平板微管道內(nèi)雙層流體瞬態(tài)電滲流動

盧錦華，石曉君，胡凱燕，鄧曙艷

(廣東石油化工學(xué)院 建筑工程學(xué)院，廣東 茂名 525000)

微流控芯片的驅(qū)動系統(tǒng)經(jīng)常借助電滲現(xiàn)象輸送樣本流體，如高分子溶液，或者血液等生物流體[1,2]。電滲流研究是微尺度流動研究的一項重要分支，由早期不同形狀的微管道內(nèi)流動研究[3,4]發(fā)展到近幾年不同外加環(huán)境(如旋轉(zhuǎn)環(huán)境[5]、外加磁場)對電滲流動特征的影響規(guī)律的研究[6]。隨著微機電技術(shù)在生物醫(yī)學(xué)等交叉領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，一些微流控芯片需要操作非導(dǎo)電樣本，如油質(zhì)液體等。Brask等[7]首次提出借助導(dǎo)電流體電滲流動帶動非導(dǎo)電流體進行傳輸?shù)碾p層驅(qū)動系統(tǒng)。自此雙層電滲流動的研究廣受關(guān)注。文獻[8]研究了平板微管道內(nèi)已達到穩(wěn)態(tài)的雙層電滲流模型。文獻[9]考慮液-液界面附近的Maxwell條件下提出了瞬態(tài)的雙層導(dǎo)電流體電滲流動模型。生物芯片實驗室等微流控芯片需要傳輸、混合或分離導(dǎo)電率較低的樣本，導(dǎo)電流體和非導(dǎo)電流體組成的雙層電滲流從瞬態(tài)到穩(wěn)態(tài)的研究揭示了雙層流動電-流場全局發(fā)展機理，為微流控芯片內(nèi)的驅(qū)動元件的設(shè)計、優(yōu)化以及精確操作提供一定的理論參考。而平板微管道內(nèi)的瞬態(tài)由導(dǎo)電流體帶動非導(dǎo)電流體的電滲流動尚未得到關(guān)注。基于此，本文考慮導(dǎo)電流體-非導(dǎo)電流體電滲流動從瞬態(tài)到穩(wěn)態(tài)的發(fā)展過程，提出相應(yīng)的控制方程，首先利用拉普拉斯變換法推導(dǎo)了雙層速度場解析解，從而掌握了雙層系統(tǒng)的瞬態(tài)速度分布，其次討論導(dǎo)電流體電滲特質(zhì)對雙層流動的影響規(guī)律，相關(guān)結(jié)果可以為微流控芯片雙層驅(qū)動系統(tǒng)的精確控制與優(yōu)化提供理論依據(jù)。

1 數(shù)學(xué)模型

圖1 平板微管道內(nèi)雙層不互溶流體結(jié)構(gòu)

(1)

式中：K、e0、kB、T0、n0和z0分別為電動寬度、基本電荷、玻爾茲曼數(shù)、絕對溫度、離子濃度和離子價。

電勢在平板微管道軸線上滿足對稱條件，在壁面上等于zeta電勢，因此獲得如下邊界條件：

(2)

根據(jù)常微分方程解的形式以及邊界條件(式(2))，獲得式(1)的解，即電勢分布如下：

Ψ=[ζcosh(Ky)]/cosh(K)

(3)

(4)

式中：t、y、v1和v2分別為無量綱化后的時間變量、縱向變量、導(dǎo)電流體速度和非導(dǎo)電流體速度；ρ為密度；U為參考速度；m0為流體黏度。

雙層速度和剪切力在液-液界面上滿足連續(xù)性條件，導(dǎo)電流體速度和非導(dǎo)電流體速度在壁面上均滿足無滑移條件，雙層流體初始時刻靜止，此時，雙層速度分布的初邊界條件為

(5)

(6)

(7)

根據(jù)常微分方程解的形式和邊界條件(式(7))，可得式(6)的解如下：

(8)

(9)

(10)

(11)

式中：P=1,2,…。當時間變量t→∞，式(10)和(11)變?yōu)榉€(wěn)態(tài)的速度分布，即：

(12)

(13)

進一步合并v1和v2便獲得雙層電滲流瞬態(tài)速度分布v。分別對式(12)和式(13)進行積分，可獲得雙層電滲流流量Q，即導(dǎo)電流體和非導(dǎo)電流體流量表達式如下：

(14)

(15)

2 結(jié)果與討論

當K=10，ζ=-1時，不同時刻下，雙層速度分布以及達到穩(wěn)態(tài)的速度分布如圖2所示，其中液-液界面右側(cè)流體為導(dǎo)電流體，液-液左側(cè)流體為非導(dǎo)電流體。當K=100，ζ=-1時，不同時刻下，雙層速度分布以及達到穩(wěn)態(tài)的速度分布如圖3所示，其中液-液界面右側(cè)流體為導(dǎo)電流體，液-液左側(cè)流體為非導(dǎo)電流體。

圖2 K=10、ζ=-1，雙層速度及達到穩(wěn)態(tài)的雙層速度分布 圖3 K=100、ζ=-1，雙層速度及達到穩(wěn)態(tài)的雙層速度分布

由圖2可知，當時間變量取值相對小的時候，即t=0.0005時，只有壁面附近的導(dǎo)電流體在電滲力的作用下獲得速度，隨著時間的推進，壁面附近流體帶動整體導(dǎo)電流體向前流動；當t=0.005時，導(dǎo)電流體整體處于運動狀態(tài)，進一步隨著時間的推進，導(dǎo)電流體開始帶動非導(dǎo)電流體向前流動，如t=0.05時雙層速度分布所示。當時間增長到t=5時，瞬態(tài)速度與穩(wěn)態(tài)速度重疊，說明雙層電滲流當t=5時已經(jīng)進入穩(wěn)態(tài)，速度分布不再隨時間變化。由穩(wěn)態(tài)雙層速度分布可知，與單層電滲流相比，由于液-液界面黏性力消耗一部分導(dǎo)電流體動量，雙層電滲流不再呈現(xiàn)塞型速度剖面，其中導(dǎo)電流體呈現(xiàn)拋物型剖面，最高速度流層偏向平板微管道下側(cè)壁面，非導(dǎo)電流體呈現(xiàn)線性速度剖面，離導(dǎo)電流體越近的流層，其速度越高。

由圖2、圖3可知，隨著電動寬度K由10增加到100，因管道高度固定不變，故雙電層相應(yīng)地變薄，壁面自由帶電離子隨之減少，導(dǎo)致導(dǎo)電流體壁面附近的電滲力作用區(qū)域變窄，無論任何時刻，緊貼壁面的導(dǎo)電流體速度最高。與圖2的雙層瞬態(tài)速度分布相比，由于電動寬度的增加，導(dǎo)電流體整體獲得的速度較高，帶動非導(dǎo)電流體向前流動的速度也較高，且導(dǎo)電流體最高速度流層更加靠近平板微管道下側(cè)壁面。

圖4為當K=10，ζ=-1時，雙層流量Q隨時間t的變化趨勢，其中Q1為導(dǎo)電流體流量，Q2為非導(dǎo)電流體流量。圖5為當K=100，ζ=-1時，雙層流量Q隨時間t的變化趨勢，其中Q1為導(dǎo)電流體流量，Q2為非導(dǎo)電流體流量。

圖4 K=10、ζ=-1，導(dǎo)電/非導(dǎo)電流體流量隨時間的變化 圖5 K=100、ζ=-1，導(dǎo)電/非導(dǎo)電流體流量隨時間的變化

由圖4可知，導(dǎo)電流體流量和非導(dǎo)電流體流量相比，導(dǎo)電流體更早獲得速度進入運動狀態(tài)，即導(dǎo)電流體在不穩(wěn)態(tài)階段流動的持續(xù)時間較長，而非導(dǎo)電流體在不穩(wěn)態(tài)階段流動的持續(xù)時間較短，更快速進入穩(wěn)態(tài)。無論是導(dǎo)電流體還是非導(dǎo)電流體流動，當時間t達到O(1)時，雙層流體開始進入穩(wěn)態(tài)，流量基本不再隨著時間發(fā)生變化。另外，導(dǎo)電流體流量比非導(dǎo)電流體流量高出好幾倍。

與圖4相比，圖5中導(dǎo)電流體流量顯著提高，非導(dǎo)電流體流量變化不顯著，導(dǎo)電流體整體獲得速度的時間也更早。其解釋如下，電動寬度的變化對導(dǎo)電流體流動影響更大，導(dǎo)電流體流動速度峰值明顯得到提升，且其速度剖面也有明顯變化；而非導(dǎo)電流體流動速度剖面變化不顯著，最終導(dǎo)致其流量變化也不顯著。

3 結(jié)語

考慮平板微管道內(nèi)瞬態(tài)雙層流動，下層為導(dǎo)電流體，上層為非導(dǎo)電流體，導(dǎo)電流體在電滲力作用下向前流動，帶動非導(dǎo)電流體獲得速度，從而形成雙層電滲流動，且隨著時間的推進逐漸達到穩(wěn)態(tài)。利用拉普拉斯變換法求解了雙層瞬態(tài)電滲流柯西動量方程，獲得了雙層速度分布和雙層流量。展示了不同時刻的瞬態(tài)雙層速度分布，發(fā)現(xiàn)雙層速度分布呈現(xiàn)拋物型剖面，其速度最大值發(fā)生在導(dǎo)電流體區(qū)域內(nèi)，偏向管道壁面。討論了不同的電動寬度下的雙層速度分布和流量，發(fā)現(xiàn)電動寬度對導(dǎo)電流體流動速度和流量的影響更大。另外，當時間達到O(1)時，瞬態(tài)雙層流動基本達到穩(wěn)態(tài)。上述結(jié)果可以為微流控芯片內(nèi)雙層驅(qū)動系統(tǒng)的設(shè)計和優(yōu)化提供理論依據(jù)。