唐代數(shù)學(xué)教材初探

吳洪成，張美玲

（1.河北大學(xué) 教育學(xué)院,河北 保定 071002；2.保定市徐水區(qū)鞏固莊中學(xué)，河北 保定 071002）

隋唐時期，經(jīng)歷戰(zhàn)亂動蕩歷史之后，國家復(fù)歸于統(tǒng)一。唐代封建統(tǒng)治者為鞏固政權(quán)，推動各項(xiàng)社會改革，國力不斷上升，號稱大唐盛世，尤以“貞觀之治”為代表。國家經(jīng)濟(jì)實(shí)力的增強(qiáng)，有助于民眾安居樂業(yè)，由此推動了自然科學(xué)的發(fā)展。唐代數(shù)學(xué)教育取得重大成果，數(shù)學(xué)?？茖W(xué)校陸續(xù)建立，大批優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)教材涌現(xiàn)，數(shù)學(xué)教材的成就在中國教材史上占據(jù)重要位置。本文擬在梳理唐代數(shù)學(xué)教育狀態(tài)的基礎(chǔ)上，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)教材類型、名目，并深入分析其主要內(nèi)容、價值及與此相關(guān)問題。

一、唐代數(shù)學(xué)教育概述

隋文帝開皇元年（581年），北周外戚楊堅(jiān)滅北周建立隋朝，589年滅南朝陳代，完成國家重新統(tǒng)一大業(yè)。唐高祖武德元年（618年），在社會內(nèi)外交困，階級斗爭和民族矛盾尖銳復(fù)雜背景下，隋煬帝楊廣又被李淵及李世民父子所滅，王朝更替，重新建立唐朝。自西漢末至三國、南北朝時期，數(shù)學(xué)教育經(jīng)歷了漫長的歷程。唐代數(shù)學(xué)教育在繼承前代成就的基礎(chǔ)上，取得顯著進(jìn)步。唐代是我國封建社會經(jīng)濟(jì)的鼎盛時期，農(nóng)業(yè)、工商業(yè)發(fā)展壯大。與此同時，伴隨著各?？茖W(xué)校的設(shè)立而相應(yīng)確定了相關(guān)專門技術(shù)的教學(xué)內(nèi)容和知識傳播，以滿足社會物質(zhì)生產(chǎn)和現(xiàn)實(shí)生活的需要。唐代數(shù)學(xué)教材促進(jìn)了數(shù)學(xué)教育及其他科技教育的實(shí)踐及專業(yè)人才的培養(yǎng)。

隋朝中央官學(xué)設(shè)有國子學(xué)、太學(xué)、四門學(xué)、書學(xué)、算學(xué)、律學(xué)，但限于立國時間短暫，并未系統(tǒng)化、正規(guī)化。唐代中央官學(xué)制度由六學(xué)二館組成，六學(xué)隸屬于最高學(xué)府國子監(jiān)，包括國子學(xué)、太學(xué)、四門學(xué)、律學(xué)、書學(xué)、算學(xué)；二館包括弘文館、崇文館。弘文館、崇文館設(shè)學(xué)士校書郎，既承擔(dān)負(fù)責(zé)經(jīng)籍圖書的校對及整理工作，也向?qū)W生講授文化知識。算學(xué)是中央官學(xué)中“六學(xué)”之一，在唐代官學(xué)中占有重要地位，也是世界上最早的數(shù)學(xué)?？茖W(xué)校。唐代數(shù)學(xué)教育機(jī)構(gòu)曾先后分別設(shè)立在西都長安和東都洛陽。算學(xué)官學(xué)有算學(xué)博士2人，招收算學(xué)學(xué)生30人。算學(xué)博士“掌教文武官八品以下及庶人之子為生者”，表明學(xué)生來源社會層次及家庭出身都相對較低，比不上儒學(xué)官學(xué)的學(xué)生等級地位顯赫。在數(shù)學(xué)教育中，以《算經(jīng)十部》等作為數(shù)學(xué)專業(yè)主要教材。

唐代將學(xué)校教育與科舉考試貫通，實(shí)現(xiàn)對接，以實(shí)現(xiàn)學(xué)校培養(yǎng)與科舉選拔的統(tǒng)一。唐代科舉考試中，明算作為?？?，每年進(jìn)行。應(yīng)試者有生徒、鄉(xiāng)貢之別，前者是官學(xué)畢業(yè)生，后者源于私學(xué)或耕讀傳家的自學(xué)者，這體現(xiàn)了唐代政府對數(shù)學(xué)教育的高度重視。明算科考試的內(nèi)容和方法主要參照官學(xué)中算學(xué)?？平逃?。文獻(xiàn)作如下記錄：

凡算學(xué),錄大義本條為問答，明數(shù)造術(shù)，詳明數(shù)理，然后為通。試《九章》三條、《海島》《孫子》《五曹》《張丘建》《夏侯陽》《周髀》《五經(jīng)算》各一條，十通六，《記遺》《三等數(shù)》帖讀十得九，為第。試《綴術(shù)》《緝古》、錄大義為問答者，明數(shù)造術(shù)，詳明術(shù)理，無注者合數(shù)造術(shù)，不失義理，然后為通?！毒Y術(shù)》七條、《緝古》三條，十通六，《記遺》《三等數(shù)》帖讀十得九，為第。落經(jīng)者，雖通六，不第。[1]1162

學(xué)生參加明算科的考試，若對《海島算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》《三等數(shù)》等算學(xué)教材如數(shù)家珍，深諳其理，能詳細(xì)闡述其中的原理和方法，通過考核后，則可以獲得做官的資格。

科舉制的發(fā)展促進(jìn)了數(shù)學(xué)教育的興盛，而數(shù)學(xué)教育又為科舉選拔人才提供了便利條件，達(dá)成了科舉的目標(biāo)和意圖。唐代設(shè)立數(shù)學(xué)專科學(xué)校、科舉考試設(shè)置明算科均為世界首創(chuàng)，由此可見唐代數(shù)學(xué)教育在人類科技教育史上的重要地位。

唐代數(shù)學(xué)教育發(fā)達(dá)，不僅州縣地方官學(xué)重視數(shù)學(xué)，而且私學(xué)授徒講學(xué)盛行。唐玄宗天寶年間（742-755年）全國州縣學(xué)校學(xué)生總數(shù)達(dá)67 100人，培養(yǎng)了一批數(shù)學(xué)人才，如王孝通、張遂、韓延、龍受益、江本、陳從運(yùn)等。唐代私學(xué)同樣采用《十部算經(jīng)》為教材，不僅讓學(xué)生學(xué)習(xí)系統(tǒng)數(shù)學(xué)知識，而且鉆研新的數(shù)學(xué)解題方法。三、四次方程的解法以及二次不等間距內(nèi)插法等都是師生潛心教學(xué)的重要內(nèi)容。唐太史令李淳風(fēng)家族四代均通曉天文歷算。在家庭的耳濡目染之下，李淳風(fēng)自幼對數(shù)學(xué)饒有興趣，從小便“通群書，明步天歷算”[2]5798。唐代歷象學(xué)家僧一行為探尋算術(shù)奧秘，跋涉千里向知名學(xué)者求教，曾抵達(dá)浙江天臺山（今屬臺州市境）國清寺，向隱居在此的僧侶學(xué)習(xí)算術(shù)。僧侶、道士淡泊名利，一心向?qū)W，對數(shù)學(xué)教育的發(fā)展起到了重要作用。

佛教是唐代流行的宗教，也是一種宗教私學(xué)教育。籍此時對僧一行及佛教數(shù)學(xué)教育略做擴(kuò)展和深化。唐代佛學(xué)興盛，南北各地禪宗流派多在名山大川、形勝之地建廟收徒，研修佛經(jīng)。佛教僧尼，除了在一些寺院尼庵進(jìn)行佛經(jīng)研習(xí)、佛教教育活動外，也有世俗的知識文化傳授，乃至科技內(nèi)容的研習(xí)，突破了宗教教育的羈絆。據(jù)《舊唐書·一行傳》記載：著名的歷算學(xué)家一行和尚（俗名張遂），曾在河南嵩山普寂和尚處研習(xí)佛典和天文歷算知識，后來又到浙江天臺山國清寺學(xué)數(shù)學(xué)，親見“僧于庭布算”的情況。僧一行“尋訪算術(shù)，不下數(shù)千里，知名者往詢焉，末至天臺山國清寺”?！耙恍性L求師資……至天臺山國清寺，見一院，古松十?dāng)?shù)，門有流水，一行立于門屏間，聞院僧于庭布算聲”，一行趨而入，“稽首請法，盡受其術(shù)焉”。于是，一行“洞天算、陰陽、推步之學(xué)”，為日后完成《大衍歷》的制作，打下了牢固的科學(xué)基礎(chǔ)，自有《大衍歷》以來，歷家都遵循其格式，并用以教學(xué)。

疆土遼闊、經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)、文化多元使唐王朝有博大胸襟，號稱“大唐氣象”，這在教育領(lǐng)域表現(xiàn)為學(xué)校類型多樣，教育內(nèi)容豐富。唐代數(shù)學(xué)教育方式多樣，教育環(huán)境相對寬松，甚至存在數(shù)學(xué)愛好者自學(xué)以及僧侶教學(xué)的情形。唐代從中央、地方官學(xué)到民間社會私學(xué)甚至家學(xué)興起了一股數(shù)學(xué)熱潮。數(shù)學(xué)的進(jìn)步給城市規(guī)劃、水利建設(shè)、橋梁建筑、商業(yè)貿(mào)易等事業(yè)帶來了科學(xué)思想和技術(shù)力量支撐。

二、唐代官學(xué)數(shù)學(xué)課程及教材

唐代數(shù)學(xué)教育雖有不同的類型、層次及方式，但主要以中央官學(xué)專門數(shù)學(xué)教育為主。因此，探討中央官學(xué)專門數(shù)學(xué)的學(xué)科專業(yè)課程及教材意義更為突出。需要說明的是課程與教材是現(xiàn)代教學(xué)論中帶有共生交叉，乃至相當(dāng)程度互用的概念，無非前者重在資源內(nèi)容，后者表現(xiàn)為實(shí)態(tài)文本或媒介。這種情形在唐代數(shù)學(xué)教材中更為明顯。

隋文帝在位時設(shè)國子寺，國子寺設(shè)有國子、太學(xué)、四門、書、算學(xué)。數(shù)學(xué)教育在隋朝時成為一門獨(dú)立學(xué)科，數(shù)學(xué)教育走向?qū)I(yè)化、規(guī)范化。唐代在隋代的基礎(chǔ)上建立了更加完備的數(shù)學(xué)教育體系，大學(xué)開設(shè)數(shù)學(xué)專業(yè)，建立算學(xué)官學(xué)機(jī)構(gòu)。唐代的數(shù)學(xué)教育專業(yè)化明顯，既有嚴(yán)密的教學(xué)計(jì)劃，又有專業(yè)的數(shù)學(xué)教材。

依據(jù)《新唐書·選舉制》所載：唐代算學(xué)官學(xué)學(xué)制7年，學(xué)生共有30名。學(xué)生入學(xué)年齡從14歲到19歲不等，由算學(xué)博士分科教授。算學(xué)博士收到學(xué)生敬獻(xiàn)的絲帛酒肉作為束脩之禮，“掌教文武八品以下及庶人子為生者。二分其經(jīng)以為之業(yè)。習(xí)《九章》《海島》《孫子》《五曹》《張丘建》《夏侯陽》《周髀》，十五人。習(xí)《綴術(shù)》《輯古》十五人。其《記遺》《三等數(shù)》亦兼習(xí)之”[1]1160。算學(xué)生分為兩組，每組15人，每組學(xué)習(xí)不同的教材，同時學(xué)習(xí)《數(shù)術(shù)記遺》和《三等數(shù)》。對于學(xué)生的學(xué)習(xí)，制定嚴(yán)密的教學(xué)計(jì)劃：“凡算學(xué)：《孫子》《五曹》共限一歲?！毒耪隆贰逗u》共三歲?！稄埱鸾ā贰断暮铌枴犯饕粴q?！吨荀隆贰段褰?jīng)算術(shù)》共一歲?！毒Y術(shù)》四歲，《緝古》三歲。《記遺》《三等數(shù)》皆兼習(xí)之?！盵1]1160這種按學(xué)習(xí)的難易程度和學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的分科教學(xué)，在古代數(shù)學(xué)教育史上具有開創(chuàng)性意義。

算學(xué)?？茖W(xué)校由國子祭酒管理，管理制度嚴(yán)格。國子監(jiān)對學(xué)生的學(xué)習(xí)以及學(xué)籍情況都有備案記載。學(xué)生修完課程后需參加旬考、月考和歲考?？荚噧?nèi)容依據(jù)教材內(nèi)容而定，學(xué)生畢業(yè)后參加科舉考試，按照上引文獻(xiàn)可知其中的設(shè)計(jì)：第一組“試（九章）三條《海島》《孫子》《五曹》《張丘建》《夏候陽》《周髀》《五經(jīng)算》各一條”，第二組試“《綴術(shù)》七條，《輯古》三條”，每組分別10道題。此外還要加試《記遺》《三等數(shù)》?？荚嚦煽冊u定也有明確標(biāo)準(zhǔn)，兩組10道題的要求相同，試題“十通六”，“《記遺》《三等數(shù)》帖讀十得九，為第（及格）”。有時還要進(jìn)行口試，規(guī)定“得八以上為上，得六以上為中，得五以下為下”?？荚囉忻鞔_范圍，使學(xué)生能夠有重點(diǎn)、有主次地進(jìn)行復(fù)習(xí)。成績評定有客觀標(biāo)準(zhǔn)。學(xué)生的休假時間安排為：每10天放假一次，但放假前要參加一次考試；另外學(xué)生享受5月份的“田假”以及9月份的“授衣假”。如果學(xué)生違反規(guī)定、不服從教師管教、不按時到校、連續(xù)3年下第或9年學(xué)無所成則開除學(xué)籍，不得繼續(xù)學(xué)習(xí)。

唐代不僅有完備的數(shù)學(xué)教學(xué)制度，而且有一批專業(yè)的算學(xué)博士負(fù)責(zé)教材的講授工作，如劉孝孫、王孝通、梁述、張?jiān)懙?。劉孝孫曾細(xì)草《張丘建算經(jīng)》；梁述曾參與《算經(jīng)十書》的注釋工作；王孝通是唐代有名的數(shù)學(xué)家，天資聰慧，自幼學(xué)習(xí)天文歷算學(xué)，刻苦鉆研算術(shù)知識，探尋其中的奧秘，用畢生心血完成《緝古算經(jīng)》。全書共1卷，記錄了20個數(shù)學(xué)問題，主要從求出三次方程的正根、體積計(jì)算、勾股定理及工程建設(shè)等幾個方面介紹了一些算法。書中記錄的高次方程解題方法，是中國現(xiàn)存典籍中關(guān)于高次方程的最早記述。因其內(nèi)容深奧，學(xué)生學(xué)習(xí)起來也頗有難度，規(guī)定修業(yè)年限為3年。此外，《緝古算經(jīng)》關(guān)于三次方程數(shù)值的解法為宋元時期天元術(shù)和四元術(shù)的誕生奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

三、唐代代表性數(shù)學(xué)教材

限于歷史久遠(yuǎn)而導(dǎo)致古代數(shù)學(xué)教材留存稀少，搜求不易，要想全面呈現(xiàn)唐代數(shù)學(xué)教材是難以實(shí)現(xiàn)的。以下只對其間的代表性教材進(jìn)行舉例分析，以發(fā)揮“弱水三千，但取一瓢”的樣本作用。

（一）《算經(jīng)十書》

唐代?？茖W(xué)校紛紛建立，分科教學(xué)發(fā)達(dá)，數(shù)學(xué)教育不僅為政府輸送一批精于計(jì)算的官員，而且促進(jìn)了天文歷法等自然科學(xué)的發(fā)展。數(shù)學(xué)教育的實(shí)施除了需要德才兼?zhèn)鋷熧Y隊(duì)伍，還需要一批精良的教材。顯慶元年（656年）唐高宗命太史令李淳風(fēng)負(fù)責(zé)注解《算經(jīng)十書》，該書是第一套由政府統(tǒng)一審理編訂的數(shù)學(xué)教材?！按撅L(fēng)復(fù)與國子監(jiān)算學(xué)博梁述、太學(xué)助教王真儒等受詔注《五曹》《孫子》十部算經(jīng)?！盵3]2719《算經(jīng)十書》注釋歷時24年，可見時間之長，難度之大?！端憬?jīng)十書》囊括了十部重要數(shù)學(xué)著作：《九章算術(shù)》《海島算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》《五曹算經(jīng)》《張丘建算經(jīng)》《夏侯陽算經(jīng)》《周髀算經(jīng)》《五經(jīng)算術(shù)》《緝古算經(jīng)》《綴術(shù)》?！端憬?jīng)十書》內(nèi)容豐富多樣，被唐代教育機(jī)構(gòu)指定為可傳授的數(shù)學(xué)教材。這不僅有利于數(shù)學(xué)專門人才的培養(yǎng)，而且在古代數(shù)學(xué)教材史上具有里程碑意義。

通過對漢代，特別是魏晉南北朝數(shù)學(xué)教學(xué)著作和教材的仔細(xì)研讀，李淳風(fēng)等數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)其中雖然介紹了許多數(shù)學(xué)知識和算法，但也存在著一些紕漏和錯誤。于是，他們對其中存在的問題進(jìn)行了更正，并研究出了一系列新的數(shù)學(xué)原理和計(jì)算方法。不僅如此，許多面臨失傳的數(shù)學(xué)知識也因此而繼續(xù)保存流傳下來?！端憬?jīng)十書》中成就最大的是《九章算術(shù)》。該書由西漢數(shù)學(xué)家張蒼、耿壽昌編撰，唐李淳風(fēng)對其進(jìn)行了注釋?！毒耪滤阈g(shù)》在我國數(shù)學(xué)教材史上地位突出，標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)體系的形成。

李淳風(fēng)對開立圓術(shù)、配分比例、復(fù)比例、等差數(shù)列、課分、差分加以注釋，對數(shù)學(xué)有精深的造詣，其中課分、差分的算法與現(xiàn)代一致。李淳風(fēng)發(fā)現(xiàn)《周髀算經(jīng)》中的日高公式存在問題，以南北相去一千里，日中測量八尺高標(biāo)竿的影子相差一寸的算法脫離實(shí)際，與“蓋天說”不符。他冥思苦想，利用已有的數(shù)學(xué)知識并結(jié)合實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)重新修正，成功地將其轉(zhuǎn)化為平面上一般的日高公式去處理，為中國古代測量術(shù)的進(jìn)步發(fā)揮了作用。在《九章算術(shù)》的注釋中，李淳風(fēng)引用了南朝數(shù)學(xué)家祖桓提出的球體積的正確計(jì)算公式，即“冪勢既同則積不容異”的祖桓定理。祖桓定理原本是由祖沖之、祖桓父子發(fā)明，并記錄在《綴術(shù)》中。不幸的是《綴術(shù)》年久失傳，因此這一原理最終因李淳風(fēng)等人的注釋得以繼續(xù)為后人知曉。

中國古代歷來重視對古籍的注釋，許多典籍都因此流傳千古。李淳風(fēng)等人對《算經(jīng)十書》進(jìn)行的全面注釋有效保留并傳承了唐朝以前的數(shù)學(xué)知識，在中國數(shù)學(xué)發(fā)展史上具有劃時代的貢獻(xiàn)，對唐朝以后的數(shù)學(xué)發(fā)展有著不可磨滅的影響。唐代國子監(jiān)所屬算學(xué)?？茖W(xué)校之所以能培養(yǎng)一些實(shí)用人才，采用具有較高學(xué)術(shù)水平的專業(yè)教材，是一個重要的因素。所以對李淳風(fēng)等人的歷史貢獻(xiàn)，還是應(yīng)該給予肯定。[4]107-108

（二）《九章算術(shù)》

科學(xué)技術(shù)教材是有很強(qiáng)的繼承性的。《九章算術(shù)》源自漢代，沿用作魏晉南北朝官私學(xué)數(shù)學(xué)教材，又是唐代最具代表性和使用時間最久的數(shù)學(xué)教材。關(guān)于該類數(shù)學(xué)經(jīng)典教材的意義及地位，有學(xué)者稱：“從漢代至清代中葉，其間近2 000年，都采用《九章算術(shù)》作為教科書，培育了一代又一代的數(shù)學(xué)教育工作者和數(shù)學(xué)大家。祖沖之、王孝通、李淳風(fēng)、賈憲、楊輝、秦九韶、朱世杰、吳敬、程大位、梅文鼎、戴震、梅瑴成、阮元等，都受到了《九章算術(shù)》的啟迪，他們的著作，大都是采取《九章算術(shù)》應(yīng)用問題集的形式，展示各自的創(chuàng)造成果，形成了中國獨(dú)具特色的數(shù)學(xué)教育傳統(tǒng)?！盵5]25

1.《九章算術(shù)》的內(nèi)容

中國古代數(shù)學(xué)專著都是不斷總結(jié)生活實(shí)驗(yàn)成果而成的，《九章算術(shù)》也不例外，其內(nèi)容集中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識在生產(chǎn)生活實(shí)踐中的應(yīng)用。如《九章算術(shù)》的內(nèi)容雖極為豐富，按算法分為方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股等九章，但這些內(nèi)容主要關(guān)乎農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中極具應(yīng)用價值的數(shù)學(xué)知識?！胺教铩笔侵竿恋匦螤?，涉及各種形狀地畝面積的計(jì)算，有包括計(jì)算各種形狀面積的公式及分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算法則；“粟米”指谷物品種，主要闡釋各種谷物交換的比例算法；“衰分”指分配比例，涉及比例分配算法；“少廣”指邊長問題，包括面積與體積的運(yùn)算，提出了世界上最早的開平方與開立方程序；“商功”為工程計(jì)算，涉及各種體積公式和土方工程工作量的分配算法；“均輸”意為平均輸送，包括人口多少、路途遠(yuǎn)近、谷物貴賤和賦稅負(fù)擔(dān)的運(yùn)算方法；“盈不足”是盈不足術(shù)的代稱，涉及盈虧類問題的算法；“方程”指方程術(shù)，涉及當(dāng)今數(shù)學(xué)中的線性方程組解法等；“勾股”指直角三角形，涉及直角三角形的理論。

另外，在實(shí)踐應(yīng)用的基礎(chǔ)上，《九章算術(shù)》含有近百條十分抽象的術(shù)文，即公式、解法以及246道例題。其中分?jǐn)?shù)理論、比例和比例分配、盈不足、開方等算法、線性方程組解法、正負(fù)數(shù)加減法則、解勾股形方法等都超前其他文化傳統(tǒng)幾百年甚至千余年，是具有世界意義的重大成就。[6]5

《九章算術(shù)》采用以應(yīng)用問題集的形式加以組織，按照問題的性質(zhì)進(jìn)行大的分類，形成章節(jié)，每一類為一章節(jié)。再依照問題的解法（《九章算術(shù)》中稱為“術(shù)”）進(jìn)行具體分類，形成每一章節(jié)的多個小類。每一小類都有解題步驟，包括數(shù)學(xué)公式、推理等。這種結(jié)構(gòu)體系，是以算法為中心，根據(jù)算法組建理論體系。依此編纂體例，《九章算術(shù)》全書246個問題被分為9類，每一類為1章，全書共9章。每一類問題的解析通過例題、答案和術(shù)來演示，依照術(shù)的不同，每一章的問題又進(jìn)一步被分為不同的小類。如一術(shù)解一題的類型，以勾股章的一題為例：“今有圓材徑二尺五寸，欲為方版，令厚七寸。問：廣幾何？答：二尺四寸。術(shù)曰：令徑二尺五寸自乘，以七寸自乘減之，其余，開方除之，即廣。”[7]410這種類型中術(shù)文只適用于該題目，可以說是一術(shù)一題，具體的術(shù)解析具體的題目。《九章算術(shù)》衰分、均輸、勾股等章的部分題目采用了此編纂體例；一術(shù)解一類題的類型，即一類問題只有唯一術(shù)文解析，術(shù)文抽象、嚴(yán)謹(jǐn)且具有普適性，而每一題只有題目和答案，不再有術(shù)文。《九章算術(shù)》方田一章的“今有田廣十五步，縱十六步。問：為田幾何？答曰：一畝。又有田廣十二步，縱十四步。問：為田幾何？答曰：一百六十八步。術(shù)曰：廣縱步數(shù)相乘得積步?！盵7]9就是這種類型。兩例題都只有題目和答案，兩例題后的術(shù)文是對兩例題的共同解析。當(dāng)然這種類型的具體形式還可以多樣，除了上面的先題后術(shù)的形式，還可以先術(shù)后題，一題一答。如《九章算術(shù)》商功一章有關(guān)“城、垣、堤、溝、塹、渠”面積計(jì)算的例題及術(shù)文：“術(shù)曰：并上下廣而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即積尺。今有城，下廣四丈，上廣二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。問：積幾何？答曰：一百八十九萬七千五百尺?！盵7]176就是這一形式。也可以先總術(shù)后例題，每道例題一題一答再分術(shù)。這種編纂形式是先給出抽象的總術(shù)，再列舉多道例題，但和第二種編纂形式不同之處在于每道例題除題目和答案外還分別都有一條具體術(shù)文，闡釋總術(shù)在本例題中的具體應(yīng)用方法?！毒耪滤阈g(shù)》粟米一章的一題“術(shù)曰：以所有數(shù)乘所求率為實(shí)，以所有率為法。今有粟二斗一升，欲為粺米。問：得幾何？答曰：為粺米一斗一升五十分升之十七。術(shù)曰：以粟求粺米，二十七之，五十而一”[7]70-71。就采用了這種編纂形式。

數(shù)學(xué)教材的編寫緊密結(jié)合當(dāng)時的社會生活實(shí)況。漢代社會至今已年代久遠(yuǎn)，而今要了解漢代的歷史，除了翻閱文獻(xiàn)典籍之外，《九章算術(shù)》可以說更生動地記錄了漢代社會經(jīng)濟(jì)狀況，涉及了漢代人日常生活的方方面面，它用一個個數(shù)字，一道道例題清晰地解讀了漢朝百姓的衣食住行、柴米油鹽?！敖裼腥斯操I琎。人初半，盈四，人出少半，不足三。問：人數(shù)、琎價各幾何？答曰：四十二 人，琎價十七?！盵7]308這一例題例題證明漢代已經(jīng)有了“團(tuán)購”?！敖裼腥顺置壮鋈P(guān)，外關(guān)三取一，中關(guān)五而取一，內(nèi)關(guān)七而取一，余米五斗。問：本持米幾何？答曰：十斗九升八分升之三。”[7]259這一例題則記錄了漢代稅務(wù)計(jì)算?！敖裼兴匾黄ヒ徽?，價值六百二十五。今有錢五百，問：得素幾何？答曰：得素一匹?！盵7]113這一例題記錄了漢代物價情況。這一道道的例題使千百年前的漢代社會不再虛無縹緲。

四、唐代數(shù)學(xué)教材的特點(diǎn)及其影響因素

唐朝政府對數(shù)學(xué)教育中教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)及編選給予重視，數(shù)學(xué)教材呈現(xiàn)出實(shí)用性、直觀性、趣味性并存的特點(diǎn)。唐代數(shù)學(xué)教材為后世數(shù)學(xué)教育的發(fā)展打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，促進(jìn)了數(shù)學(xué)教育的逐漸走向成熟。通過教育政策主流思想和制約數(shù)學(xué)教育活動的科舉制度等因素分析，可以深刻解讀唐代的數(shù)學(xué)教材。

（一）唐代數(shù)學(xué)教材的特點(diǎn)

通過對唐代數(shù)學(xué)教材的總體認(rèn)識及具體分析，得出唐代數(shù)學(xué)教材有如下特點(diǎn)：

1.實(shí)用性：指向問題的解決

唐代地域遼闊，土地寬廣。為鞏固統(tǒng)治，統(tǒng)治者實(shí)行均田制分配土地，以租庸調(diào)制獲取稅收。均田制和租庸調(diào)制的實(shí)施要求土地丈量以及谷物、布匹征收的準(zhǔn)確，農(nóng)民土地的分配要做到均等、賦稅征收的計(jì)量都需要數(shù)學(xué)的計(jì)算，由此帶動了數(shù)學(xué)的發(fā)展。出現(xiàn)了不少注重實(shí)用性問題解決的數(shù)學(xué)教材。

《九章算術(shù)》作為唐代學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的專業(yè)教材，內(nèi)容十分豐富，包含246個數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，并為每道題配有詳細(xì)的答案。按問題性質(zhì)和解法不同分為方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程及勾股等9個章節(jié)?！毒耪滤阈g(shù)》注重問題解決，將理論與實(shí)際結(jié)合，對生產(chǎn)問題的解決有促進(jìn)作用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想與實(shí)際應(yīng)用完美的結(jié)合。

現(xiàn)有大量的研究針對“社工+義工”合作模式路徑提出了一系列可行性的路徑：政府體制轉(zhuǎn)軌、政策法規(guī)建設(shè)、社工自身隊(duì)伍建設(shè)、義工管理制度、民間組織培育、建立信息資源共享平臺等。在新常態(tài)下，社工與義工聯(lián)動面臨新的機(jī)遇和挑戰(zhàn)，而社會資本視角有利于探討以社區(qū)為本的“社工+義工”聯(lián)動模式治理的新路徑。

《五曹算經(jīng)》是北周數(shù)學(xué)家甄鸞潛心編撰的數(shù)學(xué)著作，受到歷朝數(shù)學(xué)家的追捧，出現(xiàn)了許多刊印版，唐代時被指定為官方數(shù)學(xué)教材。全書共5卷，分別為田曹、兵曹、集曹、倉曹、金曹。唐代施行均田制，土地的丈量需要更加精準(zhǔn)。“田曹”討論了各種不同形狀田畝面積計(jì)算方法；“兵曹”介紹軍隊(duì)給養(yǎng)問題；“集曹”對粟米互換問題進(jìn)行了闡述；“倉曹”對租稅和倉儲容積的計(jì)算給予詳細(xì)描述；“金曹”主要記載戶調(diào)的絲帛以及物品貿(mào)易?！段宀芩憬?jīng)》對生產(chǎn)生活中迫切需要的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行了介紹，闡述了現(xiàn)實(shí)生活中各項(xiàng)問題的計(jì)算方法，具體問題具體分析，實(shí)用性突出。

2.直觀性：數(shù)圖結(jié)合的體例

唐代數(shù)學(xué)教材不僅重視理論與實(shí)踐的結(jié)合，而且對體例較為注重。數(shù)學(xué)教材擺脫了長篇文字的枯燥，穿插生動形象的圖片，照顧到學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，直觀性明顯。

《海島算經(jīng)》是魏晉時期劉徽所編的一部測量數(shù)學(xué)著作，唐代被列為數(shù)學(xué)?？平滩?，供算學(xué)館學(xué)生上課使用。全書共包含9個數(shù)學(xué)問題，每題的問題、答案及算法詳細(xì)，涉及里、丈、步、尺、寸等長度單位。9個問題分別為：測望海島、測望山上松高、南望方邑、俯測深谷、登山望樓、遙望波口、下望深淵、登山望津、測邑廣長?！逗u算經(jīng)》有許多新奇的數(shù)學(xué)計(jì)算方法，如“重表法”“連索法”“累矩法”等，這些方法為測量工作帶來了極大便利，也為地圖學(xué)奠定了基礎(chǔ)。《海島算經(jīng)》中的插圖形象表達(dá)了勾股定理的運(yùn)用。

《周髀算經(jīng)》作為《算經(jīng)十書》之一，被唐代列為明算科教材。書中詳細(xì)介紹了勾股定理、蓋天說和四分歷法等問題?！吨荀滤憬?jīng)》中的數(shù)學(xué)計(jì)算已使用分?jǐn)?shù)法和開平方法等難度頗大的計(jì)算方法?！吨荀滤憬?jīng)》中的“弦圖”也形象地論證了勾股定理的使用。

3.趣味性：通俗易懂的表述

唐代數(shù)學(xué)教材內(nèi)容豐富，獨(dú)具特色，設(shè)計(jì)精良，不僅與生產(chǎn)勞動相結(jié)合，直觀性與現(xiàn)實(shí)性相結(jié)合，而且趣味性強(qiáng)、通俗易懂?！稄埱鸾ㄋ憬?jīng)》是北魏數(shù)學(xué)家張丘建編撰的教材，也是唐代重要的數(shù)學(xué)教材之一。書中共包括92個問題，介紹了最大公約數(shù)、最小公約數(shù)、等差級數(shù)及二次方程等問題。其中關(guān)于百雞問題的解法最為獨(dú)特：今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞維三，值錢一。凡百錢買雞百只，問雞翁母維各幾何。該題對不定方程的解法堪稱中國最早。書中采用朗朗上口的歌訣形式對百雞問題進(jìn)行了闡述，簡明易懂，便于理解。百雞問題因簡單明了、趣味十足的闡述形式而流傳至今。

（二）唐代數(shù)學(xué)教材的影響因素

唐代數(shù)學(xué)教材的變遷是傳統(tǒng)教育變遷的縮影，中國傳統(tǒng)教育是在封建社會主導(dǎo)教育思想即儒家教育思想影響下變化發(fā)展的，唐代數(shù)學(xué)教材的變遷也深受儒家“經(jīng)世致用”思想的浸潤。同時，教育制度，尤其是封建科舉制度作為傳統(tǒng)教育的指揮棒對數(shù)學(xué)教育及教材也產(chǎn)生了非常重要的影響。

1.儒家“經(jīng)世致用”思想使唐代數(shù)學(xué)教材凸顯實(shí)用性

“經(jīng)世致用”是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育和教材內(nèi)容編寫的指導(dǎo)思想。如漢代，奉行“罷黜百家，獨(dú)尊儒術(shù)”的文教政策，使教育呈現(xiàn)了儒學(xué)化。其中最突出表現(xiàn)就是經(jīng)學(xué)教育在此后近兩千年的傳統(tǒng)教育中占據(jù)著主導(dǎo)地位?！蔼?dú)尊儒術(shù)”對數(shù)學(xué)教育發(fā)揮了明顯導(dǎo)向作用，儒學(xué)講究“經(jīng)世致用”，學(xué)習(xí)知識是為了解決實(shí)踐問題。在這一思想指導(dǎo)下，數(shù)學(xué)教育的思想、內(nèi)容、方法向著實(shí)用價值的方向轉(zhuǎn)移，從社會生產(chǎn)和日常生活的需要中產(chǎn)生問題并為社會生產(chǎn)和生活服務(wù)。中國社會自古就是農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)社會，農(nóng)業(yè)與手工業(yè)生產(chǎn)是社會主要的經(jīng)濟(jì)活動，數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容也相應(yīng)以應(yīng)用于農(nóng)業(yè)生產(chǎn)實(shí)踐的數(shù)學(xué)知識為主，如表1所歸納《九章算術(shù)》的內(nèi)容所示：

從表1可見，《九章算術(shù)》所涉及的內(nèi)容主要是社會生產(chǎn)及生活應(yīng)用領(lǐng)域的數(shù)學(xué)知識或數(shù)學(xué)模型，涵蓋了土地丈量、糧食分配、賦稅繳納、面積與體積計(jì)算、土方工程、谷物運(yùn)輸?shù)壬鐣a(chǎn)生活各方面的數(shù)學(xué)應(yīng)用。唐代數(shù)學(xué)教材除《九章算術(shù)》之外，還采用《周髀算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》《五曹算經(jīng)》《夏侯陽算經(jīng)》《張丘建算經(jīng)》《海島算經(jīng)》《五經(jīng)算術(shù)》《綴術(shù)》《緝古算經(jīng)》等數(shù)學(xué)著作。這些教材的內(nèi)容也多反映了當(dāng)時科技和經(jīng)濟(jì)發(fā)展對數(shù)學(xué)知識的迫切需要。如《夏侯陽算經(jīng)》共3卷，收錄83個問題，大多數(shù)問題都是來自于社會經(jīng)濟(jì)活動，為地方官吏和廣大百姓解決經(jīng)濟(jì)問題提供適用的數(shù)學(xué)知識和計(jì)算技術(shù)，體現(xiàn)了生產(chǎn)生活實(shí)踐對實(shí)用數(shù)學(xué)的需要。由此可見中國古代數(shù)學(xué)教育與教材受儒學(xué)“經(jīng)世致用”思想影響而服務(wù)與應(yīng)用于社會生產(chǎn)生活實(shí)踐的應(yīng)用性特征。

表1 《九章算術(shù)》內(nèi)容一覽表[5]24

2.科舉制度影響唐代數(shù)學(xué)教材的設(shè)計(jì)

隋代確立了科舉考試制度之后，科舉制度在中國傳統(tǒng)社會愈加完善，并逐漸成為中國傳統(tǒng)教育的指揮棒，科舉考試考什么，官學(xué)、私學(xué)、書院幾乎就教什么。數(shù)學(xué)教育是具體學(xué)科的教育，因而教育制度對其有更為直接的影響，科舉考試制度所規(guī)定的內(nèi)容可以說決定了數(shù)學(xué)教育的形式及教學(xué)內(nèi)容。如唐代的科舉制分?？坪椭瓶?，常科為每年舉行的考試，其中就設(shè)有明算科。明算科的內(nèi)容與官學(xué)中數(shù)學(xué)?？平逃龣C(jī)構(gòu)考試一樣，考試以明數(shù)造術(shù)、詳明術(shù)理為標(biāo)準(zhǔn)，以問答的形式考核教材的基本內(nèi)容。如第一個專業(yè)選《九章算術(shù)》中的任意3題，其他教材各任意1題，共10題進(jìn)行考試，答對6題以上為及格；第二個專業(yè)選《綴術(shù)》中的任意7題，《緝古算經(jīng)》中的任意3題進(jìn)行考試，答對6題以上為及格。另外，以帖經(jīng)的形式考《數(shù)術(shù)記遺》和《三等數(shù)》，帖10題對9題為及格。考生問答和帖經(jīng)都及格就可以及第授官。正因?yàn)榭婆e明算科對考試內(nèi)容和形式如此明確的規(guī)定和設(shè)置，唐代國子監(jiān)以及地方官學(xué)和私學(xué)才不僅非常重視數(shù)學(xué)教育，同時嚴(yán)格圍繞科舉考試組織教學(xué)，將科舉考試指定的教材進(jìn)行了統(tǒng)一編纂，完成中國數(shù)學(xué)教育史上最具代表性，也是最完善的一整套教材——《算經(jīng)十書》?！端憬?jīng)十書》可以說是在明算科科舉的指揮棒下，專門為科舉考試量身定做的一套數(shù)學(xué)教材，既是對之前數(shù)學(xué)教育成果的總結(jié)，也為后來數(shù)學(xué)教育的發(fā)展完善提供了保障，從唐到五代，300多年間一直有明算科舉，每年要有若干生徒和鄉(xiāng)貢考數(shù)學(xué)，“后唐天成五年（公元930年），宋延美明算科及第；是年明算五人，而延美為之首。天成五年二月，改元長興。長興元年（公元930年）夏四月，國子司業(yè)張溥請復(fù)國子學(xué)八館，廣攬生徒，以興絕學(xué)，而算學(xué)居其一”[8]202。由此可知，明算科的科舉考試，促進(jìn)了唐代數(shù)學(xué)教材的普及和發(fā)展。

令人遺憾的是明清時期，盛行以八股文取仕為特征的科舉考試，強(qiáng)調(diào)程朱理學(xué)，“四書”地位提高，超越“五經(jīng)”，逐漸取消了數(shù)學(xué)應(yīng)試內(nèi)容，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育和教材編纂呈現(xiàn)衰微。明代，出于封建專制集權(quán)政治的需要，特別強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)忠君的文臣，加強(qiáng)思想控制，科舉考試內(nèi)容逐漸取消了算學(xué)。因此，明代官學(xué)國子監(jiān)不再設(shè)算學(xué)，講授《易》《詩》《書》《春秋》《禮記》《大學(xué)》《中庸》《論語》《孟子》的“四書”等教材。地方官學(xué)雖然兼習(xí)數(shù)學(xué)，但只是啟蒙的“六藝”之一。清代前期，文教政策沿襲明代，從鞏固中央集權(quán)的君主制出發(fā)，尊經(jīng)崇儒，注重程朱理學(xué)，嚴(yán)格學(xué)制，繼續(xù)推行八股取士，八股進(jìn)一步教條化，突出訓(xùn)練時文制藝的格式和體裁技巧，并大興文字獄，頒行《圣訓(xùn)廣諭》，粗暴地扼殺一切新思想，數(shù)學(xué)教育也受到很大壓抑。只是由于西方數(shù)學(xué)的傳入，清代前期開始了中西數(shù)學(xué)融合的過程，更由于康熙等皇帝的重視，數(shù)學(xué)教育較明代才有了較大的提升。

五、唐代數(shù)學(xué)教材的歷史評價

唐代重視數(shù)學(xué)教育，設(shè)立專門的數(shù)學(xué)教育機(jī)構(gòu)，同時在民間及家學(xué)中不同程度地進(jìn)行數(shù)學(xué)教育以及數(shù)學(xué)專業(yè)人才的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)教育制度為數(shù)學(xué)教材的編寫、注釋以及使用提供了保障依托及前提條件；品質(zhì)精良、數(shù)量豐富的數(shù)學(xué)教材又促進(jìn)了數(shù)學(xué)教育的有效開展以及數(shù)學(xué)專業(yè)人才培養(yǎng)目標(biāo)的達(dá)成。

（一）唐代數(shù)學(xué)教材的地位

中國的數(shù)學(xué)教育萌芽較早，奴隸社會殷商國學(xué)教育就曾出現(xiàn)“書計(jì)”的學(xué)習(xí)，但唐代之前數(shù)學(xué)教育均無系統(tǒng)的專業(yè)數(shù)學(xué)教材。唐代對以前的數(shù)學(xué)典籍進(jìn)行系統(tǒng)總結(jié)，組織大批數(shù)學(xué)專業(yè)人才對《算經(jīng)十書》進(jìn)行注釋，同時這也標(biāo)志著以《九章算術(shù)》為中心的古代數(shù)學(xué)體系的基本形成，開創(chuàng)了我國數(shù)學(xué)教材的新紀(jì)元。正是由于李淳風(fēng)等數(shù)學(xué)家不辭辛勞、日夜整理數(shù)量龐大的算術(shù)古籍，才使得千百年間的珍貴數(shù)學(xué)知識得以保存?！端憬?jīng)十書》不僅成為唐朝數(shù)學(xué)教育的官方教材，而且出現(xiàn)了許多刻本和抄本，在宋、明、清時期大為盛行?！饵S帝九章算法細(xì)草》《九章算術(shù)纂類》以及《數(shù)書九章》等數(shù)學(xué)用書都對《算經(jīng)十書》的算法進(jìn)行了深刻討論，并在此基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)了新的數(shù)理方法。當(dāng)代數(shù)學(xué)中分子、分母、冪、積、開平方、開立方、正、負(fù)、方程等數(shù)學(xué)專業(yè)名詞和術(shù)語也都來自于《算經(jīng)十書》，可見《算經(jīng)十書》影響之長久、之深遠(yuǎn)。

唐代的數(shù)學(xué)教材中《算經(jīng)十書》的知識循序漸進(jìn)具有層次性系統(tǒng)性，基礎(chǔ)知識和高難度知識并存。其中《九章算術(shù)》《綴術(shù)》中的數(shù)學(xué)知識較為高深，難度頗大；《孫子算經(jīng)》《五曹算經(jīng)》則是基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)教材。唐代官學(xué)數(shù)學(xué)教育甚至分兩個班進(jìn)行教學(xué)的層次組織變化方式開展差異性實(shí)驗(yàn)。兩班學(xué)習(xí)的教材略有差別，有的班級學(xué)習(xí)基礎(chǔ)簡單的數(shù)學(xué)知識，有的班級則采用難度較大的教材學(xué)習(xí)有深度的內(nèi)容。依據(jù)學(xué)生掌握水平的不同而采用差異性的教材，不僅可以使學(xué)生更好地掌握相關(guān)知識，而且便于教師因材施教。

（二）唐代數(shù)學(xué)教材傳播海外

唐代數(shù)學(xué)教育發(fā)達(dá)，存在豐富多樣的數(shù)學(xué)教學(xué)活動。數(shù)學(xué)教育實(shí)踐必須依托種類多樣的數(shù)學(xué)教材，唐代數(shù)學(xué)教材以《算經(jīng)十部》為主。數(shù)學(xué)教材對中國古代數(shù)學(xué)專門人才培養(yǎng)發(fā)揮重要作用，并對世界數(shù)學(xué)教育史有一定的輻射影響。

唐代數(shù)學(xué)教材不僅深刻影響了中國數(shù)學(xué)教育的發(fā)展，而且傳播到東亞甚至歐洲等國。朝鮮與唐王朝交流密切，商貿(mào)及文化往來頻繁，曾多次派遣使節(jié)和學(xué)生前往唐朝。717年朝鮮效仿唐制，設(shè)立算學(xué)科，置算學(xué)博士及助教各1名，講授《綴經(jīng)》《三開》《九章》《六章》等數(shù)學(xué)教材。唐武周長安二年（702年）日本建立學(xué)校，開設(shè)算術(shù)課，教學(xué)及考試方法基本仿照唐朝，置算學(xué)生1名，算學(xué)博士教授《孫子算經(jīng)》《五曹算經(jīng)》《九章算術(shù)》《海島算經(jīng)》《綴術(shù)》《周髀算經(jīng)》《六章》《三開重差》《重開》《九司》等數(shù)學(xué)專門教材。唐朝與印度交流密切，許多印度天文學(xué)家曾在唐朝司天監(jiān)擔(dān)任官職，這也促進(jìn)了兩朝之間的數(shù)學(xué)交流。開元六年（718年），在唐玄宗的號召下，天文學(xué)家瞿曇悉達(dá)對印度的《九執(zhí)歷》進(jìn)行了翻譯，并且編輯了120卷的《開元占經(jīng)》?！堕_元占經(jīng)》中著重介紹了數(shù)碼、圓弧度量法和弧的正弦等數(shù)學(xué)專業(yè)知識?！端憬?jīng)十書》成為朝鮮和日本進(jìn)行數(shù)學(xué)教育的主要參考典籍，其所用數(shù)學(xué)教材大多源于此?！端憬?jīng)十書》的影響不僅停留在中亞及印度，更聞名歐洲各國，“于是歐洲人一方面恢復(fù)已經(jīng)失去了希臘數(shù)學(xué)，一方面吸收有生力量的中國數(shù)學(xué)，近代數(shù)學(xué)才得以開始發(fā)展”[9]。

（三）唐代數(shù)學(xué)教材的現(xiàn)實(shí)意義

綜上所述，唐朝封建社會經(jīng)濟(jì)繁榮，自然科學(xué)有了很大的發(fā)展，數(shù)學(xué)、醫(yī)學(xué)、天文歷法等取得了重大的成果。在古代社會，天文和數(shù)學(xué)有著密切聯(lián)系。天文歷法的編撰離不開數(shù)學(xué)方法的支撐，而天文歷法的進(jìn)步又促進(jìn)著數(shù)學(xué)教育的繼續(xù)發(fā)展。在歷法叢書《大衍歷》的編撰過程中，唐代科學(xué)家僧一行融入了許多精巧細(xì)密的數(shù)學(xué)計(jì)算方法，如不等間距二次內(nèi)插法、準(zhǔn)正切函數(shù)表和五星行度計(jì)算法。

唐代數(shù)學(xué)教育經(jīng)驗(yàn)性與實(shí)用性并存，不論是李淳風(fēng)等數(shù)學(xué)家對《算經(jīng)十書》的詳細(xì)注解，還是僧一行使用的計(jì)算方法，均為解決生產(chǎn)生活中的實(shí)際問題做出了重要貢獻(xiàn)。唐代數(shù)學(xué)教材的編輯、修訂工作，依靠數(shù)學(xué)家們的親身實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)得以順利完成，對數(shù)學(xué)教材的鉆研和學(xué)習(xí)最終也是為了解決現(xiàn)實(shí)生活中出現(xiàn)的實(shí)際問題。數(shù)學(xué)問題歸根到底為數(shù)量計(jì)算思想和方法，唐代數(shù)學(xué)教材為后世數(shù)學(xué)教材的編寫及數(shù)學(xué)教育實(shí)踐作出了重要貢獻(xiàn)。