戲，有3扇關(guān)閉著的門，其中2扇門后面各有一只羊，另一扇門后面有一輛汽車，一個(gè)游戲參與者和一個(gè)主持人．游戲參與者隨機(jī)選定了一扇門，在不打開此扇門的情況下，主持人打開另一扇有羊的門，此時(shí)，主持人問游戲參與者是否更改自己剛才的選擇．這時(shí)，我問學(xué)生假如你就是那個(gè)游戲參與者，你是否更改自己剛才的選擇呢？問題一出，學(xué)生個(gè)個(gè)猶豫不決，于是我就引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)的對立事件的概率知識計(jì)算“改”與“不改”這兩種選擇獲得汽車大獎(jiǎng)的概率，學(xué)生很快算得它們的概率分別為當(dāng)?shù)贸龈怕式Y(jié)果后一切也就真相大白了．雖然只是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決了日常生活中的一些小事，但是學(xué)生依然能夠品味到數(shù)學(xué)是“有用的”．

3 讓學(xué)生品味到數(shù)學(xué)是“美”的

英國數(shù)學(xué)家羅素指出：“數(shù)學(xué)，如果正確地看，不但擁有真理，而且也具有至高的美．”法國著名雕塑家羅丹也曾指出：“美是到處都有的，對于我們的眼睛，不是缺少美，而是缺少發(fā)現(xiàn)．”相比于其他事物的美而言，數(shù)學(xué)的美是理性的美、深邃的美，不易被發(fā)現(xiàn)、更不易被品味．如果在教學(xué)中教師不給予學(xué)生機(jī)會(huì)與指導(dǎo)，學(xué)生是很難發(fā)現(xiàn)、感知、品味到數(shù)學(xué)的美的．因此，在教學(xué)中，運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)科知識展現(xiàn)數(shù)學(xué)的美、揭示事物美的原理，理應(yīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)不可或缺的一部分．

在學(xué)習(xí)橢圓的方程時(shí)，我一改以往帶領(lǐng)全體學(xué)生一起推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的做法，而是將全班學(xué)生分成兩組：第一組“以直線

F

F

為

x

軸，以過點(diǎn)

F

且垂直

F

F

的直線為

y

軸”建立平面直角坐標(biāo)系推導(dǎo)橢圓的方程；第二組“以直線

F

F

為

x

軸，以線段

F

F

的垂直平分線為

y

軸”建立平面直角坐標(biāo)系推導(dǎo)橢圓的方程．推導(dǎo)完畢后，要求這兩組學(xué)生分別將推導(dǎo)的方程展示到黑板上：(

a

-

c

)

x

+2(

a

-

c

)

cx

+

a

y

=(

a

-

c

)①；(

a

-

c

)

x

+

a

y

=

a

(

a

-

c

) ②．沒有比較就沒有發(fā)現(xiàn)，這兩種方程一比較，學(xué)生就容易發(fā)現(xiàn)方程②的簡潔美了．但如果教師不引導(dǎo)，學(xué)生對于橢圓方程美的品味也只能至此而已．為了發(fā)現(xiàn)方程更多的美，接下來我又引導(dǎo)學(xué)生將方程②中的

a

-

c

換成

b

，這時(shí)方程②變?yōu)榉匠?p>b

x

+

a

y

=

a

b

③．此時(shí)，方程的美又提高了一個(gè)層次，但還不夠美，接著再引導(dǎo)學(xué)生將方程③的兩端除以

a

b

，終于得到了橢圓最美的方程至此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的對稱美由此顯現(xiàn)．這樣做雖然占用了一些寶貴的課堂教學(xué)時(shí)間，但我認(rèn)為這是值得的，因?yàn)橛碚撐锢韺W(xué)家狄拉克告訴我們：“使一個(gè)方程具有美感，比使它去符合實(shí)驗(yàn)更重要．”

4 讓學(xué)生品味到數(shù)學(xué)是“自由”的

德國著名數(shù)學(xué)家康托爾曾指出：“數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于他的自由．”高中數(shù)學(xué)的很多知識是自由開放的，而教材只展示了其“冰山一角”，還有很大一部分內(nèi)容可供學(xué)生自由思考與自主探究．不要讓教師的思維、觀念與眼界限制了數(shù)學(xué)的自由．教學(xué)時(shí)可以鼓勵(lì)引導(dǎo)學(xué)生大膽地去探究發(fā)現(xiàn)，讓數(shù)學(xué)的自由在學(xué)生的腦海里發(fā)揮到極致．

在學(xué)習(xí)完等差數(shù)列和等比數(shù)列這兩個(gè)章節(jié)后，我就啟發(fā)學(xué)生思考：有沒有等和數(shù)列、等積數(shù)列或者其他數(shù)列呢？學(xué)生通過查閱資料研究發(fā)現(xiàn)的確有等和數(shù)列與等積數(shù)列，只不過它們都是過于簡單的周期數(shù)列，沒有研究價(jià)值所以才沒有給予太多關(guān)注．除此之外，學(xué)生們還發(fā)現(xiàn)了“從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)等于它的前兩項(xiàng)之和的”斐波那契數(shù)列、“從第四項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都是前面兩項(xiàng)與前面三項(xiàng)的和”的帕多瓦數(shù)列、Prufer數(shù)列……學(xué)生對數(shù)列的認(rèn)識與思考一下子也就自由開朗了許多．在學(xué)習(xí)完橢圓和雙曲線這兩個(gè)章節(jié)后，我也啟發(fā)學(xué)生思考：有沒有“到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之商等于一個(gè)常數(shù)”“到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積等于一個(gè) 常數(shù)”的曲線呢？學(xué)生通過查閱資料研究發(fā)現(xiàn)的確有以上兩種曲線，它們分別為“阿波羅尼斯圓”與“卡西尼卵形線”．有好幾個(gè)學(xué)生對此非常感興趣，還用幾何畫板或GeoGebra畫出了不同形狀的卡西尼卵形線．雖然這些知識高考并不一定涉及，但通過我的引導(dǎo)，數(shù)學(xué)自由的味道也就深入人心了．

5 讓學(xué)生品味到數(shù)學(xué)是“有故事”的

數(shù)學(xué)是一門既古老又年輕的科學(xué)，年輕是因?yàn)閿?shù)學(xué)在不斷地發(fā)展創(chuàng)新，古老是因?yàn)槠錃v史悠久．很多數(shù)學(xué)知識都像一位飽經(jīng)滄桑的老人，一路走來伴隨著許多“故事”，但因其被發(fā)現(xiàn)的年代太過久遠(yuǎn)，導(dǎo)致無法從字面上去認(rèn)識、理解和接受它．比如高中數(shù)學(xué)中的“函數(shù)”這一概念，從17世紀(jì)被德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲最先以“幾何量”的形式提出，到19世紀(jì)被我國清代數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯成中文的“函數(shù)”，其間200多年的歷史長河中經(jīng)歷了五次重大的演變，如果不給學(xué)生介紹它的歷史故事，學(xué)生是很難體會(huì)到如今數(shù)學(xué)教材中“集合對應(yīng)說”定義形式是何等的嚴(yán)謹(jǐn)與簡約！為了能夠讓學(xué)生了解這一漫長曲折的歷史，在帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)完這一概念后，我就以問題為抓手給學(xué)生講好函數(shù)的故事：

(1)已知兩個(gè)函數(shù)

f

(

x

)與

g

(

x

)，若當(dāng)

x

>0時(shí)，

f

(

x

)=

g

(

x

)，那么，當(dāng)

x

<0時(shí)，

f

(

x

)與

g

(

x

)是否相等，若相等，說明理由；若不相等，請舉例說明．(借助學(xué)生思考回答此問題的機(jī)會(huì)，教師可以向?qū)W生講述一場發(fā)生在18世紀(jì)有關(guān)函數(shù)定義的“解析說”與“變量依賴說”之爭的故事)(2)現(xiàn)有這樣一個(gè)解析式請判斷這個(gè)解析式能否作為一個(gè)函數(shù)的解析式？若能，請指出它的“三要素”；若不能，說明理由．(可以告訴學(xué)生這個(gè)函數(shù)是德國數(shù)學(xué)家狄利克雷給出的，因此被稱為“狄利克雷”函數(shù)

.

借助學(xué)生思考回答此問題的機(jī)會(huì)，教師可以向?qū)W生講述一場發(fā)生在19世紀(jì)有關(guān)函數(shù)定義的“變量依賴說”與“變量對應(yīng)說”之爭的故事)以上事實(shí)證明，在我們的日常數(shù)學(xué)教學(xué)中適時(shí)地給教學(xué)增添一些史料以使其更具“故事”味，不僅能幫助學(xué)生加深對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的理解，更能增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)歷史責(zé)任感，促使他們更加珍惜這些來之不易的人類智慧的結(jié)晶

.

無怪乎法國數(shù)學(xué)家朗之萬曾提出：“在數(shù)學(xué)教學(xué)中，加入歷史是有百利而無一弊的．”

6 讓學(xué)生品味到數(shù)學(xué)是“浪漫”的

數(shù)學(xué)不僅僅有冰冷枯燥的一面，更有溫情浪漫的一面！數(shù)學(xué)的味道不僅蘊(yùn)藏在我們的課堂教學(xué)里，更是彌漫在我們的日常生活里，教師在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候讓學(xué)生嗅一嗅，則能達(dá)到意想不到的效果．青蔥少年，情竇初開，向異性表達(dá)愛意是他們最想干的事，但又是最不擅長的事．浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系教授蔡天新曾指出：“數(shù)學(xué)是最浪漫的，它比世界上任何語言都要煽情．”因此，在教學(xué)之余，向?qū)W生展示一下用數(shù)學(xué)語言寫的情詩還是挺受學(xué)生歡迎的．在學(xué)習(xí)完圓錐曲線之后，我就給學(xué)生布置了兩個(gè)動(dòng)手的作業(yè)：

(1)利用幾何畫板或GeoGebra在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出方程所表示的曲線；

(2)利用幾何畫板或GeoGebra在不同坐標(biāo)系中畫出方程

x

=-6|sin

y

|所表示的曲線．

圖1

圖2

當(dāng)學(xué)生繪制出圖1和圖2時(shí)，一個(gè)個(gè)驚訝、激動(dòng)、興奮不已，原來用數(shù)學(xué)知識也可以寫情書，真是太可愛了！

在學(xué)生高三即將畢業(yè)時(shí)，我就利用數(shù)學(xué)中的名詞給他們寫寄語：憂愁是可微的，快樂是可積的，在未來趨于正無窮的日子里，幸福是連續(xù)的，對你的祝福是可導(dǎo)的且大于零，祝你每天快樂 的復(fù)合函數(shù)總是最大值．這樣，將情感用數(shù)學(xué)來 表達(dá)，讓數(shù)學(xué)味彌散到學(xué)生生活的每一個(gè)角落，用數(shù)學(xué)“浪漫”的味道點(diǎn)亮學(xué)生枯燥乏味的求學(xué)生活．

7 結(jié)語

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，廣大一線數(shù)學(xué)教師只有憑借豐富的數(shù)學(xué)“味道”去征服學(xué)生求知的“味蕾”，學(xué)生才會(huì)對數(shù)學(xué)從“動(dòng)手”“動(dòng)腦”到“動(dòng)心”著迷，未來我們的學(xué)生才有可能成長為數(shù)學(xué)家，因?yàn)榉▏鴶?shù)學(xué)家努瓦列斯提醒我們：“數(shù)學(xué)家本質(zhì)上是個(gè)著迷者，不迷就沒有數(shù)學(xué)．”