基于外匯匯率的期權(quán)定價(jià)及其實(shí)證分析

李文漢, 鐘 盈, 呂桂穩(wěn)

(1,河北地質(zhì)大學(xué) 數(shù)理教學(xué)部,河北 石家莊 050031; 2.石家莊鐵道大學(xué) 數(shù)理系,河北 石家莊 050043)

0 引言

隨著經(jīng)濟(jì)全球化的發(fā)展，在國(guó)與國(guó)之間的經(jīng)濟(jì)、金融貿(mào)易中，外匯匯率扮演著越來越重要的角色。由于匯率具有隨機(jī)波動(dòng)性，因此風(fēng)險(xiǎn)常常存在。作為金融衍生品的重要組成部分，匯率期權(quán)常用來進(jìn)行套期保值，規(guī)避匯率風(fēng)險(xiǎn)，如何給出匯率的外匯期權(quán)的價(jià)格逐漸成為一個(gè)熱點(diǎn)問題。

在外匯期權(quán)定價(jià)研究中， German和Kolhage[1]基于Black-Scholes模型，首次給出了外匯期權(quán)的G-K模型，并得到了歐式外匯匯率期權(quán)的定價(jià)公式。他們假定外幣的收益率和波動(dòng)率二者不是隨機(jī)的，而是給定的常數(shù)。隨后， Niklas等[2]對(duì) G-K模型進(jìn)行了推廣，提出了一個(gè)修正的方法，深入研究了外匯期權(quán)的定價(jià)問題。薄立軍等[3]、Swishchuket等[4]在馬爾科夫機(jī)制轉(zhuǎn)換(Markov-modulated)條件下，研究了具有跳-擴(kuò)散過程的外匯期權(quán)的定價(jià)問題?？紤]到實(shí)證分析，鄭振龍等[5]基于匯率的歷史數(shù)據(jù)，采用全樣本和分區(qū)樣本的實(shí)證分析，研究了有關(guān)外匯期權(quán)的隱含波動(dòng)率報(bào)價(jià)問題，并提取了相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)行了跨國(guó)資產(chǎn)配置方面的研究。胡瀟予[6]通過設(shè)定案例，利用外匯期權(quán)實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖，穩(wěn)定外貿(mào)交易成本，提出了解決方案。

亞式期權(quán)又稱為平均期權(quán)，一般而言此類期權(quán)價(jià)格相對(duì)便宜，有利于套期保值，已經(jīng)成為金融衍生品市場(chǎng)比較活躍的金融產(chǎn)品之一。從理論上講，可以分成算術(shù)平均亞式期權(quán)和幾何平均亞式期權(quán)。但是，算術(shù)平均亞式期權(quán)沒有明確的表達(dá)式，而幾何平均亞式期權(quán)具有明確的解析表達(dá)式。同時(shí)，按照?qǐng)?zhí)行價(jià)格可以分為固定執(zhí)行價(jià)格和浮動(dòng)執(zhí)行價(jià)格。在此，本文主要討論按照固定執(zhí)行價(jià)格執(zhí)行的外匯匯率的幾何平均亞式期權(quán)的定價(jià)問題。

在實(shí)證分析中，選取了美元/人民幣真實(shí)的歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，研究了本文給出的外匯冪期權(quán)、外匯幾何平均亞式期權(quán)的定價(jià)問題，并討論這些期權(quán)的一些性質(zhì)。

1 模型假設(shè)與期權(quán)定價(jià)

1.1 模型假設(shè)

假設(shè)Ft表示t時(shí)刻以國(guó)內(nèi)貨幣計(jì)價(jià)的一單位外幣，即為t時(shí)刻的即期匯率，滿足如下的隨機(jī)微分方程:

(1)

(2)

解式(2)得

(3)

1.2 基于外匯匯率的冪期權(quán)定價(jià)

假定α，K3，K0和K4是常數(shù)，并且在期權(quán)的到期日T，基于外匯匯率的冪期權(quán)的收益函數(shù)為:

(4)

其中K0>0,K4≥K3>0,I{·}表示示性函數(shù)。

性質(zhì)若外匯匯率的冪期權(quán)的收益函數(shù)滿足式(4)，則

(1)若K0>K4，則C3(T)=0；

下面給出外匯匯率的冪期權(quán)定價(jià)公式。

定理 1如果外匯匯率的微分方程為式(2)，且其冪期權(quán)的在執(zhí)行時(shí)刻T收益函數(shù)滿足式(4)。在目前時(shí)刻t，若外匯匯率的期權(quán)價(jià)格表示為C1(t,T),則:

(i)若K0>K4，則C1(t,T)=0;

(ii)若K3≤K0≤K4，則

(5)

其中

Φ(·)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)。

(iii)若K0≤K3，則

(6)

其中

注:結(jié)合定理1中式 (5)，可知：

(I)若K3≤K0,K4=∞和α=1，則式(5)是Black-Scholes(簡(jiǎn)記“BS”)模型定價(jià)公式。

(II)若K3≤K0，K4=∞和α≠1，則式(5)是基于BS模型的冪期權(quán)(表示為 “PBS”)定價(jià)公式。

1.3 基于外匯匯率的幾何平均亞式期權(quán)定價(jià)

(7)

在期權(quán)的到期日T，假定按照固定執(zhí)行價(jià)格執(zhí)行的外匯匯率的幾何平均亞式期權(quán)的收益函數(shù)為

(8)

其中K1是執(zhí)行價(jià)格。

定理2如果外匯匯率的微分方程為式(2)，按照固定執(zhí)行價(jià)格執(zhí)行的外匯匯率的幾何平均亞式期權(quán)在時(shí)刻T收益函數(shù)滿足式 (8)。在目前時(shí)刻t，若外匯匯率的期權(quán)價(jià)格表示為C2(t,T)，則:

(9)

2 實(shí)證分析

2.1 期權(quán)價(jià)格過程

本部分重點(diǎn)討論期權(quán)定價(jià)問題。在本小節(jié)中，假定定理1 中的基于外匯匯率的冪期權(quán)(取α=1，簡(jiǎn)記為：FP)、定理2中的外匯匯率的幾何平均亞式期權(quán)(簡(jiǎn)記為:AS)以及Black-Scholes 外匯期權(quán)定價(jià)模型(簡(jiǎn)記為： BS)的執(zhí)行價(jià)格均為相同的值，經(jīng)過編寫程序進(jìn)行運(yùn)算，分別得到了三類期權(quán)的價(jià)格，期權(quán)價(jià)格見表1。

表1 期權(quán)的價(jià)格

由表1可知，在同等條件下，盡管定理1中外匯匯率冪期權(quán)的收益函數(shù)限定了匯率的范圍，可是外匯匯率的幾何平均亞式期權(quán)價(jià)格還是最低，BS模型下期權(quán)價(jià)格最高。這個(gè)結(jié)論說明，在冪期權(quán)的收益函數(shù)中，設(shè)定匯率在某一范圍變化后，所求期權(quán)價(jià)格介于以上二者期權(quán)價(jià)格之間，因此，構(gòu)造給定示性函數(shù)的外匯冪期權(quán)具有一定的實(shí)際意義。

在外匯市場(chǎng)，匯率一般是在一定的范圍內(nèi)波動(dòng)，否則，會(huì)給本國(guó)經(jīng)濟(jì)帶來嚴(yán)重的不良后果?；诖?，在實(shí)際生活中，任何國(guó)家不會(huì)放任本幣的匯率過大或者過小，那么對(duì)以匯率為標(biāo)的資產(chǎn)的金融衍生品進(jìn)行相關(guān)理論研究時(shí)，特別對(duì)外匯期權(quán)進(jìn)行定價(jià)時(shí)，把匯率設(shè)定在某一執(zhí)行區(qū)間更加合理。同時(shí)，構(gòu)造匯率的冪函數(shù)的形式來研究?jī)缙跈?quán)，投資風(fēng)險(xiǎn)會(huì)隨著冪指數(shù)的增大而增強(qiáng)，因此可以通過選取不同的冪指數(shù)來調(diào)節(jié)投資風(fēng)險(xiǎn)。當(dāng)然，當(dāng)冪指數(shù)為1，并且沒有增加執(zhí)行區(qū)間時(shí)，就是BS模型下期權(quán)價(jià)格，顯然表1中FP模型下的期權(quán)價(jià)格較低。另外，研究匯率的幾何平均亞式期權(quán)定價(jià)過程中，通過構(gòu)造外匯匯率的幾何平均表達(dá)式可以看出，其波動(dòng)率變小了?？傊啾纫陨蟽深惼跈?quán)(α=1)的價(jià)格，幾何平均亞式期權(quán)的價(jià)格較低，事實(shí)也是如此。

2.2隱含波動(dòng)率(Implied Volatility)是把所求期權(quán)的價(jià)格代入期權(quán)定價(jià)模型中反算出來的，反映的是對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率的預(yù)期。事實(shí)上，在金融衍生品市場(chǎng)上期權(quán)的隱含波動(dòng)率是與期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格和到期時(shí)間密切相關(guān)的。對(duì)于相同的到期時(shí)間，隱含波動(dòng)率隨著期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格而變動(dòng)。隱含波動(dòng)率越大，說明存在的風(fēng)險(xiǎn)也越大。

本部分主要討論外匯匯率冪期權(quán)關(guān)于冪指數(shù)α的隱含波動(dòng)率。由以上假定K4=7.3，分別取α=1.1,1.2,1.3，通過編寫程序，得到了有關(guān)的隱含波動(dòng)率圖像(見圖2)。在圖2中，隱含波動(dòng)率隨著執(zhí)行價(jià)格的增加而減小，并且標(biāo)的資產(chǎn)(匯率)的冪指數(shù)α值越大，波動(dòng)率變化越大，反應(yīng)了風(fēng)險(xiǎn)越大，這個(gè)結(jié)論與實(shí)際相一致。

3 結(jié)論

本文給出具有連續(xù)擴(kuò)散過程的外匯匯率的微分方程，在此基礎(chǔ)上得到了一類新形式下具有外匯匯率的示性函數(shù)的冪期權(quán)和幾何平均亞式期權(quán)的價(jià)格顯示解，并對(duì)美元/人民幣匯率的歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析。在此基礎(chǔ)上，討論了基于美元/人民幣匯率的兩類期權(quán)價(jià)格過程，分析了隱含波動(dòng)率。本文只是研究了具有連續(xù)性擴(kuò)散過程外匯匯率的期權(quán)定價(jià)問題，模型還可以進(jìn)一步擴(kuò)展到具有跳擴(kuò)散過程情形的微分方程，以及利率和波動(dòng)率具有隨機(jī)性的外匯匯率微分方程形式。