基于絮凝動(dòng)力學(xué)的泥沙絮凝沉降規(guī)律研究

馬 林，張 根 廣，孟 若 霖，余 遠(yuǎn) 浩，張 錫 民

(西北農(nóng)林科技大學(xué) 水利與建筑工程學(xué)院，陜西 楊凌 712100)

0 引 言

在自然界中，黏性細(xì)顆粒泥沙由于其比表面積大，顆粒之間相互作用加強(qiáng)，重力對(duì)顆粒的作用相對(duì)減弱，致使黏性細(xì)顆粒泥沙很少以單顆粒形式存在，而是以集合體形式出現(xiàn)，這種現(xiàn)象稱為“絮凝”[1]。泥沙絮凝現(xiàn)象影響著泥沙運(yùn)動(dòng)，包括泥沙沉積和輸運(yùn)運(yùn)動(dòng)等[2]，并對(duì)河口海岸地理和周邊環(huán)境等有著重要影響。絮凝發(fā)生一般需要滿足2個(gè)前提條件[3]：① 泥沙顆粒間的相互碰撞；② 碰撞后泥沙顆粒粘結(jié)在一起。研究發(fā)現(xiàn)，影響泥沙顆粒間相互碰撞、絮凝的原因主要有：① 因布朗運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致顆粒間碰撞發(fā)生絮凝；② 沉速大的顆粒在沉降過(guò)程中碰撞沉速小的顆粒，導(dǎo)致差速沉降絮凝；③ 湍流運(yùn)動(dòng)使顆粒碰撞而發(fā)生絮凝[4]。泥沙絮凝問(wèn)題一直是眾多學(xué)者研究的熱點(diǎn)。如Winterwerp等[4]試圖建立絮凝沉降模型，利用數(shù)學(xué)公式來(lái)描述絮凝體沉降變化過(guò)程；Maggi等[5]通過(guò)將分形維度計(jì)入絮體橫截面積，顯著改善了絮體沉速模型；McCave[6]研究了靜水條件下布朗運(yùn)動(dòng)對(duì)絮凝的影響，發(fā)現(xiàn)布朗運(yùn)動(dòng)對(duì)泥沙絮凝有著重要的控制作用；Krishnappan[7]通過(guò)求解不同組分的平衡方程，在泥沙輸送模型中考慮了布朗運(yùn)動(dòng)的影響，很大程度上改善了模型的精準(zhǔn)度；Son等[8]認(rèn)為絮體在破碎過(guò)程中絮體的屈服強(qiáng)度與破裂面的凈固體面積成正比，因此建立了一個(gè)含有可變分形維數(shù)和可變屈服強(qiáng)度的絮凝模型，并將其引入絮凝體尺寸預(yù)測(cè)。Stolzenbach等[9]研究發(fā)現(xiàn)：在顆粒尺寸相差較大的情況下，由差速沉降引起的絮凝效果是顯著的。

Allan等[10]基于膠體化學(xué)及DLVO理論認(rèn)為，泥沙顆粒間能否發(fā)生絮凝取決于泥沙顆粒間的相互引力與斥力，當(dāng)引力起主導(dǎo)作用時(shí)，泥沙顆粒朝著絮凝方向發(fā)展，反之則向著絮凝解體方向發(fā)展。關(guān)許為等[11]在比較一、二級(jí)動(dòng)力學(xué)模式后認(rèn)為：二者都可用于絮凝速率系數(shù)和平均沉降速度問(wèn)題的研究，但二級(jí)動(dòng)力學(xué)模式用于數(shù)據(jù)擬合的相關(guān)性更好。陳洪松等[12]通過(guò)分析Nacl對(duì)靜水絮凝動(dòng)力學(xué)模式的影響發(fā)現(xiàn)，加入擬合參數(shù)的動(dòng)力學(xué)模式擬合效果更好。但關(guān)許為[11]和陳洪松[12]均沒有從理論方面給出絮凝過(guò)程與電解質(zhì)濃度、泥沙含沙量等因素之間的關(guān)系，且無(wú)法合理解釋某一影響因素發(fā)生變化時(shí)絮凝過(guò)程將發(fā)生如何變化。因此，本文擬以絮凝動(dòng)力學(xué)為基礎(chǔ)，建立靜水條件下的絮凝動(dòng)力學(xué)方程及絮凝速率系數(shù)表達(dá)式，據(jù)此推導(dǎo)不同含沙量和電解質(zhì)濃度條件下渾水體系中絮凝過(guò)程的半衰期，可用于求解絮凝平均沉降速率等有關(guān)參數(shù)。

1 膠體穩(wěn)定理論—DLVO理論

在20世紀(jì)40年代，基于擴(kuò)散層模型，Derjaguin，Landau，Verwey和Overbeek分別提出溶膠穩(wěn)定性理論，即DLVO理論[13]。DLVO理論[13]認(rèn)為，膠體的穩(wěn)定性取決于粒子間的相互吸引力和斥力，若引力大于斥力，則為穩(wěn)定，反之則不穩(wěn)定。在泥沙絮凝沉降研究方面，DLVO理論得到了學(xué)者的廣泛認(rèn)可和應(yīng)用[14-16]。

膠粒間的引力本質(zhì)上就是范德華引力，因此Hamaker假設(shè)：膠體間引力等于分子之間相互作用力之和。對(duì)于大小相同的兩個(gè)球形粒子，其引能VA[13]表達(dá)式為

(1)

式中：H為Hamaker常數(shù)，是物質(zhì)的特征常數(shù)，與物質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)，其數(shù)量級(jí)為10-20J；rm為顆粒表面的間距，m；d為泥沙單顆粒粒徑，m。

由雙電層模型理論可知：當(dāng)顆粒相互靠近時(shí)，因范德華引力作用，顆粒表面的雙電層將發(fā)生重疊，由此改變了表面電荷分布，使顆粒間產(chǎn)生斥力。對(duì)于球形粒子，粒子間斥能VR[13]表達(dá)式為

(2)

式中：κ-1一般認(rèn)為雙電層厚度，μm；K為波爾茲常數(shù)，1.380 650 5×10-23J/K；n0為離子濃度，表示單位立方厘米中離子的個(gè)數(shù)；z為顆粒表面離子價(jià)數(shù)；T為絕對(duì)溫度；ε為介質(zhì)的介電常數(shù)，ε水=78.5ε0，ε0為真空介電常數(shù)，取8.854 187 8×10-12F/m；φ0為顆粒表面電位，V；e為基原電荷。

對(duì)于低電位，斥能VR表達(dá)式可簡(jiǎn)化為

(3)

結(jié)合式(1)和式(2)，可得綜合作用能V(VA+VR)為

(4)

根據(jù)文獻(xiàn)[17]，顆粒間綜合作用能V隨顆粒間距離變化關(guān)系如圖1所示。圖1中曲線表示的是綜合位能(即斥能與引能的代數(shù)和)與顆粒間距之間的函數(shù)關(guān)系，則曲線斜率代表著顆粒間的綜合作用力。當(dāng)曲線斜率向上時(shí)，顆粒間綜合作用力表現(xiàn)為斥力；當(dāng)曲線斜率向下時(shí)，顆粒間綜合作用力表現(xiàn)為引力，勢(shì)壘所在位置正是曲線斜率的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。當(dāng)顆粒在越過(guò)勢(shì)壘后，曲線斜率開始逐漸向下，顆粒間的綜合作用力將持續(xù)表現(xiàn)為引力，在引力作用下顆粒將進(jìn)入絮凝過(guò)程，故以此位置作為絮凝發(fā)生的標(biāo)準(zhǔn)。

圖1 總位能曲線Fig.1 Total potential energy curve

由圖1可看出：在勢(shì)壘高度M處，綜合作用能取得極大值，對(duì)式(4)求導(dǎo)并令其等于0可得：

(5)

式中：rm0表示勢(shì)壘所在位置對(duì)應(yīng)的顆粒間距。

把式(5)代入式(4)，可得勢(shì)壘高度M表達(dá)式：

(6)

由圖1可知，勢(shì)壘高度M>0，也即1-κrm0>0，即：

rm0<κ-1

(7)

式(7)表明：顆粒表面間的距離在小于雙電層厚度時(shí)，才能越過(guò)勢(shì)壘位置，同時(shí)也意味著絮凝的開始。從數(shù)量級(jí)來(lái)看，rm0值與κ-1值相當(dāng)、且κ值隨著渾水體系的電解質(zhì)種類、離子濃度改變而變化，兩者間的等量關(guān)系可反應(yīng)出rm0值與水體性質(zhì)間的聯(lián)系。令

rm0=βκ-1

(8)

式中：β是與電解質(zhì)濃度、泥沙含量等水體性質(zhì)有關(guān)的系數(shù)。

將式(8)代入式(6)，得：

(9)

本文所用符號(hào)較多，現(xiàn)增加一符號(hào)說(shuō)明表用于解釋說(shuō)明符號(hào)含義，見表1。

表1 符號(hào)說(shuō)明Tab.1 Symblo description table

2 泥沙絮凝動(dòng)力學(xué)模式推導(dǎo)及其驗(yàn)證

2.1 泥沙絮凝動(dòng)力學(xué)模式

假設(shè)在水沙渾水體系中(見圖2)，存在以某一中心泥沙顆粒為圓心、半徑為r(大于泥沙顆粒半徑d/2，小于絮團(tuán)半徑dx/2)的球面；在單位時(shí)間內(nèi)，體系中泥沙因布朗運(yùn)動(dòng)從球面外進(jìn)入球面內(nèi)的泥沙顆粒數(shù)量為J0；根據(jù)Fick第一定律，有：

(10)

式中：S是球的表面積，即S=4πr2；D是擴(kuò)散系數(shù)，m2/s；C為球面界面處泥沙濃度，單位為單位體積內(nèi)泥沙顆粒數(shù)量，其表達(dá)式為

(11)

式中：SV為體積含沙量。

圖2 中心顆粒(紅色)及球面二維示意Fig.2 Two-dimensional schematic diagram of central particle(red)and spherical surface

由DLVO理論可知，泥沙顆粒相互碰撞后，能否發(fā)生絮凝取決于顆粒間的距離能否越過(guò)勢(shì)壘位置。由于泥沙顆粒間的斥力對(duì)泥沙顆粒的聚集起阻礙作用，為了定量描述泥沙顆粒間的這種斥力影響，文獻(xiàn)[17]給出了阻力因子JC表達(dá)式：

(12)

式中：α表示單一顆粒進(jìn)入球面后與其它顆粒的碰撞次數(shù)，f為阻力系數(shù)，其他符號(hào)意義同前。

阻力因子JC的物理意義為，由于勢(shì)壘的存在引起球面的泥沙顆粒個(gè)數(shù)。則單位時(shí)間內(nèi)，體系中從球面外凈進(jìn)入球面內(nèi)的泥沙顆粒數(shù)量J的表達(dá)式為

(13)

變化形式得：

(14)

解此微分方程，得：

(15)

當(dāng)r=d時(shí)，即中心顆粒外側(cè)緊密包含一層泥沙顆粒，可認(rèn)為α=1，C=0(因?yàn)轭w粒緊密接觸后即失去其自由運(yùn)動(dòng)本性)，代入式(15)得：

(16)

式中：M為勢(shì)能曲線的勢(shì)壘值，b為積分常數(shù)。

當(dāng)r=dx/2時(shí)，即球面邊緣處，可認(rèn)為此處泥沙濃度C等于體系內(nèi)的泥沙濃度，代入式(15)得：

(17)

聯(lián)立方程(16)～(17)，可得：

(18)

勢(shì)壘高度M值一般較Df值大得多，故上式可簡(jiǎn)化為

(19)

根據(jù)斯托克斯定律可知，阻力系數(shù)f表達(dá)式如下：

f=3πηd

(20)

式中：η為液體的黏滯系數(shù)。

假設(shè)泥沙絮凝過(guò)程結(jié)束后，細(xì)顆粒泥沙均是以絮團(tuán)形式存在，且單位體積內(nèi)共有絮團(tuán)數(shù)目m，每個(gè)絮團(tuán)中泥沙顆粒數(shù)量相等，均等于N，則：

(21)

式中：SV0為初始體積含沙量，N為單個(gè)絮團(tuán)中泥沙顆粒數(shù)量。

根據(jù)Feder等[18]的研究，絮團(tuán)中泥沙顆粒數(shù)量N滿足以下關(guān)系式：

(22)

式中：Df為絮團(tuán)的分形維數(shù)，其他符號(hào)意義同前。

體系中單位體積內(nèi)通過(guò)球面并發(fā)生絮凝的顆粒總數(shù)Jm，等于單一球面內(nèi)發(fā)生絮凝的泥沙顆粒數(shù)量J與絮團(tuán)數(shù)目m的乘積，表示式為

(23)

此外，由C的定義可知：

(24)

將公式(24)代入公式(23)，即：

(25)

把式(11)代入式(25)，可得：

(26)

則絮凝速率系數(shù)KF表達(dá)式為

(27)

對(duì)公式(26)進(jìn)行積分，可得泥沙絮凝動(dòng)力學(xué)方程為

(28)

根據(jù)公式(28)，可知半衰期t1/2

t1/2=ln2/KF

(29)

則泥沙絮凝沉降平均速度ω為

(30)

也即：

(31)

式中：h為泥沙沉降高度。可以看出，絮凝速率系數(shù)KF與絮凝沉降平均速度ω呈正相關(guān)關(guān)系。

2.2 參數(shù)值確定

采用文獻(xiàn)[19]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果確定公式(27)的相關(guān)參數(shù)。在文獻(xiàn)[19]的靜水絮凝沉降實(shí)驗(yàn)中，泥沙濃度選為10 g/L；氯化鈣濃度分別為0，0.3，0.6 mmol/L和1 mmol/L；泥沙濃度用吸管法測(cè)定，取樣點(diǎn)位置位于液面下20 cm處，所得結(jié)果換算為與初始泥沙濃度的相對(duì)值，即SV/SV0。根據(jù)陳洪松等[19]實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，泥沙相對(duì)濃度SV/SV0隨時(shí)間呈指數(shù)變化。故本文以氯化鈣濃度為0.3 mmol/L的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為例，以相對(duì)濃度倒數(shù)的對(duì)數(shù)值ln(SV0/SV)為縱坐標(biāo)，以時(shí)間t為橫坐標(biāo)，實(shí)驗(yàn)散點(diǎn)應(yīng)擬合為一條傾斜的直線，直線斜率即為絮凝速率系數(shù)值(見圖3)。

圖3 泥沙相對(duì)濃度的變化規(guī)律Fig.3 Variation law of relative sediment concentration

由擬合結(jié)果可知，本次試驗(yàn)組的絮凝速率系數(shù)值為0.020 8。此外，Kim等[20]通過(guò)在碰撞效率函數(shù)中引入捕捉概率函數(shù)，求解出絮團(tuán)的粘結(jié)概率θ范圍為(5.03～6.50)×10-3。黏結(jié)概率θ指的是顆粒經(jīng)多次碰撞后粘結(jié)在一起的可能性大小，而系數(shù)α表示是顆粒間的碰撞次數(shù)，因此在數(shù)值關(guān)系上θ=1/α，據(jù)此可取α=199。由于在文獻(xiàn)[19]中缺乏對(duì)絮團(tuán)尺寸與分形維數(shù)的測(cè)量，因此參考文獻(xiàn)[8]的理論研究，N值取為120。綜合以上參數(shù)值，根據(jù)公式(27)求得擴(kuò)散系數(shù)D=8.866×10-10m2/s。

2.3 公式驗(yàn)證

采用文獻(xiàn)[19]中氯化鈣濃度為1 mmol/L的泥沙濃度觀測(cè)結(jié)果對(duì)本文公式(27)進(jìn)行驗(yàn)證，所得結(jié)果見圖4。圖中縱橫坐標(biāo)均采用對(duì)數(shù)值ln(SV0/SV)。

圖4 泥沙相對(duì)濃度的計(jì)算值與實(shí)測(cè)值對(duì)比Fig.4 Comparison of calculated and measured values of relative sediment concentration

由圖4可見，計(jì)算值與理論值較好吻合，為進(jìn)一步分析評(píng)價(jià)公式的計(jì)算精度，本文采用均方差分析方法進(jìn)行評(píng)價(jià)。

(32)

式中：RMS為均方根相對(duì)誤差值，RMS越小表示計(jì)算精度越高；uCi為計(jì)算值；uMi為實(shí)驗(yàn)值；n為樣本個(gè)數(shù)。

經(jīng)計(jì)算得知本次RMS為0.364，表明該公式計(jì)算精度較高。相對(duì)于關(guān)許為[11]和陳洪松[12]等通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合所得到的絮凝動(dòng)力學(xué)模式方程，本文注重理論推導(dǎo)，依托于DLVO理論和Fick第一定律，通過(guò)引入球形模型，可描繪出泥沙絮凝發(fā)生過(guò)程；另外影響因素考慮較為全面，推導(dǎo)出的絮凝速率系數(shù)表達(dá)式中，將擴(kuò)散系數(shù)、泥沙含沙量、離子濃度、分形維數(shù)和顆粒粒徑等相關(guān)物理參數(shù)關(guān)聯(lián)起來(lái)，更能體現(xiàn)出絮凝的實(shí)質(zhì)。

3 結(jié) 論

(1) 在靜水條件下，應(yīng)用DLVO 理論分析泥沙顆粒間的力學(xué)關(guān)系，得知泥沙顆粒發(fā)生絮凝的條件是顆粒能否越過(guò)勢(shì)壘。

(2) 根據(jù)Fick第一定律，推導(dǎo)出絮凝速率系數(shù)表達(dá)式及絮凝動(dòng)力學(xué)方程，即建立了體系內(nèi)泥沙濃度隨時(shí)間變化關(guān)系式，經(jīng)實(shí)測(cè)資料驗(yàn)證公式吻合良好，且理論基礎(chǔ)完善。

本文主要探討在布朗運(yùn)動(dòng)下的泥沙絮凝沉降過(guò)程，研究對(duì)象為均勻細(xì)顆粒泥沙，對(duì)于非均勻沙的絮凝沉降規(guī)律，仍需作進(jìn)一步研究。