借力數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 培育幾何素養(yǎng)

陳銀 姚俊俊

【摘 要】作為數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，幾何課程越來(lái)越受到大家的關(guān)注，學(xué)生的幾何素養(yǎng)也逐漸進(jìn)入公眾視野。本文從借力數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)入手，在單一結(jié)構(gòu)中豐富幾何概念，在關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)中理清幾何關(guān)系，在拓展結(jié)構(gòu)中應(yīng)用幾何模型，切實(shí)培育學(xué)生的幾何素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 幾何素養(yǎng)

“圖形與幾何”作為數(shù)學(xué)課程四大領(lǐng)域之一，占比僅次于“數(shù)與代數(shù)”。由于幾何內(nèi)容的高度抽象性，以及幾何學(xué)習(xí)缺少幾何實(shí)驗(yàn)、想象、推理與建模等諸多原因，使得幾何內(nèi)容成為數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)之一，學(xué)生幾何素養(yǎng)的培養(yǎng)堪憂。這里所說(shuō)的幾何素養(yǎng)是指面對(duì)不同形式的幾何對(duì)象，嘗試選擇合適的幾何知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題中所表現(xiàn)出的一種幾何綜合性的能力。如何讓學(xué)生的幾何素養(yǎng)豐厚起來(lái)？我們倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課能較好地促進(jìn)學(xué)生幾何素養(yǎng)的提升嗎？由于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)注重幾何操作、想象、實(shí)踐等直觀動(dòng)態(tài)活動(dòng)，能有效促進(jìn)學(xué)生對(duì)幾何概念、幾何關(guān)系、幾何模型等豐富表象的動(dòng)態(tài)認(rèn)知，獲得空間觀念，進(jìn)而讓學(xué)生的幾何素養(yǎng)豐厚起來(lái)。

一、借力數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，豐富幾何概念

小學(xué)是幾何學(xué)習(xí)的起步階段，由于幾何的概念比較抽象，因此，小學(xué)階段教師應(yīng)盡量幫助學(xué)生理解每一個(gè)幾何概念的內(nèi)涵，學(xué)生有了正確的概念才會(huì)有正確的數(shù)學(xué)思維。教師可以用多樣化的方法解釋原理，幫助學(xué)生理解、鞏固幾何概念，充分明白每個(gè)實(shí)驗(yàn)的目的。

例如，在教學(xué)“認(rèn)識(shí)四連方”時(shí)，學(xué)生除了要掌握5種基本形式，在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課中，教師還要關(guān)注學(xué)生靈活進(jìn)行拼組，體驗(yàn)圖形的運(yùn)動(dòng)變換，進(jìn)一步發(fā)展有序思考的能力。將“L”型放進(jìn)九宮格中，共有多少種不同的擺放方法？將所有的擺放方法羅列出來(lái)需要學(xué)生觀察五連方“L”型的幾何特征，有一個(gè)小正方形比較突出，將“L”型拆分成3+1的圖形。多次實(shí)驗(yàn)后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以采用拆分—定位—組合的方式，先確定突出的1個(gè)正方形的位置，再把3個(gè)正方形進(jìn)行組合。其中，在確定突出的1個(gè)正方形的位置時(shí)，方法也是多樣的，可以直接進(jìn)行翻轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)、平移，也可以跟九宮格中的數(shù)字進(jìn)行結(jié)合，突出的1個(gè)正方形放在九宮格中數(shù)字1的位置有2種方法，數(shù)字2兩種方法，以此類推，發(fā)現(xiàn)每個(gè)數(shù)字都有兩種放法，但是數(shù)字5無(wú)法擺放，因此也可以用算式2×9-2=16（種）來(lái)解決（見(jiàn)圖1）。

四連方的實(shí)驗(yàn)原理就是找準(zhǔn)四連方的幾何概念，通過(guò)開(kāi)展系列活動(dòng)，進(jìn)行分類整理，學(xué)生有了初步感知，了解每個(gè)實(shí)驗(yàn)背后的深層原理，掌握幾何特征，從而學(xué)會(huì)辨析問(wèn)題的實(shí)質(zhì)原因。蔡金法教授發(fā)現(xiàn)學(xué)生的操作性實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)要比數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)符號(hào)等抽象思維經(jīng)驗(yàn)更直觀，而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)鼓勵(lì)學(xué)生大膽提出猜想與實(shí)踐，有利于將抽象的幾何知識(shí)具體化。教師可以利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象看到問(wèn)題的本質(zhì)，知道幾何概念產(chǎn)生和發(fā)展的來(lái)龍去脈，從而真正起到培育學(xué)生幾何素養(yǎng)的效果。

二、借力數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，理清幾何關(guān)系

小學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)是相關(guān)聯(lián)的，因此在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課中對(duì)幾何概念進(jìn)行深刻理解以及加強(qiáng)概念之間的聯(lián)系，通過(guò)將單一結(jié)構(gòu)中零散的幾何概念進(jìn)行關(guān)聯(lián)分析，使幾何的內(nèi)涵和外延不斷豐盈，從學(xué)習(xí)開(kāi)始時(shí)由外而內(nèi)的結(jié)構(gòu)理解，到由內(nèi)而外的關(guān)聯(lián)生長(zhǎng)。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課遵循階段目標(biāo)，每個(gè)階段的知識(shí)點(diǎn)是固定的，而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課打破了常規(guī)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，依據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，在設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)時(shí)并不僅僅局限于在某年級(jí)的重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)上，而且關(guān)注發(fā)展目標(biāo)，從學(xué)生的主體出發(fā)，將知識(shí)點(diǎn)形成點(diǎn)狀網(wǎng)，從整體上建構(gòu)幾何知識(shí)。

推理能力的發(fā)展對(duì)于理清幾何關(guān)系起著非常重要的作用，無(wú)論是數(shù)學(xué)，還是學(xué)習(xí)、生活中經(jīng)常使用的思維方式都是推理。幾何關(guān)系推理的過(guò)程是揭示幾何內(nèi)在多種關(guān)聯(lián)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)幾何對(duì)象之間本質(zhì)關(guān)系的過(guò)程。推理能力的發(fā)展貫穿于整個(gè)幾何學(xué)習(xí)過(guò)程中，包括合情推理和演繹推理，合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論;演繹推理用于證明結(jié)論，這兩種推理相輔相成。

例如，在學(xué)習(xí)《觀察物體》一課后，學(xué)生已經(jīng)會(huì)從不同角度觀察物體，教師要進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的推理能力可以這么做：從正面和右面這兩個(gè)角度觀察同一個(gè)物體看到的形狀，你能想象出這是一個(gè)什么樣的立體圖形嗎？最少用幾個(gè)小正方體？

學(xué)生經(jīng)過(guò)一步一步推理，發(fā)現(xiàn)3行3列中，只要每一行和每一列都只有1 個(gè)小正方體，就能保證不管是從正面看還是從右面看，看起來(lái)都有3個(gè)小正方形。

實(shí)驗(yàn)過(guò)程中通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)正面、右面觀察都是3個(gè)正方形，進(jìn)行比較分析共同的特點(diǎn)，抽取其本質(zhì)幾何屬性，嘗試推理出不同的擺放方法（見(jiàn)圖2），實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證推理是否成立。推理能力的培養(yǎng)需要學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中不斷積累成功或失敗的經(jīng)驗(yàn)，這些經(jīng)驗(yàn)在之后的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探索中會(huì)逐步形成能力，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。在厘清幾何關(guān)系中需要綜合各種數(shù)學(xué)信息，建立起多維度的幾何網(wǎng)絡(luò)，探尋幾何對(duì)象間的關(guān)聯(lián)，發(fā)展學(xué)生對(duì)幾何關(guān)系的推理能力。

三、借力數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，建立幾何模型

數(shù)學(xué)教育家波利亞曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)就是教會(huì)學(xué)生如何去思考。”學(xué)生在合作交流中，分享了學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn);在質(zhì)疑批判中，建構(gòu)了模型;在補(bǔ)充理解中，幾何素養(yǎng)進(jìn)一步提升。模型思想的滲透應(yīng)該貫穿整個(gè)幾何教學(xué)的始終，數(shù)學(xué)建模的過(guò)程充滿挑戰(zhàn)，引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際情境中進(jìn)一步抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，構(gòu)建基本幾何模型，在尋求結(jié)果、解決問(wèn)題的過(guò)程中不斷拓展模型應(yīng)用。

1.幾何建模——在問(wèn)題情境中建立基本模型

建模是一個(gè)綜合性的過(guò)程，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)情境進(jìn)行抽象并概括，在整個(gè)建模過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生多方面的能力，不僅僅是知識(shí)與技能，更多的是讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，情感態(tài)度等方面也得到了培養(yǎng)。

例如，研究“長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的變化”時(shí)，實(shí)驗(yàn)要求是長(zhǎng)方形邊上剪掉若干塊長(zhǎng)方形后，周長(zhǎng)發(fā)生改變了嗎？學(xué)生首先要了解長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的概念，剪掉若干塊后，變成不規(guī)則圖形，求不規(guī)則圖形周長(zhǎng)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)與原有長(zhǎng)方形周長(zhǎng)之間的聯(lián)系，通過(guò)平移發(fā)現(xiàn)周長(zhǎng)的變化，學(xué)生需要了解實(shí)驗(yàn)問(wèn)題，明確初始條件和最終目標(biāo)，從而建立基本模型（見(jiàn)圖3）。

2.模型應(yīng)用——在解決問(wèn)題中加深模型理解

建模之后，學(xué)生需要在實(shí)際生活中體會(huì)模型的作用，靈活選擇模型，而不是簡(jiǎn)單地重復(fù)或者生硬地套用，突出解決實(shí)際問(wèn)題的思維過(guò)程，并進(jìn)行大膽的猜想，進(jìn)一步分析思維過(guò)程，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)模型的內(nèi)化。

例如，利用一張白紙通過(guò)不同的方式轉(zhuǎn)變成不同的立體圖形，并比較體積的大小。已知長(zhǎng)方形長(zhǎng)是18.84cm，寬是12.56cm，你能想辦法圍成一個(gè)圓柱體嗎？體積是多少呢？不同層次的推理能力展示的結(jié)果也是不一樣的。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果1，不剪開(kāi)，直接圍。通過(guò)沿著長(zhǎng)方形的長(zhǎng)或?qū)捑硪痪淼玫綀A柱體（見(jiàn)圖4）。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果2，剪一次圍成圓柱體。豎著剪平均分成兩份圍成圓柱體，橫著剪平均分成兩份圍成圓柱體。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果3，按照豎剪、橫剪的分類有序思考，圍成的圓柱體的體積也有規(guī)律可循。豎切后再進(jìn)行拼接，豎切等分的份數(shù)越多，如果“左右”圍成，則圓柱的底面半徑越來(lái)越短，高越來(lái)越長(zhǎng)，體積越來(lái)越小;如果“上下”圍成，則圓柱的底面半徑越來(lái)越長(zhǎng)，高越來(lái)越短，體積越來(lái)越大。橫切后再進(jìn)行拼接，如果“左右”圍成，則圓柱的底面半徑越來(lái)越長(zhǎng)，高越來(lái)越短，體積越來(lái)越大;如果“上下”圍成，則圓柱的底面半徑越來(lái)越短，高越來(lái)越長(zhǎng)，體積越來(lái)越小（見(jiàn)圖7、圖8）。

學(xué)生經(jīng)歷平面圖形到幾何立體圖形的形成過(guò)程，通過(guò)問(wèn)題解決、模型建構(gòu)，發(fā)現(xiàn)不同的方式可以得到不同的立體圖形。學(xué)生對(duì)幾何模型構(gòu)建的過(guò)程體驗(yàn)是深刻的，探究學(xué)習(xí)更加真實(shí)，探究的結(jié)果也更加科學(xué)，記憶也就更深刻。在嘗試中積累經(jīng)驗(yàn)，從而真正理解幾何知識(shí)。從最貼近學(xué)生生活的素材選取數(shù)學(xué)模型，能充分提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，生活中的原型作為學(xué)習(xí)素材，會(huì)讓學(xué)生感到很熟悉，也很新奇，以解決自己的問(wèn)題作為新知探索的動(dòng)力。在嘗試中學(xué)會(huì)幾何知識(shí)，從不同角度進(jìn)行分析，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生能更清楚地認(rèn)識(shí)到生活中的幾何圖形，感受到數(shù)學(xué)與生活是密不可分的。

小學(xué)生的幾何素養(yǎng)發(fā)展十分重要，它影響著幾何學(xué)習(xí)乃至其他任何學(xué)科的學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課促使學(xué)生有機(jī)會(huì)親身體驗(yàn)知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程。教師要搭建數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與幾何學(xué)習(xí)之間的橋梁，在具體情境中學(xué)會(huì)合理提取適當(dāng)?shù)母拍?，進(jìn)行深層次思維的數(shù)學(xué)猜想和驗(yàn)證，引導(dǎo)學(xué)生溝通操作與思維之間的聯(lián)系，從而學(xué)會(huì)思考，切實(shí)提高幾何素養(yǎng)。