深研構(gòu)造函數(shù) 提升證明能力

甘肅省永昌縣第一高級(jí)中學(xué) 白亞軍 737200

1 “比較法”構(gòu)造函數(shù)證明不等式

當(dāng)試題中給出基本初等函數(shù)，如f(x)=x3，g(x)=lnx，進(jìn)而證明在某個(gè)范圍內(nèi)不等式f(x)≥g(x)成立時(shí)，可類比作差法，構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)，進(jìn)而證明h(x)min≥0即可.在求最值的過(guò)程中，可以利用導(dǎo)數(shù)為工具.此外，在能夠說(shuō)明g(x)＞0 的前提下，也可以類比作商法，構(gòu)造函數(shù)h(x)=，進(jìn)而證明h(x)min≥1.

例1 已知函數(shù)f(x)=ex-ax（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a為常數(shù)）的圖象在點(diǎn)(0,1)處的切線斜率為-1.（1）求a的值；（2）證明：當(dāng)x＞0 時(shí)，x2＜ex.

（1）解:易得a=2 .

（2）證明：令g(x)=ex-x2，則g′(x)=ex-2x.由（1）得g′(x)=f(x)≥f(ln 2)＞0，故g(x)在R 上單調(diào)遞增.所以當(dāng)x＞0 時(shí)，g(x)＞g(0)=1＞0，即x2＜ex.

評(píng)注: 在第（2）問(wèn)中，發(fā)現(xiàn)“x2，ex”具有基本初等函數(shù)的基因，故可選擇對(duì)要證明 的“x2＜ex” 構(gòu)造函數(shù)，得到“g(x)=ex-x2”，并利用（1）的結(jié)論求解.

2 “拆分法”構(gòu)造函數(shù)證明不等式

當(dāng)所要證明的不等式由幾個(gè)基本初等函數(shù)通過(guò)相乘以及相加的形式組成時(shí)，如果對(duì)其直接求導(dǎo)，得到的導(dǎo)函數(shù)往往給人一種“不知所措”的感覺(jué).這時(shí)可以將原不等式合理拆分為f(x)≤g(x) 的形式，進(jìn)而證明f(x)max≤g(x)min即可，此時(shí)注意配合使用導(dǎo)數(shù)工具.在拆分的過(guò)程中要注意合理性，一般以能利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行最值分析為拆分標(biāo)準(zhǔn).

3 “換元法”構(gòu)造函數(shù)證明不等式

若兩個(gè)變?cè)獂1,x2之間聯(lián)系“親密”，我們可以通過(guò)計(jì)算、化簡(jiǎn)，將所證明的不等式整體轉(zhuǎn)化為關(guān)于m(x1,x2) 的表達(dá)式（其中m(x1,x2)為x1,x2組合成的表達(dá)式），進(jìn)而換元令m(x1,x2)=t，使所要證明的不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的表達(dá)式，進(jìn)而用導(dǎo)數(shù)法進(jìn)行證明，因此換元的本質(zhì)是消元.

評(píng)注:（1）由題意易知f′(1)=1，可列出關(guān)于a的方程，從而求出a的值，得到函數(shù)f(x)的解析式.欲比較20172018與20182017的大小，只需比較f(2017),f(2018)的大小，即需判斷函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性.（2）不妨設(shè)x1＞x2＞0，由g(x1)=g(x2)=0，可得lnx1-kx1=0,lnx2-kx2=0，兩式相加減，利用分析法將要證明的不等式轉(zhuǎn)化為，再利用換元法，通過(guò)求導(dǎo)證明上述不等式成立.

4 “轉(zhuǎn)化法”構(gòu)造函數(shù)證明不等式

在關(guān)于x1,x2的雙變?cè)獑?wèn)題中，若無(wú)法將所要證明的不等式整體轉(zhuǎn)化為關(guān)于m(x1,x2)的表達(dá)式，則考慮將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題進(jìn)行處理，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)消元的目的.