非厄米線性響應(yīng)理論及其應(yīng)用*

潘磊

(清華大學(xué)高等研究院,北京 100084)

線性響應(yīng)理論是現(xiàn)代物理實(shí)驗(yàn)尤其是量子物態(tài)測量實(shí)驗(yàn)的理論基礎(chǔ),其核心是將物理系統(tǒng)的探測信號作為微擾,利用系統(tǒng)在未受擾動(dòng)時(shí)的關(guān)聯(lián)函數(shù)來刻畫物理可觀測量的響應(yīng).半個(gè)多世紀(jì)以來,基于封閉量子系統(tǒng)的線性響應(yīng)理論在量子物態(tài)測量實(shí)驗(yàn)上取得了巨大的成功.隨著超冷原子實(shí)驗(yàn)在光場與系統(tǒng)相互作用精確操控方面的快速進(jìn)展,近年來高精度的冷原子實(shí)驗(yàn)已經(jīng)具備研究耗散量子多體系統(tǒng)的條件,新奇的物理現(xiàn)象在實(shí)驗(yàn)中層出不窮,這使得國內(nèi)外研究者對量子開放系統(tǒng)及其非厄米物理的研究與日俱增.基于此,我們發(fā)展了一個(gè)量子開放系統(tǒng)的線性響應(yīng)理論—非厄米線性響應(yīng)理論.該理論將耗散帶來的非厄米效應(yīng)與量子噪聲作為外部探測輸入來探測量子系統(tǒng)的性質(zhì),并將實(shí)驗(yàn)可觀測量的含時(shí)演化與系統(tǒng)未受擾動(dòng)狀態(tài)時(shí)的關(guān)聯(lián)函數(shù)及其譜函數(shù)聯(lián)系了起來,提供了區(qū)分正常物態(tài)和奇異物態(tài)的一種新手段,所得到的結(jié)果與最近冷原子系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果高度吻合.本文介紹了非厄米線性響應(yīng)理論,并討論該理論在量子多體系統(tǒng)以及具有時(shí)間反演對稱性的量子系統(tǒng)中的應(yīng)用.

1 引言

非平衡態(tài)物理尤其是非平衡態(tài)動(dòng)力學(xué)是物理學(xué)中古老而經(jīng)久不衰的研究主題.在量子系統(tǒng)中有兩類典型的非平衡動(dòng)力學(xué)過程: 一類是封閉系統(tǒng)的非平衡動(dòng)力學(xué),此類過程描述的是系統(tǒng)本身從非平衡態(tài)弛豫到平衡態(tài)的動(dòng)力學(xué)演化;另一類是開放系統(tǒng)中的量子耗散動(dòng)力學(xué),此類過程描述的是一個(gè)與環(huán)境熱庫相互作用的量子系統(tǒng)趨于穩(wěn)態(tài)的動(dòng)力學(xué)演化.與平衡態(tài)物理不同,量子多體系統(tǒng)中的非平衡動(dòng)力學(xué)演化原則上涉及系統(tǒng)所有的自由度,這使得量子多體非平衡動(dòng)力學(xué)成為當(dāng)今物理學(xué)中的一大挑戰(zhàn).近年來,得益于冷原子實(shí)驗(yàn)在精密計(jì)時(shí)技術(shù)與測量手段方面的進(jìn)步,高精度的冷原子實(shí)驗(yàn)已經(jīng)具備了研究封閉系統(tǒng)和開放系統(tǒng)的非平衡動(dòng)力學(xué)的條件,并發(fā)現(xiàn)了許多新奇的物理現(xiàn)象,冷原子系統(tǒng)逐漸成為非平衡動(dòng)力學(xué)方面研究的理想平臺[1—10],也使得量子耗散及其非厄米物理在近幾年來受到國內(nèi)外研究者越來越多的研究與關(guān)注[11,12].通過對外部光場與系統(tǒng)耦合的精確操控,實(shí)驗(yàn)上成功實(shí)現(xiàn)了諸多量子開放系統(tǒng),并測量了幾種典型的量子耗散動(dòng)力學(xué)演化,為非平衡動(dòng)力學(xué)的理論研究提供了新的機(jī)遇和挑戰(zhàn).2020 年,法國巴黎高師Brossel 實(shí)驗(yàn)室的Gerbier 研究組[13]通過精確調(diào)控激光場與光晶格系統(tǒng)中玻色子的耦合,研究了二維Bose-Hubbard 模型在不同相互作用強(qiáng)度下的兩體耗散動(dòng)力學(xué),他們發(fā)現(xiàn)隨著粒子之間相互作用的增強(qiáng),在動(dòng)量分布的寬度變化中出現(xiàn)了亞擴(kuò)散(subdiffusion)現(xiàn)象,并且在動(dòng)量分布峰值的演化中出現(xiàn)了反常的非指數(shù)衰減行為.針對這些新奇的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象,基于量子物態(tài)實(shí)驗(yàn)中廣泛運(yùn)用的線性響應(yīng)理論,我們提出了將耗散作為外部輸入的量子開放系統(tǒng)版本的響應(yīng)理論,并將其命名為“非厄米線性響應(yīng)理論”[14].

本文首先對非厄米線性響應(yīng)理論做簡單介紹,然后利用該理論解釋耗散二維Bose-Hubbard 模型中的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象,給出一維相互作用量子氣體中的預(yù)言,并應(yīng)用于具有時(shí)間反演對稱性保護(hù)的量子系統(tǒng).

2 非厄米線性響應(yīng)理論簡介

測量一個(gè)系統(tǒng)的物理性質(zhì)時(shí),通常的做法是給待測系統(tǒng)施加一個(gè)擾動(dòng),然后探測系統(tǒng)對擾動(dòng)是如何響應(yīng)的.這個(gè)外加的擾動(dòng)強(qiáng)度在能夠觀測到信號的前提下要盡量小,以保證系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)不被破壞.線性響應(yīng)理論的精神就在于此.設(shè)系統(tǒng)在外場作用下的總哈密頓量為

這就是線性響應(yīng)理論的公式[15],也稱為久保公式(Kubo formula).(5)式表明,近似到外場擾動(dòng)的線性階,系統(tǒng)的響應(yīng)正比于推遲格林函數(shù)G(t,t′)=.線性響應(yīng)理論是實(shí)驗(yàn)測量的基礎(chǔ),它的重要意義在于從系統(tǒng)中測量到的響應(yīng)被包含在了系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)函數(shù)中.這種關(guān)聯(lián)在量子物態(tài)的測量中尤為顯著.常見的譜學(xué)測量,如非彈性中子散射信號由系統(tǒng)的自旋-自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)決定;而輸運(yùn)測量,如電導(dǎo)的測量由流-流關(guān)聯(lián)函數(shù)決定等[16].以上是傳統(tǒng)的針對封閉系統(tǒng)的線性響應(yīng)理論,現(xiàn)在介紹非厄米線性響應(yīng)理論.對于一個(gè)與環(huán)境自由度耦合的開放系統(tǒng),其受到的影響不再是一個(gè)簡單的含時(shí)外場 (如(1)式的哈密頓量),而是一個(gè)由如下非厄米哈密頓量描述的系統(tǒng):

這就是非厄米線性響應(yīng)公式[14].盡管從形式上與厄米版本的線性響應(yīng)公式有所不同,但兩者的本質(zhì)相同,即系統(tǒng)的響應(yīng)都由系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)函數(shù)決定.得到這一理論公式之后,下面將把它應(yīng)用在不同的物理系統(tǒng)中.

3 非厄米線性響應(yīng)理論在量子多體系統(tǒng)中的應(yīng)用

本節(jié)介紹非厄米線性響應(yīng)理論在量子多體系統(tǒng)中的應(yīng)用,包括二維Bose-Hubbard 模型和一維相互作用量子氣體.

3.1 二維Bose-Hubbard 模型

2020 年,法國巴黎高師的冷原子實(shí)驗(yàn)組測量了二維光晶格中Bose-Hubbard 模型在兩體耗散下的動(dòng)量分布的耗散動(dòng)力學(xué)演化,觀測到了非指數(shù)衰減和亞擴(kuò)散現(xiàn)象.針對其實(shí)驗(yàn)結(jié)果,本文從如下的哈密頓量出發(fā):

此時(shí)可以發(fā)現(xiàn)動(dòng)量的響應(yīng)由系統(tǒng)的多點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)決定.通常量子多體系統(tǒng)中的多點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)是無法嚴(yán)格計(jì)算的,為此采用維克分解[20],將多點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)分解為兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù):

其中 1 /Γk代表準(zhǔn)粒子的壽命.此時(shí),

理論結(jié)果表明,對于處在準(zhǔn)粒子激發(fā)的系統(tǒng),其耗散動(dòng)力學(xué)是指數(shù)衰減的,這就解釋了為什么指數(shù)衰減在自然界如此常見,因?yàn)樽匀唤缰械慕^大多數(shù)量子物態(tài)可以被準(zhǔn)粒子激發(fā)描述,如費(fèi)米液體、玻色超流體等.而冷原子實(shí)驗(yàn)已具備精確測量譜函數(shù)的技術(shù)條件[21],基于時(shí)間飛行(time-of-flight)測量和射頻譜(radiofrequency spectroscopy)技術(shù)[22—25],實(shí)驗(yàn)可以精確測出動(dòng)量和頻率依賴的譜函數(shù)Ak(ω) .以此可從譜學(xué)測量上為我們的理論預(yù)言提供實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.

當(dāng)系統(tǒng)處于量子臨界相時(shí)[26],系統(tǒng)的激發(fā)不再是良好定義的準(zhǔn)粒子激發(fā),而是集體激發(fā),譜函數(shù)的解析性質(zhì)從極點(diǎn)變?yōu)楦罹€[27]:

基于上面相同的分析,可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)系統(tǒng)處于超流相時(shí),動(dòng)量寬度在短時(shí)區(qū)域?qū)儆谡５臄U(kuò)散行為:而在量子臨界區(qū)域,動(dòng)量寬度的變化則出現(xiàn)反常的亞擴(kuò)散行為:.我們即將看到,這一理論可為實(shí)驗(yàn)結(jié)果提供一個(gè)統(tǒng)一的解釋.

如圖1(a)所示,我們發(fā)現(xiàn)理論曲線無論是動(dòng)量高度還是動(dòng)量分布的寬度都與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)符合得很好,并且高度和寬度可以被同一個(gè)函數(shù)描述.

圖1 二維Bose-Hubbard 模型耗散動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)[13]和理論對比圖 (a) 在固定光晶格勢阱深度下的動(dòng)量分布的峰值和寬度隨時(shí)間的改變,實(shí)線是理論公式擬合的結(jié)果;(b) 在不同光晶格勢阱深度下的動(dòng)量峰值隨時(shí)間的演化圖(以δnk=0(0)為單位).實(shí)線是理論公式擬合結(jié)果,插圖畫出了每條曲線對應(yīng)不同的臨界指數(shù) η,其中誤差棒來源于標(biāo)準(zhǔn)的擬合誤差(9 5% 的置信區(qū)間).兩個(gè)箭頭標(biāo)注的分別是填充因子 ν =1 和 ν =2 的超流-Mott 絕緣體 轉(zhuǎn)變的 臨界值.所有的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(包括誤差棒)均取自實(shí)驗(yàn)文章[13]Fig.1.Experimental data reported in Ref.[13] versus theory on dissipative two-dimensional Bose-Hubbard Model: (a) Two sets of data δ nk=0(t) and δ 〈k2〉(t) perfectly coincide with each other by a properly chosen scaling factor.Solid line is fitting with our theory.(b) Fit experimental data of δnk=0(t) (scaled by δ nk=0(0)) at different lattice depths with our theory,which yields η for different lattice depths shown in the inset where the error bar comes from the standard fitting error (9 5% confidence interval).Two arrows label the critical value for superfluid-Mott insulator transition for filling number ν =1 and ν =2,respectively.All experimental data are taken from Ref.[13].

不僅如此,在不同光晶格勢阱深度下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以估計(jì)出臨界指數(shù)η,如圖1(b)所示.值得指出的是,對于二維Bose-Hubbard 模型,理論上很難得到精確的η值[27],對于量子蒙特卡羅的計(jì)算也是一個(gè)挑戰(zhàn)[30].通過理論公式與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對比擬合,我們發(fā)現(xiàn)隨著勢阱深度的增加,系統(tǒng)從超流區(qū)域到Mott 絕緣體轉(zhuǎn)變的過程中臨界區(qū)域η先減小后增大,這一結(jié)果解釋了實(shí)驗(yàn)在弱勢阱區(qū)域觀測到的指數(shù)衰減和正常擴(kuò)散行為,以及在深勢阱區(qū)域觀察到的非指數(shù)衰減和亞擴(kuò)散現(xiàn)象.而且臨界指數(shù)η在超流-Mott絕緣體轉(zhuǎn)變的臨界區(qū)域達(dá)到最低值(約為3/4),此時(shí)系統(tǒng)動(dòng)量分布以的形式衰減,同時(shí)動(dòng)量寬度出現(xiàn)t1/4形式的亞擴(kuò)散.這一結(jié)果也在實(shí)驗(yàn)中得到了驗(yàn)證.

因此,基于理論對實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的詮釋,實(shí)驗(yàn)出現(xiàn)的非指數(shù)衰減和反常的亞擴(kuò)散行為起源于系統(tǒng)在量子臨界區(qū)域的集體激發(fā).更重要的是,非厄米線性響應(yīng)理論提供了一種通過耗散動(dòng)力學(xué)在實(shí)驗(yàn)上區(qū)分正常物態(tài)(準(zhǔn)粒子激發(fā))和量子臨界態(tài)(集體激發(fā))的手段,利用實(shí)驗(yàn)結(jié)果確定系統(tǒng)的臨界指數(shù),對量子物態(tài)的實(shí)驗(yàn)測量具有重要意義.

3.2 一維相互作用量子氣體

在3.1 節(jié)可以看到非厄米線性響應(yīng)理論在耗散二維Bose-Hubbard 模型中的應(yīng)用并很好地解釋了實(shí)驗(yàn)結(jié)果.但一個(gè)成功的理論不僅能夠解釋已有的實(shí)驗(yàn),還應(yīng)該具有預(yù)言能力.通過前面的討論可以發(fā)現(xiàn),理論預(yù)言的反常動(dòng)力學(xué)行為與系統(tǒng)的譜函數(shù)的奇異行為有關(guān).因此,只要找到類似于(25)式的譜函數(shù)即可得到這種反常動(dòng)力學(xué).我們知道,一維相互作用系統(tǒng)中費(fèi)米液體理論失效,其低能激發(fā)不再是準(zhǔn)粒子激發(fā),而是集體激發(fā),此時(shí)譜函數(shù)具有類似(25)式的冪律形式[31].基于這一點(diǎn),我們將非厄米系統(tǒng)應(yīng)用于嚴(yán)格可解的一維相互作用量子氣體當(dāng)中,精確地計(jì)算出臨界指數(shù),以此來預(yù)言此類系統(tǒng)動(dòng)量分布的耗散動(dòng)力學(xué)演化.

以一維相互作用玻色氣體 (Lieb-Liniger 模型)為例[32],系統(tǒng)的哈密頓量為

其中g(shù)為相互作用強(qiáng)度,這里令 ? =2m=1 .這一模型的低能物理可以被如下形式的有效哈密頓量描述:

其中正則動(dòng)量Π與相位?滿足標(biāo)準(zhǔn)的玻色對易關(guān)系;K和vs分別為Luttinger 參數(shù)和聲速,刻畫了系統(tǒng)低能和長波極限下的行為.根據(jù)Luttinger 液體理論,一維Bose 氣體的譜函數(shù)一般寫為如下形式[33]:

亦即η=1-1/(4K) .這意味著一旦求出Luttinger參數(shù),就可以確定臨界指數(shù)的大小,而K的精確解可以通過Bethe ansatz 方法得到.寫出Lieb-Liniger玻色氣體的Bethe ansatz (BA)方程[34],

為方便起見,對系統(tǒng)的參數(shù)進(jìn)行無量綱化:

此時(shí)BA 方程重新表示為

由此可將得到的臨界指數(shù)η代入動(dòng)量分布的響應(yīng)公式(25),從而得到動(dòng)量分布在整個(gè)相互作用范圍內(nèi)的耗散動(dòng)力學(xué)演化.在精確求解BA 方程之前,先來看系統(tǒng)在強(qiáng)弱相互作用極限的行為.在弱相互作用極限,無量綱能量可展開為

則Luttinger 參數(shù)和臨界指數(shù)的漸進(jìn)行為是

而在強(qiáng)排斥相互作用極限(Tonks-Giradeau 極限)下

Luttinger 參數(shù)和臨界指數(shù)的漸進(jìn)形式是

此時(shí)可以發(fā)現(xiàn),在Tonks-Giradeau 極限下,系統(tǒng)在兩體耗散時(shí)的動(dòng)量分布會(huì)以如下函數(shù)形式隨時(shí)間演化:

圖2 一維相互作用玻色氣體(Luttinger 液體)中的動(dòng)量分布 δ nk(t) 從弱相互作用極限(藍(lán)線)到強(qiáng)相互作用極限(紅線)的含時(shí)演化的理論預(yù)測.這里所有的曲線均取τ0=1.0 ms .插圖表示的是臨界指數(shù) η 隨相互作用強(qiáng)度的變化曲線Fig.2.Prediction of δ nk(t) for a one-dimensional Bose gas(Luttinger liquid) from the weakly interacting limit (blue line) to the Tonks limit (red line).Here τ 0=1.0 ms is fixed for all plots.The inset shows how η changes with the one-dimensional interaction parameter g /n .

圖2 給出了4 個(gè)不同相互作用強(qiáng)度下的動(dòng)量演化曲線,可以看出隨著相互作用的增強(qiáng),臨界指數(shù)η逐漸下降,使得動(dòng)量分布的衰減逐漸減慢.由于實(shí)驗(yàn)已經(jīng)完成了關(guān)于Lieb-Linger 模型的臨界行為的精確測量[36],因此這一結(jié)果提供了清晰的理論預(yù)言并可以用當(dāng)今的超冷原子實(shí)驗(yàn)進(jìn)行檢驗(yàn).

還可以將非厄米線性響應(yīng)理論應(yīng)用于一維費(fèi)米氣體當(dāng)中,對于無自旋或具有SU(2)對稱性的兩分量費(fèi)米氣體,臨界指數(shù)[37],在強(qiáng)排斥極限下 (K=1/2 ),η=7/8,此時(shí)系統(tǒng)將會(huì)出現(xiàn)型的衰減和 Δk～t3/8形式的亞擴(kuò)散,這種不同于玻色氣體的指數(shù)可以作為實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證費(fèi)米系統(tǒng)耗散動(dòng)力學(xué)的證據(jù).

到此,可以看到非厄米線性響應(yīng)理論不僅成功地解釋了實(shí)驗(yàn),還提出了進(jìn)一步的理論預(yù)言.讀者可以很容易想到,任何沒有準(zhǔn)粒子激發(fā)的非正常量子物態(tài)都可以出現(xiàn)非指數(shù)的耗散動(dòng)力學(xué)行為,如Luttinger 液體、非費(fèi)米液體等.我們的非厄米線性響應(yīng)理論最近受到一些理論研究者的關(guān)注,并被推廣到更一般的情況[38],同時(shí)也促使了關(guān)于非厄米Luttinger 液體等非厄米量子多體理論的研究[39—41].此外,這一響應(yīng)理論還被用來研究黑洞的信息丟失佯謬[42,43].

4 時(shí)間反演對稱性保護(hù)的量子系統(tǒng)

對稱性是20 世紀(jì)物理學(xué)的主旋律之一,貫穿于現(xiàn)代物理學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域.根據(jù)著名的Noether 定理,如果(經(jīng)典)系統(tǒng)有連續(xù)的對稱性,則一定有相對應(yīng)的守恒量①在量子力學(xué)層面上Noether 定理可能會(huì)失效,造成守恒被破壞的物理機(jī)制稱為“量子反?！?quantum abnormal)..對稱性在量子物理當(dāng)中顯示出了巨大的威力,對稱性決定相互作用,對稱性自發(fā)破缺等觀念早已深入人心.在凝聚態(tài)物理中,對稱性在相和相變中扮演著重要角色.根據(jù)Landau 理論,物質(zhì)的相可以用局域序參量來描述,而局域序參量從零(無序相)變到非零(有序相)則對應(yīng)于系統(tǒng)的對稱性發(fā)生了自發(fā)破缺.因此,理論上可以用不同的對稱群來區(qū)分不同的物相.描述不同物相之間相變的Ginzburg-Landau 理論對相和相變的描述是普適的,只與系統(tǒng)的對稱性有關(guān),而不依賴于其微觀的細(xì)節(jié).這一點(diǎn)也顯示出了對稱性的巨大威力.

我們知道在量子力學(xué)中,如果一個(gè)系統(tǒng)具有某種對稱性,那么系統(tǒng)的能級往往會(huì)具有簡并.如我們熟知的氫原子中的旋轉(zhuǎn)對稱性導(dǎo)致的能級簡并,費(fèi)米子系統(tǒng)中的時(shí)間反演對稱性導(dǎo)致的Kramers簡并等.如果對系統(tǒng)外加一個(gè)微擾,假如微擾也具有導(dǎo)致能級簡并的對稱性,那么能級仍是簡并的;假如微擾不具有這種對稱性(對稱性更低),那么相應(yīng)的能級簡并也會(huì)被破除.這一基本的事實(shí)來源于Schur 引理[44]: 如果一個(gè)對稱操作的矩陣表示與某個(gè)幺正群的所有群元的不可約表示矩陣都對易,那么該矩陣一定正比于單位矩陣.

根據(jù)量子力學(xué)中的Wigner 定理,量子系統(tǒng)的對稱變換有兩類,一類是幺正對稱,另一類是反幺正對稱.對于反幺正對稱,也有相應(yīng)的Schur 引理[45]:如果一個(gè)厄米矩陣與某個(gè)幺正群的所有群元的不可約表示矩陣都對易,那么該矩陣一定正比于單位矩陣.也就是說,對于反幺正對稱性導(dǎo)致的簡并(如時(shí)間反演對稱性導(dǎo)致的Kramers 簡并),如果能級簡并不被外加微擾破除的話,除了要求微擾具有該對稱性之外還需要微擾算符必須是厄米的.將會(huì)看到,反幺正對稱性與幺正對稱性的這一差別在物理上會(huì)產(chǎn)生巨大的不同(這一點(diǎn)最先由McGinley和Cooper 在文獻(xiàn)[46]中指出).

本節(jié)以量子自旋霍爾效應(yīng)和相互作用拓?fù)鋺B(tài)為例,將非厄米線性響應(yīng)理論應(yīng)用于具有時(shí)間反演對稱性(反幺正對稱性)的系統(tǒng)當(dāng)中.

4.1 非厄米線性響應(yīng)理論在量子自旋霍爾效應(yīng)中的應(yīng)用

在傳統(tǒng)的凝聚態(tài)物理中,物質(zhì)的屬性主要由兩個(gè)理論所描述: 其一是能帶論和費(fèi)米液體理論,其二是相和相變的對稱性破缺理論.在20 世紀(jì)80 年代之前,這兩個(gè)理論幾乎描述了所有的凝聚態(tài)物質(zhì).前文提到,物質(zhì)的相及其分類可以由Ginzburg-Landau 理論描述.然而自80 年代起,伴隨著整數(shù)霍爾效應(yīng)、分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)、銅氧化物高溫超導(dǎo)現(xiàn)象的出現(xiàn),人們陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了一系列超出Landau 范式的量子物態(tài),這些奇異的量子物態(tài)的出現(xiàn)并沒有伴隨著對稱性的自發(fā)破缺,不能通過局域序參量來刻畫.如整數(shù)量子霍爾效應(yīng)中的量子化電導(dǎo)平臺由體態(tài)的拓?fù)鋽?shù)刻畫,當(dāng)霍爾電導(dǎo)值從一個(gè)整數(shù)變到另一個(gè)整數(shù)時(shí),系統(tǒng)并沒有發(fā)生對稱性破缺,而是伴隨著拓?fù)鋽?shù)的改變.而拓?fù)鋽?shù)的變化需要體態(tài)能隙的關(guān)閉,因而量子霍爾電導(dǎo)平臺具有魯棒性,不會(huì)被外界雜質(zhì)、缺陷等因素所破壞.隨后,在1988 年,Haldane[47]提出了一個(gè)六角晶格模型 (Haldane 模型),在沒有外磁場的情況下也可以發(fā)生量子霍爾效應(yīng),即量子反?；魻栃?yīng).與整數(shù)量子霍爾效應(yīng)一樣,量子反常霍爾效應(yīng)的出現(xiàn)同樣破壞了時(shí)間反演對稱性.而時(shí)間反演對稱性會(huì)導(dǎo)致重要的物理結(jié)果,在2005 年和2006 年,Kane 和Mele[48]以及Bernevig 和張首晟[49]進(jìn)一步考慮自旋軌道耦合效應(yīng),獨(dú)立地提出了實(shí)現(xiàn)量子自旋霍爾效應(yīng)的模型.量子自旋霍爾效應(yīng)中量子化的電導(dǎo)受到時(shí)間反演對稱性的保護(hù).理論研究表明,在沒有磁性雜質(zhì)等破壞時(shí)間反演對稱性因素干擾的情況下,實(shí)驗(yàn)可以在足夠純凈的樣品上觀測到自旋霍爾效應(yīng)的量子化電導(dǎo)平臺.然而,事情遠(yuǎn)沒有理論想象得那么簡單.圖3是實(shí)驗(yàn)在HgTe 量子阱中測量到的自旋霍爾電導(dǎo)的結(jié)果[50],可以看出在線性標(biāo)度下電導(dǎo)的測量值并未明顯地出現(xiàn)量子化的值 (G=2e/h2),盡管實(shí)驗(yàn)樣品具有很高的純度和高遷移率.而我們知道,早在20 世紀(jì)80 年代實(shí)驗(yàn)就能夠非常清晰地觀測到量子霍爾效應(yīng)的量子化電導(dǎo)了,但是在半導(dǎo)體工藝發(fā)展二十多年之后,實(shí)驗(yàn)并未觀測到量子自旋霍爾效應(yīng)中的量子化電導(dǎo)(至少遠(yuǎn)未達(dá)到量子霍爾效應(yīng)的精度),這似乎造成了一個(gè)疑難,本節(jié)試圖從理論上來解釋這一疑難出現(xiàn)的物理原因.

圖3 實(shí)驗(yàn)測量縱向四端電阻隨門電壓變化曲線(對數(shù)坐標(biāo)).插圖為線性坐標(biāo).圖片取自文獻(xiàn)[50]Fig.3.The longitudinal four-terminal resistance as a function of the gate voltage.The inset shows as a linear scale.The figure is copied from the Ref.[50].

首先,需要指出的是,與量子霍爾效應(yīng)不同的是,量子自旋霍爾效應(yīng)的拓?fù)鋺B(tài)是受時(shí)間反演對稱保護(hù)的Kramers 簡并態(tài),而時(shí)間反演對稱操作是反幺正的,這一點(diǎn)是理論解釋的關(guān)鍵.

下面以著名的Kane-Mele 模型為例來說明量子自旋霍爾效應(yīng)的量子化電導(dǎo)為什么那么脆弱.Kane-Mele 模型是定義在二維蜂窩格子上的哈密頓量[48]:

其中i,j是格點(diǎn) 指標(biāo);s,s′代表自旋指標(biāo);σ=(σx,σy,σz)表示Pauli 矩陣.哈密頓量中第一項(xiàng)是最近鄰的躍遷項(xiàng)(躍遷強(qiáng)度為J);第二項(xiàng)是次近鄰的自旋軌道耦合項(xiàng)(強(qiáng)度為λSO),其中νij=±1 ;第三項(xiàng)是最近鄰的Rashba 耦合項(xiàng)(強(qiáng)度為λR),其中dij是從i格點(diǎn)到j(luò)格點(diǎn)的空間矢量;最后一項(xiàng)是交錯(cuò)勢(強(qiáng)度為λν,對于不同的子格ξi=±1).為了更清楚地研究需要論述的物理,我們將系統(tǒng)的參數(shù)區(qū)間選擇在非平庸的拓?fù)浣^緣態(tài)中,并破壞掉鏡像對稱和反射對稱等幺正對稱性,使得能級的簡并性僅來源于時(shí)間反演對稱性.

然后,問一個(gè)基本的問題,由時(shí)間反演對稱保護(hù)的拓?fù)鋺B(tài) (或更一般的Kramers 簡并態(tài))在外界耗散的影響下是否是穩(wěn)定的? 容易想到,如果與外界環(huán)境自由度耦合的系統(tǒng)算符也具有時(shí)間反演對稱性,那么由時(shí)間反演對稱保護(hù)的拓?fù)鋺B(tài)就應(yīng)該不被破壞,除非耦合的算符本身不再具有時(shí)間反演對稱性.換句話說,只要在實(shí)驗(yàn)上盡量排除掉破壞系統(tǒng)時(shí)間反演對稱性的因素(如外加磁場、磁性雜質(zhì)等),那么實(shí)驗(yàn)就能觀測到簡并拓?fù)鋺B(tài)帶來的物理結(jié)果.

然而下面將會(huì)看到,這一基于對稱性分析的結(jié)論對于反幺正對稱性的情形并不成立.設(shè)系統(tǒng)受到外界環(huán)境的影響,按照前面的討論,其非厄米哈密頓量為

圖4 蜂窩格子上的Kane-Mele 模型,其中 x 方向取開邊界條件,y 方向上取周期邊界條件.系統(tǒng)尺寸為 N x×Ny .耗散耦合算符 位于右邊界,奇偶分別作用在連接和格點(diǎn)上Fig.4.Honeycomb lattice of the tight-binding Kane-Mele model with open boundary condition along x -axis and with periodical boundary condition along y -axis.The sample size is N x×Ny .The coupling operators are located on the right edge,which are defined on links for odd m and defined on sites for even m .

這里im代表邊界上的B 子格=m+1 .容易看出上述耗散算符是時(shí)間反演對稱的.有了以上這些定義就會(huì)看到,即使系統(tǒng)與外界環(huán)境耦合的是時(shí)間反演對稱的算符,時(shí)間反演對稱保護(hù)的簡并拓?fù)鋺B(tài)也是不穩(wěn)定的,以如下三個(gè)方面來論述這種不穩(wěn)定性.

4.1.1 量子相干性的丟失

首先來看系統(tǒng)在時(shí)間反演對稱保護(hù)拓?fù)鋺B(tài)的子空間(Kramers 空間)內(nèi)的相干性.本文利用von Neumann 熵刻畫其子空間內(nèi)相干性的變化.為此要計(jì)算系統(tǒng)約化密度矩陣的響應(yīng).在Schr?dinger繪景下,密度矩陣的含時(shí)演化為

4.1.2 簡并性的破壞

我們將看到,由時(shí)間反演對稱性導(dǎo)致的Kramers 態(tài)的簡并性也會(huì)被時(shí)間反演對稱的算符所破壞.定義推遲格林函數(shù)

4.1.3 背散射的出現(xiàn)

除了上述相干性的丟失和簡并性的破壞之外,我們還將看到,在破壞量子自旋霍爾效應(yīng)的更重要的一個(gè)因素——背散射,也會(huì)因?yàn)楹纳⒌拇嬖诙霈F(xiàn),即便耗散算符仍然是時(shí)間反演對稱的.

首先來看雜質(zhì)勢在Kramers 簡并態(tài)之間的矩陣元

微擾展開并對Langevin 噪聲做平均后可得

這一結(jié)果也表明在量子霍爾效應(yīng)中的拓?fù)溥吘墤B(tài)會(huì)被散射到另一個(gè)邊緣態(tài),即出現(xiàn)背散射,導(dǎo)致自旋霍爾電導(dǎo)不再是量子化的.

系統(tǒng)在邊緣態(tài)中的有效哈密頓量可寫為

計(jì)算結(jié)果表明,在耗散的作用下,雜質(zhì)確實(shí)會(huì)引起背散射(透射率不等于1),如圖5(c)中的插圖所示.不僅如此,反射率的大小也會(huì)隨著系統(tǒng)尺寸改變而變化,結(jié)果表明系統(tǒng)樣品的尺寸越大,反射率越高.這一結(jié)果與最近的實(shí)驗(yàn)觀測到的結(jié)果[52]定性上是符合的,如實(shí)驗(yàn)圖6 所示,電導(dǎo)隨著尺寸的增大逐漸偏離量子化的值,尺寸的閾值約為100 nm.對于非量子化的電導(dǎo),之前有關(guān)的理論考慮了有限溫度下非彈性散射[53,54]以及電磁噪聲導(dǎo)致的散射帶來的影響[55].而我從理論上對于為什么實(shí)驗(yàn)上很難觀測到精確的量子化電導(dǎo)[50,52,56,57]給出了另一種不同的物理詮釋,物理系統(tǒng)總是不可避免地受到外界環(huán)境的影響,對于時(shí)間反演對稱性保護(hù)的量子系統(tǒng)來說,即便與環(huán)境耦合的算符也具有時(shí)間反演對稱性,這種反幺正對稱性保護(hù)的物理也是不穩(wěn)定的①即便系統(tǒng)被耦合的耗散算符是厄米算符,也不一定能保證這種穩(wěn)定性.原因是可以利用兩個(gè)厄米算符構(gòu)造出一個(gè)非厄米算符(在有限溫度下,γ1=γ2),同樣會(huì)導(dǎo)致Kramers 簡并態(tài)的不穩(wěn)定性.只有一種極特殊的情況才能保持穩(wěn)定,即系統(tǒng)只耦合一個(gè)算符且該算符是厄米算符..正是這種機(jī)制使得量子自旋霍爾效應(yīng)中的背散射幾乎不可避免,導(dǎo)致電導(dǎo)量子化不再是精確的.

圖5 (a) von Neumann 熵隨時(shí)間的變化,三條曲線分別對應(yīng)不 同耗散 耦合通 道數(shù)目: M =20 (實(shí) 線),M=16(虛線) 和 M =12 (點(diǎn)虛線);(b) Kramers 簡并空間中的譜函數(shù);(c) 雜質(zhì)勢的非對角元 V 12(t) 隨時(shí)間的變化,實(shí)線包含所有態(tài)的貢獻(xiàn),虛線僅包含邊緣態(tài)的貢獻(xiàn)(M =20).插圖表示反射率隨樣品尺寸的變化.耗散強(qiáng)度 γ 大小為 0 .2J [51]Fig.5.(a) The von Neumann entropy S v(t) as a function of time.Here we choose the number of coupling operators as M =20 (solid line),M =16 (dashed line),and M =12(dotted dashed line),respectively.(b) The spectral function A (ω) for two Kramers degenerate states with dissipation,with M =20 .(c) Time evolution of the matrix element of the impurity potential V 12(t) between two degenerate edge states with.The solid line includes contributions from all states and the dashed line only includes contributions from edge states.The inset shows the transmission coefficient as a function of N y .The dissipation strengthγ is taken as 0 .2J [51].

圖6 實(shí)驗(yàn)在WTe2 樣品中測量的未摻雜通道電阻隨樣品尺寸的變化.圖片取自文獻(xiàn)[52]Fig.6.Length dependence of the undoped-channel resistance in WTe2 sample.The figure is copied from the Ref.[52].

4.2 非厄米線性響應(yīng)理論在相互作用拓?fù)鋺B(tài)中的應(yīng)用

除了量子霍爾效應(yīng)以外,我們利用非厄米線性響應(yīng)理論來研究具有時(shí)間反演對稱性的相互作用拓?fù)湎嗟姆€(wěn)定性問題.我們知道,根據(jù)Mermin-Wagner 定理[58],對于維數(shù)小于等于二維的系統(tǒng),不存在有限溫度的長程序,即不會(huì)出現(xiàn)對稱性自發(fā)破缺.如一維反鐵磁Heisenberg 模型:

無論自旋取半奇數(shù)還是整數(shù),系統(tǒng)的基態(tài)都沒有長程反鐵磁序.但是,Haldane[59,60]在1983 年發(fā)現(xiàn),整數(shù)自旋的反鐵磁Heisenberg 模型的磁激發(fā)譜與半奇數(shù)有著巨大的區(qū)別,即半奇數(shù)自旋的激發(fā)譜是無能隙的,而整數(shù)自旋的激發(fā)譜卻是有能隙的(Haldane gap).從場論角度出發(fā),Haldane 將反鐵磁自旋鏈的低能有效作用量寫為正常的O(3) 非線性σ-模型(O(3) nonlinearσ-model)部分S0[n] 與拓?fù)漤?xiàng)Stop[n] (θ-term)部分之和:

其中λ=4/S,θ=S/2 .vs表示長波極限下自旋波激發(fā)的波速.對于S0[n] 部分,在平均場近似下,體系的低能激發(fā)是無能隙的②在平均場近似下,n =? (? 為標(biāo)量),此時(shí)于將 給出波動(dòng)方程方程,所以此時(shí)系統(tǒng)的激發(fā)是無能隙的(ε (p)～vS|p|)..而量子漲落將改變體系的激發(fā)譜,使激發(fā)譜出現(xiàn)能隙.對于拓?fù)漤?xiàng),為了看出這一項(xiàng)的影響,我們將配分函數(shù)寫為如下求和形式:

其中W表示纏繞數(shù)(winding number),nW代表纏繞數(shù)的場分布.顯然,拓?fù)漤?xiàng)的貢獻(xiàn)只依賴于2S的奇偶性.對于整數(shù)自旋(2S為偶數(shù)),此時(shí)拓?fù)漤?xiàng)的相位貢獻(xiàn)全都是 2π 整數(shù)倍,即 e xp(2πiSW)=1,這表明整數(shù)自旋的拓?fù)漤?xiàng)對配分函數(shù)沒有貢獻(xiàn)(與沒有這一項(xiàng)的效果一樣),因此可以預(yù)期系統(tǒng)的能譜與于S0[n] 給 出的能譜一致.而對于半奇數(shù)自旋(2S為奇數(shù)),e xp(2πiSW)=(-1)W,即纏繞數(shù)W為奇數(shù)時(shí)會(huì)貢獻(xiàn)一個(gè)負(fù)號,這一正負(fù)號交替會(huì)讓相位在求和過程中相干相消,使得量子漲落對平均場的影響受到抑制,使系統(tǒng)的激發(fā)更接近平均場的無能隙激發(fā).事實(shí)上,自旋 1 /2 反鐵磁Heisenberg 模型的Bethe ansatz 嚴(yán)格解給出的低能激發(fā)確實(shí)是無能隙的.因此Haldane 提出,所有整數(shù)自旋的反鐵磁Heisenberg 模型的激發(fā)譜都是無能隙的,而整數(shù)自旋是有能隙的,稱為Haldane conjecture.不僅如此,能隙是能夠穩(wěn)定存在的,不受外界擾動(dòng)或參數(shù)的變化(如將系統(tǒng)改為各向異性的XXZ 模型)而消失.這種有能隙且穩(wěn)定存在的量子態(tài)構(gòu)成一個(gè)非平庸的量子相(其基態(tài)沒有對稱破缺,但因?yàn)榇嬖谶吔鐟B(tài),而與平庸的有能隙的直積態(tài)有本質(zhì)區(qū)別),被稱為Haldane gap.Haldane gap 后來在90 年代被密度矩陣重整化群的計(jì)算所驗(yàn)證[61],中子散射實(shí)驗(yàn)也觀察到了這一能隙[62].Haldane 的這一發(fā)現(xiàn)毫無疑問是重要的,也是令人驚奇的①這個(gè)結(jié)果令人驚奇的地方就在于,一方面,在大自旋極限下(S ?1),平均場的結(jié)果是越來越精確的,給出無能系線性色散;另一方面,對于 S =1/2,Bethe ansatz 的嚴(yán)格結(jié)果也給出無能隙的線性色散.那么自然應(yīng)該期待對于中間大小的自旋 S ＞1/2,都應(yīng)該具有無能隙的激發(fā)才對.但是,S =1 的系統(tǒng)卻是有能隙的！.它使人們意識到,在沒有對稱性自發(fā)破缺和長程序的系統(tǒng)中也可以有不同類別的物相,這里即是對稱性保護(hù)的拓?fù)湮锵?Haldane phase).而且,事實(shí)上自旋的整數(shù)和半奇數(shù)的區(qū)別是量子力學(xué)的效應(yīng),并沒有經(jīng)典對應(yīng),這說明Haldane phase 完全是量子效應(yīng)在相互作用多體系統(tǒng)中的體現(xiàn).在Haldane conjecture 提出之后,1987 年由Affleck,Kennedy,Lieb 和Tasaki 四位物理學(xué)家提出了一個(gè)基態(tài)為Haldane phase 并且可以嚴(yán)格求解的模型(AKLT模型)[63],其哈密頓量為

圖7 AKLT 模型基 態(tài)示意 圖.其中每 個(gè)格點(diǎn) 上的自 旋S=1 (綠色橢圓)被分解成兩個(gè)自旋 S =1/2 (藍(lán)色圓點(diǎn)),被黑色直線連接起來的兩個(gè)藍(lán)點(diǎn)表示兩個(gè)自旋 S =1/2 形成的自旋單態(tài).左右邊界上的紅色圓點(diǎn)表示自由的自旋S=1/2Fig.7.A schematic diagram for groundstate of the AKLT model.The spin S =1 (green oval shape) at each site is split into two spin-half (blue dots),and two blue dots connected by black line represents the spin singlet formed by the two spin S =1/2 .The red dot at each boundary represents free spin-half.

將每個(gè)格點(diǎn)的自旋S=1 (圖7 中的黃色圓圈)分解為兩個(gè)自旋 1 /2 組成的自旋三重態(tài),則基態(tài)可視為臨近兩格點(diǎn)接觸的自旋 1 /2 形成的自旋單態(tài),此時(shí)兩個(gè)邊界格點(diǎn)各有一個(gè)未配對的自由的1/2自旋態(tài),所以基態(tài)是四重簡并的零能態(tài).換句話說,系統(tǒng)的基態(tài)在體內(nèi)是自旋單態(tài)構(gòu)成的直積態(tài),而左右邊界上則各存有一個(gè)S=1/2 的邊界態(tài).系統(tǒng)的激發(fā)是有能隙的,激發(fā)態(tài)需要打破自旋單態(tài),導(dǎo)致正比于J的有限 能量增 加.與Haldane phase 一樣,AKLT 模型的基態(tài)是拓?fù)浞瞧接沟蘑谄浠鶓B(tài)沒有對稱自發(fā)破缺,但是存在邊界態(tài),這與平庸的有能隙的直積態(tài)本質(zhì)上是不同的.,它受時(shí)間反演對稱和二面體群D2(關(guān)于兩個(gè)正交軸的 π 旋轉(zhuǎn))的保護(hù)[64].

本節(jié)的目的就是以AKLT 模型為例,通過退相干的出現(xiàn)和簡并性的破壞,來表明受時(shí)間反演保護(hù)的Haldane phase 在耗散下的不穩(wěn)定性.為此,先將其基態(tài)重新表示.

根據(jù)自旋算符的Schwinger 玻色子表示,

為了討論這類對稱性保護(hù)的基態(tài)在耗散影響下的穩(wěn)定性,從譜的簡并性和基態(tài)空間的相干性兩方面來討論.定義格林函數(shù):

事實(shí)上,通過Kane-Mele 模型和ALKT 模型的計(jì)算過程可以發(fā)現(xiàn),耗散引起時(shí)間反演對稱保護(hù)的量子系統(tǒng)的不穩(wěn)定性是普適的,并不依賴于具體的模型,其背后的數(shù)學(xué)原因是反幺正群的Schur 引理.“光陰似箭,歲月如梭”,自人類文明起始以來,時(shí)間可能是最神秘的概念.我們知道,宏觀熱力學(xué)系統(tǒng)的時(shí)間箭頭起源于微觀概率的最概然分布,體現(xiàn)在熱力學(xué)熵的增加,但是在微觀上,熱力學(xué)系統(tǒng)中的單個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)總是可逆的.然而具有時(shí)間反演對稱的量子系統(tǒng)中的時(shí)間箭頭,則是起源于時(shí)間反演對稱的反幺正性,這里的不可逆性體現(xiàn)在Kramers 簡并空間中von Neumann 熵的增加.從物理上看,這似乎提供了一種“時(shí)間箭頭”的可能的微觀起源,即自然界的時(shí)間流逝總是單向的原因,就是時(shí)間反演對稱性是反幺正的.

圖8 (a) AKLT 模型中的von Neumann 熵隨時(shí)間的變化;(b) 基態(tài)空間中的譜函數(shù)Fig.8.(a) The von Neumann entropy as a function of time in the AKLT model;(b) the spectral function in groundstate subspace.

5 總結(jié)與展望

本文簡要地綜述了非厄米線性響應(yīng)理論以及該理論在具有耗散量子多體和具有時(shí)間反演對稱保護(hù)的量子系統(tǒng)這兩大方面的應(yīng)用.在耗散量子多體系統(tǒng)方面,發(fā)現(xiàn)在二維Bose-Hubbard 模型中,當(dāng)系統(tǒng)處于具有良好定義的準(zhǔn)粒子激發(fā)狀態(tài)時(shí),系統(tǒng)的耗散動(dòng)力學(xué)出現(xiàn)正常的指數(shù)衰減和擴(kuò)散行為;而當(dāng)系統(tǒng)處于量子臨界狀態(tài)時(shí),則會(huì)出現(xiàn)非指數(shù)衰減的耗散動(dòng)力學(xué)和反常的亞擴(kuò)散行為,并且這些反常行為與系統(tǒng)在臨界相的臨界指數(shù)決定.理論計(jì)算的結(jié)果與冷原子實(shí)驗(yàn)觀測數(shù)據(jù)高度符合.另外還發(fā)現(xiàn),在一維量子氣體中,系統(tǒng)處于Luttinger 液體態(tài)時(shí)也會(huì)出現(xiàn)類似的非指數(shù)和亞擴(kuò)散行為.這一理論的結(jié)果提供了一種通過實(shí)驗(yàn)測量耗散動(dòng)力學(xué)來區(qū)分正常量子物態(tài)和臨界量子物態(tài)的手段,也為實(shí)驗(yàn)測量臨界指數(shù)提供了新的方法.在時(shí)間反演對稱的量子系統(tǒng)方面,以量子霍爾效應(yīng)和相互作用拓?fù)鋺B(tài)為例,通過非厄米線性響應(yīng)的計(jì)算,發(fā)現(xiàn)了由時(shí)間反演這種反幺正對稱性保護(hù)的Kramers 簡并及其相關(guān)的物理性質(zhì)在耗散的影響下并不是穩(wěn)定的,即便耗散算符也同樣具有時(shí)間反演對稱性.理論預(yù)言了自旋霍爾電導(dǎo)不再是精確的量子化值,且隨實(shí)驗(yàn)樣品尺寸的變化規(guī)律與實(shí)驗(yàn)結(jié)果定性一致.從以上兩方面的應(yīng)用來看,非厄米線性響應(yīng)理論是成功的.誠然,正如前言所講,非平衡動(dòng)力學(xué)過程原則上涉及系統(tǒng)所有的自由度,理論上來說很難通過少數(shù)幾個(gè)參數(shù)就能精確刻畫多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)演化.非厄米線性響應(yīng)理論處理是系統(tǒng)在耗散影響下的準(zhǔn)靜態(tài)演化過程,當(dāng)系統(tǒng)的演化狀態(tài)非準(zhǔn)靜態(tài)過程的時(shí)候,還沒有理論可以有效地處理.一個(gè)具有重要意義的問題是,非平衡動(dòng)力學(xué)是否有類似于平衡態(tài)物理一樣的普適性(如量子相變的普適類)? 有趣的是,實(shí)驗(yàn)在遠(yuǎn)離準(zhǔn)靜態(tài)的非平衡動(dòng)力學(xué)中發(fā)現(xiàn)了一些普適的動(dòng)力學(xué)行為,驗(yàn)證了這種存在的可能性.如遠(yuǎn)離平衡態(tài)的普適淬火動(dòng)力學(xué)[67],以及最近在量子多體系統(tǒng)中觀測到的著名的Kardar-Parisi-Zhang 普適性[68—70].“平衡態(tài)系統(tǒng)都是相似的,而非平衡系統(tǒng)卻各有各的非平衡”.我們相信,自然界中的精彩很大程度上來自于非平衡物理.伴隨著實(shí)驗(yàn)技術(shù)尤其是冷原子實(shí)驗(yàn)的蓬勃發(fā)展,我們有理由期待,非平衡物理系統(tǒng)會(huì)帶給我們越來越多的驚奇.

本文所介紹的非厄米線性響應(yīng)理論是作者與多位合作者共同提出的.借此機(jī)會(huì),作者要感謝清華大學(xué)高等研究院的翟薈教授,正是翟薈教授對物理理論的獨(dú)到見解以及對實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的真知灼見,非厄米線性響應(yīng)理論才得以誕生.感謝中國工程物理研究院的陳宇研究員,陳教授扎實(shí)深厚的物理功底和他那爽朗的笑聲,為本工作的進(jìn)展過程增輝不少.感謝清華大學(xué)高等研究院的陳鑫博士和鄧天舒博士,和他們的討論亦使作者受益良多.作者還要感謝中國科學(xué)院物理研究所的陳澍研究員和崔曉玲研究員,在他們的指引下作者有幸進(jìn)入了量子開放系統(tǒng)和非厄米物理這一蓬勃發(fā)展的領(lǐng)域.