基于GeoGebra分析一道中考壓軸題的源與流

趙玉葉

(江蘇省蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學 215228)

中考數(shù)學試題由專家組精心命制而成，而數(shù)學壓軸題歷來在數(shù)學中考中占有舉足輕重的地位．有些試題看似超乎尋常，實則抽絲剝繭后都能尋到基本的“知識源”，擁有很深的基礎(chǔ)性和生命力．GeoGebra數(shù)學軟件(簡稱GGB)具有動態(tài)、交互、開放、共享、簡單、易用等特點，可以創(chuàng)建開放的探究環(huán)境，發(fā)揮教師的主導作用，體現(xiàn)學生的主體地位，實現(xiàn)靜態(tài)向動態(tài)教學的轉(zhuǎn)變．本文基于GGB軟件分析2021年連云港中考數(shù)學27題這道動點軌跡壓軸題，旨在對其解法進行分析并給出一些初步的思考，從思路摸索中感悟模型的根源，從猜想驗證中體驗本質(zhì)的提煉，從可視化探究中思考問題的推廣，實現(xiàn)壓軸題的“尋源”與“顯流”．

1 試題呈現(xiàn)

在數(shù)學興趣小組活動中，小亮進行數(shù)學探究活動．

圖1

(1)△

ABC

是邊長為3的等邊三角形，

E

是邊

AC

上的一點，且

AE

=1，小亮以

BE

為邊作等邊三角形

BEF

，如圖1．求

CF

的長

.

(2)如圖1，△

ABC

是邊長為3的等邊三角形，

E

是邊

AC

上的一個動點，小亮以

BE

為邊作等邊三角形

BEF

，在點

E

從點

C

到點

A

的運動過程中，求點

F

所經(jīng)過的路徑長

.

(3)△

ABC

是邊長為3的等邊三角形，

M

是高

CD

上的一個動點，小亮以

BM

為邊作等邊三角形

BMN

，如圖2．在點

M

從點

C

到點

D

的運動過程中，求點

N

所經(jīng)過的路徑長

.

圖2 圖3

(4)正方形

ABCD

的邊長為3，

E

是邊

CB

上的一個動點，在點

E

從點

C

到點

B

的運動過程中，小亮以

B

為頂點作正方形

BFGH

，其中點

F

，

G

都在直線

AE

上，如圖3．當點

E

到達點

B

時，點

F

,

G

,

H

與點

B

重合．則點

H

所經(jīng)過的路徑長為

，點

G

所經(jīng)過的路徑長為

．第(1)小題是典型的全等三角形模型——“手拉手”模型．我們很容易證明△

BAE

≌△

BCF

(SAS)，求得

CF

=

AE

=1．

下面主要探討第(2)～(4)小題．

2 尋源：方法初探——“按圖索跡”

2

.

1 動點軌跡：模型歸納

后三小題考查的是動點的軌跡問題．初中數(shù)學中的動點軌跡有兩種模型：直線型、圓弧型．受函數(shù)圖象畫法三步驟的指引，解決動點軌跡問題可以分為三步：(1)畫圖，取3個特殊位置(一般是起點、中點、終點)；(2)連線，判斷曲直；(3)求解，求動點路徑的線段長或弧長．

圖4 圖5

圖6

新授課探討函數(shù)圖象至少是用五點來作圖，但初中的動點軌跡最終只有線段和圓弧兩種，所以3個點就夠判斷曲直．對于第(2)、(3)小題，如圖4、圖5所示，分別取動點

E

和

M

的起點、中點、終點三個位置就能分別畫出線段軌跡

CD

和

EF

．容易證明△

BCD

是等邊三角形，四邊形

ABDC

是菱形．根據(jù)已知條件，可以計算出

CD

=

AC

=3，對于第(4)小題，如圖6所示，同樣取三個特殊位置就能畫出點

H

和點

G

分別經(jīng)過的路徑：與再分別找到圓心

I

、半徑

BI

和圓心

M

、半徑

BM

，就能求得兩個圓弧的長：

2

.

2 圖形變換：本質(zhì)提煉

上述常規(guī)解法需要畫圖確定動點的軌跡，所以比較費時費力．如果從圖形變換的角度去思考動點軌跡的問題，往往可以發(fā)現(xiàn)從動點軌跡與主動點軌跡是有關(guān)聯(lián)的．本題所有圖形運動的實質(zhì)都是旋轉(zhuǎn)加位似，共同特征是正多邊形共頂點．在這樣的圖形變換下都會形成“手拉手”模型．

如圖7所示,第(3)小題中由圍繞點

B

的四條“拉手線”

BA

=

BC

，

BM

=

BN

，就能找到△

BAM

≌△

BCN

(SAS)．所以點

N

的運動軌跡長等于點

M

的運動軌跡長

DC

．同理，如圖8所示，第(4)小題中由圍繞點

B

的四條“拉手線”

BA

=

BC

，

BF

=

BH

，能找到△

BAF

≌△

BCH

(SAS)，也就是點

C

，

G

，

H

三點共線．于是在Rt△

ACG

中，點

G

在以

AC

為直徑的圓上，在Rt△

BCH

中，點

H

在以

BC

為直徑的圓上．

圖7 圖8

解題的成功要依靠正確思路的選擇，要從最接近它的方向攻克．解初中的幾何題理所應當提倡“以圖為綱，按圖索跡”．對于動點軌跡問題，我們可以從局部去分析動點的軌跡模型，判斷直線型或圓弧型；也可以從整體出發(fā)關(guān)注圖形變換(平移、對稱、旋轉(zhuǎn)、位似)．點動成線，線藏于形，解題時雙管齊下，方可使思路并蒂開花．

3 顯流：深度拓展——“按圖索GGB”

數(shù)學家波利亞指出：“當你找到第一個蘑菇后，要環(huán)顧四周，因為它們總是成堆生長的．”在進行完上述探究過程后，學生對本題的動點軌跡和圖形變換有了一定的認識與掌握，此時教師可以利用信息技術(shù)工具，向?qū)W生展示點的動態(tài)運動，并對其他特殊動點和一般化圖形作進一步推廣．下文探究“按圖索GGB”的可視化拓展，利用GGB展開探索．

3.1 驗：驗證動點的軌跡

利用GGB使試題中的動點軌跡可視化．如 圖9～圖11所示，利用GGB軟件，我們可以動態(tài)演示出隨著主動點的運動，第(2)、(3)小題從動點形成的確實是直線軌跡

CD

和

EF

，第(4)小題中從動點

H

和

G

形成的軌跡確實是和

圖9 圖10 圖11

3

.

2 探：探索其他的動點

問題1-1

第(2)小題中等邊三角形

BEF

的各邊中點形成了怎樣的軌跡？

圖12

先利用GGB探究：輸入等邊三角形

ABC

→在邊

AC

上任取一點

E

→連結(jié)

BE

，輸入等邊三角形

BEF

→輸入中點

K

,

N

,

H

→分別選擇中點

K

,

N

,

H

關(guān)于動點

E

的軌跡．如圖12，可發(fā)現(xiàn)各邊中點的軌跡也是線段．

證明

中位線

NI

中位線

HM

易證明△

BCD

是等邊三角形，則菱形

ABDC

的中位線

KL

問題1-2

若將第(2)小題中等邊三角形

ABC

和等邊三角形

BEF

都換成一般三角形，那么第三個頂點的軌跡會有怎樣的變化？

圖13

先利用GGB探究：輸入任意三角形

ABC

→在邊

AC

上任取一點

D

→連結(jié)

BD

，標記∠

BCD

為

α

→順時針旋轉(zhuǎn)△

BCD

，旋轉(zhuǎn)角為

α

→作位似三角形

BED

→選擇點

E

關(guān)于動點

D

的軌跡．如圖13，可以發(fā)現(xiàn)點

E

的軌跡不再與

AB

邊平行，但保持直線型軌跡．

證明

因為△

CAB

∽△

FCB

，所以可由求出點

E

的軌跡長

CF

．

問題1-3

若將第(2)小題中等邊三角形

ABC

和等邊三角形

BEF

都換成一般三角形，那么各邊中點的軌跡會有怎樣的變化？

圖14

先利用GGB探究：輸入中點

H

,

M

,

L

→分別選擇中點

H

,

M

,

L

關(guān)于動點

D

的軌跡．如圖14，可發(fā)現(xiàn)各邊中點的軌跡也是線段．

證明

中位線

LJ

中位線

MK

中位線

HI

問題2

若將第(3)小題的中點

D

換成一般位置的點，其軌跡會有怎樣的變化？

圖15

先利用GGB探究：輸入等邊三角形

ABC

→在邊

AB

上任取一動點

D

→連結(jié)

CD

，在邊

CD

上任取一動點

E

→連結(jié)

BE

，輸入等邊三角形

BEF

→選擇點

F

關(guān)于動點

E

的軌跡．如圖15，拖動點

D

可發(fā)現(xiàn)點

F

的起點

G

隨之運動，終點

H

保持不變，軌跡依舊呈現(xiàn)直線型．拖動點

E

，點

F

隨之在線段

GH

上運動．

證明

根據(jù)

BD

=

BG

，利用“手拉手”模型，我們?nèi)菀鬃C明△

BDE

≌△

BGF

(SAS)，所以點

F

的軌跡長

GH

等于點

E

的軌跡長

CD

．

問題3

若將第(4)小題中動點

E

從邊

BC

換到直線

BC

上，那么點

G

與

H

的軌跡會怎樣變化？

圖16

先利用GGB探究：輸入正方形

ABCD

→在直線

BC

上任取一動點

E

→連結(jié)

AE

→過點

B

作

BF

⊥

AE

于點

F

→以

BF

為邊作正方形

BFGH

→選擇點

G

關(guān)于動點

E

的軌跡、點

H

關(guān)于動點

E

的軌跡．如圖16所示，可發(fā)現(xiàn)點

G

、點

H

的軌跡由圓弧變?yōu)檎麍A周．

證明

在Rt△

ACG

中，點

G

在以

AC

為直徑的圓上；在Rt△

BCH

中，點

H

在以

BC

為直徑的圓上．

數(shù)學解題總是從分析已知元素和未知元素開始，二者的關(guān)聯(lián)越不明顯，就越值得探究．本道中考壓軸題難度較大，區(qū)分度明顯，學生很難觀察出從動點與主動點的直接聯(lián)系，更難將軌跡和圖形變換分析出來．但運用GGB，學生能夠直觀地“看到”動點間的聯(lián)系和要求的動點軌跡．具象化地展示試題的完成和拓展可以幫助學生認清試題本質(zhì)、理解數(shù)學問題，有助于其養(yǎng)成反思的好習慣，落實“低起點，高落點”的目標．

4 結(jié)語

中考數(shù)學命題十分重視回歸教材、重視基本知識，而中學數(shù)學教學的目的在于使學生掌握基礎(chǔ)知識和基本技能，培養(yǎng)學生的數(shù)學能力，形成正確的解題思路和看題觀點，這是中學數(shù)學教學的本源．弗賴登塔爾認為：“數(shù)學知識不是教出來的，而是研究出來的．”學生解決問題的能力何嘗不是如此呢？只有親歷問題的探索過程、鍛煉科學的思維方式，才能在實踐中逐步具備豐富的策略方法．教師根據(jù)教學內(nèi)容和教學目標適時、適量地使用信息化平臺，能夠突破數(shù)學“難以意會，無法言傳”的障礙，真正做到“教懂、教活、教深”，引導學生將更多精力集中在高層次的數(shù)學思考上，實現(xiàn)有意義的解題教學，促進學生的思維發(fā)展．