定向滲流誘導(dǎo)的非均質(zhì)凍結(jié)壁力學(xué)特性分析

王彬，榮傳新，程樺，蔡海兵

（1.安徽理工大學(xué)土木建筑學(xué)院，安徽 淮南 232001；2.安徽理工大學(xué)深部煤礦采動(dòng)響應(yīng)與災(zāi)害防控國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 淮南 232001；3.安徽理工大學(xué)安全科學(xué)與工程博士后科研流動(dòng)站，安徽 淮南 232001；4.中煤礦山建設(shè)集團(tuán)有限責(zé)任公司博士后科研工作站，安徽 合肥 230091）

0 引言

凍結(jié)壁作為擬開挖土體周圍的臨時(shí)支護(hù)結(jié)構(gòu)其受力特性分析一直是人工地層凍結(jié)法研究領(lǐng)域的重要問題。在該問題的研究初期，凍結(jié)壁被視為均質(zhì)材料，其力學(xué)分析過程被簡化為厚壁圓筒的受力問題［1］，該分析方法較為簡單，因此被工程上廣為應(yīng)用［2-3］。然而由于受凍結(jié)管熱傳導(dǎo)距離的影響，凍結(jié)壁內(nèi)部的溫度并不相等，而是隨著與凍結(jié)管的距離的變化而變化［4-5］，這導(dǎo)致凍結(jié)壁內(nèi)部的強(qiáng)度是不均勻的，因此將凍結(jié)壁視為均質(zhì)材料進(jìn)行計(jì)算存在一定誤差。胡向東等［6-7］首次提出將凍結(jié)壁視為功能梯度材料，并基于摩爾-庫倫強(qiáng)度準(zhǔn)則推導(dǎo)了單排管以及雙排管凍結(jié)壁的應(yīng)力計(jì)算公式；王彬等［8-9］根據(jù)該思路并基于D-P強(qiáng)度準(zhǔn)則也對(duì)單排管以及雙排管凍結(jié)壁的應(yīng)力公式進(jìn)行了推導(dǎo)，并首次提出了三排管非均質(zhì)凍結(jié)壁的應(yīng)力計(jì)算公式［10］；曹雪葉等［11-12］基于雙剪統(tǒng)一強(qiáng)度準(zhǔn)則推導(dǎo)得出了材料性質(zhì)呈拋物線變化的FGM凍結(jié)壁的應(yīng)力計(jì)算公式。由于凍結(jié)壁并不是單獨(dú)存在于土體中的，因此凍結(jié)壁周圍的未凍土體與凍結(jié)壁之間存在相互作用，并且凍結(jié)壁內(nèi)部土體開挖會(huì)對(duì)凍結(jié)壁的受力狀態(tài)產(chǎn)生一定的影響，楊維好等［13-15］推導(dǎo)得出了考慮與圍巖相互作用的凍結(jié)壁彈性、彈塑性以及塑性應(yīng)力解；胡向東等［16-18］推導(dǎo)得出了考慮開挖卸載作用的凍結(jié)壁承載力的計(jì)算公式；王彬等［19］基于上述理論，推導(dǎo)得出了考慮卸載作用以及與周圍未凍土體相互作用的非均質(zhì)凍結(jié)壁的應(yīng)力計(jì)算公式。

流動(dòng)的地下水作用下人工凍結(jié)溫度場的分布規(guī)律與無流速時(shí)相比存在較大差異［20-25］，其中位于上游區(qū)域的凍結(jié)壁厚度明顯小于下游區(qū)域，凍結(jié)壁不再是一個(gè)規(guī)則的厚壁圓筒，傳統(tǒng)的“厚壁圓筒”分析方法不再適用；并且凍結(jié)壁內(nèi)部的溫度分布規(guī)律也發(fā)生了較大變化，位于凍結(jié)管布置圈上游以及下游的溫度場存在明顯差異［20-22］，因此現(xiàn)有的溫度曲線等效方法［6-7］也不再適用。同時(shí)，現(xiàn)有文獻(xiàn)中關(guān)于凍結(jié)壁彈塑性分析的研究，通常只采用一種屈服準(zhǔn)則進(jìn)行推導(dǎo)與計(jì)算［6-10］，不能全面地反映出凍結(jié)壁的力學(xué)特性。針對(duì)上述問題，本文將基于定向滲流誘導(dǎo)的非均質(zhì)凍結(jié)壁溫度場的分布規(guī)律，考慮不同的凍土強(qiáng)度準(zhǔn)則，對(duì)定向滲流誘導(dǎo)的非均質(zhì)凍結(jié)壁的應(yīng)力計(jì)算公式進(jìn)行推導(dǎo)，并結(jié)合工程算例對(duì)不同流速作用下的凍結(jié)壁的力學(xué)特性進(jìn)行計(jì)算分析。

1 定向滲流誘導(dǎo)的非均質(zhì)凍結(jié)壁溫度場分布規(guī)律

在流動(dòng)的地下水作用下，位于上游位置的凍結(jié)壁最遲交圈，對(duì)應(yīng)相同的凍結(jié)時(shí)間，該位置的凍結(jié)壁厚度最小，且同時(shí)受到地層壓力以及水壓的作用，因此該位置是整個(gè)凍結(jié)壁“最危險(xiǎn)位置”，該位置凍結(jié)壁的強(qiáng)度決定了整個(gè)凍結(jié)壁的穩(wěn)定性。已有研究成果表明，在無流速時(shí)，凍結(jié)壁截面的溫度最低點(diǎn)位于凍結(jié)管布置圈上；而定向滲流誘導(dǎo)的非均質(zhì)凍結(jié)壁“危險(xiǎn)截面”的溫度最低點(diǎn)位于凍結(jié)管布置圈下游位置處［23］；同時(shí)，二次函數(shù)可以較好地反映相鄰凍結(jié)管中間區(qū)域截面的溫度場分布規(guī)律［6-11］。因此，為了便于采用數(shù)理方程描述“危險(xiǎn)截面”的溫度分布規(guī)律，以凍結(jié)溫度場最低溫度點(diǎn)所在位置作為凍結(jié)壁分區(qū)界線，分別用兩段二次函數(shù)曲線近似替代溫度場的分布曲線［6-11］。

不同流速的地下水作用下凍結(jié)壁“危險(xiǎn)截面”的溫度曲線計(jì)算模型如圖1所示。將凍結(jié)壁的內(nèi)徑用R0表示，擬開挖邊界的半徑用R1表示，凍結(jié)壁的外徑用RH表示，凍結(jié)壁截面上任一點(diǎn)的半徑用R表示。為了便于公式的推導(dǎo)，用相對(duì)半徑r=R/R0表示凍結(jié)壁截面內(nèi)的任一點(diǎn)。

圖1 不同流速的地下水作用下凍結(jié)壁溫度分布模型Fig.1 Temperature distribution of the"dangerous section"of the frozen wall under the action

在凍結(jié)壁內(nèi)徑處：R0/R0=1；

在凍結(jié)壁擬開挖邊界處：R1/R0=r1；

在凍結(jié)壁外徑處：RH/R0=rH；

假設(shè)凍結(jié)壁“危險(xiǎn)截面”的溫度分布規(guī)律滿足以下二次函數(shù)表達(dá)式：

式中：ra為截面溫度最低點(diǎn)所在位置；a、c為待定常數(shù)。

溫度場的邊界條件為：

式中：T0（℃）為土體的凍結(jié)溫度，即凍結(jié)鋒面處凍土的溫度；T1為凍結(jié)壁擬開挖邊界的控制溫度，該溫度一般為-3℃；Ta（℃）為凍結(jié)壁截面的最低溫度，Ta與地層中水流速度V相關(guān)。

將邊界條件（2）代入（1）可得凍結(jié)溫度場的曲線函數(shù)為：

2 凍土力學(xué)特性

2.1 凍土強(qiáng)度參數(shù)

已有研究成果表明，不同土性凍土的彈性模量E、黏聚力c與溫度存在近似的一次函數(shù)關(guān)系［19］。

結(jié)合凍結(jié)壁“危險(xiǎn)截面”溫度場的分布規(guī)律，將凍結(jié)壁的彈性模量以及黏聚力用二次函數(shù)［6-11］表示：

式中：a1，a2，b1，b2，d1，d2以及m1，m2，n1，n2，l1，l2分別是與溫度分布曲線相關(guān)的參數(shù)，且上述參數(shù)都是與地下水流速V相關(guān)的參數(shù)。

假設(shè)凍結(jié)前后土體的泊松比μ與內(nèi)摩擦角φ保持不變［6-8-19］。

2.2 凍土強(qiáng)度準(zhǔn)則

認(rèn)為凍結(jié)壁進(jìn)入塑性后體積不可壓縮，對(duì)于軸對(duì)稱平面應(yīng)變問題有［13-15］：

因此幾種常用的強(qiáng)度準(zhǔn)則經(jīng)推導(dǎo)后可以用下式表示［14-15］：

式中：η以及ω的表達(dá)式如表1所示。

表1 不同屈服準(zhǔn)則中η以及ω的表達(dá)式Table 1 Expressions ofηandωin different strength criteria

3 凍結(jié)壁應(yīng)力計(jì)算公式

3.1 地下水作用下凍結(jié)壁力學(xué)模型

為了便于計(jì)算，將受流動(dòng)的地下水影響形成的不規(guī)則的凍結(jié)壁簡化成厚度與“危險(xiǎn)截面”相等的厚壁圓筒。凍結(jié)壁“危險(xiǎn)截面”的力學(xué)模型如圖2所示。

圖2 地下水作用下凍結(jié)壁“危險(xiǎn)截面”力學(xué)模型Fig.2 Mechanical model of"dangerous section"of frozen wall under groundwater

考慮開挖卸載作用后，無窮遠(yuǎn)處未凍土體的等效應(yīng)力［16-18］為：

式中：P為土體的原始水平應(yīng)力；μ0為土體的泊松比。

在力學(xué)模型中，凍結(jié)壁的應(yīng)力場邊界條件為：

3.2 凍結(jié)壁彈性應(yīng)力計(jì)算公式

當(dāng)凍結(jié)壁處于彈性平面應(yīng)變狀態(tài)時(shí)，滿足以下基本方程：

平衡方程［26］：

幾何方程［26］：

平面應(yīng)變狀態(tài)下的物理方程［26］：

引入應(yīng)力函數(shù)ψ，將σr，σθ通過ψ表示［6-9］：

結(jié)合式（10）～（13）可得：

將凍結(jié)壁周圍未凍土體視為均勻、彈性介質(zhì)，則周圍土體的彈性應(yīng)力計(jì)算公式［26］為：

由（4）可知，凍結(jié)壁的彈性模量隨著r變化，將彈性模量E（r）表達(dá)式代入（14）可得：

通過求解可以得出（17）的通解為：

式中：i=1，2分別表示靠近開挖邊界一側(cè)以及靠近未凍土體一側(cè)。

將應(yīng)力邊界條件帶入（18）可以得到靠近開挖邊界一側(cè)的凍結(jié)壁彈性應(yīng)力計(jì)算公式為：

同理，可以得到靠近未凍土體一側(cè)的凍結(jié)壁彈性應(yīng)力計(jì)算公式為：

凍結(jié)壁rH以及r1處的位移連續(xù)條件為：

在平面軸對(duì)稱問題中有：

因此可以得出下式：

由方程（23）可以求得P1以及σr1。

3.3 凍結(jié)壁彈塑性應(yīng)力計(jì)算公式

當(dāng)凍結(jié)壁的外荷載大于凍結(jié)壁的彈性極限承載力時(shí)，凍結(jié)壁進(jìn)入彈塑性狀態(tài)，沿著凍結(jié)壁“危險(xiǎn)截面”由內(nèi)向外依次分為塑性區(qū)以及彈性區(qū)。

塑性區(qū)應(yīng)力平衡方程為［27］：

將強(qiáng)度準(zhǔn)則代入（24）得：

通過求解可以得出凍結(jié)壁塑性區(qū)徑向應(yīng)力的通解為：

根據(jù)r=1以及r=r1處的應(yīng)力邊界條件可以求得Ci的值為：

凍結(jié)壁塑性區(qū)的環(huán)向應(yīng)力可以通過下式求得：

假設(shè)凍結(jié)壁塑性區(qū)半徑為ρ。當(dāng)ρ∈[1，r1)時(shí)，在區(qū)間[1，ρ)上，凍結(jié)壁處于塑性狀態(tài)；在區(qū)間[ρ，rH]上，凍結(jié)壁處于彈性狀態(tài)。凍結(jié)壁的應(yīng)力計(jì)算公式為：

當(dāng)ρ∈[r1，rH]時(shí)，在區(qū)間[1，ρ)上，凍結(jié)壁處于塑性狀態(tài)；在區(qū)間[ρ，rH]上，凍結(jié)壁處于彈性狀態(tài)。凍結(jié)壁的應(yīng)力計(jì)算公式為：

由上述公式可知，當(dāng)塑性區(qū)半徑ρ=1以及ρ=rH時(shí)，對(duì)應(yīng)的凍結(jié)壁外荷載分別是凍結(jié)壁的彈性極限承載力以及塑性極限承載力。

3.4 凍結(jié)壁塑性區(qū)半徑求解

在r=ρ處，凍結(jié)壁應(yīng)力滿足應(yīng)力連續(xù)條件，即

塑性區(qū)半徑可由式（35）、（36）分別聯(lián)立（35）求得。

4 工程算例分析

淮南礦區(qū)潘一礦中央風(fēng)井的凍結(jié)孔布置方案以及凍土力學(xué)參數(shù)分別如表2～3所示［25］。

表2 潘一礦中央風(fēng)井凍結(jié)孔設(shè)計(jì)參數(shù)Table 2 Freezing parameters of central wind shaft in Panyi Mine

基于上述參數(shù)，通過水熱耦合數(shù)值計(jì)算模型（該計(jì)算模型的合理性已經(jīng)得到文獻(xiàn)［25］的驗(yàn)證），采用COMSOL Multiphys數(shù)值計(jì)算軟件對(duì)不同流速條件下凍結(jié)壁危險(xiǎn)截面的溫度分布規(guī)律進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如圖3所示。

圖3 地下水作用下凍結(jié)壁“危險(xiǎn)截面”的溫度分布規(guī)律Fig.3 The temperature distribution law of the"dangerous section"of the frozen wall under the action of groundwater at different flow rates

對(duì)開挖前凍結(jié)壁的厚度隨流速的變化規(guī)律進(jìn)行擬合，如圖4所示。

圖4 凍結(jié)壁厚度隨地下水流速變化規(guī)律的擬合曲線Fig.4 Fitting curve of freezing wall thickness with the change of groundwater velocity

由擬合結(jié)果得出凍結(jié)壁厚度L與地下水流速V的關(guān)系式為：

式中：L0、A、w以及Vc為擬合參數(shù)。

凍結(jié)壁的厚度也可以表示為：

通過數(shù)值計(jì)算得出凍結(jié)壁“危險(xiǎn)截面”上溫度曲線的計(jì)算參數(shù)如表4所示。

表4 凍結(jié)溫度場計(jì)算參數(shù)Table 4 Calculation parameters of freezing temperature field

將溫度場的計(jì)算參數(shù)帶入公式（3）可得出不同流速條件下凍結(jié)壁危險(xiǎn)截面上溫度場計(jì)算公式，隨后根據(jù)表3中凍土力學(xué)參數(shù)與溫度的關(guān)系，得出凍結(jié)壁“危險(xiǎn)截面”上彈性模量以及黏聚力隨半徑的變化規(guī)律。將彈性模量以及黏聚力帶入對(duì)應(yīng)的應(yīng)力計(jì)算公式，即可得出凍結(jié)壁應(yīng)力計(jì)算公式。

表3 凍土力學(xué)參數(shù)Table 3 Mechanical parameters of frozen soil

圖6 凍結(jié)壁塑性極限承載力計(jì)算結(jié)果Fig.6 Calculation results of plastic ultimate bearing capacity of frozen wall

不同流速的地下水作用下凍結(jié)壁的彈性極限承載力以及塑性極限承載力的計(jì)算結(jié)果如圖5～6。通過分析可以發(fā)現(xiàn)：基于不同屈服準(zhǔn)則的凍結(jié)壁的承載力的計(jì)算結(jié)果存在一定的差異，其中基于M-C準(zhǔn)則以及D-P準(zhǔn)則的計(jì)算結(jié)果基本一致，基于廣義Tresca準(zhǔn)則的結(jié)果略大于M-C準(zhǔn)則以及D-P準(zhǔn)則的計(jì)算結(jié)果，而基于雙剪強(qiáng)度準(zhǔn)則的計(jì)算結(jié)果則明顯偏大。凍結(jié)壁的承載力隨著水流速度的增大而減小，當(dāng)?shù)叵滤魉贋? m·d-1時(shí)，基于M-C準(zhǔn)則、D-P準(zhǔn)則、廣義Tresca準(zhǔn)則、雙剪準(zhǔn)則計(jì)算得出的彈性極限承載力以及塑性極限承載力分別為2.480、2.462、2.741、3.202 MPa以及4.349、4.318、4.561、5.779 MPa，當(dāng)?shù)叵滤魉僭黾又?0 m·d-1時(shí)，對(duì)應(yīng)的彈性極限承載力以及塑性極限承載力降低至2.087、2.085、2.203、2.784 MPa以及3.700、3.707、3.908、4.939 MPa。

圖5 凍結(jié)壁彈性極限承載力計(jì)算結(jié)果Fig.5 Calculation results of elastic ultimate bearing capacity of frozen wall

彈性極限狀態(tài)以及塑性極限狀態(tài)下凍結(jié)壁的應(yīng)力分布曲線如圖7～8所示。由于位于凍結(jié)壁分區(qū)界線（r=1.685）兩側(cè)的凍土力學(xué)參數(shù)存在較大差異，因此位于分界線兩側(cè)的凍結(jié)壁的應(yīng)力分布規(guī)律也存在較大差異。當(dāng)凍結(jié)壁處于彈性極限狀態(tài)時(shí)，凍結(jié)壁的徑向應(yīng)力隨著相對(duì)半徑r的增大而增大，而環(huán)向應(yīng)力的分布則具有明顯的區(qū)域差異性。當(dāng)r＜1.685時(shí)，環(huán)向應(yīng)力曲線呈拋物線形狀，曲線隨相對(duì)半徑r的變化較為緩慢；當(dāng)r＞1.685時(shí)，由于地下水的影響該區(qū)域凍結(jié)壁的厚度較小，溫度變化梯度較大，因此該區(qū)域凍結(jié)壁的環(huán)向應(yīng)力隨著相對(duì)半徑的增加而急劇降低；彈性極限狀態(tài)下，凍結(jié)壁的環(huán)向應(yīng)力的最大值出現(xiàn)在靠近凍結(jié)壁中間的位置。當(dāng)凍結(jié)壁處于塑性極限狀態(tài)時(shí)，凍結(jié)壁的徑向應(yīng)力隨著相對(duì)半徑r的增大而增大，環(huán)向應(yīng)力的分布具有明顯的區(qū)域性。當(dāng)r＜1.685時(shí)，環(huán)向應(yīng)力隨著相對(duì)半徑r的增大而增大；當(dāng)r＞1.685時(shí)，凍結(jié)壁的環(huán)向應(yīng)力隨著相對(duì)半徑的增加而急劇降低；塑性極限狀態(tài)下，凍結(jié)壁的環(huán)向應(yīng)力的最大值出現(xiàn)在凍結(jié)壁的分區(qū)界線r=1.685處。

圖7 彈性極限狀態(tài)下凍結(jié)壁應(yīng)力分布曲線圖Fig.7 Stress distribution curve of frozen wall under elastic limit state

5 結(jié)論與討論

（1）將大流速滲透地層中凍結(jié)壁最遲交圈的位置視為“危險(xiǎn)截面”，通過分段等效的方法結(jié)合溫度特征點(diǎn)，得出該截面的溫度曲線表達(dá)式；根據(jù)凍土力學(xué)參數(shù)與凍結(jié)溫度的線性關(guān)系，將凍結(jié)壁視為隨溫度函數(shù)變化的非均質(zhì)材料；分別基于M-C準(zhǔn)則、D-P準(zhǔn)則、廣義Tresca準(zhǔn)則及雙剪強(qiáng)度準(zhǔn)則，推導(dǎo)得出滲流場作用下單排管非均質(zhì)凍結(jié)壁應(yīng)力計(jì)算公式。

圖8 塑性極限狀態(tài)下凍結(jié)壁應(yīng)力分布曲線圖Fig.8 Stress distribution curve of frozen wall under plastic limit state

（2）基于不同屈服準(zhǔn)則的凍結(jié)壁承載力的計(jì)算結(jié)果存在一定的差異，其中基于M-C準(zhǔn)則以及D-P準(zhǔn)則的計(jì)算結(jié)果基本一致，基于廣義Tresca準(zhǔn)則的結(jié)果略大于M-C準(zhǔn)則以及D-P準(zhǔn)則的計(jì)算結(jié)果，而基于雙剪強(qiáng)度準(zhǔn)則的計(jì)算結(jié)果則明顯偏大。

（3）凍結(jié)壁的承載力隨著水流速度的增大而減小，當(dāng)?shù)叵滤魉贋? m·d-1時(shí)，基于M-C準(zhǔn)則、D-P準(zhǔn)則、廣義Tresca準(zhǔn)則、雙剪準(zhǔn)則計(jì)算得出的彈性極限承載力以及塑性極限承載力分別為2.480、2.462、2.741、3.202 MPa以及4.349、4.318、4.561、5.779 MPa，當(dāng)?shù)叵滤魉僭黾又?0 m·d-1時(shí)，對(duì)應(yīng)的彈性極限承載力以及塑性極限承載力降低至2.087、2.085、2.203、2.784 MPa以及3.700、3.707、3.908、4.939 MPa。

（4）當(dāng)凍結(jié)壁處于彈性極限狀態(tài)時(shí)，凍結(jié)壁的徑向應(yīng)力隨著相對(duì)半徑r的增大而增大，環(huán)向應(yīng)力的分布具有明顯的區(qū)域差異性。當(dāng)r＜1.685時(shí)，環(huán)向應(yīng)力曲線呈拋物線形狀，應(yīng)力曲線隨著相對(duì)半徑r的變化較為緩慢；當(dāng)r＞1.685時(shí)，由于地下水的影響該區(qū)域凍結(jié)壁的厚度較小，溫度變化梯度較大，因此該區(qū)域凍結(jié)壁的環(huán)向應(yīng)力隨著相對(duì)半徑的增加而急劇降低；彈性極限狀態(tài)下，凍結(jié)壁的環(huán)向應(yīng)力的最大值出現(xiàn)在靠近凍結(jié)壁中間的位置。

（5）當(dāng)凍結(jié)壁處于塑性極限狀態(tài)時(shí)，凍結(jié)壁的徑向應(yīng)力隨著相對(duì)半徑r的增大而增大，環(huán)向應(yīng)力的分布具有明顯的區(qū)域差異性。當(dāng)r＜1.685時(shí)，環(huán)向應(yīng)力隨著相對(duì)半徑r的增大而增大；當(dāng)r＞1.685時(shí)，凍結(jié)壁的環(huán)向應(yīng)力隨著相對(duì)半徑的增加而急劇降低；塑性極限狀態(tài)下，凍結(jié)壁的環(huán)向應(yīng)力的最大值出現(xiàn)在凍結(jié)壁的分區(qū)界線r=1.685處。

（6）本研究將定向滲流誘導(dǎo)的非均質(zhì)凍結(jié)壁簡化為受均布荷載、厚度與危險(xiǎn)截面處凍結(jié)壁相等的“厚壁圓筒”，并基于四種凍土強(qiáng)度準(zhǔn)則對(duì)不同流速條件下凍結(jié)壁的力學(xué)特性進(jìn)行了計(jì)算分析，所得出的結(jié)果反映了凍結(jié)壁最危險(xiǎn)狀態(tài)下的力學(xué)特性，能夠?yàn)榇罅魉贊B透地層凍結(jié)壁的設(shè)計(jì)提供一定的參考。但是，受理論解析方法的限制，該模型僅能反映進(jìn)入穩(wěn)態(tài)的凍結(jié)壁的力學(xué)特性，沒有考慮水-熱-力耦合作用，我們將在后續(xù)的研究中采用數(shù)值計(jì)算的方法對(duì)該問題展開進(jìn)一步深入的探索。