出入相補原理的內(nèi)涵及其在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的價值

黃仙鳳，黃紅倩，李織蘭

（1.百色市田陽區(qū)第二小學(xué)，廣西百色 533600；2.桂林學(xué)院理工學(xué)院，廣西桂林 541006；3.桂林師范高等?？茖W(xué)校教務(wù)處，廣西桂林 541199）

出入相補原理是中國古代幾何學(xué)中最基本的一條原理，出現(xiàn)在小學(xué)五年級數(shù)學(xué)教材（人教版）的“多邊形面積”單元的“你知道嗎？”欄目，它的價值主要在于對小學(xué)生的觀念及思維方式的影響，具有科學(xué)和人文的教育價值。一方面，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，提高運用數(shù)學(xué)知識和方法解決問題的能力；另一方面，對學(xué)生良好品德的養(yǎng)成、思維能力的提升、理性精神的培養(yǎng)和陶冶具有獨特的意義。

目前，部分教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中還存在這樣的問題：重數(shù)學(xué)知識的灌輸，輕數(shù)學(xué)思維的提升、數(shù)學(xué)思想的感悟，忽視數(shù)學(xué)文化的教育價值與作用。因此，在出入相補原理教學(xué)中，要引領(lǐng)學(xué)生品味出入相補原理的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)精神，厚植家國情懷，對學(xué)生進(jìn)行品德教養(yǎng)、性情陶冶，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中感受數(shù)學(xué)文化之魅力，培養(yǎng)核心素養(yǎng)，從而落實立德樹人根本目標(biāo)和任務(wù)。

一、出入相補原理

（一）出入相補原理的由來

幾何學(xué)體系包括歐氏幾何學(xué)和中國古代幾何學(xué)等。歐氏幾何即歐幾里得的《幾何原本》中的幾何學(xué)內(nèi)容，歐氏幾何的出現(xiàn)標(biāo)志著數(shù)學(xué)領(lǐng)域建立了公理化思想體系，為數(shù)學(xué)幾何明確了一種建立科學(xué)理論的模式，為人們提供了豐富多彩的幾何知識內(nèi)容。

中國古代幾何學(xué)形成了一套體現(xiàn)中國古代數(shù)學(xué)獨有風(fēng)格且生機盎然的系統(tǒng)，它從出入相補原理、容直容橫原理、劉徽原理等精煉扼要的原理出發(fā)推導(dǎo)數(shù)學(xué)知識，其中出入相補原理是中國古代數(shù)學(xué)推導(dǎo)圖形面積公式的傳統(tǒng)方法和最基本的原理。

中國古代數(shù)學(xué)家利用“以盈補虛”的割補法，即以多余補不足，圖1 中的三角形“上盈下虛，以上補下”，將三角形面積問題轉(zhuǎn)換成長方形面積，從而推導(dǎo)出計算公式。

圖1 三角形“以盈補虛”割補法

2000 多年前，《九章算術(shù)》記載了三角形面積的計算公式，將三角形稱為圭田，長方形稱為直田。劉徽在《九章算術(shù)注》中注解：“半廣者，以盈補虛，為直田也”，說明它是應(yīng)用出入相補原理，由長方形面積導(dǎo)出了三角形面積公式。圭田術(shù)曰：“半廣以乘正從”得積步[1]。廣，稱作底；正從，稱作高，“圭田術(shù)”翻譯成現(xiàn)代語言就是說“三角形的面積等于底的一半乘以高”。

《九章算術(shù)》方田章中，還給出了用“以盈補虛”的割補法計算梯形面積的兩種方法（見圖2），即并兩邪（上底和下底）而半之（除以二，其實就是線的割補），以乘正從（就是高）若廣；又可半正從（高的一半）若廣，以乘并（上底和下底的和）。

圖2 梯形三角形“以盈補虛”割補法

出入相補一詞出自《九章算術(shù)注》，劉徽在《九章算術(shù)注》對“勾股術(shù)”中勾股定理的證明過程作了如下解釋：“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其余不移動也；合成弦方之冪，開方除之，即弦也?！盵2]出入相補由此得名。劉徽用出入相補原理解決了一個又一個數(shù)學(xué)難題，系統(tǒng)地給出了各種圖形面積公式的證明。

我國著名數(shù)學(xué)家吳文俊對出入相補原理作了概括，其內(nèi)容有四：一是一個幾何圖形，可以切割成任意多塊任何形狀的小圖形，總面積或體積維持不變，等于所有小圖形面積或體積之和；二是一個幾何圖形，可以任意旋轉(zhuǎn)、倒置、移動、復(fù)制，面積或體積不變；三是多個幾何圖形，可以任意拼合，總面積或總體積不變；四是幾何圖形與其復(fù)制圖形拼合，總面積或總體積加倍。

出入相補原理是古代幾何學(xué)中最基本、最重要的一條原理。它的意思十分直白，簡單明了，在邏輯思維上更容易被他人接受，是一個不證自明的常理。研究相關(guān)著作可以發(fā)現(xiàn)出入相補原理是一個解決實際問題的一般方法，是“無字證明”的工具。

（二）出入相補原理的使用范圍

根據(jù)吳文俊的理解，出入相補原理適用于平面圖形和立體圖形。在圖形范圍中出入相補原理的使用情況也是有不同的，如等腰三角形、直角梯形都可以利用出入相補原理直接論證，而論證圓的面積則需要出入相補原理和極限思想相結(jié)合。除此之外，出入相補原理的缺陷也是要特別注意的，它的缺陷就是過于直觀化，在操作過程中，圖的分、割、移、補都屬于直觀幾何，不小心就容易忽視細(xì)節(jié)部分，導(dǎo)致結(jié)果不一致[3]。

平面圖形有直線型和曲線型兩種，其中直線型的圖形面積往往采用出入相補原理推論，因此可以說出入相補原理在解決能夠轉(zhuǎn)換為直線型的圖形面積時很有幫助。如解勾股形面積、等腰三角形面積等，都可以通過轉(zhuǎn)化為面積相等的長方形，再運用長方形的面積公式去計算。

立體圖形可分為能夠經(jīng)過有限次分割和不能夠進(jìn)行有限次分割成長方體的圖形兩種，而出入相補原理的作用就是分割直柱體，重新組合成長方體再求體積。其中這個直柱體是一個截面為梯形的立體圖形，比如在證明堤、溝、渠等的體積時，可以直接運用出入相補原理將復(fù)雜的圖形經(jīng)過有限次割補重合為長方體，再利用長方體體積公式證明而得出結(jié)論。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的出入相補原理

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級下冊教材的“多邊形的面積”單元的“平行四邊形的面積”一節(jié)，把平行四邊形拆分并重塑成面積相同的長方形，再通過面積算法推算出平行四邊形面積計算公式，見圖3。

圖3 平行四邊形面積公式的推導(dǎo)

“三角形的面積”一節(jié)，通過把兩個全等三角形“倍拼”，轉(zhuǎn)化為等底等高的平行四邊形，從而找到三角形面積和平行四邊形面積的關(guān)系，推導(dǎo)出平行四邊形公式，見圖4。

圖4 三角形面積公式推導(dǎo)的倍拼法

“梯形的面積”一節(jié)，將兩個全等的梯形“倍拼”成一個平行四邊形，類似推導(dǎo)三角形面積公式，通過梯形面積與拼成的平行四邊形面積的關(guān)系推導(dǎo)出梯形面積計算公式?？蛇B接梯形兩腰中點，將梯形分割成兩部分，移補成一個平行四邊形，利用出入相補原理，梯形面積就是拼成的平行四邊形面積，從而推導(dǎo)出梯形面積計算公式，見圖5。

圖5 梯形面積公式推導(dǎo)的倍拼法

本單元的“你知道嗎？”欄目介紹出入相補原理，將三角形和梯形通過割補轉(zhuǎn)化為面積相等的平行四邊形，讓學(xué)生直觀了解出入相補原理的實際運用，見圖6。

圖6 人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的“你知道嗎？”

出入相補原理是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中介紹數(shù)學(xué)文化的板塊，該內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)并掌握了多邊形面積計算公式的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，為后面學(xué)習(xí)圓的面積以及中學(xué)階段的勾股定理、球的體積奠定了基礎(chǔ)。出入相補原理是中國古代幾何中最基本、最基礎(chǔ)的原理，在中國數(shù)學(xué)史上占有極為重要的地位，對后世影響深遠(yuǎn)[4]。

三、出入相補原理的教育價值

（一）加深學(xué)生對圖形面積公式的理解

圖形面積公式是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，很多教師采用“記憶公式+模仿例題+鞏固練習(xí)”教學(xué)，學(xué)生對公式知其然但不知其所以然。在教學(xué)中采用出入相補原理推導(dǎo)圖形的面積公式，可以加深學(xué)生對公式的理解。

（二）有利于學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法

《九章算術(shù)》體現(xiàn)的歸納體系、模型化等一系列的基本思想方法，都屬于中國傳統(tǒng)的基本的思想方法。出入相補原理作為中國古代幾何學(xué)最基本的一個原理，其蘊涵的思想方法與《九章算術(shù)》體現(xiàn)的思想方法是一致的，有利于感悟蘊涵其中的數(shù)學(xué)思想方法，提高數(shù)學(xué)解題能力。

1.化歸思想

將一個問題從困難變成復(fù)雜，從復(fù)雜到簡化的過程叫作化歸。它是通過問題的轉(zhuǎn)化來解決問題的一種方法。

小學(xué)數(shù)學(xué)教科書闡述了平行四邊形、梯形、三角形等面積公式的推導(dǎo)過程，運用了出入相補原理來化歸，再求出面積的過程。由此可見，在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，出入相補原理是推導(dǎo)出平面圖形面積公式的重要思想方法，該思想方法運用圖形化簡的轉(zhuǎn)化，通過新圖形的分析使問題順利解決。

2.數(shù)形結(jié)合思想方法

數(shù)形結(jié)合思想方法是將問題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成大小、位置的關(guān)系，或者將數(shù)字與位置的關(guān)系轉(zhuǎn)換成數(shù)量關(guān)系，從而使得問題更簡單、更直觀，可以更好地求解。

劉徽運用出入相補原理將數(shù)字與形狀之間的關(guān)系轉(zhuǎn)換成數(shù)字的大小、位置的關(guān)系，也就是將數(shù)字的大小、位置的關(guān)系轉(zhuǎn)換成數(shù)字的關(guān)系，即數(shù)—形—數(shù)的轉(zhuǎn)化，從而為中國古代數(shù)理中的數(shù)字和形狀的結(jié)合提供了一種特殊的方法。

3.極限思想

極限思想是使變量通過無限過程轉(zhuǎn)化為常量的數(shù)學(xué)思想，它相比于其他的思想方法更為活躍，是動態(tài)的。在小學(xué)階段，極限思想就已出現(xiàn)在教材中。如在求圓形的面積時，將圓形的表面分割成等份的扇形，重新合成的圖形近似于一個平行四邊形；當(dāng)繼續(xù)把圓形多次分割，其表面的扇形大小越來越細(xì)，它的數(shù)量會不斷增加，最終重新組合就會無限接近于一個長方形，再利用長方形的求積公式求出圓的面積。在這里求圓形面積的問題就是運用出入相補原理把圓面積轉(zhuǎn)化為長方形的面積，通過對圖形的轉(zhuǎn)化，簡明直觀地完成極限思想的滲透。

（三）出入相補原理的育人價值

出入相補原理的育人價值主要體現(xiàn)在精神力量價值、美學(xué)價值和具體證明應(yīng)用等方面。

1.精神力量價值

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一項探索科學(xué)知識的活動，數(shù)學(xué)倡導(dǎo)實事求是的精神。在歷史變遷中，數(shù)學(xué)所表現(xiàn)出的文化精神既是一門學(xué)科的現(xiàn)象，也是一種文化現(xiàn)象。在幾何學(xué)中，出入相補原理貫穿整個理論體系及其發(fā)展的始終。其中對平面多邊形面積的計算、勾股定理的證明、勾股容方容圓問題、解二次方程和秦九韶三斜求積公式的運算證明過程等等，均說明出入相補原理在古代數(shù)學(xué)幾何中的重要性。趙爽運用出入相補原理，構(gòu)造“趙爽弦圖”證明了幾何學(xué)中著名的勾股定理；劉徽用“割圓術(shù)”推導(dǎo)出“圓的周長的面積公式”；祖沖之父子用出入相補構(gòu)想“牟合方蓋”推導(dǎo)出球的體積公式，形成引領(lǐng)世界的數(shù)學(xué)成果?？梢?，出入相補原理是中國古代數(shù)學(xué)家的智慧結(jié)晶。同學(xué)們學(xué)習(xí)運用出入相補原理，有利于弘揚中國古代數(shù)學(xué)的優(yōu)秀文化，發(fā)揚中國古代數(shù)學(xué)家的“刻苦鉆研”和“求真創(chuàng)新”精神，自覺樹立愛國報國的理想信念。

2.美育價值

數(shù)學(xué)之美是客觀存在的，數(shù)學(xué)的美包含簡約之美、和諧之美、奇異之美，等等。出入相補原理的美在中國文化中得到了充分的體現(xiàn)，《韓非子·初見秦》載“今秦地折長補短，方數(shù)千里”[5]。將土地分割、重新割補成形狀規(guī)則的正方形，以估計土地面積大小，這一做法就是出入相補原理的運用。除此之外，《老子》《孟子·滕公文上》《戰(zhàn)國策·秦策一》中也有運用出入相補原理的記載。在古代文學(xué)中，富含幾何學(xué)的語句也體現(xiàn)了出入相補原理的簡約美。如在講解唐代詩人宋之問的《靈隱寺》時，教師可以“樓觀滄海日，門對浙江潮”作為基礎(chǔ)，變換成幾何圖像，解釋和梯形有關(guān)的知識。通過學(xué)習(xí)，可以激發(fā)學(xué)生的好奇心，使他們感受數(shù)學(xué)的美和神奇。

四、出入相補原理及其育人價值在教學(xué)中的實現(xiàn)

（一）實現(xiàn)方法

1.結(jié)合教材在課堂中應(yīng)用

在教學(xué)中，數(shù)學(xué)史的融入是不能缺失的，在教學(xué)中教師應(yīng)結(jié)合出入相補原理的內(nèi)容滲透數(shù)學(xué)史的知識，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化的魅力。教師講授數(shù)學(xué)史知識時宜圍繞幾個方面展開：首先，介紹數(shù)學(xué)成就。教師可在合適的教學(xué)節(jié)奏中介紹出入相補原理的概念和內(nèi)容。比如在講解多邊形面積時可以介紹出入相補原理的概念和《九章算術(shù)》里的相關(guān)知識，讓學(xué)生了解古代數(shù)學(xué)家在多邊形面積求解上取得的成就。其次，古今解法的對比。在學(xué)習(xí)勾股定理時，可以介紹我國古代數(shù)學(xué)家運用出入相補原理證明勾股定理的方法，再與所學(xué)的解法對比，讓學(xué)生體會多種解法的魅力。再次，注重實例歸納。在教學(xué)中先不明確講解出入相補原理的內(nèi)容和含義，而是通過講解實例，由學(xué)生自己推導(dǎo)出結(jié)果。如前所述，在求平行四邊形、三角形、梯形的面積時，先運用分割、移補、“倍拼”等方法推導(dǎo)出結(jié)果，再點出出入相補原理。注重實例歸納有利于鍛煉和培養(yǎng)學(xué)生的思考能力。

2.在課外活動中應(yīng)用

可以充分利用課外活動實現(xiàn)出入相補原理的育人價值，課外活動形式主要包括專題講解和趣味宣傳兩種。專題講解是由數(shù)學(xué)興趣小組的“小講師”以出入相補原理為專題，向全班同學(xué)介紹出入相補原理的內(nèi)容、歷史背景及在我國古代運用的事例等。學(xué)生通過查閱資料，直接接觸了解出入相補原理，從而激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣。趣味宣傳是由數(shù)學(xué)興趣小組利用黑板報等學(xué)生喜聞樂見的形式介紹出入相補原理的史料、圖形，讓學(xué)生了解出入相補原理。

（二）實現(xiàn)途徑

1.探尋圖形轉(zhuǎn)化之理，感悟數(shù)學(xué)思想方法

基于深度學(xué)習(xí)的“說理”課堂，我們需要進(jìn)一步探尋知識背后的道理。“出入相補”目的只有一個，就是把未知轉(zhuǎn)化為已知，“化歸思想”就是這一系列“以盈補虛”割補法背后的最重要的數(shù)學(xué)思想。轉(zhuǎn)化方法是教學(xué)多邊形面積一課的關(guān)鍵，學(xué)生進(jìn)行剪拼方法的操作后，在對比觀察中發(fā)現(xiàn)形狀變了但面積沒有變這“變中有不變”的數(shù)學(xué)道理，進(jìn)而在轉(zhuǎn)化的前后對比中感悟其中的“變與不變”和“等積變形”的數(shù)學(xué)思想。例如，在梯形面積公式推導(dǎo)的教學(xué)中，運用源自我國古代幾何學(xué)的出入相補原理的剪拼法和分割法推導(dǎo)梯形面積公式?！胺指睢奔窗岩粋€梯形剪成兩個或兩個以上已學(xué)過的圖形，“拼補”即通過移補把一個圖形轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的圖形，最終都要具體到探究前后兩個圖形之間的關(guān)系。從解決問題的角度看，重點是讓學(xué)生自主尋找求出梯形面積的辦法，感悟數(shù)學(xué)思想，這與課標(biāo)解讀的“說理”要求是相吻合的。

2.追古溯今，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)

在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史，弘揚中國古代數(shù)學(xué)的輝煌成就，可以增強學(xué)生的民族自豪感，從而體現(xiàn)育人價值。將我國古代數(shù)學(xué)家劉徽提出的“以盈補虛”和“出入相補”的原理融入“多邊形面積”教學(xué)中，能讓學(xué)生在把握與理解知識的層次上有更深入的思考。

教材中多邊形面積公式推導(dǎo)過程中使用了兩種方法：古希臘歐幾里得在《幾何原本》中提出來的“倍拼法”和中國古代數(shù)學(xué)家劉徽于《九章算術(shù)注》中提出的“出入相補法”。教師可比較這兩種方法在解決小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)的“求陰影部分面積”問題，讓學(xué)生感受出入相補原理的優(yōu)越性。我國古代數(shù)學(xué)家劉徽運用出入相補原理，將圓分割移補成長方形來推導(dǎo)圓的面積公式；古代數(shù)學(xué)家趙爽運用出入相補原理構(gòu)造“勾股圓方圖”，用“最省力”的方法證明了勾股定理；祖暅用出入相補原理構(gòu)成了“牟合方蓋”，把平面上的出入相補推廣到空間上的出入相補，推導(dǎo)出球體體積計算的公式。這些成就，反映了中國古代數(shù)學(xué)家的聰明才智與鉆研精神，是中國古代數(shù)學(xué)文化的驕傲。

3.使用信息化教學(xué)工具呈現(xiàn)數(shù)學(xué)之思，欣賞數(shù)學(xué)之美

教學(xué)中，使用計算機軟件“幾何畫板”直觀演繹三角形和梯形面積的推導(dǎo)過程，可以活躍學(xué)生的思路，提高思維的靈活性，使學(xué)生在潛移默化中掌握轉(zhuǎn)化的思想方法。學(xué)生通過觀察動態(tài)的幾何畫板課件，尋找圖形的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)“變與不變”，可感悟“變化中不變”的數(shù)學(xué)思想，欣賞守恒之美。