基于多混沌系統(tǒng)的圖像加密算法*

奚新寶， 謝淑翠， 張建中

(1.西安郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，陜西 西安 710121； 2.西安郵電大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710121；3.陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710061)

0 引 言

隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)、數(shù)字信息化技術(shù)的發(fā)展，數(shù)字圖像越來越成為多媒體信息交流的重要載體之一。由于網(wǎng)絡(luò)的信息共享性和開放性，圖像信息數(shù)據(jù)傳輸?shù)陌踩珕栴}日益嚴(yán)峻，使得研究高安全性和高效的圖像加密算法成為當(dāng)前研究的熱點(diǎn)問題。密碼學(xué)和混沌學(xué)[1]這兩門學(xué)科在結(jié)構(gòu)上存在著許多聯(lián)系和相似性，因此,啟發(fā)人們將混沌理論的研究應(yīng)用到密碼學(xué)領(lǐng)域。且混沌系統(tǒng)具有偽隨機(jī)性、不可預(yù)測性和初值敏感性[2]等特點(diǎn)，適用于圖像加密系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。

1998年，F(xiàn)ridrich J首次將混沌系統(tǒng)和數(shù)字圖像加密相結(jié)合[3]，在此之后各種基于混沌系統(tǒng)的圖像加密方案被陸續(xù)提了出來。文獻(xiàn)[4]設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)型Henon映射，更加適用于設(shè)計(jì)安全的密碼系統(tǒng)。Chai X L等人[5]設(shè)計(jì)了一種基于脫氧核糖核酸(DNA)操作的混沌圖像加密方法，加密效果良好。盡管多種加密方案層出不窮，但部分方案的加密算法存在安全性缺陷。文獻(xiàn)[6]設(shè)計(jì)了一種基于元胞自動機(jī)(cellular automata,CA)和Tent映射的圖像加密方案，但采用一維混沌系統(tǒng)，使得密鑰空間小，安全性不高。在文獻(xiàn)[7]設(shè)計(jì)了一種圖像加密算法，在像素?cái)U(kuò)散階段采用典型耦合映射格(CML)和信息熵來產(chǎn)生另一密鑰流，但密文圖像的部分信息容易暴露，從而算法安全性較低。

本文在置亂階段使用三維細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(cellular neural network,CNN)混沌系統(tǒng)生成的偽隨機(jī)序列與二維廣義Arnold映射對圖像完成2次置亂，同時將該映射產(chǎn)生的混沌序列用于像素值擴(kuò)散階段，采用加取模和循環(huán)移位來進(jìn)行像素值擴(kuò)散得到最終密文圖像。該算法克服了混沌系統(tǒng)結(jié)構(gòu)單一等問題，仿真結(jié)果和安全性分析表明該算法是安全可行的。

收稿日期：2020—09—29

1 混沌系統(tǒng)

1.1 二維廣義Arnold映射

本文利用推廣后的二維廣義Arnold映射[8]，方程如下

(1)

式中 (x,y)和(x′y′)分別為經(jīng)過Arnold變換前后的圖像像素位置，參數(shù)a,b均為正整數(shù)，n為變換次數(shù)，N為圖像矩陣的階數(shù)。

1.2 分段線性混沌映射

引入分段線性混沌映射(piece wise linear chaotic map,PWLCM)生成二維廣義Arnold映射的控制參數(shù)，每循環(huán)一次Arnold映射的控制參數(shù)都不同,從而達(dá)到動態(tài)產(chǎn)生密鑰的效果。分段線性混沌映射表示為

(2)

式中x,c分別為該混沌映射的系統(tǒng)狀態(tài)變量和控制參數(shù)，當(dāng)控制參數(shù)c∈(0,0.5),x∈(0,1)時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

1.3 三維CNN混沌系統(tǒng)

Chua L O在1988年第一次提出了CNN的概念，CNN是一種通過于局部細(xì)胞互連構(gòu)造而成的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)[9]。三維CNN系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

j=1,2,3

(3)

式中j為細(xì)胞,xj為細(xì)胞狀態(tài),Ajk為反饋模板,Sjk為控制模板,Ij為閾值,f(xj)為輸出，其表達(dá)式如下

(4)

實(shí)驗(yàn)證明，當(dāng)三維CNN系統(tǒng)中的參數(shù)取值如式(5)時，三維CNN系統(tǒng)可產(chǎn)生混沌現(xiàn)象

aj=0

(5)

將以上參數(shù)代入式(3)后即可以得到三維CNN混沌系統(tǒng)的動力學(xué)方程如下

(6)

2 加密算法

本文的加密算法主要由置亂和擴(kuò)散兩個階段構(gòu)成，明文圖像記為PM×N,M,N分別為圖像的高和寬。

2.1 像素置亂階段

步驟1 利用SHA—256函數(shù)計(jì)算明文圖像的256 bit哈希值作為密鑰，記作K，K=[k1,k2,…,k32]。其中，ki={ki1,ki2,…,ki8},i=1,2,…，32。

利用明文圖像計(jì)算輔助參數(shù)d，公式如下

d=mod(floor(sum/(MN)×256)×1012,32)+1

(7)

步驟2 將明文圖像PM×N按行或列展開成一維向量，記為A。利用步驟1產(chǎn)生三維CNN混沌系統(tǒng)的初始值，然后對三維CNN混沌系統(tǒng)迭代產(chǎn)生長度分別為MN/3的混沌序列x1(i),x2(i),x3(i)，其中,ceil為向上取整函數(shù)，由于混沌序列的值域范圍較大，不利于數(shù)據(jù)批處理，因此，需對其進(jìn)行優(yōu)化預(yù)處理，預(yù)處理過程如下

x1(i)=1014x1(i)-floor(1014x1(i))

(8)

式中 floor為取整函數(shù)，另外2個序列的預(yù)處理運(yùn)算過程同式(8)。所得混沌序列記s={x1(i),x2(i),x3(i)}，由s生成偽隨機(jī)序列X，序列X中第j個數(shù)表示如下

Xj=mod(floor((sj+100)×1010)，M×N)+1，

j=1，2，…,M×N

(9)

步驟3 將序列X中重復(fù)出現(xiàn)的偽隨機(jī)數(shù)只保留一個，將集合{1，2，…,MN}中沒有出現(xiàn)在序列X中的數(shù)值按由小到大順序添加到序列X的末尾。最后將A(Xj)與A(XMN-j+1)交換位置，即完成無重復(fù)置亂，得到的中間密文圖像記為B，B=reshape(A,M,N)。

步驟4 輸入PWLCM的系統(tǒng)狀態(tài)初始值x0與控制參數(shù)c，將該映射迭代2 000次生成混沌序列F，并通過式(10)、式(11)產(chǎn)生廣義Arnold映射加密所需的控制參數(shù)

h=fix(F(k)×10p)-fix(F(k)×10q)×10p-q

(10)

u=(h×105)mod 256，v=(h×106)mod 256

(11)

式中p,q為正整數(shù)；fix為朝0方向取整，k為小于2 000的正整數(shù)。對圖像B借助二維廣義Arnold映射進(jìn)行置亂，將步驟重復(fù)R輪得到2次置亂后的中間密文圖像，記為H。

2.2 像素?cái)U(kuò)散階段

步驟1 利用置亂階段步驟2得到的混沌序列s生成偽隨機(jī)序列S，公式如下

S=mod(floor(s×pow2(16)),256)

(12)

步驟2 用H和G分別為基于加取模擴(kuò)散前后的圖像，在加取模運(yùn)算過程中，需要將明文任意像素點(diǎn)信息擴(kuò)散到密文的整個圖像之中，正向的算法如下

Gi=(Gi-1+Si+Hi)mod 256

(13)

其中,G0=0，逆向的算法如下

Gi=(Gi+1+Si+Hi)mod 256

(14)

在基于加取模擴(kuò)散算法的基礎(chǔ)上添加循環(huán)移位操作，具體公式如下

Gimod 256<<

(15)

式中 LSB3為取數(shù)據(jù)的最低3位，即如果是l位的灰度圖像，則應(yīng)取數(shù)據(jù)的最低log2l位或者任意的log2l位。最后，將一維向量還原成二維圖像即得到最終密文圖像，記為C。

3 解密算法

先對密文圖像的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行循環(huán)右移操作。分別對加取模擴(kuò)散運(yùn)算的逆向算法進(jìn)行正向操作和對正向算法進(jìn)行逆向操作，最后對Arnold變換做逆變換，再進(jìn)行無重復(fù)置亂的逆運(yùn)算，得到明文圖像。

4 仿真結(jié)果

仿真實(shí)驗(yàn)使用的測試圖像是大小為512×512的Lena圖像，PWLCM的控制參數(shù)c=0.2，狀態(tài)變量初值x0=0.5，二維廣義Arnold映射的控制參數(shù)n=160，循環(huán)輪數(shù)R=3。使用MATLAB 2014b版本平臺下進(jìn)行加解密實(shí)驗(yàn)。仿真結(jié)果如圖1所示，可見本文算法具有很好的加解密效果。

圖1 仿真結(jié)果

5 安全性分析

5.1 密鑰空間

文獻(xiàn)[10]指出一個安全有效的加密算法的密鑰空間大小應(yīng)該至少為2100，本文算法的密鑰由明文圖像256 bit哈希值K，PWLCM的初始狀態(tài)值x0和控制參數(shù)c，Arnold變換次數(shù)n和循環(huán)輪數(shù)R以及明文像素值之和sum組成。采用精確到小數(shù)點(diǎn)后16位的雙精度表示，密鑰空間大小為2256×(1016)4×sum≈2469?2100，說明加密算法的密鑰空間可以抵抗窮舉攻擊。

5.2 灰度直方圖

圖2給出了Lena圖像與其密文圖像的直方圖，可見明文圖像的直方圖分布是呈高低不均狀態(tài)，而密文圖像的直方圖分布相對更加均勻。即本文算法加密后所得的密文圖像的像素值是滿足均勻分布的。

圖2 明密文圖像的直方圖

5.3 相鄰像素相關(guān)性

相鄰像素相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式如下

(16)

(17)

(18)

式中x,y為相鄰兩個像素的灰度值，E(x),E(y)分別為x,y的期望，rxy為相關(guān)系數(shù)，N為相鄰像素對的數(shù)目。圖3給出了Lena明文圖像與其密文圖像的相鄰像素在水平方向相關(guān)分布情況，表1給出了本文算法相關(guān)系數(shù)的計(jì)算結(jié)果。

圖3 明密文的相鄰像素在水平方向的分布情況

表1 相鄰像素的相關(guān)系數(shù)

由表1可見，本文算法得到的密文圖像的相關(guān)系數(shù)幾乎接近于0，明文圖像的相關(guān)系數(shù)接近于1。相比于文獻(xiàn)[11～13]，本文算法得到的密文圖像相關(guān)系數(shù)較小，說明密文圖像在各個方向上幾乎不具有相關(guān)性。

5.4 抗差分攻擊分析

一般使用像素?cái)?shù)變化率(number of pixels change rate,NPCR)以及統(tǒng)一平均變化強(qiáng)度(unified average changing intensity,UACI)兩項(xiàng)指標(biāo)來衡量加密系統(tǒng)的抗差分攻擊能力[14]。NPCR和UACI定義如下

(19)

(20)

式中C1(i,j)≠C2(i,j)時，D(i,j)為1；C1(i,j)=C2(i,j)時，D(i,j)為0。,M,N分別為圖像像素的行數(shù)和列數(shù)，C1(i,j)，C2(i,j)分別為兩幅灰度圖像。表2給出了本文算法對100組Lena原始密文圖像和隨機(jī)微小改變明文后加密得到的密文圖像之間的最大、最小和平均NPCR和UACI值。

表2 明文敏感性測試結(jié)果

由表2可見，本文算法計(jì)算得到的NPCR和UACI的平均值非常接近于理想值，相比于文獻(xiàn)[13,15]，本文提出的算法對明文的微小改變的敏感性較強(qiáng)，所以,本文算法更能有效地抵抗差分攻擊。

5.5 密鑰敏感性

密鑰敏感性[16]是指在加解密過程中，當(dāng)密鑰發(fā)生微小變化時，加解密圖像會發(fā)生很大變化。選取一組密鑰{c,x0,K}，3個微小改變后的密鑰:KEY1={c+10-14,x0,K},KEY2={c,x0+10-14,K},KEY3={c,x0,Km}。其中，密鑰c，x0微小改變的量為10-14，K的微小改變量為1 bit的哈希值，記為Km，利用微小改變后的密鑰分別加密Lena圖像并解密其密文圖像，計(jì)算得到的NPCR，UACI值如表3所示，可見計(jì)算得到的NPCR和UACI值接近于理想值。因此，本文算法的密鑰敏感性較強(qiáng)。

表3 密鑰敏感性測試結(jié)果 %

5.6 信息熵分析

信息熵計(jì)算公式如下

(21)

式中L圖像的灰度等級，p(i)為灰度值i出現(xiàn)的概率，對于L=256的灰度圖像，其信息熵的理想值為8。表4給出了信息熵的測試結(jié)果，和文獻(xiàn)[13,17]相比，本文算法的密文圖像的信息熵更接近理論值8。所以，本文算法加密得到的密文圖像可以有效地抵抗統(tǒng)計(jì)分析攻擊。

表4 信息熵測試結(jié)果

6 結(jié)束語

本文提出了一種基于多混沌系統(tǒng)的圖像加密算法，首先利用三維CNN混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列用于對明文圖像進(jìn)行無重復(fù)置亂，并對置亂后的圖像進(jìn)行Arnold變換完成2次置亂，之后在像素?cái)U(kuò)散階段，使用三維CNN混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列作為會話密鑰與置亂后的圖像,采用加取模和循環(huán)移位來進(jìn)行像素值的擴(kuò)散。仿真結(jié)果和安全性分析表明:本文提出的加密算法密鑰空間大，密文圖像直方圖分布均勻，相鄰像素相關(guān)性小，密鑰敏感性高，抗差分攻擊能力強(qiáng)。因此，本文提出的算法具有較高的安全性，并在保密通信應(yīng)用中具有較大的實(shí)用價值。