基于前測 由表及里 深刻感悟
——“方程的意義”本質探析與教學路徑思考

浙江寧波市奉化區(qū)居敬小學（315500）王培幼

浙江寧波市奉化區(qū)西塢街道中心小學（315500）丁玉成

方程是一種認識與思維方式的巨大轉變——學生首次由算術思維轉向代數(shù)思維。但方程教學往往只注重描述性定義的理解，即只抓住“有未知數(shù)”“是等式”兩個特征來引導學生認識方程，沒有深入挖掘方程的本質，導致教學效果不理想。因此，在教學之前，教師需要重視以下兩個核心問題。

問題一：方程教學如何從“表象”走向“內涵”？

概念描述與真正理解運用之間的距離到底有多遠？作為教師，如何幫助學生跨越這個距離，從而幫助學生實現(xiàn)對方程意義的真正建構？如何將教學的重心由對方程概念的“靜態(tài)”定義，轉向讓學生主動地“動態(tài)”建構對方程的認識？

首先要對方程的內涵做深入挖掘；其次，思考怎樣的素材能更好地建構方程的意義；再次，根據(jù)方程的內涵設計合理的活動幫助學生理解；最后，讓方程的內涵和表象完美統(tǒng)一，完成教學。

問題二：如何在多種等量關系中突出順向思維的優(yōu)勢？

對于“8-5=x”“x=3”是不是方程，從定義上看這兩個式子是“等式”又有“未知數(shù)”，所以是方程，但從方程內涵來看它們已經(jīng)失去了方程的意義，所以教師在列方程時都不會選擇這種類型。

對于“5+x=8”和“8-x=5”哪個好的問題，很多教師會說兩種都可以，但用方程解答的優(yōu)勢在于用順向思維來解決問題，倒推式的逆向思維與算術思維并無區(qū)別，應該優(yōu)化。怎樣在多種等量關系中突出順向思維的優(yōu)勢？這值得思考。

一、基于方程本質的前測題及結果分析

1.前測題

第一組：用一個式子表示圖1中天平的平衡情況。

圖1

【設計意圖：凸顯左右相等才能列出等式，對學生能否用等式來表示天平的平衡情況進行摸底。】

第二組：圖2中的兩個天平都是平衡的，請你從數(shù)學的角度把圖的意思表示出來。

圖2

【設計意圖：平衡的天平的等量關系比較明顯，學生可能會以文字形式表述。不管是文字還是方程，都說明學生有等量關系的意識。本題還考查學生是否有將未知量設為未知數(shù)并作為已知信息參與列式的意識?！?/p>

第三組：你能找到下面兩題的等量關系嗎？用一個式子表示出來。

圖3

【設計意圖：這兩道題有比較復雜的數(shù)量關系，為的是凸顯順向思維的優(yōu)勢。】

2.前測結果分析

通過分析前測結果，可以確定學生的起點：（1）對于等式的認識不存在困難，對不等式感覺陌生；（2）思維停留在算術層面，本單元前半部分的“用字母表示數(shù)”沒能很好地幫助學生積累代數(shù)思維的經(jīng)驗；（3）對等量關系的認識模糊，提取有困難；（4）對方程的優(yōu)越性沒有任何體驗。

二、基于前測的教學路徑設定與實施

學生往往能依據(jù)方程的兩要素——“是等式”和“有未知數(shù)”從一組式子中識別出方程，但看圖列方程卻存在困難。這是由于教材編排的“方程的意義”“等式的性質”等練習中出現(xiàn)過很多看圖列方程的題，這些題的要求都是“請你用方程表示下面的數(shù)量關系”或“根據(jù)題中的數(shù)量關系列出方程，并求出方程的解”。

“數(shù)量關系”和“等量關系”是有區(qū)別的，但教材對列方程的要求并沒有以“等量關系”的字眼出現(xiàn)。教材第一次真正出現(xiàn)等量關系的式子是在“實際問題與方程”的例1中，但為時已晚。

根據(jù)對教材的分析與方程的教學現(xiàn)狀，筆者將以“整體教學”的思想為指導，以“尋找等量關系”為抓手，突破方程意義教學的難點。

【教學片段1】平衡中初識等量關系，認識等式和不等式

師（出示前測題第一組）：兩個天平的平衡情況是怎樣的？可以用怎樣的式子把天平的平衡情況表示出來？對于第（1）題，大家為什么用50+50=100這個式子來表示？

生1：因為天平是平衡的，所以左右兩邊的質量相等，一個50克的蘋果加上一個50克砝碼等于一個100克的砝碼質量，所以我用50+50=100這個式子來表示。

師：是的，天平是平衡的，說明天平的左右兩邊質量相等，我們就說左邊的質量等于右邊的質量，它們之間存在著相等的關系。這樣的相等關系在數(shù)學中就是等量關系，表示這種等量關系的算式“50+50=100”叫作等式。

師：第（2）題的天平的左右兩邊存在等量關系嗎？

生2：不存在的，因為天平是傾斜的。

師：還能用等式來表示天平的情況嗎？

生3：不能用“=”，要用“＞”，x+50＞100。

師：左邊比右邊重，就用x+50＞100這個不等式來表示。這里為什么有個x？

生4：因為這個箱子上就寫著“xg”。

生5：箱子重量不知道，所以用“x”來表示。

前測結果顯示，學生對于等式和不等式的認識不存在困難，這個環(huán)節(jié)的教學目的在于通過引出等式和不等式，讓學生初步知道左右兩邊相等時就存在等量關系。

【教學片段2】天平中提取等量關系，觸摸方程“外衣”

師（出示前測題第二組）：這兩幅圖中平衡的天平都存在著什么關系？

生1：等量關系。

出示學生前測作業(yè)：

師：你能看懂這兩個算式嗎？

生2：他是把不知道的看作x，用算式來記錄左邊和右邊相等。

師：誰能具體說說這兩個等式的意思？（學生答略）

出示用算術方法解答的學生前測作業(yè)：

師：這兩個算式是什么意思？

生3：這是把母雞的重量和箱子的重量求出來了。

師：請比較這兩個算式與剛才表示等量關系的式子有什么相同點和不同點。說說這四個等式都是怎么寫出來的。

生4：圖4是把天平的左邊和右邊抄下來，圖5是先算出右邊的總數(shù)，再算出左邊的其中一個。

圖4

圖5

師：圖4就是今天要學習的方程。如果今天有位同學因為有事沒來上學，你打算怎樣向他介紹方程？

師：對，含有未知數(shù)的等式叫作方程，方程可以像故事發(fā)展順序那樣用等式把事情表達出來，不知道的數(shù)據(jù)就用字母表示。

這個環(huán)節(jié)的定位是通過天平上顯而易見的等量關系來幫助學生初步認識方程。借助前測中學生的作業(yè)，讓學生進一步學會如何提取等量關系，并在方程與算術方法的對比中，發(fā)現(xiàn)相同點與不同點，為學習方程的定義做好準備。在教師有針對性的追問下，方程神秘的面紗被一層層揭開，學生在你一言我一語中基本能把方程的特征說完整。

【教學片段3】對比中優(yōu)化等量關系，感受方程內涵

師（出示圖6-1、6-2、6-3）：這三幅圖中沒有天平了，你能把“心中的天平”拿出來嗎？獨立想一想，再跟同桌說一說。（學生活動）

圖6-1

圖6-2

圖6-3

師：誰能用手勢表示天平，并把圖上的物體放在天平上？（學生答略）

師：能用方程表示這三幅圖嗎？（學生寫方程）

師：對于圖6-1，有三種不同的列法，分別是325+x=1280、1280-x=325、1280-325=x，請大家對比哪種好。（學生答略）

師：心中的天平建好后，只要把天平上的重量按左右相等寫下來是最方便的方法。那么再來看看1280-325=x，為什么沒有人說這個好？

生1：這個不是照天平抄下來的，而且這個算式能直接算出結果，用x沒有什么用。

師：這個等式從特征上看也是個方程，但像剛才這位同學說的，x沒什么用處，不用也能算出來，這樣列式就沒有意義了。因此我們要讓x去參與運算，方程才會有意義。

表面上看，這個環(huán)節(jié)是脫離天平找等量關系，但事實上是教師讓學生搬出“心中的天平”的形式來尋找等量關系，這個階段的“天平”是起到“扶”的作用。方程的優(yōu)勢在于順向思考問題，可以避開用算術方法的逆向思維，直擊方程的本質。在六年級用方程解決分數(shù)應用問題時，對于“求單位‘1’是多少”的題目，就經(jīng)常有學生寫出諸如“120÷x=1/2”的方程，顯然這不是最優(yōu)方程。對于“1280-325=x”是不是方程的疑問，筆者認為是學生對方程本質理解欠缺造成的。為此安排一個對比環(huán)節(jié)，促使學生在初步認識方程的基礎上對方程的內涵有進一步的感受。

【教學片段4】體會算術思維向代數(shù)思維的過渡，突出方程的優(yōu)越性

師（出示前測題第三組）：這兩道題中沒有了天平，你能找到等量關系嗎？也可以試著放到“心中的天平”上。

生1：茶壺的2000毫升水-1杯200毫升的水=2個熱水瓶的水。

生2：如果把它們放到“心中的天平”上，應該是1杯200毫升的水+2個熱水瓶的水=茶壺的2000毫升水。

師：兩位同學從不同角度找到了等量關系，第一位同學是按照事情發(fā)展順序來找等量關系的，第二位同學是根據(jù)心中的天平來列的，兩種等量關系都可以。第（2）題能找到等量關系嗎？

生3：一個數(shù)×5+3=378。

師：請大家用方程表示。

師（出示圖7）：課前有同學是這么做的。請大家對比一下這與剛剛列出的方程有什么不同？

圖7

生4：列方程時想法比較簡單，只要想好了等量關系，可以照抄。寫這兩道算式要難一些。

師：難在哪里？

生4：378-3算出了什么還需要想一想。

師（出示圖8）：這位同學做得對嗎？

圖8

生5：不對，一個數(shù)的5倍加上3得到378，應該是378先減去3才能得到一個數(shù)的5倍，再除以5才能算出這個數(shù)。

師：你的思路很清晰，但為什么不能先除以5呢？可以試著畫一幅線段圖來幫助理解（線段圖略）。方程確實比以前列算式的方法要簡單，題目怎么描述，等量關系就是怎樣的，不用顛來倒去的。方程還是有很大的優(yōu)勢呢。

前測題第三組比較復雜，目的是讓學生初步體會方程的優(yōu)越性，但是在前測中大部分的學生用算術方法解答，只有3位學生用了方程。這說明學生的算術思維需要教師的引領才能向代數(shù)思維過渡。教師在教學中先基于學生在前面幾個環(huán)節(jié)積累的找等量關系的經(jīng)驗，讓學生找到等量關系并列方程，在學生正確列出方程后，再出示算術方法引導學生對比，特別抓住錯解來凸顯方程的優(yōu)勢。這樣一來，學生在學習方程的第一課就對方程有比較深刻的印象，為列方程解決問題打下基礎。

綜上，整節(jié)課以“尋找等量關系”為抓手，幫助學生切實理解方程的本質含義，讓學生建立“方程就是照等量關系寫出來”的意識，從而順利過渡到用方程解決問題，切實感受方程的優(yōu)越性。