測量絮團(tuán)分維數(shù)的新方法

邢 軍，丁仕強(qiáng)，逄薪蓉，徐繼潤

（大連大學(xué) 環(huán)境與化學(xué)工程學(xué)院，遼寧 大連 116622）

0 引言

在固液懸浮體系中，固體顆?？山咫p電層壓縮而凝聚，也可藉絮凝劑的橋鍵作用而絮凝。前者可形成較為密實(shí)的聚集物，后者則形成結(jié)構(gòu)松散的絮團(tuán)。Gregory[1]曾經(jīng)指出，如果兩個相等的球體聚在一起，只形成啞鈴狀聚集物；如果多個顆粒發(fā)生聚集，那么聚集物形狀與結(jié)構(gòu)的變化形式將迅速增加。對絮團(tuán)大小與形狀的研究由來已久，而自從上世紀(jì)八十年代以來，非線性科學(xué)分形幾何及分形數(shù)學(xué)的出現(xiàn)，使絮團(tuán)形態(tài)結(jié)構(gòu)的定量表征成為可能，相關(guān)工作已有許多進(jìn)展[2-4]。

由于絮團(tuán)具有統(tǒng)計(jì)自相似的性質(zhì)，因此可用分維數(shù)對其空間結(jié)構(gòu)予以定量描述。常用的絮團(tuán)分維數(shù)表達(dá)形式有質(zhì)量分維數(shù)D（mass fractal dimension）、線度分維數(shù)D1（one-dimensional fractal dimension）、面積分維數(shù)D2（two-dimensional fractal dimension）、體積分維數(shù)D3（three- dimensional fractal dimension）[5]。

絮團(tuán)的質(zhì)量分維數(shù)D與有效密度ρe、特征尺寸d的關(guān)系為[6,7]：

絮團(tuán)的有效密度定義為絮團(tuán)密度與流體介質(zhì)密度之差，絮團(tuán)特征尺寸為其等效圓直徑或最大投影直徑。質(zhì)量分維數(shù)可由沉降法間接測量[8-10]。

絮團(tuán)在不同拓?fù)淇臻g內(nèi)的分維數(shù)分別與絮團(tuán)投影的周長L、面積A 、絮團(tuán)體積V相關(guān)聯(lián)：

D1、D2、D3通常由圖像分析法獲得[5]。圖像法是目前普遍運(yùn)用的絮團(tuán)分維數(shù)的測量方法。針對大量不同特征尺寸的絮團(tuán)，用特征尺寸度量絮團(tuán)平面投影圖像的周長，所得雙對數(shù)曲線的斜率為絮團(tuán)在一維拓?fù)淇臻g的分維數(shù)（線度分維數(shù)D1）；用特征尺寸度量絮團(tuán)投影的面積，所得雙對數(shù)曲線的斜率為二維拓?fù)淇臻g的分維數(shù)（面積分維數(shù)D2）；但絮團(tuán)在三維拓?fù)淇臻g的分維數(shù)（體積分維數(shù)D3）不能通過圖像法直接得到，需要先將投影面積轉(zhuǎn)換成絮團(tuán)體積，例如可根據(jù)投影面積求其面積當(dāng)量直徑,再換算成球體體積V。

本文將提出一種測量絮團(tuán)分維數(shù)的新方法，其基本思路是通過分析固液懸浮體系的表觀粘度與絮團(tuán)分形參數(shù)的關(guān)系而建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而可通過測量體系粘度而獲得絮團(tuán)分維數(shù)，這樣獲得的分維數(shù)姑且名之為粘度分維數(shù)。

1 模型的建立

1.1 粘度模型的疊加性分析

對于低濃度懸浮體系，小Einstein[11]導(dǎo)出體系粘度η與分散相體積分?jǐn)?shù)x 的關(guān)系為：

其中η0為分散介質(zhì)（連續(xù)相）的粘度。對于較濃的分散體系，固體粒子間發(fā)生相互作用，Goodwin[12]將公式（5）修正為：

其中，系數(shù)k與顆粒聚集程度及粒間電化學(xué)作用有關(guān)。這兩個模型提供的重要啟發(fā)是：懸浮體系的總粘度可看作體系的各組成部分對粘度影響的疊加。例如，在濃度很低時，所有顆粒以完全分散的形式存在，體系的粘度為介質(zhì)粘度及分散顆粒對粘度影響之和；濃度變大時，除分散顆粒外，出現(xiàn)了絮團(tuán)，體系粘度則為介質(zhì)粘度、分散顆粒對粘度的影響及絮團(tuán)對粘度的影響這三部分之和。本文分析體系粘度時將沿用這一“疊加性”思路。

1.2 絮團(tuán)結(jié)構(gòu)的分類

為沿用對體系粘度的“疊加性”分析方法，本文將絮凝后固體物料的存在形式分為四類：（1）分散的單體顆?；蚍Q0-型聚集物，指絮凝后仍單獨(dú)存在的顆粒，包括從未參與絮凝的原始顆粒以及從絮團(tuán)中剝落下來的單體顆粒；（2）線狀絮團(tuán)或稱1-型聚集物，指由至少兩個原始顆粒形成的直線型聚集體，構(gòu)成線狀絮團(tuán)的所有顆粒的質(zhì)量中心在同一條直線上；（3）面狀絮團(tuán)或稱2-型聚集物，系由至少3個單體顆粒形成的平面狀聚集體，其所有構(gòu)成顆粒的中心位于同一個平面；（4）體狀絮團(tuán)或稱3-型聚集物，指至少由4個單體顆粒構(gòu)成的三維聚集體，其構(gòu)成顆粒的中心位于三維空間內(nèi)。可以看出，這四種類型囊括了固體顆粒所有可能的存在狀態(tài)，從而可從分析各種類型聚集物（廣義的聚集物包括0-型聚集物即分散的單個顆粒）對體系粘度的貢獻(xiàn)著手而建立粘度與絮團(tuán)分維數(shù)的數(shù)學(xué)模型。

1.3 模型建立途徑之一：碰撞理論分析

顯然，各類絮團(tuán)對體系粘度的貢獻(xiàn)應(yīng)與其數(shù)目有關(guān)，而顆粒間的碰撞理論是研究絮團(tuán)數(shù)目的有力工具。此前，筆者曾分析了各類絮團(tuán)的形成機(jī)制。例如，不考慮絮團(tuán)碎裂的情況下，面狀絮團(tuán)（2-型聚集物）的形成途徑可有圖1所示的五種可能（其中箭頭兩端的聚集物相互作用生成面狀絮團(tuán)）：

圖1 2-型聚集物的形成機(jī)制

設(shè)原始顆粒的數(shù)目濃度為n，則絮凝后體系中存在的仍然處于分散狀態(tài)的顆粒（即0-型絮團(tuán)）數(shù)目正比于n，其它類型絮團(tuán)的數(shù)目則與絮團(tuán)中所包含的單體顆粒數(shù)有關(guān)。經(jīng)過對各種絮團(tuán)的詳細(xì)分析，并略去絮團(tuán)數(shù)目完全表達(dá)式中的次要項(xiàng)，筆者得出各型絮團(tuán)的數(shù)目與原始顆粒數(shù)目的關(guān)系為：

其中i為絮團(tuán)類型，ni為i-型絮團(tuán)的數(shù)目。在低濃度體系下，數(shù)目濃度n正比于體積分?jǐn)?shù)x，而各類絮團(tuán)對體系粘度的貢獻(xiàn)應(yīng)正比于絮團(tuán)數(shù)目，由疊加性原理可得體系的表觀粘度為：

其中η(i)為i-型絮團(tuán)對體系粘度貢獻(xiàn)項(xiàng)的比例系數(shù)，具有粘度的量綱；ηm為純分散介質(zhì)的粘度。巧合的是，該模型中的i既是絮團(tuán)類型，又與絮團(tuán)的拓?fù)渚S數(shù)暗合。雖然在模型的導(dǎo)出過程中并未提及絮團(tuán)維數(shù)的問題，但這種“巧合”使我們有興趣繼續(xù)探索體系粘度與絮團(tuán)維數(shù)的關(guān)系。

1.4 模型建立途徑之二：繞流阻力分析

該分析方式旨在直接建立形如式(8)的體系粘度與絮團(tuán)拓?fù)渚S數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而建立粘度與絮團(tuán)分維數(shù)的數(shù)學(xué)模型。

我們從單個顆粒自由沉降時的 Stokes阻力公式入手。顆粒對流體的繞流阻力（即 Stokes分析時的流體對顆粒沉降的阻力）為：

其中d 為顆粒直徑，代表顆粒的特征尺寸L0；v為顆粒的自由沉降速度（或流體繞流速度）。記無顆粒存在時即純流體的粘度為ηm，顆粒的存在使顆粒附近的流體流動受阻，即流體粘度較純流體有相應(yīng)的增加：

從(9)、(10)兩式可知顆粒的存在對流體粘度的貢獻(xiàn)為：

記單體顆粒、線狀絮團(tuán)、面狀絮團(tuán)及體狀絮團(tuán)的數(shù)目分別為n0，n1，n2，n3，各型絮團(tuán)的平均特征尺寸分別為L0,L1，L2，L3，繞流阻力分別為R0，R1，R2，R3，其中L0,R0已如前述。雖然還很難像處理球形顆粒那樣經(jīng)過嚴(yán)格的理論推導(dǎo)得出各型絮團(tuán)的繞流阻力，但可以預(yù)見，線狀絮團(tuán)、面狀絮團(tuán)、體狀絮團(tuán)的繞流阻力應(yīng)分別與其長度、面積、體積成正比，即

這里的i=1,2,3分別為對應(yīng)的各型絮團(tuán)的拓?fù)渚S數(shù)。

不難理解，各型絮團(tuán)的數(shù)目及絮團(tuán)的平均特征尺寸（除單體顆粒外）均與原始顆粒數(shù)n成正比：

各類絮團(tuán)的總繞流阻力為：

類比與公式(11)，各類絮團(tuán)對體系粘度的貢獻(xiàn)為：

考慮到低濃度體系的n∝x，該式可寫成等式：

于是體系的總粘度如下：

這與循顆粒碰撞途徑導(dǎo)出的公式(8)在形式上完全相同，但式中濃度的指數(shù)i已在導(dǎo)出過程中明確為相應(yīng)絮團(tuán)的拓?fù)渚S數(shù)。

2 模型的討論

2.1 分維數(shù)的引入

考慮到線狀絮團(tuán)、面狀絮團(tuán)及體狀絮團(tuán)的分形特征，其對應(yīng)的拓?fù)渚S數(shù)可用各自的分維數(shù)Dfi(i=1,2,3)替代，則(18)式成為：

2.2 高濃度體系下的修正

對高濃度體系，只要以固體物料的體積比粘度（即固體物料體積與液體體積之比）X代替體積分?jǐn)?shù)x，則n∝X，以上的分析過程不變，于是式(19)成為：

2.3 多分散體系下的修正

對于多分散體系（即原始顆粒粒度不同的體系），只要以顆粒的平均粒度代替上述推導(dǎo)過程中的單體顆粒特征尺寸，仍可得到式(19)或(20)的結(jié)果，當(dāng)然，式中的比例系數(shù)及各類絮團(tuán)的分維數(shù)在具體數(shù)值上會有所不同。

2.4 模型與小Einstein模型的統(tǒng)一性

在模型(19)或(20)中，若顆粒濃度很低，則濃度的高次項(xiàng)可以忽略不計(jì)（即基本不存在顆粒的聚集現(xiàn)象），則模型回歸到小Einstein粘度模型(5)。

3 模型的意義

3.1 提供了測量絮團(tuán)分維數(shù)的新方法

該模型首次將表觀粘度這一易于測量的宏觀參數(shù)與各類絮團(tuán)的分維數(shù)聯(lián)系起來，提供了一種測量絮團(tuán)分維數(shù)的新方法，不妨將這樣測出的分維數(shù)命名為粘度分維數(shù)，以區(qū)別與傳統(tǒng)的質(zhì)量分維數(shù)、孔隙表面分維數(shù)等。

3.2 對不同類型絮團(tuán)分維數(shù)的同步測量

模型首次將絮團(tuán)分為線狀絮團(tuán)、面狀絮團(tuán)及體狀絮團(tuán)等三類，在一個數(shù)學(xué)模型里同時包括了這三類絮團(tuán)的分維數(shù)并可定量測量之。

3.3 對測量過程的簡化

該模型測得的絮團(tuán)分維數(shù)反映了所有同類絮團(tuán)的影響，不需像其它方法那樣需對大量絮團(tuán)個體測量后再統(tǒng)計(jì)處理；此外，由于應(yīng)用該模型測量時，僅需測量體系粘度一個參數(shù)，避免了其它方法測量分維數(shù)時需同時測量兩個參數(shù)而導(dǎo)致的誤差。

3.4 使對絮團(tuán)組成的定量分析成為可能

由于將各類絮團(tuán)以及單體顆粒對體系粘度的影響分別表示，從而依據(jù)模型中各類絮團(tuán)對體系粘度的相對貢獻(xiàn)可評估不同絮團(tuán)的相對組成。

關(guān)于該模型的實(shí)驗(yàn)研究將另文報(bào)道。

4 結(jié)語

絮團(tuán)分維數(shù)是描述絮團(tuán)分形結(jié)構(gòu)的定量參數(shù)。本文通過不同途徑導(dǎo)出的絮凝處理后懸浮液表觀粘度與絮團(tuán)分維數(shù)的數(shù)學(xué)模型，提供了測量絮團(tuán)分維數(shù)的一種新方法。這種新方法可同時測出不同類型絮團(tuán)的分維數(shù)，這是其它方法所不能做到的。這種方法還為研究絮凝后不同類型絮團(tuán)的定量組成提供了潛在的分析工具。

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