高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)解題策略探究

楊 陽(yáng)

（甘肅省靈臺(tái)縣第一中學(xué)，甘肅 靈臺(tái) 744400）

抽象函數(shù)不僅是整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一條重要脈絡(luò)，同時(shí)，也是為后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，并且能夠考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)的理解能力和應(yīng)用能力。在高中數(shù)學(xué)中，抽象函數(shù)不僅僅是專項(xiàng)教學(xué)內(nèi)容，也是比較分散、零散的數(shù)學(xué)內(nèi)容，教學(xué)難度比較大，學(xué)生在理解與解題上難度都比較大。高中生要想快速、高效解決抽象函數(shù)題型，需要選擇科學(xué)、合理的解題方法，才能更精準(zhǔn)地解題，提高解題的正確率。因此，經(jīng)常在高考試題中出現(xiàn)很多學(xué)生在面對(duì)抽象函數(shù)時(shí)都會(huì)覺(jué)得束手無(wú)策，甚至?xí)谖唇忸}時(shí)就已經(jīng)出現(xiàn)了畏懼心理，這對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是不利的。因此，對(duì)于高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)解題策略進(jìn)行探究是有積極意義的。

一、類比模型能夠促使解題思路更加具體

在高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)的解題過(guò)程中，可以借助類比模型進(jìn)行解題。什么是類比模型呢？高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師根據(jù)題干中已知的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)行大膽地猜想，進(jìn)一步形成抽象函數(shù)的原始模型，將抽象函數(shù)的原始模型作為目標(biāo)猜想。在經(jīng)過(guò)分析模型函數(shù)所具備的性質(zhì)之后，對(duì)求解的問(wèn)題的相關(guān)解題方法進(jìn)行探索、分析。尤其是在求解抽象函數(shù)類型的選擇題或者填空題的時(shí)候，學(xué)生通過(guò)借助類比模型進(jìn)行推理作答，幫助他們?cè)诖痤}過(guò)程中提升了自身的邏輯思維能力，對(duì)于最后的結(jié)果起到一定的驗(yàn)證作用。

例如，已知f(x)是定義域?yàn)椋?∞，+∞）的奇函數(shù)，滿足f(1-x)=f(1+x)。如果f(1)=2，那么f(1)+f(2)+f(3)+……+f(50)=（）

A.-50 B.0 C.2 D.50

從這個(gè)題目中得知，可設(shè)f(x)=2sin(π/2)，做出f(x)在定義域內(nèi)圖像，如下圖所示：

基于這個(gè)f(x)的圖像可以得知，f(x)的一個(gè)周期為4，

因此，f(1)+f(2)+f(3)+……+f(50)=12×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)=2，所以，得出最后的答案為2，基于以上，本道題選擇C。

對(duì)于抽象函數(shù)圖像中雙對(duì)稱問(wèn)題，一般可以使用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像以及性質(zhì)為基本數(shù)學(xué)模型，求解抽象函數(shù)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，將抽象的函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為具體的問(wèn)題，從特殊問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為一般問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想。使用聯(lián)想類比思想，促使學(xué)生能夠更好地解決抽象函數(shù)問(wèn)題。

例如，某函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x和y都滿足f(x+y)=f(x)·f(y)，并且在x1≠x2的時(shí)候，f(x1)≠f(x2)。求解f(0)的值是多少？并對(duì)函數(shù)f(x)的奇偶性進(jìn)行判斷，說(shuō)明理由。

當(dāng)實(shí)數(shù)x和實(shí)數(shù)y都等于0 的時(shí)候，那么f(0)=[f(0)+f(0)]=2f(0)，所以f(0)的值為0 或者為1。

當(dāng)f(0) 的值為 0 的時(shí)候，由于f(x+y)=f(x)·f(y)，假設(shè)x為0，y為1，那么f(0)=0.

但是這并不滿足已知條件在x1≠x2的時(shí)候，f(x1)≠f(x2)。

因此，f(0)≠0。

由此可知，f(0)=1，此函數(shù)正好滿足指數(shù)函數(shù)圖像中點(diǎn)（0,1）的特點(diǎn)。

又因?yàn)閒(0)≠0，函數(shù)的定義域又為R，

因此，f(x)不是奇函數(shù)。

而且在x≠0 的時(shí)候，-x≠x，f(-x)≠f(x)，

所以，f(x)不是偶函數(shù)。

由此可得，f(x)不具備奇偶性。

可見(jiàn)該模型的結(jié)構(gòu)特征滿足于指數(shù)函數(shù)，所以學(xué)生在解決抽象函數(shù)問(wèn)題的過(guò)程中，可以通過(guò)類比指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)輕松得到最后的答案。另如，函數(shù)f(xy)=f(x)+f(y)，這一數(shù)學(xué)模型的基本結(jié)構(gòu)特征滿足對(duì)數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)，學(xué)生們?cè)诮鉀Q這一類型的抽象函數(shù)時(shí)，可以通過(guò)類比對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得最后的答案。

基于以上分析可知，使用類比思想解決抽象函數(shù)問(wèn)題的時(shí)候，學(xué)生需要了解各種函數(shù)的基本性質(zhì)特征，便于深度挖掘題干中的隱藏信息，使復(fù)雜抽象問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

二、樹(shù)立數(shù)學(xué)意識(shí)，使用配方法解決抽象函數(shù)問(wèn)題

數(shù)學(xué)中抽象函數(shù)問(wèn)題的解決需要建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)意識(shí)，同時(shí)和相應(yīng)的數(shù)學(xué)思維也存在一定的關(guān)聯(lián)性。不能簡(jiǎn)單地依靠數(shù)學(xué)公式的套用，還需要學(xué)會(huì)舉一反三，靈活、自由地使用數(shù)學(xué)公式、定理，做好數(shù)學(xué)公式的多變處理，通過(guò)使用扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)解決更多的抽象函數(shù)問(wèn)題。而這其中，學(xué)生通過(guò)配方法的運(yùn)用，靈活自由地對(duì)高中數(shù)學(xué)中抽象函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行解決。

配方法指的是將數(shù)學(xué)式子通過(guò)定向變形，配成完全平方的形式，這種數(shù)學(xué)解題技巧一般都是通過(guò)找尋題目中的已知條件、隱藏條件，探討二者其中的聯(lián)系，通過(guò)化繁為簡(jiǎn)，有效降低抽象函數(shù)難度，提升學(xué)生函數(shù)解題率。如何使用配方法、在什么樣的數(shù)學(xué)條件之下使用配方法？需要做好相應(yīng)的分析、預(yù)測(cè)，通過(guò)科學(xué)、合理地分析嘗試，運(yùn)用添項(xiàng)等方法完成配方。通常情況之下，配方法一般適用于恒等變形以及二次方程以及二次不等式之中，有的平移、交換問(wèn)題也可以使用配方法。配方法的使用是按照完全平方公式，得到最后基本配方形式，一般在抽象函數(shù)相關(guān)習(xí)題解題之中使用的比較多，基于其他的數(shù)學(xué)知識(shí)、基本定理、基本性質(zhì)，通過(guò)使用配方法，使問(wèn)題順利得到解決。

三、合理賦值，嘗試轉(zhuǎn)化

在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程中，抽象函數(shù)是比較重要的教學(xué)內(nèi)容，學(xué)生在學(xué)習(xí)抽象函數(shù)的時(shí)候，要合理地把握函數(shù)的定義域、單調(diào)性、周期等基本性質(zhì)，了解基本性質(zhì)之后，將簡(jiǎn)單的數(shù)值代入，以此來(lái)解決抽象函數(shù)的難點(diǎn)問(wèn)題。賦值法指的是已知函數(shù)滿足所有性質(zhì)，也就是一般性條件，賦予比較特殊的數(shù)值，從而得出抽象函數(shù)最終需要滿足的基本性質(zhì)。高中數(shù)學(xué)教師在給學(xué)生們講解抽象函數(shù)知識(shí)的時(shí)候，可使用賦值法解決抽象函數(shù)問(wèn)題。

例如，已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，而且f(3)=0，對(duì)任意x∈R，都有f(x+6)=f(x)+f(6)成立，那么f(2007)=（）。

A.2006 B.2007 C.2008 D.0

從這個(gè)題目中可以了解到：f(-3)=0，取x=-3 代入f(x+6)=f(x)+f(6)，得出f(6)=0，f(x+6)=f(x)，周期為6，從而就得到最后的答案，那么這道題就選擇D。

再比如，已知定義域?yàn)镽 的函數(shù)f(x)滿足f（f(x)-x2+x）=f(x)-x2+x，假設(shè)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使得f（x0）=x0，求得f(x)的解析表達(dá)式。滿足f（x0）=x0的實(shí)數(shù)x0唯一，由f（f(x)-x2+x）=f(x)-x2+x可以解：

對(duì)任意x∈R，有f(x)-x2+x=x0，

在上式之中，令x=x0有f（x0）-x02+x0=x0。

又f（x0）=x0得x0-x02=0，

所以，x0=0 或者x0=1。

如果x0=0，方程f(x)=x有兩個(gè)根，所以x0≠0；

如果x0=1，那么f(x)=x2-x+1。

最后驗(yàn)證這一函數(shù)，滿足題干已知條件。

四、給變量賦予特殊值，簡(jiǎn)化函數(shù)

在解決抽象函數(shù)問(wèn)題時(shí)，首先要了解函數(shù)的概念和性質(zhì)，眾所周知，函數(shù)指的是在一個(gè)變化過(guò)程中，發(fā)生變化的量為變量，而有些數(shù)值是不會(huì)隨著變量而改變的，稱為常量，通常變量設(shè)置為x，而y 會(huì)隨著x 值的變化而產(chǎn)生變化。并且函數(shù)具有對(duì)稱性、周期性、單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)，通過(guò)對(duì)于題目的觀察，進(jìn)行細(xì)致地分析，并且給變量賦予特殊值，從而達(dá)到簡(jiǎn)化函數(shù)的目的，將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，解決函數(shù)問(wèn)題。

例如，如果奇函數(shù) f(x)(x∈R)，滿足 f(2)=1，f(x+2)=f(x)+f(2)，則f(1)等于多少？這時(shí)候，給變量賦予特殊值，則解題步驟如下：

對(duì)于f(x+2)=f(x)+f(2)，令x=-1，得出f=(-1)+f(2),也就是f(1)=-f(1)+1，得出2f(1)=1，所以f(1)=1/2。

五、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，穿脫符號(hào)

在抽象函數(shù)中，“穿”指的是加上函數(shù)符號(hào)，“脫”則指的是去掉函數(shù)符號(hào)，由于函數(shù)本身具有單調(diào)性。因此，在解決函數(shù)問(wèn)題時(shí)，為了能夠有效簡(jiǎn)化函數(shù)的難度，加上函數(shù)符號(hào)或者去掉函數(shù)符號(hào)，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的。

例如，已知函數(shù)f(x)是定義在(0，+∞)上的增函數(shù)，且滿足對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)x、y，都有f(x·y)=f(x)+f(y)，且f(2)=1，解不等式f(x)＞f（x-2）+3。利用函數(shù)的單調(diào)性，解題步驟如下：

f(x)＞f（x-2）即f(x)＞f（x-2）+f(8)，即f(x)＞f[8(x-2)],由于函數(shù)f(x)是定義在(0，+∞)上的增函數(shù)，則x＞8(x-2)，也就是 x＜16/7，依據(jù)題目中的內(nèi)容，有x＞0，x-2＞0，從而得出不等式的解集為（2，16/7）。

六、化函數(shù)為原始模型，展開(kāi)思路

由于抽象函數(shù)本身具有一定的抽象性，直接解答題目相對(duì)來(lái)說(shuō)比較困難。為了能夠簡(jiǎn)化問(wèn)題，可以采用模型化策略，也就是結(jié)合題目給出的關(guān)系進(jìn)行猜想，生成函數(shù)的原始模型，再與函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，對(duì)于解題的方式進(jìn)行探索。當(dāng)遇到選擇題或者填空題時(shí)可以利用這種方法解決，遇到解答題無(wú)法直接用模型函數(shù)解決的，也可以幫助學(xué)生展開(kāi)思路，并且在進(jìn)行驗(yàn)證時(shí)也可以使用這一方法。

例如，設(shè)定義在R 上的函數(shù)f(x)對(duì)于任意x，y 都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(1)=-2，當(dāng)x＞0 時(shí)，f(x)＜0，判斷f(x)的奇偶性，并加以證明。題目中說(shuō)明了對(duì)于任意x，y 都有f(x+y)=f(x)+f(y)，可以以此為基礎(chǔ)猜想抽象函數(shù)f(x)生成的原始模型，f(x)=kx，由于x＞0 時(shí)，f(x)＜0，可以得知k＜0。因此，這個(gè)問(wèn)題可以進(jìn)行大膽地猜想，函數(shù)f(x)是奇函數(shù)。雖然這只是結(jié)合題目進(jìn)行的猜想，并不能作為證明，但是當(dāng)有了猜想時(shí)，也就有了解題思路，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行解答，能夠有效簡(jiǎn)化函數(shù)的難度。解題步驟如下：

令x=y=0,可以得出f(0)=0，令y=-x，則f(0)=f(-x)+f(x)，即f(-x)=-f(x)，則f(x)為奇函數(shù)。

七、明確抽象函數(shù)的定義域與值域，展開(kāi)解題

通常來(lái)說(shuō)，函數(shù)的定義域本質(zhì)上是為了表述一個(gè)抽象函數(shù)自身的變量取值的范圍，尤其對(duì)于一個(gè)函數(shù)從實(shí)際的問(wèn)題初決定時(shí)，就需要能夠根據(jù)實(shí)際的情況，確定自變量的取值范圍。但是，當(dāng)題目沒(méi)有明確地在一個(gè)函數(shù)解析式中指出其定義域，那么針對(duì)整個(gè)解析式來(lái)說(shuō)，定義域能夠幫助這個(gè)函數(shù)有意義的自變量取值范圍。

例如，當(dāng)題目給出已知（1,3）是函數(shù)y＝f（x3）這一定義域時(shí)，要求y＝f（x）的定義域，那么，在解題時(shí)，就可以將（1,3）是函數(shù)y＝f（x3）的定義域，即1≤x≤3，由此可知，1≤x3≤27，這樣能夠直接得出，函數(shù)f（x）的定義域就是（1,27）。

而一個(gè)函數(shù)由內(nèi)部的所有函數(shù)值組成的值域，函數(shù)的值域則是由定義域以及對(duì)應(yīng)法展開(kāi)確定，這時(shí)不論使用任何解題的方式，都需要提高對(duì)于定義域以及對(duì)應(yīng)法則的重視。在展開(kāi)函數(shù)值解題的過(guò)程中，對(duì)題目進(jìn)行性質(zhì)上的分析，最后再將特殊值代入特定的變量之中，以此完成對(duì)于數(shù)值的計(jì)算。

而在開(kāi)展x＝y(tǒng)＝0 的解題當(dāng)中，當(dāng)已知f（0）＝f（0）·f（0）＝f2（0），所以f（0）＝0，就需要能夠根據(jù)題意有f（x）＝f（x+0）＝f（x）·f（0）＝0，這時(shí)，繼續(xù)解題就需要能夠?qū)⑷我獾膶?shí)數(shù)x 都成立，折舊和已知條件存在x2≠x1，使f（x2）≠f（x1），矛盾了，所以，f（0）≠0，即是f（0）＝1。又因?yàn)閒（x+y）＝f（x）·f（y）對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y 都能夠成立，所以，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x 都有：f（x）等于f（x/2+x/2）＝f（x/2）··f（x/2）＝f2（x/2）≥0，現(xiàn)在就只需要反證法證明f（x）≠0 對(duì)于任意實(shí)數(shù)x 都能夠成立。

如若存在實(shí)數(shù)x0，使f（x0）＝0，那么對(duì)于f（0）＝f（x0—x0）＝f（x0）·f（-x0）等于0，這就與f（0）≠0 之間產(chǎn)生矛盾，可以證得f（x）≠0 對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x 都能夠成立，所以，f（x）＞0。綜上所述，函數(shù)的f（x）的值域?yàn)椋?，+∞）。

八、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)教學(xué)中，學(xué)生可以運(yùn)用賦值法、構(gòu)造模型法、數(shù)形結(jié)合法等相應(yīng)的解題方法，能夠更妥善地解決抽象函數(shù)問(wèn)題，提升解題的正確效率。除此之外，高中數(shù)學(xué)教師還應(yīng)該不斷追蹤抽象函數(shù)圖像等命題角度，尊重命題的基本規(guī)律，幫助學(xué)生們解決抽象函數(shù)問(wèn)題。在學(xué)習(xí)抽象函數(shù)的時(shí)候，高中生就需要培養(yǎng)自身的思維意識(shí)，掌握多種解題方法，舉一反三，才能在面對(duì)不同抽象函數(shù)問(wèn)題的時(shí)候靈活自由地解題。不僅如此，在開(kāi)展實(shí)際的教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)深入觀察學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用多媒體等教學(xué)方式，幫助學(xué)生提升自身的思維能力以及培養(yǎng)學(xué)生的協(xié)作式學(xué)習(xí)，要從實(shí)際出發(fā)，充分運(yùn)用已有的教學(xué)工具，幫助學(xué)生提高解答抽象函數(shù)的能力以及提升學(xué)生解題的質(zhì)量，讓學(xué)生能夠在正確方向的解題思路上不斷前行。