謂詞邏輯系統(tǒng)MTL中公式的公理化真度

王波，惠小靜，魯星，

（延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,陜西 延安 716000）

王波，惠小靜*，魯星，

（延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,陜西 延安 716000）

命題邏輯及謂詞邏輯計(jì)量化是邏輯系統(tǒng)的研究熱點(diǎn)之一。在左連續(xù)三角模的謂詞邏輯系統(tǒng)MTL中，利用公理化方法提出了MTL公式的真度，證明了該真度的MP規(guī)則、HS規(guī)則及交推理規(guī)則；同時(shí)在謂詞邏輯系統(tǒng)MTL的一階閉邏輯公式集中引入了相似度和偽距離，證明了關(guān)于相似度的一些良好性質(zhì)，并討論了邏輯運(yùn)算關(guān)于偽距離的連續(xù)性問題。

謂詞邏輯系統(tǒng)MTL；公理化真度；相似度；偽距離

0 引言

模糊邏輯作為非經(jīng)典數(shù)理邏輯的一個(gè)重要分支，是邏輯系統(tǒng)的重要研究方向之一。HáJEK［1］受連續(xù)三角模結(jié)構(gòu)定理的啟發(fā)，提出了基本邏輯（BL）的形式系統(tǒng)，將系統(tǒng)BL弱化就形成了系統(tǒng)MTL，系統(tǒng)MTL由ESTEVA等［2］提出，在此基礎(chǔ)上又得到了一些研究成果［3-4］。

命題邏輯計(jì)量化從基本概念的程度化入手，引入命題邏輯公式的真度概念，并基于語義方法建立。但在謂詞邏輯中，謂詞邏輯的語義理論遠(yuǎn)比命題邏輯復(fù)雜，因此，通過語義的方法建立真度的概念難度很大。王國俊［11］用公理化方法建立了一類一階邏輯公式的真度理論。本文在此基礎(chǔ)上，首先給出謂詞邏輯系統(tǒng)MTL的公理化真度，證明該真度的MP規(guī)則、HS規(guī)則及交推理規(guī)則，其次給出相似度的概念，最后在一階閉邏輯公式集上引入了偽距離，討論邏輯運(yùn)算關(guān)于偽距離的連續(xù)性問題。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1［3］謂詞邏輯系統(tǒng)MTL的公理由MTL的10條公理及帶有量詞的公理組成。

（1）命題邏輯系統(tǒng)MTL的公理：

（2）帶有量詞的公理：

（i）MP規(guī)則［3］，由推出；

（ii）推廣規(guī)則［3］，由推出；

（iii）HS規(guī)則［2］，可得。

定理1［3］在MTL中，有：

定義2［3］。

定義3［11］若

（K6）在計(jì)算公式的真度時(shí)，原子公式中的變元可相互替換；

定義4［12］若與均為邏輯有效公式，則稱與邏輯等價(jià)，記作。

2 謂詞邏輯系統(tǒng)MTL中公式的公理化真度

定義5若

（G6）在計(jì)算公式的真度時(shí)，原子公式中的變元可相互替換；

命題1設(shè)，，有

由定義5，易證明命題1成立。

定理2設(shè)，，，，，有

（3）由于交推理規(guī)則的證明需用到一個(gè)引理，而此引理需借助相似度的概念，因此將在第3節(jié)中給出（3）的證明。

推論1設(shè)，，，

3 謂詞邏輯系統(tǒng)MTL中公式的公理化相似度

定義6設(shè)，，令，稱為與之間的相似度。

命題2設(shè)，，，有

由定義6和命題1，易證明命題2成立。

定理3。

由命題2（1），知

得證。

推論2。

定理4。

由命題2（1），知

得證

推論3。

例1計(jì)算的值，其中在中不自由出現(xiàn)。

例2計(jì)算的值，其中在和中不自由出現(xiàn)。

解 由命題2（1），知

由例1及（G1），知

由定理4，知

由例2的結(jié)果，可知下列引理成立。

引理1設(shè)，，則。

證明 由引理1，知

由命題1（5），知

所以

由MTL4及G2，知

由命題1（4），知

所以

再由引理1，得

得證。

4 謂詞邏輯系統(tǒng)MTL中公式的公理化偽距離

定義7設(shè)，，令，稱為與之間的偽距離。

命題3設(shè)，，，則。

由命題2（3），易證命題3成立。

引理2若是定理，是定理，則是定理。

證明①（定理1（4））；

引理3若是定理，是定理，則是定理。

定理5在謂詞邏輯系統(tǒng)MTL中，

由定理1（1）和定義4，易證得上式成立。

第2步，證明

第3步，證明

第3步的證明類似于文獻(xiàn)［12］中的證明，在此不再重復(fù)。

由命題3，知

由（G2）及命題1（4），有

第2步的證明類似于第1步。

由命題3，知

定理6在謂詞邏輯系統(tǒng)MTL中，中的運(yùn)算關(guān)于偽距離不連續(xù)。

所以由（G2），知

5 結(jié)束語

［1］HáJEK P. Metamathematics of Fuzzy Logic［M］. Dordrecht： Kluwer Academic Publishers，1998.

［2］ESTEVA F， GODO L. Monoidal t-norm based logic：Towards a logic for left-continuous t-norms［J］. Fuzzy Sets and Systems， 2001，124（3）： 271-288. DOI：10.1016/S0165-0114（01）00098-7

［3］裴道武. 基于三角模的模糊邏輯理論及其應(yīng)用［M］. 北京：科學(xué)出版社， 2013.

PEI D W. Fuzzy Logic Theory Based on Triangle Mode and Its Application［M］. Beijing： Science Press，2013.

［4］王軍濤，王梅. 邏輯系統(tǒng)MTL中任意量詞的代數(shù)研究［J］. 系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2021， 41（8）：2361-2378.

WANG J T， WANG M. Algebraic study of universal quantifier in monoidal t-norm based logic［J］.Journal of Systems Science and Mathematical Sciences， 2021，41（8）： 2361-2378.

［5］周紅軍，王國俊. Borel型概率計(jì)量邏輯［J］. 中國科學(xué)：信息科學(xué)， 2011，41（11）：1328-1342.

ZHOU H J， WANG G J. Borel probabilistic and quantitative logic［J］. SCIENCE CHINA：Informationis， 2011，41（11）：1328-1342.

［6］王國俊，傅麗，宋建社. 二值命題邏輯中命題的真度理論［J］. 中國科學(xué)（A輯），2001， 31（11）：998-1008. DOI：10.3969/j.issn.1674-7216.2001.11.004

WANG G J， FU L，SONG J S. Theory of truth degrees of propositions in two-valued logic［J］. SCIENCE IN CHINA （Series A）， 2001， 31（11）：998-1008. DOI：10.3969/j.issn.1674-7216.2001. 11.004

［7］于鴻麗，吳洪博. 多值邏輯系統(tǒng)Ln中公式相對于有限理論Γ的Camberra-真度理論［J］. 模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)， 2021，35（5）： 58-64.

YU H L， WU H B. The Camberra-fuzzy truth degree of formula being relative to finite theory Γin multiple-valued logic systemLn［J］. Fuzzy Systems and Mathematics， 2021，35（5）： 58-64.

［8］郝嬌，惠小靜，馬碩，等. 一階邏輯中公理化真度研究［J］. 計(jì)算機(jī)科學(xué)， 2021，48（S2）：669-671，712. DOI：10.11896/jsjkx.210200012

HAO J， HUI X J，MA S， et al. Study on axiomatic truth degree in first-order logic［J］. Computer Science， 2021， 48（S2）：669-671，712. DOI：10. 11896/jsjkx.210200012

［9］左衛(wèi)兵. MTL代數(shù)語義上邏輯公式的概率真度［J］. 電子學(xué)報(bào)， 2015，43（2）： 293-298.

ZUO W B. Probability truth degrees of formulas in MTL-algebras semantics［J］. Acta Electronica Sinica， 2015，43（2）： 293-298. DOI：10.3969/j.issn. 0372-2112.2015.02.014

［10］李駿，鄧富喜.n值S-MTL命題邏輯系統(tǒng)中公式真度的統(tǒng)一理論［J］. 電子學(xué)報(bào)， 2011，39（8）： 1864-1868. DOI：10.1360/112011-850

LI J， DENG F X. Unified theory of truth degrees inn-valuedS-MTL propositional logic［J］. Acta Electronica Sinica， 2011，39（8）： 1864-1868. DOI：10.1360/112011-850

［11］王國俊. 一類一階邏輯公式中的公理化真度理論及其應(yīng)用［J］. 中國科學(xué)：信息科學(xué)， 2012，42（5）： 648-662.

WANG G J. Axiomatic theory of truth degree for a class of first-order formulas and its application［J］. SCIENTIA SINICA： Informationis，2012， 42（5）：648-662.

［12］王國俊. 數(shù)理邏輯引論與歸結(jié)原理［M］. 2版.北京：科學(xué)出版社， 2006.

WANG G J. Introduction to Mathematical Logical and Resolution Principle［M］. 2nd ed. Beijing：Science Press， 2006.

Axiomatic truth degrees of formula in MTLpredicate logic system

WANG Bo, HUI Xiaojing, LU Xing

（Mathematics and Computer Science College，Yanapos;an University，Yanapos;an716000，Shaanxi Province，China）

The quantification of propositional logic and predicate logic is a research hotspot. Based on left continuous triangle norm,the concept of truth degree of formulas in MTLis introduced by the axiomatic method .The MP rule,HS rule and meet inference rules of this truth degree are proved. Meantime,the concept of similarity degree and pseudo-distances of first order closed logic formulas in MTLpredicate logic system are introduced,some good properties about similarity degree are proved. Furthermore, the continuity problem of logical operators about this pesudo distance is discussed.

predicate logic system MTL; axiomatic truth degree; similarity degree; pseudo-distances

O 141.1

A

1008?9497（2022）05?521?06

10.3785/j.issn.1008-9497.2022.05.001

2022?02?14.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11471007，61763045）.

王波（1997—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0001-9438-2094，男，碩士研究生，主要從事數(shù)理邏輯與不確定性推理研究.

通信作者，ORCID：https：//orcid.org/ 0000-0001-6778-2631，E-mail：xhmxiaojing@163.com.