充分挖掘教材例題的價值
——一道圓錐曲線例題引發(fā)的思考

河北省邯鄲市第一中學(xué) 王政敏 056001

在例題教學(xué)過程中，教師不能僅局限于分析例題特點(diǎn)，教會例題解法，而應(yīng)該充分挖掘例題的教學(xué)價值.在2021 年人教版高中新教材網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)會上章建躍老師提到：在圓錐曲線一章教科書中的例題與習(xí)題，其選編的原則是幫助學(xué)生深入理解圓錐曲線的幾何特征，熟練運(yùn)用坐標(biāo)法研究圓錐曲線的性質(zhì)以及它們的位置關(guān)系，并能解決一定綜合性的問題，通過解題感悟解析幾何中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.具體的題目是研究圓錐曲線的性質(zhì)，應(yīng)注意這些題目的教學(xué)功能，使學(xué)生認(rèn)識到認(rèn)真解答這些題目的重要性，必要時可以對有關(guān)題目進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪酵卣?在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生思考例題的結(jié)論能否抽象得到一般性的命題，在對問題探究得出結(jié)論、應(yīng)用結(jié)論的過程中，有效發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

1 教材例題

例1 設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-5,0),(5,0)，直線AM,BM相交于點(diǎn)M，且他們的斜率之積是-，求點(diǎn)M的軌跡方程.（人教A版高中《數(shù)學(xué)》選擇性必修一，P108）

分析：如圖1，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y)，那么直線AM,BM的斜率就可以用含x,y的關(guān)系式分別表示.由直線AM,BM的斜率之積是，可得出x,y之間的關(guān)系式，進(jìn)而得到點(diǎn)M的軌跡方程.

圖1

2 抽象結(jié)論

3 靈活應(yīng)用

圖2

圖3

解題反思：注意到這個題目中有對稱的兩點(diǎn)，借助上面定理找到解題入口.

例4（2019 年全國卷II 第21 題）已知點(diǎn)A(-2,0)，B(2,0)，動點(diǎn)M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為-.記M的軌跡為曲線C.(Ⅰ)求C的方程，并說明C是什么曲線；（II）過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長交C于點(diǎn)G.（i）證明：△PQG是直角三角形；（ii）求△PQG面積的最大值.

解析：本題是高考壓軸題，總共3 問，第（I）問求軌跡及軌跡方程，同課本例題，第（II）(i)是三角形形狀的判斷與證明，第（II）（ii）是求三角形面積最值.

（I）考察了求軌跡方程的基本方法與步驟：（1）設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y) ；（2）根據(jù)條件建立等式關(guān)系；（3）代入坐標(biāo)運(yùn)算；（4）化簡整理；（5）檢驗(yàn).這里動點(diǎn)M(x,y)已給出，結(jié)合題目中“AM與BM的斜率之積為-”，即有kMA·kMB=-，代入坐標(biāo)得kMA·kMB=，化簡整理得.這問雖然簡單但易錯，在求軌跡方程時一定要注意檢驗(yàn)，條件中提到“AM與BM的斜率”，即兩直線的斜率是存在的，故x≠±2，所求的軌跡方程為（x≠±2），軌跡是橢圓，不含左右兩個頂點(diǎn).

（II）分為兩小問，均是在△PQG下進(jìn)行的設(shè)問，需要把握圖形的構(gòu)建過程，基于幾何與函數(shù)的坐標(biāo)聯(lián)系來解析.

解題反思：這個經(jīng)典高考題的前兩問都來源于課本例題，在日常教學(xué)中要充分挖掘課本題，重視課本例題和習(xí)題的練習(xí).

圓錐曲線豐富多彩的性質(zhì)常作為例題和習(xí)題，不僅使題目的思想內(nèi)涵得到增強(qiáng)，而且通過這些題目加強(qiáng)了知識間的相互聯(lián)系，從而幫助學(xué)生建立對圓錐曲線的整體認(rèn)識.例如橢圓的例題中，就包含了橢圓與圓的聯(lián)系、定義橢圓的其他方式、橢圓的光學(xué)性質(zhì)等，這些題目的“數(shù)學(xué)含金量”是非常高的，而且這些題目的可拓展性也很強(qiáng)，在教學(xué)中要充分挖掘.