基于反余切函數(shù)的變步長LMS諧波檢測算法*

張 展, 冷全超, 王 維, 杜詩揚

(河南理工大學 電氣工程與自動化學院, 河南 焦作 454003)

0 引 言

隨著電力電子技術的不斷發(fā)展，電網(wǎng)中的諧波污染也日益嚴重，成為影響電能質量的主要問題，嚴重危害了供電的可靠性和電力系統(tǒng)運行的穩(wěn)定性，必須進行有效治理[1]。有源電力濾波器(active power filter，APF)因其能快速地對頻率和幅值都變化的諧波實現(xiàn)動態(tài)跟蹤補償，消除電網(wǎng)電流中的諧波成分，得到了廣泛的應用。而APF的工作性能主要取決于對諧波電流實時準確的檢測，因此尋找一種更快速、準確的電網(wǎng)諧波檢測算法對治理電網(wǎng)的諧波污染是至關重要的[2]。目前，電力系統(tǒng)中最常見的諧波檢測方法主要包括：瞬時無功功率檢測[3]、快速傅里葉變換(fast Fourier transform，F(xiàn)FT)[4]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(artificial neural networks，ANN)[5]以及小波變換(wavelet transform，WT)[6]等。雖然這些方法都在諧波檢測方面有著良好的表現(xiàn)，但是由于自身的缺陷限制了進一步的應用[7]。

自適應諧波檢測算法，因其優(yōu)秀的性能引起了國內外研究人員的關注[8]。但由于傳統(tǒng)的自適應諧波檢測算法無法解決收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾，因此涌現(xiàn)出一大批優(yōu)秀的改進算法。文獻[9]中提出利用誤差信號e(n)作為變量來參與進行步長更新，然而在實際系統(tǒng)中誤差e(n)被噪聲污染，這樣就會引起較大的權值波動進而帶來較大的失調誤差;文獻[10]提出利用歸一化的處理方法改進權值公式，增大輸入信號的動態(tài)范圍，但其加大了算法的復雜程度，不易于工程應用的實現(xiàn)。為了能夠解決上述問題，文獻[11]提出了利用誤差信號的自相關估計來調節(jié)步長更新；文獻[12]提出VSSLMS-New算法，應用可變公式代替固定參數(shù)。雖然在步長更新時消除了不相關噪聲序列的干擾具有較快的動態(tài)響應速度，但仍然沒有很好地解決權值的收斂問題。

針對目前所面臨的問題,本文提出了一種基于反余切函數(shù)的變步長諧波檢測算法。首先針對權值收斂速度慢的問題，利用推導出來的三階權值迭代公式來代替?zhèn)鹘y(tǒng)的權值迭代，以提高權值的收斂速度。其次針對穩(wěn)態(tài)誤差方面，提出使用反余切作為核心函數(shù)，并利用誤差信號的自相關平均估計均值進行調節(jié)步長更新，以獲得較小的穩(wěn)態(tài)誤差。并在仿真實驗中進行了驗證。

1 自適應諧波檢測算法的工作原理

1.1 APF的自適應諧波檢測算法

將自適應諧波電流檢測算法應用于APF上的工作原理如圖1所示。

圖1 自適應諧波檢測原理

其中，iL(n)為非線性負載電流信號，i1(n)為非線性負載電流基波分量，ih(n)為高次諧波電流分量，參考輸入信號x1(n)和x2(n)為電網(wǎng)同步鎖相得到的標準正弦和余弦信號，y(n)為濾波器的輸出期望信號，e(n)為用于調節(jié)權值系數(shù)的誤差信號。其工作原理：將i1(n)作為噪聲信號部分，ih(n)作為期望信號部分，以電網(wǎng)電壓為基準信號，利用系統(tǒng)反饋誤差信號e(n)進行控制權值的更新，使w逐漸增大逼近最優(yōu)權向量w*，得到自適應濾波器期望信號y(n)，從而系統(tǒng)輸出可變的畸變電流e(n)將逼近負載電流諧波分量ih(n)，經(jīng)過iL(n)與y(n)差值得到負載電流諧波分量ih(n)。

記輸入信號X(n)=[x1(n)x2(n)]T，權值系數(shù)W(n)=[w1(n)w2(n)]T，則自適應諧波電流檢測算法可表示為

y(n)=WT(n)X(n)

(1)

e(n)=iL(n)-y(n)

(2)

W(n+1)=W(n)+2μe(n)X(n)

(3)

式中μ為固定的步長(0<μ<1/λmax),使算法能夠快速收斂，λmax為輸入信號自相關矩陣的最大特征值。

1.2 傳統(tǒng)的變步長LMS算法

傳統(tǒng)定步長LMS算法的自身局限決定其在收斂速度和穩(wěn)態(tài)精度之間的矛盾是無法兼顧的,文獻[12]提出的VSSLMS-New算法，應用反余切函數(shù)作為核心函數(shù)來調節(jié)步長更新，其步長更新公式為

η(n)=α·arccot(|e(n)|)

(4)

μ(n)=ζμ(n-1)+η(n-1)e2(n-1)

(5)

式中η(n)為反余切函數(shù)；μ(n)為動態(tài)步長因子；α為比例因子，用來調節(jié)反余切函數(shù)的取值范圍；系數(shù)ζ決定收斂時的步長值。

VSSLMS-New應用可變公式代替固定參數(shù)，在一定程度上降低了計算的復雜度，提高了系統(tǒng)的跟蹤性能；但由于該算法直接采用瞬時誤差信號e(n)對步長進行更新，通常瞬時誤差信號也含有大量的噪聲，隨著步長在更新的過程中極易受不相干噪聲的干擾，并且其仍然采用最原始的權值迭代公式，權值收斂速度不夠快，經(jīng)常出現(xiàn)權值還未收斂，步長已達到最小值。

2 改進的變步長LMS算法

2.1 改進算法

通過引入e(n)e(n-1)獲得誤差信號的自相關估計均值，消除不相干噪聲的干擾，進行控制步長的更新；并將其用在APF的諧波檢測上，提出了一種新的LMS諧波檢測算法,將其表示為LMS-NEW。其步長更新公式為

η(n)=?arccot(|p(n)|)

(6)

μ(n)=δμ(n-1)+η(n-1)e2(n-1)

(7)

p(n)=mp(n-1)+k(1-m)e(n)e(n-1)

(8)

式(6)為反余切核心函數(shù)，其中，?為比例因子；式(7)中，δ為調節(jié)收斂速度而設置的一個數(shù)值很小的正學習參數(shù)，可用來加快收斂速度；式(8)中，p(n)為誤差信號的自相關時間均值估計反饋量，m為遺忘因子，用來調整歷史信號影響程度，其值通常接近于1；k為影響因子，用來調節(jié)e(n)自相關對算法的影響，其值通常小于1。

2.2 改進算法的權值推導

(9)

根據(jù)式(1)、式(2)和式(9)可以得到

(10)

W(n+1)=W(n)+2μe(n)X(n)

(11)

式(11)即為LMS算法的濾波器權矢量迭代公式，μ為自適應濾波器的收斂系數(shù)。通過把當前時刻的權值系數(shù)矢量和誤差函數(shù)作為比例因子進行相加得到自適應迭代下一時刻的權值系數(shù)矢量。因此，計算在n時刻的權值系數(shù)W′(n)[14]

W′(n)=W(n)+2μe(n)X(n)

(12)

e(n)=iL(n)-XT(n)W(n)

(13)

此時，W′(n)比W(n)更加接近最優(yōu)權向量，梯度估值公式更新為

(14)

e1(n)=iL(n)XT(n)W′(n)

(15)

將式(12)、式(14)代入初始權值式(3)中，即可以得到式(16)；再結合式(12)、式(13)、式(15)、式(16)得到二階權值式(17)，權值迭代公式如下

W(n+1)=W′(n)+2μe1(n)X(n)

(16)

W(n+1)=W′(n)+4μ(n)[1-μ(n)XT(n)X(n)]

e1(n)X(n)

(17)

利用此方法再進行權值公式的迭代，即可以得到新的權值迭代更新公式

W(n+1)=W(n)+φe(n)X(n)[6μ-12μ[μXT(n)X(n)]+

8μ[μXT(n)X(n)]2]

(18)

式中φ為比例因子干擾系數(shù)，通常為一個小于1的正值。理論上來說,迭代公式的迭代程度越高，獲得到更快地權值收斂速度，但在實際仿真的過程中，權值的收斂速度具有一定的限度。在獲得更高的收斂速度的同時也會帶來更復雜的計算量，當權值迭代到一定次數(shù)后收斂速度就不會有明顯的變化[15]。

2.3 改進算法的性能分析和比較

本文提出了一種新的LMS諧波檢測算法表示為LMS-NEW。選擇了與傳統(tǒng)的定步長算法和文獻[12]提出的LMS算法進行了比較。將傳統(tǒng)的定步長算法以及文獻[12]提出的算法分別表示為LMS-A,LMS-B。新算法采用可變的參數(shù)算法來替代步長更新中的固定參數(shù)，利用當前誤差信號與上一時刻的誤差信號的自相關平均估計均值做動態(tài)系數(shù)，可以消除不相關噪聲的干擾；利用反余切函數(shù)自身的性質，即使在噪聲信號產生干擾的同時，也能將步長控制在一個合理的范圍。LMS-A采用固定步長需要進行大量的實驗，才能獲得合適的參數(shù)；LMS-B直接采用瞬時誤差信號e(n)對步長進行更新，通常瞬時誤差信號也含有大量的噪聲，隨著步長在更新的過程中也不可避免的被干擾，且仍采用最原始的權值迭代公式，嚴重影響了收斂速度。在此算法中，為了防止計算過程震蕩，避免步長出現(xiàn)過大或者過小甚至是負值，需對變步長μ(n)限幅。即

(19)

式中μmin的選取一般滿足算法的最低水平跟蹤性能，通常為較小的正數(shù)；μmax的選取通常接近于算法收斂的臨界穩(wěn)定值。本文μmin取值為0.001，μmax取值為0.1。

此外，本文的改進變步長算法亦受δ,k和m等參數(shù)的影響；m為遺忘因子調節(jié)采樣頻率相關參數(shù)，用以控制過去的數(shù)據(jù)對現(xiàn)在狀態(tài)的影響。m越大，表示過去的數(shù)據(jù)遺忘度越大，那么越早的數(shù)據(jù)對現(xiàn)在的影響也就越??；反之,m越小，歷史數(shù)據(jù)遺忘度越小，則過去的數(shù)據(jù)對現(xiàn)在的影響越大。k為影響因子，加大誤差信號對期望信號的干擾，在算法迭代過程中使得p(n)增大，使算法提高了對突變系統(tǒng)的跟蹤性能，k的取值很??；通過嘗試不同的電流值、不同系數(shù)下對算法進行多次仿真，發(fā)現(xiàn)單獨的調節(jié)k和m的作用是等效的，δ參數(shù)對算法的收斂性與穩(wěn)態(tài)性均有較大的影響；為了同時兼顧收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差性能，在之后的仿真實驗中采取固定k和m，改變δ的值來調整檢測算法的性能，最終獲得參數(shù)的最優(yōu)值。在實際運用的過程中，還需要根據(jù)諧波源的類型來調節(jié)控制參數(shù)，不同的諧波源對應著不同的參數(shù)，相同類型的諧波源負載可以通用同一參數(shù)。

3 變步長算法仿真分析

利用MATLAB/Simulink軟件平臺建立仿真模型，對LMS-A,LMS-B及改進的新算法LMS-NEW進行對比分析。將三相不可控整流橋接阻感負載作為諧波源，設置仿真電路電網(wǎng)相電壓為220 V/50 Hz，R=20 Ω，L=20 mH，仿真時間為0.4 s，負載在0.2 s突變?yōu)镽=10 Ω，L=20 mH。其參數(shù)為：LMS-A算法中μ=0.003 2；LMS-B算法中α=1.2×10-5,ξ=0.998；LMS-NEW算法中?=2.4×10-6,δ=0.97,k=2×10-4,m=0.05；以A相電流為例，圖2為負載電流波形。

圖2 負載電流波形

由圖2可以看出,電流發(fā)生畸變，且負載電流中含有諧波和大量的噪聲。之后,將負載電流進行FFT分析，可以得到負載電流的總諧波失真(total harmonic distortion，THD)。如圖3所示負載在0～0.2 s的諧波含量THD=15.57 %，負載突變后0.2～0.4 s的諧波含量THD=9.55 %。

圖3 負載電流的FFT分析

權值系數(shù)最能反映系統(tǒng)收斂的性能好壞，如圖4所示。如圖4(a)所示LMS-A諧波檢測算法需要1個周期開始收斂；LMS-B諧波檢測算法的收斂速度最慢，將近需要1.5個周期才能開始收斂；然而，新算法僅僅只需要0.5個周期就可以完成收斂。從圖4(b)可以看出新算法不僅收斂速度快，而且收斂之后曲線波動最小，從而能說明穩(wěn)態(tài)誤差也是較小的。

圖4 權值系數(shù)收斂分布曲線

圖5為3種算法檢測到的基波電流波形對比，本文算法的跟蹤速度遠遠大于其他2種算法的跟蹤速度，跟蹤精度最慢的是LMS-B算法。

圖5 3種算法的基波電流波形

為了進一步分析穩(wěn)態(tài)誤差，使負載在0.2 s時發(fā)生突變來驗證新算法對時變系統(tǒng)的跟蹤能力，負載電流在0.2 s后幅值突增，負載電流中的基波電流成分以及諧波電流成分也均發(fā)生突變。如圖6所示，通過對LMS-A,LMS-B,LMS-NEW檢測到的基波電流在0.3～0.4 s時間段內5個周期的波形進行FFT分析。其中LMS-A，THD=1.52 %；LMS-B，THD=1.11 %；LMS-NEW，THD=0.38 %。LMS-A諧波檢測算法的收斂速度快于LMS-B，但其基波電流畸變率卻是最大的?？梢钥闯?LMS-NEW的THD遠遠小于其他算法，所以，LMS-NEW諧波檢測算法檢測出的基波電流更加接近工頻正弦波。

圖6 3種算法基波電流的FFT分析

從以上仿真實驗可以得出，在3種諧波檢測算法中，LMS-NEW變步長算法檢測出的基波有功電流的諧波畸變率低、穩(wěn)態(tài)誤差小、對系統(tǒng)負載發(fā)生突變時的跟蹤能力強；并且在擁有較小穩(wěn)態(tài)誤差的同時，收斂速度也是較快的。

4 結 論

仿真結果表明:在進行諧波檢測時本文算法能夠有效地隔離噪聲對步長影響，有著較好的跟蹤性能，僅需要0.5個周期就可以完成跟蹤到待檢測的波形，基波電流的諧波畸變率相較于其他2種傳統(tǒng)算法最低。且有著較小的計算量，在電力系統(tǒng)諧波檢測方面比傳統(tǒng)的檢測方法更好地提高了收斂速度和減小了穩(wěn)態(tài)誤差。