非厄米臨界動力學(xué)及其在量子多體系統(tǒng)中的應(yīng)用*

張禧征 王鵬 張坤亮 楊學(xué)敏 宋智?

1) (天津師范大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院,天津 300387)

2) (南開大學(xué)物理科學(xué)學(xué)院,天津 300071)

3) (重慶郵電大學(xué)理學(xué)院,重慶 400065)

4) (中國工程物理研究院研究生院,北京 100193)

近些年來,非厄米與強(qiáng)關(guān)聯(lián)兩種元素開始融合并形成物理學(xué)中的一個(gè)重要研究領(lǐng)域,相關(guān)理論與實(shí)驗(yàn)的進(jìn)展重塑了人們對于物質(zhì)的理解.在該領(lǐng)域中,研究對象并不局限于非厄米元素對多體系統(tǒng)能譜以及本征態(tài)性質(zhì)的影響,研究者們更加關(guān)注對量子態(tài)的操縱.例外點(diǎn)作為非厄米量子力學(xué)區(qū)別于厄米量子力學(xué)中最顯著的特征得到了大家廣泛的關(guān)注.除了圍繞能譜例外點(diǎn)的非厄米拓?fù)淠軒Ю碚撘约傲孔犹綔y等最新進(jìn)展外,本文重點(diǎn)闡述以能譜例外點(diǎn)為基礎(chǔ)的臨界動力學(xué)現(xiàn)象及其在量子多體系統(tǒng)中的應(yīng)用.當(dāng)系統(tǒng)處于能譜例外點(diǎn)上時(shí),屬于例外點(diǎn)合并子空間中的任意初始態(tài)都將投影到體系的合并態(tài)上.基于量子態(tài)演化的方向性,本文回顧了近年來本課題組在量子自旋系統(tǒng)所發(fā)現(xiàn)的外場誘導(dǎo)的動力學(xué)磁化、橫場Ising 模型中的有限溫相變、中心-環(huán)境系統(tǒng)中的量子鑄模以及非厄米強(qiáng)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)中的超導(dǎo)態(tài)制備等幾個(gè)代表性工作,著重討論了與例外點(diǎn)相關(guān)的新的非平衡量子態(tài)制備方法以及探測方案.

1 引言

哈密頓量的厄米性是量子力學(xué)中的一個(gè)重要假設(shè).它確保了孤立量子系統(tǒng)的幾率守恒以及力學(xué)可觀測量的實(shí)數(shù)性.然而,由于人們所考慮的系統(tǒng)不可避免地與周圍環(huán)境發(fā)生能量、粒子以及信息的交換,因此人們所觀測到的系統(tǒng)概率不守恒現(xiàn)象在自然界中普遍存在.從歷史上來看,對此類開放系統(tǒng)的研究可以追溯到Gamow[1],Siegert[2],Majorana[3]和Feshbach[4,5]的早期工作.他們考慮了核反應(yīng)中的輻射衰變,該衰變可以通過一個(gè)與量子態(tài)幾率衰減相關(guān)的非厄米有效哈密頓量來描述,他們從動力學(xué)的角度解釋了流向核外的非零幾率流.沿著這條主線發(fā)展起來的理論方法被稱為Feshbach或Cohen Tannoudji 投影方法,其在后續(xù)介觀物理以及原子和分子物理學(xué)研究領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用.另一方面,由于單粒子的量子力學(xué)與經(jīng)典波動方程的數(shù)學(xué)形式等價(jià)[6],非厄米的描述可以被應(yīng)用到不同的非保守經(jīng)典物理系統(tǒng)中去.這些非保守的經(jīng)典系統(tǒng)提供了一個(gè)在不同物理領(lǐng)域中(如光學(xué)、光子學(xué)、電子電路、機(jī)械系統(tǒng)、腔光力學(xué)系統(tǒng)、生物輸運(yùn)、聲學(xué)以及流體)研究非傳統(tǒng)波動現(xiàn)象的理想平臺.由于波的本質(zhì)以及方程的數(shù)學(xué)等價(jià)性,固體物理中的能帶理論可以被直接推廣到具有周期性結(jié)構(gòu)的經(jīng)典系統(tǒng)中.最近,由于非厄米量子力學(xué)與經(jīng)典系統(tǒng)的這種相關(guān)性,傳統(tǒng)凝聚態(tài)物理中的拓?fù)淠軒Ц拍钜呀?jīng)被擴(kuò)展到非厄米體系中,這直接導(dǎo)致了一系列超越厄米能帶理論現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)[7].

隨著實(shí)驗(yàn)上量子相干控制技術(shù)的進(jìn)步,量子光學(xué)領(lǐng)域還發(fā)展出了一種處理開放量子系統(tǒng)的理論方法.基于此,人們可以在實(shí)驗(yàn)上高度可調(diào)的領(lǐng)域中探尋少體物理機(jī)理[8].相比之下,量子物理學(xué)中另一個(gè)非常有趣的現(xiàn)象是當(dāng)系統(tǒng)中存在大量相互作用粒子時(shí)所展現(xiàn)出的集體動力學(xué)行為[9].原子、分子和光學(xué)的最新實(shí)驗(yàn)進(jìn)展已經(jīng)使得人們能夠在多體領(lǐng)域中探索量子開放系統(tǒng).從這個(gè)角度來看,這些進(jìn)展為曾經(jīng)被認(rèn)為只是出于基本理論建設(shè)以及學(xué)術(shù)興趣的早期理論研究提供了新的視角,如非幺正量子場論中的李-楊奇點(diǎn)等[10].從理論上來講,此類開放系統(tǒng)在馬爾可夫近似下由主方程描述.系統(tǒng)與環(huán)境之間耦合導(dǎo)致了與量子跳躍項(xiàng)(quantum jump)相關(guān)的Lindblad 耗散算符的出現(xiàn),其代表在環(huán)境的影響下系統(tǒng)偏離自身的幺正演化行為.真正的非厄米量子系統(tǒng)恰是來源于系統(tǒng)與環(huán)境的相互作用.當(dāng)量子跳躍項(xiàng)發(fā)生作用的時(shí)間小于系統(tǒng)的特征時(shí)間時(shí),主方程中的量子跳躍項(xiàng)可以忽略,此時(shí)主方程與薛定諤方程等價(jià).但是描述系統(tǒng)動力學(xué)的哈密頓量不再具有厄米性而具有非厄米性.從算符的角度來講,算符的演化應(yīng)當(dāng)滿足郎之萬方程.究其本質(zhì)而言,非厄米哈密頓量就是郎之萬方程所對應(yīng)的有效哈密頓量,它是利用海森伯方程在Weisskopf-Wigner 近似下推導(dǎo)郎之萬方程的直接結(jié)果.近些年來,探究非厄米哈密頓量與開放系統(tǒng)之間的聯(lián)系這一課題,引起了很多國內(nèi)外理論與實(shí)驗(yàn)組的重點(diǎn)關(guān)注[11-22].另一方面,對于系統(tǒng)的測量過程,究其本質(zhì)而言也是一個(gè)系統(tǒng)與環(huán)境的相互作用過程.非幺正的微擾也可以顯著地改變系統(tǒng)潛在的動力學(xué)現(xiàn)象,一個(gè)典型的例子就是所謂的連續(xù)量子芝諾效應(yīng)[23].在此現(xiàn)象中,系統(tǒng)與測量儀器(環(huán)境)之間的耦合足夠強(qiáng)以至于可以抑制量子態(tài)之間的隧穿概率(即所謂的量子躍遷).這種抑制機(jī)制背后的物理也可以通過分析有效非厄米哈密頓量的能譜特性來得到.連續(xù)量子芝諾效應(yīng)通常表現(xiàn)為其復(fù)本征值的的虛部被抑制[24-27].這一特征在量子少體以及多體系統(tǒng)中鮮有發(fā)現(xiàn),而后者可以導(dǎo)致更豐富的物理現(xiàn)象,如粒子間關(guān)聯(lián)的增強(qiáng)、量子臨界點(diǎn)的移動[28,29]、非阿貝爾規(guī)范場工程、晶格約束誘導(dǎo)的多帶效應(yīng)[30,31]、以及非穩(wěn)定量子態(tài)的長弛豫過程[32-39].

近十年來,從離散非厄米哈密頓量出發(fā)探究其能譜及本征態(tài)的基本性質(zhì)已經(jīng)成為當(dāng)下非厄米研究領(lǐng)域的前沿問題.除了能譜結(jié)構(gòu)的特殊性質(zhì),非厄米系統(tǒng)還表現(xiàn)出許多在厄米系統(tǒng)中從未出現(xiàn)過的特殊動力學(xué)行為,其中一個(gè)顯著特征是臨界動力學(xué)[40-47].這種特殊動力學(xué)行為以非厄米系統(tǒng)中的例外點(diǎn)為基礎(chǔ)[47-54].所謂例外點(diǎn)是指非厄米系統(tǒng)中本征態(tài)的合并,其導(dǎo)致系統(tǒng)希爾伯特空間的不完備.因此,非厄米哈密頓量在此時(shí)不能夠被對角化.這一非厄米所獨(dú)有的行為顯著區(qū)分于厄米系統(tǒng)中能級的簡并現(xiàn)象,簡并不會導(dǎo)致希爾伯特空間的缺失.狄拉克概率不守恒及例外點(diǎn)的存在造就了非厄米系統(tǒng)不同于厄米系統(tǒng)的特殊動力學(xué)行為.雖然基于例外點(diǎn)的相關(guān)非平衡物理在單體系統(tǒng)中得到了深入的研究[55,56],但在多體系統(tǒng)中則較少涉及.可以肯定的是非厄米性和相互作用之間的結(jié)合必定會產(chǎn)生新奇的量子多體效應(yīng),并且可以顯著地改變厄米物理中已經(jīng)確立的宏觀集體激發(fā)行為[37].

本綜述簡要總結(jié)了近年來本課題組在非平衡量子多體物理方面的幾個(gè)代表性工作,著重討論與非厄米例外點(diǎn)相聯(lián)系的非平衡多體物態(tài)的制備.本文涉及的非厄米哈密頓量不僅可以在短時(shí)間內(nèi)很好地捕獲非平衡系統(tǒng)的動力學(xué)特征,而且可以很好地與量子跳躍項(xiàng)一起決定量子態(tài)演化的一條量子軌跡[57].由于密度矩陣可以被視為純態(tài)在經(jīng)典概率下的疊加,那么通過對所有可能的量子軌跡進(jìn)行加權(quán)便可以得到密度矩陣在量子主方程下的演化.因此研究非厄米哈密頓量在例外點(diǎn)附近的動力學(xué)特性為在開放系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)奇特的量子態(tài)有著重要的理論意義.本文第2 節(jié)首先基于厄米系統(tǒng)的簡并子空間,給出構(gòu)建具有例外點(diǎn)的非厄米非平庸哈密頓量的一般方法.以此為基礎(chǔ),闡明非厄米系統(tǒng)在例外點(diǎn)時(shí)的一般演化規(guī)律,并揭示具有不同階數(shù)例外點(diǎn)下系統(tǒng)所獨(dú)有的的動力學(xué)規(guī)律.第3 節(jié)主要側(cè)重于將第2 節(jié)發(fā)展的非厄米臨界動力學(xué)理論應(yīng)用到具體的多體系統(tǒng).具體來講: 第3.1 節(jié)介紹自旋系統(tǒng)中由臨界外場誘導(dǎo)的高階例外點(diǎn),并探討鐵磁海森伯系統(tǒng)自發(fā)磁化過程以及在時(shí)間域上形成的磁滯回線[58].第3.2 節(jié)著重討論橫場伊辛模型對于非局域外場的動力學(xué)響應(yīng).闡明在有限溫下,外場所誘導(dǎo)的能級合并現(xiàn)象是系統(tǒng)保持零溫相圖的關(guān)鍵[59].第3.3 節(jié)回顧了通過合理設(shè)置中心-環(huán)境系統(tǒng)的非厄米耦合形式,以時(shí)間演化為基礎(chǔ),在中心系統(tǒng)中制備非平庸拓?fù)湮飸B(tài)的量子鑄模方法[60].第3.4 節(jié)討論了非平衡多體系統(tǒng)中臨界動力學(xué)演化框架下的η對態(tài)制備方案[61].最后對非厄米臨界動力學(xué)理論進(jìn)行總結(jié)和展望.

2 非厄米臨界理論

本節(jié)首先通過簡并厄米模型給出具有例外點(diǎn)的非厄米模型的一般構(gòu)建方法,在此基礎(chǔ)上探討例外點(diǎn)系統(tǒng)中態(tài)的演化規(guī)律.

2.1 具有例外點(diǎn)的非厄米模型的構(gòu)建

一般情況下,一個(gè)處于例外點(diǎn)的系統(tǒng)可以通過調(diào)整非厄米參數(shù)(如復(fù)數(shù)勢、復(fù)數(shù)磁通、復(fù)數(shù)相互作用及不等幅跳躍)得到.在例外點(diǎn)附近的系統(tǒng)表現(xiàn)出能級排斥現(xiàn)象[47].超越例外點(diǎn)時(shí),系統(tǒng)將經(jīng)歷實(shí)數(shù)能級向復(fù)數(shù)能級的轉(zhuǎn)換.參數(shù)臨界值通常是某個(gè)超越方程的解,并且例外點(diǎn)系統(tǒng)對復(fù)參數(shù)非常敏感.因此,在實(shí)驗(yàn)中使一個(gè)系統(tǒng)精確地位于例外點(diǎn)并不容易.本節(jié)將提出一種基于能譜簡并點(diǎn)建立例外點(diǎn)系統(tǒng)的一般性理論,利用這種理論得到的例外點(diǎn)對非厄米參數(shù)的強(qiáng)弱程度不敏感.

考慮如下形式的非厄米哈密頓量:

該哈密頓量可以分成兩部分,即厄米部分和非厄米部分:

定理當(dāng)以下條件滿足時(shí),哈密頓量H=H0+H′的能譜中一定擁有例外點(diǎn):

1)H0有二重簡并態(tài)|A〉與|B〉,其對應(yīng)的能量為E;

2)|A〉(|B〉) 是哈密頓量H(H?) 能量為E的非簡并本征態(tài).

證明對于非厄米哈密頓量H,其本征態(tài)的正交性無法保證,通常從數(shù)學(xué)上引入由H的本征態(tài)和H?的本征態(tài)組成的一組雙正交基矢來對H做研究.常規(guī)情況下,H本征值為E的本征態(tài)與H?本征值為E*的本征態(tài)可以被雙正交歸一化,即它們的交疊可以被歸一化為 1 ;在例外點(diǎn)處,這組本征態(tài)無法被雙正交歸一化,它們的交疊為 0 .基于H(H?) 的 假設(shè),對于兩個(gè)態(tài)|A〉和|B〉:

這意味著兩個(gè)態(tài)|A〉和|B〉自發(fā)雙正交,其雙正交模為〈B|A〉.條件1)表明〈B|A〉=0 .根據(jù)非厄米量子力學(xué)的相關(guān)理論[62],如果〈B|A〉=0,則|A〉是H的合并態(tài),即哈密頓量H擁有合并態(tài)為|A〉的例外點(diǎn).這清楚地表明: 如果一個(gè)厄米系統(tǒng)H0和一個(gè)非厄米系統(tǒng)H(H?)具有共同本征態(tài)|A〉(|B〉),對應(yīng)能量都為E,并且|A〉(|B〉)對于H0簡并但對于H(H?)不簡并,則H具有例外點(diǎn).該定理有兩個(gè)明顯的優(yōu)勢: 首先,定理對于H0的具體形式?jīng)]有任何要求,對于非相對論和相對論、連續(xù)和離散的哈密頓量都成立,不需要做矩陣的對角化就可以得到系統(tǒng)的例外點(diǎn).其次,圍繞例外點(diǎn)的動力學(xué)一般需要明確系統(tǒng)合并態(tài)的物理性質(zhì).一般非厄米哈密頓量的合并本征態(tài)由于依賴系統(tǒng)非厄米元素的具體形式而變得非常復(fù)雜.該定理則直接指明合并態(tài)為相關(guān)厄米系統(tǒng)的簡并態(tài),這為后續(xù)通過非厄米臨界動力學(xué)制備具有新奇性質(zhì)的目標(biāo)量子態(tài)提供了理論基礎(chǔ).作為一個(gè)簡單的特例,將其應(yīng)用于緊束縛模型,根據(jù)上述兩個(gè)條件,H′|A〉=0,(H′)?|B〉=0,就可以發(fā)現(xiàn)滿足此條件的H′所具有的最簡形式是非對稱跳躍項(xiàng),即這 里ai和aj是費(fèi)米子或玻色子算符.當(dāng)aj|A〉=0 且ai|B〉=0 時(shí),以上兩個(gè)條件成立.這意味著兩個(gè)態(tài)|A〉和|B〉在格點(diǎn)j和i處有零點(diǎn)[63].

2.2 例外點(diǎn)動力學(xué)

例外點(diǎn)的存在導(dǎo)致系統(tǒng)的哈密頓量矩陣不能被對角化,但是總可以通過相似變換將其約化為一個(gè)具有相同本征值的約當(dāng)塊(Jordan block).考慮一個(gè)具有 2 階例外點(diǎn)的非厄米矩陣:

其只具有一個(gè)能量E=0,形式為|ψ〉=(i 1)T的合并本征態(tài).在相似變換

的作用下,非厄米矩陣H可以變換為約當(dāng)塊的標(biāo)準(zhǔn)形式,即

顯然對于一個(gè)含有n階例外點(diǎn)的非厄米哈密頓量,其必然可以通過相似變換轉(zhuǎn)化為一個(gè)n階的約當(dāng)塊形式.因此,系統(tǒng)在例外點(diǎn)上的動力學(xué)行為將主要由約當(dāng)塊的階數(shù)來決定.研究一個(gè)定義在N維復(fù)數(shù)空間的約當(dāng)塊M,其矩陣元為(M)i,j=λδi,j+δi+1,j(λ ∈C) .這里δi,j為克羅內(nèi)克爾符號,

該矩陣有且僅有 1 個(gè)能量為λ的合并本征態(tài)ψc,相應(yīng)的矩陣元為 (ψc)i,1=δi,1.該矩陣的時(shí)間演化算符可以寫為U=exp{-iλt}exp{-iDt},其中D為N階冪零矩陣,滿足如下性質(zhì):

從(7)式可以看到,當(dāng)n＞N -1 時(shí),Dn為零矩陣.利用這一性質(zhì),算符U的矩陣元可以表示為

為階躍函數(shù).考慮一個(gè)初始態(tài)列向量ψ0,其矩陣元為 (ψ0)l,1=cl.在時(shí)間演化算符U的作用下,t時(shí)刻的演化態(tài)的矩陣元可以表示為

容易看出,cN=0 時(shí),ψt不含tN-1項(xiàng);cN=cN-1=0 時(shí),ψt不含tN-1以及tN-2項(xiàng).換言之,對于初始態(tài)含有最高cn不為 0 的態(tài)來說,ψt含有的t的最高次冪為n-1,相應(yīng)的的狄拉克概率含有的t的最高次冪為 2 (n-1) .這說明無論初始態(tài)如何選取,當(dāng)考慮長時(shí)間演化時(shí),(ψt)1,1將始終含有t的最高次冪,其成分在演化態(tài)中隨著時(shí)間的推移將占據(jù)主導(dǎo)地位[61].這同時(shí)表明在例外點(diǎn)上,態(tài)的演化具有方向性,即指向系統(tǒng)的合并本征態(tài)ψc.這里需要指出的是例外點(diǎn)動力學(xué)是一種特殊的非平衡動力學(xué),其最終穩(wěn)態(tài)是非厄米系統(tǒng)的合并本征態(tài),這種非厄米方向演化性與非平衡動力學(xué)中的穩(wěn)態(tài)有著本質(zhì)的不同.在非平衡動力學(xué)中,穩(wěn)態(tài)意味著物理可觀測量在長時(shí)間平均下保持不變,但是其隨時(shí)間變化呈現(xiàn)出圍繞某些定值的周期振蕩行為,而非厄米臨界動力學(xué)在經(jīng)過特定的弛豫時(shí)間后,任意的初始態(tài)完全投影到合并態(tài)中,相應(yīng)的物理可觀測量將保持定值.本文的后半部分將利用此性質(zhì)在不同的量子多體系統(tǒng)中,發(fā)展臨界量子態(tài)操控的方法,以及探究其背后有趣的物理圖像.

3 非厄米臨界理論在多體系統(tǒng)中的應(yīng)用

本節(jié)將回顧本課題組基于非厄米臨界動力學(xué)演化規(guī)律在多體系統(tǒng)中發(fā)展的一些新理論與新方法.主要圍繞非厄米局域外場下量子自旋模型中的動力學(xué)磁化、有限溫量子相變探測、中心-環(huán)境系統(tǒng)中多體拓?fù)湮飸B(tài)制備以及Hubbard 系統(tǒng)中超導(dǎo)對態(tài)制備4 個(gè)方面展開論述.

3.1 非厄米自旋模型中的動力學(xué)磁化

海森伯模型作為描述Hubbard 模型在半滿填充時(shí)基態(tài)以及低能激發(fā)態(tài)行為的有效模型在量子磁性理論中取得了巨大的成功.隨著冷原子實(shí)驗(yàn)及單格點(diǎn)分辨技術(shù)的進(jìn)展,人們已經(jīng)可以在光晶格超冷原子實(shí)驗(yàn)中模擬海森伯模型并成功實(shí)現(xiàn)了對其系統(tǒng)磁性的操縱.另一方面,量子模擬實(shí)驗(yàn)中所涉及到的系統(tǒng)基本上都是耗散系統(tǒng),描述其動力學(xué)行為的有效哈密頓量都不再具備厄米特性.系統(tǒng)的耗散不可避免地導(dǎo)致量子態(tài)的退相干行為.然而最近的研究表明,人們可以通過有效的耗散去實(shí)現(xiàn)對量子態(tài)的測量以及操縱、制備.這些新的思想為耗散系統(tǒng)中操縱量子態(tài)奠定了重要基礎(chǔ)[29,64,65].受此啟發(fā),我們詳細(xì)研究了外場下自旋系統(tǒng)的動力學(xué)行為,其核心在于臨界外場可以誘導(dǎo)單個(gè)自旋的磁化.如果系統(tǒng)不存在相互作用,那么一個(gè)全局的復(fù)數(shù)磁場可以誘導(dǎo)所有的自旋沿著特定的取向.當(dāng)系統(tǒng)存在相互作用時(shí),局域磁場與相互作用之間的協(xié)作可以誘導(dǎo)系統(tǒng)中所有的自旋以集體運(yùn)動的形式激發(fā),其基本機(jī)制可由圖1 表示.這一現(xiàn)象與厄米外場有著重要的區(qū)別,在厄米系統(tǒng)中,磁場只會導(dǎo)致自旋沿著布洛赫球做周期性的旋轉(zhuǎn).

圖1 自旋在(a)局域磁場、(b)各向同性全局復(fù)數(shù)磁場及(c)粒子與粒子相互作用與局域復(fù)數(shù)磁場共同作用下的動力學(xué)演化示意圖.復(fù)數(shù)磁場通過綠色陰影部分標(biāo)注.自旋與自旋的非各項(xiàng)同性相互作用 J ij 通過不同的顏色來區(qū)分.根據(jù)非厄米臨界動力學(xué)的理論,圖(a) 中含有一個(gè)二階例外點(diǎn),對應(yīng)兩個(gè)簡并態(tài)合并.圖(b)和圖(c)有N 個(gè)簡并態(tài)合并對應(yīng)N 階例外點(diǎn).從圖中可以看到,局域的復(fù)數(shù)磁場可以通過與相互作用的協(xié)作來影響系統(tǒng)自旋的整體取向Fig.1.Schematics of spins subjected to (a) a local complex field,(b) a global complex field,and (c) a local complex field and interaction.The complex magnetic field is shaded green.The couplings between different spins are denoted by different colors representing inhomogeneous coupling J ij .Two states coalesce in panel (a) and N states coalesce in panels (b) and (c).Local complex field only affects local spin without interaction,but can affect globally with interaction.

具體來講,考慮局域復(fù)數(shù)外場下的自旋系統(tǒng),其哈密頓量為

從(15)式可以看出,無論初始態(tài)系數(shù)cn(0) 如何選取,系統(tǒng)的演化末態(tài)中c1(t) 的成分最大,保證了演化的方向性,即經(jīng)過一定的弛豫時(shí)間,系統(tǒng)演化到合并態(tài)上.

利用這一特性,通過不同的初始態(tài),|ΨI(0)〉=|↑↓↑↓···↑↓〉及|ΨII(0)〉=|?〉,在時(shí)間域上實(shí)現(xiàn)了磁滯回線,磁滯回線的高度、寬度、面積等性質(zhì)可以客觀地反映系統(tǒng)的耗散等特征量,如圖2 所示.除此之外,磁滯回線的構(gòu)型對初始態(tài)的選擇也非常敏感,這一事實(shí)為在開放系統(tǒng)中的量子探測提供了一種可能的理論方案.

圖2 (a) 對于初始態(tài) | ΨI(0)〉 在時(shí)間域上的磁滯回線;(b),(c) 對于初始態(tài) | ΨII(0)〉 的磁滯回線.這里局域的復(fù)數(shù)外場被施加到格點(diǎn)1 上.其強(qiáng)度在圖(a)中為 0 .02,在圖(b)和圖(c)中為 0 .1 .弛豫時(shí)間分別為(a),(b) t f=2×103J-1 及(c)tf=3×103J-1Fig.2.Hysteresis loops for the initial state | ΨI(0)〉 in (a) and | ΨII(0)〉 in (b),(c).The critical local complex field g1 is 0 .02 in panels (a) and (b),and 0 .1 in panel (c).The relaxation time is t f=2×103J-1 in panels (a) and (b),and t f=3×103J-1 in panel (c).

3.2 非零溫橫場Ising 模型中的量子相變

量子相變是指系統(tǒng)在零溫時(shí)的相變現(xiàn)象,是由量子漲落而非熱漲落驅(qū)動.量子相變的發(fā)生一般代表著量子多體系統(tǒng)中基態(tài)的性質(zhì)隨參數(shù)變化發(fā)生突變.然而,在實(shí)驗(yàn)上系統(tǒng)不可能冷卻至零溫,因而在有限溫下探測量子相變成為了研究者們長期追求的目標(biāo).基于非厄米臨界動力學(xué)現(xiàn)象,在有限溫度下,我們提出利用非厄米非局域外場探測量子相變的動力學(xué)方案.在不同的物質(zhì)相內(nèi),熱態(tài)對于非厄米外場的響應(yīng)不同,其可以通過施密特回波(Loschmidt echoes)的動力學(xué)行為來刻畫.該動力學(xué)特性對于有限溫系統(tǒng)依然成立,這一發(fā)現(xiàn)不僅為有限溫下的體邊對應(yīng)原則提供了依據(jù),而且為人們理解非零溫下量子自旋系統(tǒng)中的相變提供了新的動力學(xué)視角.

這里簡要地介紹一下該工作涉及的開放邊界條件下量子自旋系統(tǒng)的能譜及其在非厄米外場下的臨界動力學(xué)現(xiàn)象.考慮如下的橫場Ising模型,其哈密頓量為

由于這種簡并滿足下面兩個(gè)條件: i)二重簡并存在于全能譜(如圖3 所示);ii)在外場g存在無序的時(shí)候依然存在,代價(jià)是D算符的具體形式需要重新定義.我們將其稱為拓?fù)涞念怟ramers簡并.如果將D算符當(dāng)作非厄米外場,那么其將會使得0＜g ＜1區(qū)域中包含基態(tài)在內(nèi)的所有的二重簡并能級合并.具體來說,考慮非厄米哈密頓量H=H+κD.在鐵磁相 0＜g ＜1 的區(qū)域,任何一對能量為En的簡并態(tài)所張成的子空間中,哈密頓量的矩陣表示為

圖3 (a) 通過施密特回波所給出的相圖;(b) 關(guān)聯(lián)函數(shù)所給出的相圖,這里 β -1 是溫度,gc 是量子相變點(diǎn);(c) 有限橫場Ising 模型低能激發(fā)譜隨著參數(shù)g 的變化. E g 代表基態(tài)能量.其他系統(tǒng)參數(shù)為 N =50 和 J =1 .系統(tǒng)的不同相通過兩種不同顏色來區(qū)分.通過圖(c)可以發(fā)現(xiàn),當(dāng) g ＜1 時(shí),系統(tǒng)的能譜都變?yōu)槎睾啿ig.3.(a) Phase diagram detected from the Loschmidt echoes in this work.(b) Phase diagram studied in term of correlation function in the work of Sachdev et al..Here β -1 is the temperature and gc is the quantum critical point.(c) Spectrum of the low-lying states for a finite quantum Ising chain as a function of g,obtained numerically through exact diagonalization. E g is the groundstate energy.System parameters: N =50 and J =1 .The energy gap closes at a quasicritical point,indicated by the boundary of the two shaded areas.Notably,all energy levels become twofold degeneracy simultaneously at one point,protected by the symmetry of the quasi-zero-mode operator D.

因此在時(shí)間演化算符的長時(shí)間作用下,任意一個(gè)初始態(tài)投影到分量當(dāng)系統(tǒng)處在順磁相中g(shù) ＞1的區(qū)域中時(shí),系統(tǒng)不存在這種類Kramers 簡并結(jié)構(gòu),因此外場不會誘導(dǎo)合并本征態(tài)進(jìn)而系統(tǒng)的演化態(tài)只會在低能激發(fā)態(tài)附近振蕩.由于這種簡并性涉及到系統(tǒng)的全能譜范圍中,所以即使是考慮有限溫下的動力學(xué)演化,其依然成立.系統(tǒng)在不同量子相中的顯異動力學(xué)行為可以被用來在有限溫度下探測量子相變,為了達(dá)成這一目的,引入施密特回波:

圖4 施密特回波隨時(shí)間變化曲線.線和點(diǎn)分別代表不同的溫度,即 β =5 和 β =10 .其他系統(tǒng)參數(shù)為 N =10,κ=0.1 及 J =1 .施密特回波在不同物質(zhì)相內(nèi)的動力學(xué)行為不同,最終趨近于 1 .0 和 0 .5 兩個(gè)定 值.需要注 意的是 這個(gè)結(jié)果獨(dú)立于初始熱態(tài)的溫度.因?yàn)镈 依賴于參數(shù)g,并且其在g ＞1時(shí)發(fā)散,所以在這里的數(shù)值模擬中,非厄米外場只取D 的主導(dǎo)項(xiàng),即H=H +κD1Fig.4.Loschmidt echoes of different g values.The lines and dots represent the Loschmidt echoes for β =5 and β =10,respectively.Other parameters: N =10,κ =0.1,and J=1.The profiles of the Loschmidt echoes in the two regions are distinct,independent of the temperature of the initial thermal states,and converge to 1 .0 and 0 .5,respectively.

3.3 基于非厄米臨界動力學(xué)的量子鑄模

本節(jié)提出的量子鑄模方案,即通過平庸初始態(tài)的淬火演化來按需制備特殊量子態(tài).淬火動力學(xué)將原系統(tǒng)的基態(tài)在新的哈密頓量下進(jìn)行演化,通過施加驅(qū)動場或者將能量和粒子從外部儲庫泵浦到系統(tǒng)等方式使系統(tǒng)處于非平衡狀態(tài),是一類非常典型的遠(yuǎn)離平衡態(tài)的過程,并具有非常廣闊的應(yīng)用場景.

基于中心-環(huán)境系統(tǒng)（如圖5 所示）,利用非厄米臨界動力學(xué)中演化的單向性,鑄造一個(gè)穩(wěn)定的非平庸量子態(tài)是本方案的核心內(nèi)容.我們考慮含時(shí)的非厄米哈密頓量

圖5 量子鑄模系統(tǒng)示意圖 (a)系統(tǒng)由兩部分組成,中心系統(tǒng) H c 和源系統(tǒng) H s . H in 為非厄米項(xiàng),表示 H c 和 H s 之間的連接,并承擔(dān)從 H s 向 H c 單向傳輸費(fèi)米子的任務(wù).(b)該方案的緊束縛模型,包含三種格點(diǎn)A,B 和D.嵌入陰影區(qū)域的晶格A 和B (紅色和藍(lán)色實(shí)心圓)是拓?fù)浣^緣體,而晶格D (黃色實(shí)心圓)是一個(gè)無跳躍的平帶系統(tǒng),但具有振蕩的化學(xué)勢.綠色箭頭表示從D 點(diǎn)到B 點(diǎn)的單向跳躍.本工作的目的是通過時(shí)間演化實(shí)現(xiàn)以下過程: 初始時(shí)刻D 格點(diǎn)填充滿粒子,而A 和B 格點(diǎn)無粒子;最終末態(tài)是Hc 半滿填充的基態(tài).(c)動力學(xué)過程的基本機(jī)制.在瞬時(shí) tk,H s 的化學(xué)勢和 H c 的能級共振導(dǎo)致例外點(diǎn).相應(yīng)的例外點(diǎn)動力學(xué)允許費(fèi)米子在簡并能級之間完全轉(zhuǎn)移,并且在長時(shí)間極限下,這樣的動力學(xué)過程發(fā)生在每個(gè) k 子空間. H c 的能帶顏色表示能帶反轉(zhuǎn),說明能帶可以是拓?fù)浣^緣帶.預(yù)計(jì) H c 的下帶可以完全填充Fig.5.Schematics for the system and process of quantum mold casting: (a) The system consists of two parts,central systemHc and source system H s .The target state is the ground state of H c,which can be topologically non-trivial or not. H s is a topologically trivial system,providing the supply of fermions.Both H c and H s are Hermitian,while H in is non-Hermitian,representing the connection between H c and H s,and taking the role to transport fermions unidirectionally from H s to H c .(b) A tight-binding model for the scheme,which contains three sets,A,B,and D.Lattices A and B (red and blue filled circles) embedded in the shadow area is topological insulator,while lattice D (yellow filled circle) is a flat-band (hopping-free) system but with oscillating chemical potential.Green arrows represent unidirectional hopping from D to B lattices.The aim of this work is to realize the following process via time evolution.Initially,D lattice is fully filled,while A and B are empty.The final state is expected to a half-filled ground state of H c .(c) The underlying mechanism of the dynamic process.At instant tk,the chemical potential and energy levels of H c are resonant,leading to exceptional points.The corresponding (EP) dynamics allows a complete transfer of fermions between the degenerate energy levels.In the long-time limit,such dynamics occurs at each k sector again and again.The band color ofHc illustrates the band inversion,indicating that the energy band can be topological insulating band.It is expected the lower band of Hc can be completely filled.

這里aj,bj以及dj是費(fèi)米子算符,cos(ωt) 是周期性驅(qū)動的化學(xué)勢.參數(shù){Tij,Aij,Bij}依賴于中心系統(tǒng)Hc的構(gòu)型.系統(tǒng)的非厄米性來源于中心系統(tǒng)與環(huán)境的耦合Hin.在Nambu 基矢下,系統(tǒng)的布洛赫哈密頓量可以表示為,其中

矢量B(k) 可以通過系統(tǒng)參數(shù){Tij,Aij,Bij}待定,矩陣元中的其他參數(shù)被定義為

以及相應(yīng)的本征能量為

基于單向共振接口和例外點(diǎn)動力學(xué)這兩個(gè)核心機(jī)制,如果將具有特殊性質(zhì)的目標(biāo)量子態(tài),設(shè)計(jì)為復(fù)合系統(tǒng)的合并態(tài),那么對于任意初始態(tài),在淬火動力學(xué)的作用下,演化末態(tài)都將變?yōu)橛?jì)劃制備的目標(biāo)態(tài).基于這一理解,我們在工作[60]中,提出了利用非厄米臨界動力學(xué)在拓?fù)浣^緣體中制備出拓?fù)浣^緣態(tài)以及邊界態(tài)的方案.相關(guān)研究內(nèi)容豐富了量子態(tài)制備方案,并為單向量子器件的制造帶來一些啟示.

3.4 Hubbard 模型中局域磁場所誘導(dǎo)的非對角長程序穩(wěn)態(tài)

Hubbard 模型作為描述巡游電子磁性的有效模型在傳統(tǒng)凝聚態(tài)領(lǐng)域得到了廣泛關(guān)注,特別是隨著近些年來冷原子實(shí)驗(yàn)的進(jìn)展,Hubbard 模型已經(jīng)可以通過量子系統(tǒng)進(jìn)行模擬,并在實(shí)驗(yàn)高度可調(diào)的范圍內(nèi)去探討傳統(tǒng)凝聚態(tài)領(lǐng)域所未關(guān)注的量子態(tài)特性.然而,冷原子實(shí)驗(yàn)中系統(tǒng)不可避免地與外界環(huán)境交換能量與信息.這導(dǎo)致量子態(tài)隨時(shí)間演化的概率不再是一個(gè)守恒量,因此描述該相互作用體系的哈密頓量不再具有厄米性.為了有效地描述量子態(tài)隨時(shí)間的演化,人們除了利用主方程的方法去處理該問題以外,還從非厄米量子力學(xué)出發(fā),基于非厄米的哈密頓量去探討非厄米性的引入會在多大程度上影響系統(tǒng)的動力學(xué)特性.研究組在2017 年就對該問題進(jìn)行了深入的探討,特別是對冷原子氣體的研究,我們揭示了該系統(tǒng)中可能存在的碰撞湮滅動力學(xué)等特征[67].隨著單格點(diǎn)分辨技術(shù)的進(jìn)步,人們已經(jīng)可以利用量子氣顯微鏡來探測原子的磁性、超導(dǎo)等特性.特別是近些年來,研究者們發(fā)展了一系列非平衡態(tài)物理的處理辦法,基于Hubbard 系統(tǒng)中的絕緣態(tài)來實(shí)現(xiàn)超導(dǎo).受此啟發(fā),我們利用系統(tǒng)的SO(4) 對稱性,基于η算符與系統(tǒng)哈密頓量的對易,發(fā)展了一套外場誘導(dǎo)產(chǎn)生η對態(tài)的動力學(xué)方案.該方案的核心是基于η算符的簡并子空間,將臨界外場當(dāng)作微擾,通過高階例外點(diǎn)的演化生成η對態(tài).考慮復(fù)數(shù)外場下的費(fèi)米Hubbard 模型,其哈密頓量為

圖6 (a)—(d) 4 格點(diǎn)Hubbard 模型中關(guān)聯(lián)函數(shù)隨時(shí)間的變化圖.初始態(tài)被制備在H0 的真空態(tài) | Vvac〉 中,其相互作用強(qiáng)度 U =2J .隨后其運(yùn)動由外加局域虛數(shù)磁場來驅(qū)動.對于圖(a)和圖(c),局域虛數(shù)磁場為g1=g=0.2J ;對于圖(b)和圖(d),系統(tǒng)受到一個(gè)各向同性的磁場驅(qū)動,其強(qiáng)度為 g j=g=0.2J (j=1,···,N) .需要注意的是此時(shí)外場 H I 處于例外點(diǎn)上.(e),(f) 穩(wěn)態(tài)關(guān)聯(lián)函數(shù)與相對距離之間的函數(shù)曲線.對于圖(e),弛豫時(shí)間為 t f=400/J,而對于圖(f),tf=100/J .從圖中可以看到當(dāng) i j 時(shí),=1/4 ;當(dāng) i =j 時(shí),=1/2,與正文中的結(jié)論一致Fig.6.(a)—(d) Evolution of the correlators,averaged over all sites for the 4 -site Hubbard model.The initial state is prepared in vacuum state | Vvac〉 of H 0 with interaction U =2J,and then it is driven by the system with the local imaginary field g 1=g=0.2J for panels (a) and (c),and homogeneous dissipationgj=g=0.2J(j=1,···,N) for panels (b) and (d),respectively.Notice that H I is at EP such that λ /γ=1 .(e),(f) The correlation values of steady state for different relative distance () at relaxation time t f=400/J for panel (e) and t f=100/J for panel (f).It is shown that=1/4 for i j and=1/2 for i =j,which confirms the understanding in the main text.

這說明最終的演化穩(wěn)態(tài)具有與相對距離無關(guān)的非對角長程序,因此可以認(rèn)為系統(tǒng)處在穩(wěn)定的非平衡超導(dǎo)相中.

該方案的好處是此過程只是一個(gè)動力學(xué)演化的結(jié)果,其并不依賴于外界額外的操作.另一方面該方案只要求系統(tǒng)具有SO(4) 對稱性,對于臨界外場的位置、強(qiáng)度均不作特定的限制.系統(tǒng)的演化末態(tài)對一些無序的微擾來說也并不敏感.這些特性為在實(shí)驗(yàn)上制備η對態(tài)并實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的非平衡超導(dǎo)相提供了一種有效非厄米臨界動力學(xué)方案.

4 總結(jié)與展望

本文綜述了非厄米臨界動力學(xué)在非厄米多體系統(tǒng)中的應(yīng)用與發(fā)展.除了從非厄米量子力學(xué)角度闡述這一動力學(xué)規(guī)律以外,該理論還適用于遵循馬爾可夫近似下量子開放系統(tǒng)中的短時(shí)動力學(xué)描述.文中通過厄米系統(tǒng)的簡并子空間給出了構(gòu)造具有例外點(diǎn)非厄米哈密頓量的普適方法.當(dāng)非厄米系統(tǒng)處于例外點(diǎn)時(shí),它的矩陣表示必然等價(jià)于一個(gè)約當(dāng)塊的矩陣形式,其維度依賴于例外點(diǎn)的階數(shù).在此約當(dāng)塊所涉及到的子空間中,任意的初態(tài)在狄拉克幾率歸一化下都將演化至系統(tǒng)的合并態(tài).利用非厄米哈密頓量的這一臨界動力學(xué)特性,分別在量子自旋系統(tǒng)中觀察到了局域外場所誘導(dǎo)的動力學(xué)磁化、橫場Ising 模型中的有限溫相變、中心-環(huán)境系統(tǒng)中的量子鑄模以及費(fèi)米Hubbard 模型中臨界外場所誘導(dǎo)的非平衡超導(dǎo)相等一系列新奇的動力學(xué)現(xiàn)象.該臨界動力學(xué)思想的提出,不僅僅豐富了動力學(xué)操控量子態(tài)的手段,更為在開放系統(tǒng)中非平衡地調(diào)控物相提供了重要的理論基礎(chǔ).未來,高分辨顯微技術(shù)以及單原子操控技術(shù)的進(jìn)步勢必會令研究者們在多體系統(tǒng)中更加關(guān)注量子態(tài)的特性.我們期待本文涉及的非厄米調(diào)控機(jī)制會在不同的開放量子體系下得到檢驗(yàn),并在不同的物理分支上得到進(jìn)一步發(fā)展.由于具有獨(dú)特而有趣的物理性質(zhì),非厄米臨界動力學(xué)對于理解各種物理平臺下的多體耗散動力學(xué)機(jī)制勢必會有新的幫助.