基于格拉布斯準(zhǔn)則的膛壓測(cè)試儀校準(zhǔn)數(shù)據(jù)擬合方法*

郝旭娥， 沈大偉， 張艷兵， 黃福峰

(1.中北大學(xué) 電子測(cè)試技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西 太原 030051； 2.遼沈工業(yè)集團(tuán)有限公司,遼寧 沈陽 110045)

0 引 言

火炮膛壓測(cè)試對(duì)檢驗(yàn)火炮性能十分重要[1]。用靜態(tài)標(biāo)定的測(cè)壓器由于高溫高壓等環(huán)境力的作用存在實(shí)測(cè)不準(zhǔn)或測(cè)試精度不高等問題，于是采用環(huán)境因子的準(zhǔn)靜態(tài)校準(zhǔn)方法，對(duì)膛壓測(cè)試儀實(shí)施校準(zhǔn)[2，3]，并對(duì)校準(zhǔn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合來獲得靈敏度系數(shù)。靈敏度系數(shù)是通過對(duì)校準(zhǔn)的數(shù)據(jù)擬合而來，所以選取數(shù)據(jù)擬合的方法至關(guān)重要。文獻(xiàn)[4]將校準(zhǔn)數(shù)據(jù)用最小二乘(least square,LS)法擬合，但是其描述的系數(shù)矩陣是固定的，沒有考慮隨機(jī)誤差；文獻(xiàn)[5]將LS法與整體最小二乘(total LS,TLS)法擬合對(duì)比，并通過實(shí)驗(yàn)證明TLS法的擬合精度更高，但是沒有考慮粗差的影響；在實(shí)際試驗(yàn)中，人為、儀器以及環(huán)境的影響，不可避免的系數(shù)矩陣也含有誤差，甚至有一定量的粗差，為解決這些不足，本文提出了在TLS法的基礎(chǔ)上采用格拉布斯準(zhǔn)則的算法。

1 模擬膛壓校準(zhǔn)系統(tǒng)

1.1 校準(zhǔn)系統(tǒng)的組成和原理

校準(zhǔn)系統(tǒng)主要包含模擬膛壓發(fā)生器、標(biāo)準(zhǔn)測(cè)壓系統(tǒng)和高低溫試驗(yàn)箱三大部分[6]，其示意圖如圖1所示。校準(zhǔn)時(shí)先將測(cè)壓器放進(jìn)模擬膛壓發(fā)生器內(nèi)，接著經(jīng)點(diǎn)火裝置點(diǎn)燃發(fā)射藥[7]，在模擬膛壓發(fā)生器的腔體內(nèi)產(chǎn)生與火炮膛內(nèi)相似的高溫、高壓環(huán)境，產(chǎn)生的壓力共同作用在標(biāo)準(zhǔn)壓力傳感器和被校準(zhǔn)的測(cè)壓器上，然后二者同時(shí)采集信號(hào)，待信號(hào)記錄完畢，在計(jì)算機(jī)上讀出測(cè)壓器數(shù)據(jù)[8]。把多次校準(zhǔn)的測(cè)壓器數(shù)據(jù)和標(biāo)準(zhǔn)測(cè)壓系統(tǒng)的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，獲得被校準(zhǔn)測(cè)壓器的工作直線方程。

圖1 火炮膛壓測(cè)試模擬環(huán)境因子的校準(zhǔn)系統(tǒng)組成示意

1.2 基于上升沿校準(zhǔn)數(shù)據(jù)的線性擬合

膛壓測(cè)試儀基于壓力曲線上升沿的校準(zhǔn)過程是：選擇測(cè)壓器滿量程的95 %～100 %的壓力值作為校準(zhǔn)點(diǎn)，分別在低溫(-40 ℃)、常溫和高溫(55 ℃)下各獲得10組有效數(shù)據(jù)[9]。在同一直角坐標(biāo)系下，以標(biāo)準(zhǔn)測(cè)壓系統(tǒng)的平均壓力曲線為基準(zhǔn)，逐點(diǎn)平移測(cè)壓器曲線，當(dāng)二者具有最大的相關(guān)系數(shù)時(shí)，在曲線峰值壓力30 %～80 %壓力范圍內(nèi)，對(duì)應(yīng)取n對(duì)數(shù)據(jù)(y1,x1)，(y2,x2)，…，(yn,xn)[10]。在某溫度環(huán)境下重復(fù)10次校準(zhǔn)試驗(yàn)，把從10組壓力曲線中得到的所有的數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行線性擬合，從而獲得測(cè)壓器在該溫度下的工作直線方程[11,12]

y=ax+b

(1)

式中y為該測(cè)壓器某溫度下某數(shù)據(jù)點(diǎn)的壓力，MPa；a為該工作方程的靈敏度系數(shù)，MPa/bit;b為該工作方程的截距，MPa;x為某數(shù)據(jù)點(diǎn)的bit值。

2 本文算法

2.1 TLS法原理

TLS法考慮到數(shù)據(jù)在x，y兩個(gè)方向的觀測(cè)誤差，其誤差方程可寫為[13～15]

yi+vyi=a(xi+vxi)+b

(2)

其約束準(zhǔn)則為

(3)

利用拉格朗日乘數(shù)法進(jìn)行解算，則構(gòu)成的目標(biāo)函數(shù)為

2∑λi(yi+vyi-a(xi+vxi)-b)

(4)

式中λ為拉格朗日乘積因子，對(duì)式(4)中的各待估計(jì)量求偏導(dǎo)得

(5)

式中 帶小冒的量表示估計(jì)量。綜合式(5)可以得到

(6)

由式(6)可得參數(shù)b的估計(jì)公式為

(7)

(8)

式(8)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

(9)

整理式(9)，可以得到

(10)

單位權(quán)方差的計(jì)算公式為

(11)

2.2 格拉布斯準(zhǔn)則

對(duì)一組服從正態(tài)分布的數(shù)據(jù)x1,x2,x3,…,xn按大小順序排成順序統(tǒng)計(jì)量x(i)，然后利用式(12)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差δ，利用式(13)計(jì)算g1和gn的格拉布斯值[16,17]

(12)

(13)

2.3 基于格拉布斯準(zhǔn)則的TLS法

格拉布斯準(zhǔn)則是對(duì)一組一維數(shù)據(jù)進(jìn)行異常值判定，但本文的背景是一元線性擬合，是一組二維數(shù)據(jù)，所以本文先將數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，再利用準(zhǔn)則，其算法步驟如下：

1)利用TLS法擬合出待估參數(shù)a,b的值。

2)計(jì)算每個(gè)校準(zhǔn)點(diǎn)到擬合工作直線的距離di

(14)

3)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差δ

(15)

4)將服從正態(tài)分布的di的數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，并利用公式Gi=(di-)/δ計(jì)算G1和Gn。

5)查表獲取臨界值Gp(n)，一般取置信概率P=0.95，若G1≥Gn,且G1>Gp(n)，則d1為異常點(diǎn)，剔除；Gn≥G1,且Gn>Gp(n)，則dn為異常點(diǎn)，剔除；G1

6)利用TLS法計(jì)算待估參數(shù)的值。

3 校準(zhǔn)數(shù)據(jù)與擬合結(jié)果分析

3.1 觀測(cè)數(shù)據(jù)僅含隨機(jī)誤差

以1#測(cè)壓器在低溫條件下10組壓力上升沿曲線中的數(shù)據(jù)(僅含隨機(jī)誤差)為樣本進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，數(shù)據(jù)如表1所示，其殘差圖如圖2所示。

表1 1#測(cè)壓器校準(zhǔn)數(shù)據(jù)

圖2 1#測(cè)壓器校準(zhǔn)數(shù)據(jù)殘差

分別采用LS法、TLS法和本文提出的算法三種方法對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，其擬合結(jié)果如表2所示。

表2 1#測(cè)壓器擬合結(jié)果

從表2可以看出,TLS法和本文算法的結(jié)果完全一樣，且單位權(quán)重誤差比LS法的小，這是因?yàn)楫?dāng)觀測(cè)數(shù)據(jù)僅存在隨機(jī)誤差時(shí)，采用格拉布斯準(zhǔn)則對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，沒有異常值，所以擬合方法和TLS法一樣；基于Gauss-Markov模型的LS法僅對(duì)于觀測(cè)向量進(jìn)行約束，要求觀測(cè)值殘差平方和最小，而基于EIV模型的TLS法對(duì)誤差中所有受誤差干擾的隨機(jī)變量進(jìn)行約束，所以精度比LS法的高。

3.2 觀測(cè)數(shù)據(jù)包含隨機(jī)誤差和粗差

對(duì)2#測(cè)壓器在低溫條件下進(jìn)行校準(zhǔn)，其校準(zhǔn)數(shù)據(jù)(有粗差)如表3所示,其殘差圖如圖3所示,分別用三種方法擬合的結(jié)果如表4所示。

表3 2#測(cè)壓器校準(zhǔn)數(shù)據(jù)

圖3 2#測(cè)壓器校準(zhǔn)數(shù)據(jù)殘差

表4 2#測(cè)壓器擬合結(jié)果

從表4可以看出,本文算法的擬合精度最高，單位權(quán)重誤差最小。這是因?yàn)楫?dāng)觀測(cè)數(shù)據(jù)不僅存在偶然誤差，也有粗差時(shí)，LS的平方差不能有效區(qū)別偶然誤差和粗差，對(duì)誤差的分配具有公平性，其平方差結(jié)果將嚴(yán)重受到粗差的干擾；而本文算法在TLS法改正系數(shù)陣的基礎(chǔ)上，利用準(zhǔn)則還可以將有粗差的數(shù)據(jù)剔除掉，從而在一定程度上減弱了誤差的影響，提高了擬合精度，獲得了較好的擬合參數(shù)。

3.3 多組傳感器的校準(zhǔn)數(shù)據(jù)擬合

分別對(duì)4只傳感器的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，來證實(shí)這一結(jié)論，其擬合結(jié)果如表5所示。

表5 三種方法擬合結(jié)果

表5中3#和5#的校準(zhǔn)數(shù)據(jù)僅含偶然誤差，4#和6#兩組在偶然誤差的基礎(chǔ)上還有粗差，由表5可知,不管觀測(cè)數(shù)據(jù)有沒有粗差，本文提出的算法擬合精度最高，證實(shí)了該算法的可靠性。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)膛壓測(cè)試儀模擬應(yīng)用環(huán)境下的準(zhǔn)靜態(tài)校準(zhǔn)數(shù)據(jù)存在偶然誤差，甚至有異常數(shù)據(jù)的問題，提出了將Grubbs準(zhǔn)則和TLS法相結(jié)合的算法，試驗(yàn)結(jié)果表明:該算法提高了擬合數(shù)據(jù)的精度，獲得了較好的靈敏度系數(shù)，而且算法簡(jiǎn)單實(shí)用，很適合在膛壓測(cè)試儀校準(zhǔn)過程環(huán)境中使用。但本文提出的算法每次只能對(duì)一個(gè)粗差數(shù)據(jù)進(jìn)行剔除，如何一次性篩選出所有異常值有待進(jìn)一步研究。