基于“四問驅(qū)動(dòng)”的“空間向量基本定理”的教學(xué)實(shí)錄與反思*

周德春

(江蘇省射陽中學(xué) 224300)

1 基本情況

授課對(duì)象 學(xué)生來自四星級(jí)省重點(diǎn)高中普通班，基礎(chǔ)良好．

教材分析 “空間向量基本定理”是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)(選修2-1)》(蘇教版)第3章“空間向量與立體幾何”中的第1節(jié)“空間向量及其運(yùn)算”的第3小節(jié)內(nèi)容，是空間向量線性表示、坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)，是向量法解決立體幾何問題的重要工具，是本章的核心知識(shí)點(diǎn)之一．

設(shè)計(jì)思想 在學(xué)習(xí)了平面向量基本定理的基礎(chǔ)上，基于類比思想來研究空間向量基本定理．由于從平面到空間需要空間想象能力作為支撐，對(duì)于空間想象能力薄弱的部分學(xué)生學(xué)習(xí)起來還是有困難的，故在此教學(xué)設(shè)計(jì)中采取了“合作探究”的教學(xué)方法和“四問驅(qū)動(dòng)”的教學(xué)范式，突出啟發(fā)式教學(xué)、突出問題引領(lǐng)、突出數(shù)形結(jié)合、突出類比過程，以實(shí)現(xiàn)對(duì)空間向量基本定理的全面理解、猜想證明和簡單運(yùn)用．

教學(xué)目標(biāo) (1)運(yùn)用類比的方法理解空間向量基本定理及其推論，體會(huì)空間任意一個(gè)向量可以用不共面的三個(gè)已知向量線性表示，而且這種表示是惟一的；(2)了解空間中基底的含義，并在簡單問題中能用給出的一個(gè)基底來表示已知向量，初步感悟向量是研究幾何問題的工具；(3)提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象素養(yǎng)．

教學(xué)重點(diǎn) 空間向量基本定理的理解．

教學(xué)難點(diǎn) 空間向量基本定理的證明．

2 過程設(shè)計(jì)

2.1 問題情境

師：在數(shù)學(xué)中，我們常用類比法研究數(shù)學(xué)問題，比如類比集合來研究向量，類比指數(shù)函數(shù)來研究對(duì)數(shù)函數(shù)，類比橢圓來研究雙曲線等．今天將類比平面向量基本定理來研究空間向量基本定理．(點(diǎn)題：空間向量基本定理)

2.2 探究建構(gòu)

●通過類比得到的空間向量基本定理的內(nèi)容是什么？如何證明這個(gè)定理？這個(gè)定理有什么用處？

說明

前面標(biāo)注●的問題稱為“啟問”．所謂啟問就是依據(jù)教學(xué)目標(biāo)，提出問題．

問題1

如何通過類比得到空間向量基本定理的？

師：請問同學(xué)們，平面向量基本定理的內(nèi)容是什么？

生：如果,是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，存在惟一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(

x

,

y

)，使=

x

+

y

．

師：定理中有哪些關(guān)鍵詞？

生：平面內(nèi)，,不共線，任一向量，存在，惟一．

師：類比平面向量基本定理，結(jié)合關(guān)鍵詞，請猜想出空間向量基本定理的具體內(nèi)容．

生：平面內(nèi)→空間中；,不共線→,,不共面；任一向量→任一向量，存在惟一→存在惟一，(

x

,

y

)→(

x

,

y

,

z

)，=

x

+

y

→=

x

+

y

+

z

．

(在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上給出下面的定理)

空間向量基本定理 如果三個(gè)向量,,

不共面

，那么對(duì)于空間

任一向量

，

存在惟一

的有序?qū)崝?shù)組(

x

,

y

,

z

)，使=

x

+

y

+

z

．(用著重號(hào)標(biāo)出關(guān)鍵詞)

追問 猜想出來的結(jié)論可靠嗎？

生：不可靠！需要證明．

師：證明的大致思路是什么？

生：可類比平面向量基本定理，分存在性和惟一性來證明．

問題2

如何證明空間向量基本定理中的存在性？

圖1

師：如圖1，設(shè),,是三個(gè)共點(diǎn)且不共面的向量，其中對(duì)于空間任一向量，設(shè)=．如何將線性表示成的形式？生：過點(diǎn)

P

作

PP

∥

OC

，交平面

AOB

于點(diǎn)

P

．師：這點(diǎn)

P

具體在什么位置？生：點(diǎn)

P

既在平面

POC

內(nèi)，又在平面

AOB

內(nèi)，故點(diǎn)

P

在平面

POC

和平面

AOB

的交線上．師：很好．記上述交線為直線

OD

，則點(diǎn)

P

在直線

OD

上(此時(shí)教師在圖中作出直線

OD

，

PP

和

OD

的交點(diǎn)就是

P

)，這樣

P

的位置就確定了，于是接下來怎么辦？生：在平面

AOB

內(nèi)，作平行四邊形

OA

P

B

，滿足

A

,

B

分別在直線

OA

,

OB

上，于是所以師：很好！接下來根據(jù)共線向量的條件，存在三個(gè)確定的實(shí)數(shù)

x

,

y

,

z

，使得所以=

x

+

y

+

z

．這就證明了存在性．

追問 上述證明存在性用的是什么方法？

生：構(gòu)造圖形法．

提煉 證明存在性的問題，一般都用構(gòu)造法．

問題3

如何證明空間向量基本定理中的惟一性？

師：證明惟一性常用什么方法？

生：反證法．

師：下面用反證法試一試如何證明？

生：假設(shè)有兩種不同的表示，分別為=

x

+

y

+

z

，=

x

+

y

+

z

，其中(

x

,

y

,

z

)≠(

x

,

y

,

z

)，則有

x

+

y

+

z

=

x

+

y

+

z

，移項(xiàng)整理得(

x

-

x

)+(

y

-

y

)+(

z

-

z

)=

0

．不妨設(shè)

x

≠

x

，則進(jìn)而,,共面，這與已知條件,,不共面矛盾，因此只有惟一的一種表示，即有序數(shù)組(

x

,

y

,

z

)是惟一的．

師：說得非常棒！這就證明了惟一性．至此完成了對(duì)空間向量基本定理的完整證明．

練習(xí) 已知,,不共面，且

x

+

y

+

z

=

0

，則

x

=

y

=

z

=

．

提煉 空間向量基本定理告訴我們，空間中任意一個(gè)向量只需用三個(gè)不共面的向量就能線性表示，而且這種表示是惟一的．

追問1 空間向量基本定理中的三個(gè)不共面向量可以構(gòu)成空間的一個(gè)

，這三個(gè)向量叫作

．追問2 如果空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量兩兩互相垂直，那么這個(gè)基底叫作

．追問3 如果空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量兩兩互相垂直而且都是單位向量，那么這個(gè)基底叫作

，通常用

表示．

(在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上給出下面的概念)

基底、基向量、正交基底和單位正交基底 如果三個(gè)向量,,不共面，那么{,,}稱為空間的一個(gè)基底，,,叫基向量．如果空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量兩兩垂直，那么這個(gè)基底叫正交基底．特別地，當(dāng)一個(gè)正交基底的三個(gè)基向量都是單位向量時(shí)，稱這個(gè)基底為單位正交基底，通常用{,,}表示．追問4 如果把空間向量基本定理中的基向量{,,}改用任意一個(gè)向量改用會(huì)有一個(gè)什么樣的結(jié)論呢？

(在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上給出下列推論)

推論 設(shè)

O

,

A

,

B

,

C

是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任意一點(diǎn)

P

，都存在惟一的有序?qū)崝?shù)組(

x

,

y

,

z

)，使

問題4

如何運(yùn)用空間向量基本定理解決問題？

2

.

3 數(shù)學(xué)運(yùn)用

例1

如圖2，在正方體

OADB

-

CA

D

B

中，點(diǎn)

E

是

AB

和

OD

的交點(diǎn)，

M

是

OD

與

CE

的交點(diǎn)，試分別用向量表示和

圖2 圖3

(學(xué)生口答，教師板書)

變式 該正方體為平行六面體(圖3)，其余條件不變，結(jié)果怎樣？

生：結(jié)論也不變．

追問 上述圖中點(diǎn)

M

是△

ABC

的

心(從外、內(nèi)、重、垂中選一個(gè))．

提煉1 上述正方體或平行六面體中的任意一個(gè)確定的向量都可以用惟一表示．

提煉2 在三棱錐

O

-

ABC

中，若點(diǎn)

M

是底面△

ABC

的重心，則

例2

已知{,,}為空間一個(gè)基底，能否以作為空間的一個(gè)基底？

分析 三個(gè)向量能否作為一個(gè)基底，關(guān)鍵看它們是否不共面．

解

假設(shè)共面．由于顯然有與不共線，據(jù)共面向量定理可設(shè)于是+=

x

(-)+

y

(-)=

x

+

y

-(

x

+

y

)．因?yàn)閧,,}為空間一個(gè)基底，所以依據(jù)空間向量基本定理中惟一性，得此方程無解，矛盾！所以不共面，故能作為空間的一個(gè)基底．

追問 能用上述基底表示向量嗎？

生：能．

師：那又如何表示呢？

生：利用待定系數(shù)法，設(shè)即有4+-=(

m

+

n

)+(

m

+

k

)-(

n

+

k

)．因?yàn)閧,,}為空間一個(gè)基底，所以解之得因此，

2

.

4 課堂小結(jié)

■本節(jié)課是如何研究空間向量基本定理的？(類比法猜想，構(gòu)造法、反證法證明，運(yùn)算法則法、待定系數(shù)法應(yīng)用)

■空間向量基本定理、平面向量基本定理、共線向量定理有什么區(qū)別和聯(lián)系？(略)

說明

前面標(biāo)注■的問題稱為“回問”．所謂“回問”就是反思提煉，總結(jié)提升．

3 教學(xué)反思

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)沒有采用新課程倡導(dǎo)的“問題情境—知識(shí)建構(gòu)—知識(shí)運(yùn)用—課堂小結(jié)”的模式，而是采用了原創(chuàng)的“四問驅(qū)動(dòng)”的教學(xué)范式，主要基于以下兩個(gè)原因：一是筆者目前主持的一項(xiàng)省規(guī)劃辦課題就是關(guān)于“四問驅(qū)動(dòng)”范式的課題，所以采用“四問驅(qū)動(dòng)”的教學(xué)范式進(jìn)行授課可以豐富課題研究成果；二是倡導(dǎo)用“四問驅(qū)動(dòng)”的范式培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，因?yàn)椤八膯栻?qū)動(dòng)”范式就是為聚焦上述“四能”而設(shè)計(jì)的教學(xué)范式．

由于“四問驅(qū)動(dòng)”教學(xué)范式有相對(duì)固定的模式，所以在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)如何設(shè)計(jì)“四問”就顯得非常重要．那么本節(jié)課是如何設(shè)計(jì)“四問”的呢？

第一、設(shè)計(jì)啟問時(shí)要依據(jù)教學(xué)目標(biāo)，并注意將啟問前的問題情境設(shè)計(jì)得新穎簡潔明了有趣．設(shè)計(jì)探問時(shí)要依據(jù)啟問，并注意各探問之間呈并列或遞進(jìn)關(guān)系．設(shè)計(jì)追問時(shí)要依據(jù)探問，并注意讓追問的思維量適當(dāng)小一些，讓思維的靈動(dòng)在此能體現(xiàn)出來．設(shè)計(jì)回問時(shí)要把握課堂立意，把握深度學(xué)習(xí)，做到既有一般性的梳理歸納，又有畫龍點(diǎn)睛式的拔高．而本節(jié)課在設(shè)計(jì)“四問”時(shí)，就是遵循上面的設(shè)計(jì)思路來進(jìn)行的．在設(shè)計(jì)啟問、追問和回問時(shí)都比較順利，唯獨(dú)在設(shè)計(jì)探問時(shí)出現(xiàn)了一個(gè)糾結(jié)，就是“基底概念和定理的推論”這個(gè)內(nèi)容是作為探問給出來還是作為追問給出來，最終是把它們作為追問給出來．其原因是堅(jiān)持探問之間的關(guān)系是并列或遞進(jìn)關(guān)系．

第二、根據(jù)“四問驅(qū)動(dòng)”的含義，“四問驅(qū)動(dòng)”中的問題應(yīng)該具有驅(qū)動(dòng)性，那么在進(jìn)行“四問”設(shè)計(jì)時(shí)，如何體現(xiàn)驅(qū)動(dòng)性？主要做法是：一方面讓所有設(shè)計(jì)出來的問題都要有一定的思維量，而且問題之間要連貫并形成一個(gè)體系；另一方面，在授課時(shí)要留有時(shí)間讓學(xué)生思考或演算，而不總是教師自問自答．

總之，運(yùn)用“四問驅(qū)動(dòng)”教學(xué)范式進(jìn)行教學(xué)是一種新的嘗試，其基本特征是：教學(xué)目標(biāo)明確，教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，課堂立意較高；制作課件時(shí)重視情境設(shè)計(jì)和四問設(shè)計(jì)，課堂實(shí)施時(shí)重視合作探究和“四能”培養(yǎng)等．本節(jié)課不足之處表現(xiàn)在學(xué)生動(dòng)手依然偏少，變式訓(xùn)練還有待加強(qiáng)．