基于Rife-Vincent自乘-卷積窗三譜線插值的電力諧波參數(shù)估計

雷可君，李明皓，汪旭明，陳乾明，張志威，楊 喜

(吉首大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南 吉首 416000)

電力諧波的高精度檢測是治理諧波問題的重要環(huán)節(jié)，其對維護電力系統(tǒng)安全運行具有重要價值[1-4].快速傅里葉變換(fast fourier transform,FFT)因其原理簡單且便于嵌入式系統(tǒng)實現(xiàn)而被廣泛地應(yīng)用于諧波分析[5-7].但電網(wǎng)中的信號多為動態(tài)信號，很難對其進行整周期截斷及同步采樣，若直接利用FFT進行諧波檢測將會產(chǎn)生頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)，進而無法精確地計算出諧波參量[8].故在信號處理過程中，通常給原始信號進行加窗處理以抑制頻譜泄漏，同時利用譜線插值的方法克服柵欄效應(yīng)的影響[9].在前期的加窗過程中，常用的窗函數(shù)有Hanning窗、Hamming窗、Blackman窗、Nuttall窗等；后期的譜線插值過程中，常用的方法有單譜線插值、雙譜線插值[10-12]、三譜線插值[13]及四譜線插值[14].這些利用經(jīng)典窗函數(shù)與譜線插值相結(jié)合的方法在一定程度上降低了頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)帶來的影響，提升了檢測精度，但由于經(jīng)典窗函數(shù)的旁瓣性能有限，頻譜泄漏沒有得到很好的抑制，檢測精度還有待提高.為此，文獻[15-17]提出了三角窗自卷積窗和Hanning自卷積窗，文獻[18]提出了Hanning自乘積窗(RVSM)，文獻[19]提出了Blackman-Harris自乘積窗，這些窗函數(shù)的旁瓣性能都有一定的提升，進一步改善了檢測精度.但是，這些窗函數(shù)隨著卷積階數(shù)和乘積階數(shù)的提高，算法的計算復(fù)雜度也隨之提高.與此同時，由于所選的基礎(chǔ)窗函數(shù)旁瓣性能一般，限制了檢測精度的進一步提高.

因此，文中利用具有良好旁瓣衰減特性的5項Rife-Vincent(Ⅰ)窗(簡稱RV-Ⅰ窗)提出了一種新的Rife-Vincent自乘-卷積窗(簡稱RVSMC窗).在此基礎(chǔ)上，基于三譜線插值和最小二乘擬合方法，給出諧波參數(shù)(幅度、頻率、相位)的解析計算表達式.最后，通過對含弱幅值的復(fù)雜諧波、間諧波及基波頻率變動等典型應(yīng)用場景進行仿真分析.

1 RVSMC窗函數(shù)及其頻域特性

1.1 RVSMC窗的構(gòu)造

非整周期截斷及非同步采樣造成的頻譜泄漏會降低電力諧波檢測的精度，而通過對信號在時域進行加窗處理可以有效地抑制頻譜泄漏帶來的影響.一個合適的窗函數(shù)通常要求其旁瓣峰值盡可能低且衰減速度快，同時其主瓣寬度盡可能窄.RV-Ⅰ窗是一種組合余弦窗，其旁瓣峰值為-74.5 dB，旁瓣衰減速度為30 dB·oct-1，具有優(yōu)良的頻譜衰減特性[20].其表達式為

(1)

式中：m=0，1，…，M-1，M為窗函數(shù)的長度；al為窗函數(shù)系數(shù)，其具體值為a0=1，a1=1.6，a2=0.8，a3=0.228 57，a4=0.028 57.

為進一步降低旁瓣峰值，提高檢測精度，文中提出一種基于RV-Ⅰ窗的自乘-卷積窗，其表達形式為

wRVSMC(n)=wRVSM(m)×wRVSM(m)，

(2)

式中：n=0，1，…，N-1，N為RVSMC窗的長度；wRVSM(m)表示1次RV-Ⅰ自乘積窗，其定義為

wRVSM(m)=wRV-Ι(m)×wRV-Ι(m)，

(3)

式中：wRV-Ι(m)由式(1)決定，將其代入式(3)不難得到：

(4)

式中：b0=2.6265302449，b1=4.6693862449，b2=3.268568，b3=1.782852，b4=0.742852，b5=0.228568，b6=0.04897812245，b7=0.0065302449，b8=0.00040812245.

需要指出的是，文中所提出的基于RV-Ⅰ窗的自乘-卷積窗只是利用了1次乘法和1次卷積運算，其目的在于兼顧算法復(fù)雜度和檢測精度要求.實際上，所提方法可進一步推廣到任意次數(shù)的乘法和卷積運算，從而構(gòu)造出更為復(fù)雜的RVSMC窗，以得到更高的檢測精度，但其實現(xiàn)復(fù)雜度也隨之上升.另外，在實際處理過程中，RVSMC窗函數(shù)序列的長度N=2M，其可由式(2)得到的序列在其末尾補一個0得到.

1.2 RVSMC窗的頻域特性

利用離散傅里葉變換的性質(zhì)，由式(4)可得到wRVSM(m)對應(yīng)的窗譜為

(5)

式中：ω為角頻率；WR(ω)為矩形窗的頻譜函數(shù)，即

(6)

根據(jù)離散時間序列的時域卷積定理，由式(2)可以得到RVSMC窗的譜函數(shù)為

(7)

令ω=2πk/N，可以得到離散化的窗譜函數(shù)為

(8)

將式(6)代入式(8)，經(jīng)過計算可以得到RVSMC窗的精確譜函數(shù)為

(9)

(10)

這里，i=0，1，…，8；d，d′為任意整數(shù).在式(10)中令d=1，不難求得RVSMC窗譜函數(shù)右側(cè)首個零點值為36π/N，故RVSMC窗的主瓣寬度為72π/N.

圖1給出了當(dāng)M=64時RV-Ⅰ窗，RVSM窗及RVSMC窗3種窗函數(shù)的幅頻特性圖.

圖1 RV-Ⅰ、RVSM和RVSMC窗幅頻特性圖

由圖1可看出，在3種窗函數(shù)中，所設(shè)計的RVSMC窗具有最佳的旁瓣性能，其旁瓣峰值約為-250 dB，遠遠低于RV-Ⅰ窗和RVSM窗的-74.5和-126.8 dB，且其具有更快的旁瓣衰減速度.因此，RVSMC窗能更加有效地抑制頻譜泄漏的影響.

2 基于RVSMC窗的三譜線插值諧波參數(shù)估計

為分析方便，假設(shè)待檢測的信號為

x(t)=A0sin(2πf0t+φ0)，

(11)

式中：A0、f0、φ0分別為信號的幅值、頻率和相位.對x(t)進行離散化可得

(12)

式中：fs為采樣頻率，n=0，1，…，N-1，N為采樣點數(shù).對x(n)加RVSMC窗并進行離散時間傅里葉變換后可得

e-jφ0WRVSMC(ω+ω0)]，

(13)

式中：ω0=2πf0/fs；WRVSMC(ω-ω0)可由式(7)得到.由于負頻率部分對譜序列分析的影響很小，故在實際處理過程中通常只利用其正頻率部分[21]，相應(yīng)地有

(14)

令ω=2πk/N，ω0=2πk0/N，將X(ω)離散化可得

(15)

由于非同步采樣使得真實頻率通常偏離峰值頻點，為此提出一種基于三譜線插值的方法來獲得真實譜線的位置k0.設(shè)kmax表示信號峰值譜線位置，k1和k2分別表示峰值譜線左右兩邊相鄰的2根譜線.以上3根譜線對應(yīng)的幅值分別為y1=|X(k1)|、y2=|X(kmax)|和y3=|X(k2)|.

(16)

注意到x很小時,有sinx≈x，同時注意到N=2M，式(16)可進一步簡化為

(17)

令kh為一整數(shù)，引入?yún)?shù)ε=k0-kh，ε∈[-0.5,0.5].當(dāng)kh=kmax時有kmax-k0=-ε，則由式(15)可知：

(18)

由(17)可得

(19)

當(dāng)kh=k1時,有k1-k0=-ε-1，相應(yīng)地可得

(20)

當(dāng)kh=k2時，有k2-k0=-ε+1，相應(yīng)地可得

(21)

(22)

式(22)為ε的函數(shù)，為分析方便將其標記為γ=

ε=4.507340610433650γ-

0.298287182918183γ3+

0.039511226381877γ5-

0.006511111851637γ7,

(23)

則待估計的諧波信號頻率的計算公式為

f0=k0Δf=(kmax+ε)fs/N.

(24)

結(jié)合式(15)和(17)可得相位的計算公式為

(25)

在三譜線插值過程中同時利用了y1、y2和y3進行參數(shù)的估計，同時注意到y(tǒng)2對應(yīng)于幅值最大的譜線，其對參數(shù)估計精度的影響最大，故在實際處理過程中，對其賦予更大的權(quán)值2，而y1、y3對應(yīng)的權(quán)值均設(shè)置為1，以進一步提高檢測精度.由式(15)可得

(26)

由此可以得到諧波幅度A0的估計表達式：

(27)

考慮到式(27)中分母為ε的復(fù)雜函數(shù)，不利于實時計算，故仍采用最小二乘法對其進行擬合以得到簡化的多項式表達.

為此引入如下函數(shù)：

(28)

利用類似于求解式(23)的方法可以得到h(ε)的多項式擬合表達式為

h(ε)=0.298 430 792 125 637+

0.016 561 717 105 620ε2+

0.000 468 018 884 915ε4+

0.000 009 046 732 952ε6，

(29)

相應(yīng)地，幅值修正公式為

A0=N-2(y1+2y2+y3)h(ε).

(30)

為了分析方便，上面只是以單次諧波為例給出了參數(shù)估計的方法.當(dāng)存在多次諧波時，只需依次搜索諧波信號譜序列中最大的譜線，然后利用上述方法即可依次計算得到各次諧波的參數(shù).

3 算法仿真

3.1 含弱幅值的復(fù)雜諧波信號的仿真分析

為驗證所提算法的有效性，對含有21次諧波成分的復(fù)雜信號進行參數(shù)估計，設(shè)該信號表達式為

(31)

式中：基頻f0=50.1 Hz；采樣頻率fs=2500 Hz；采樣長度N=2048；h為諧波次數(shù)；Ah為諧波的幅值；φh為諧波的相位，相關(guān)參數(shù)設(shè)置見表1.對信號加文中提出的RVSMC窗、4項3階Nuttall窗、Hanning自乘積窗、Hanning自卷積窗并基于三譜線插值方法進行諧波參數(shù)估計，仿真結(jié)果如圖2所示.圖中Nuttall表示4項3階Nuttall窗，HSM-4表示4階Hanning自乘積窗，HSC-4表示4階Hanning自卷積窗.

表1 諧波信號參數(shù)設(shè)置

圖2 復(fù)雜諧波幅值、頻率和相位估計相對誤差

由圖2可知，在同等條件下RVSMC窗對各次諧波幅值和頻率的檢測相對誤差絕對值的范圍分別為10-10～10-13和10-14～10-16，而對相位的檢測相對誤差絕對值范圍通常為10-10～10-14.總的來說，幅值檢測精度相對于HSM-4提高了2～3個數(shù)量級，相對于HSC-4提高了1～2個數(shù)量級，相對于Nuttall窗則提高了2～4個數(shù)量級；頻率檢測精度相對于HSM-4提高了1～4個數(shù)量級，相對于HSC-4提高了1～3個數(shù)量級，相對于Nuttall窗提高了3～5個數(shù)量級；相位檢測精度相對于HSM-4提高了1～5個數(shù)量級，相對于HSC-4提高了1～4個數(shù)量級，相對于Nuttall窗提高了2～6個數(shù)量級.說明所提新方法降低了幅值、頻率及相位參數(shù)估計的相對誤差，有效地提高了檢測精度.其中頻率相對誤差圖中未顯示的點代表其誤差為0，分別為3、5、12及17次諧波.另外，本算法對弱幅值諧波參數(shù)的檢測精度也較高.以20次諧波為例，新方法對幅值、頻率、相位檢測的相對誤差分別為-8.14×10-11、2.27×10-16、3.26×10-11.

3.2 間諧波試驗

電網(wǎng)在實際運行中不只會產(chǎn)生整次諧波，也會產(chǎn)生間諧波.間諧波的頻率為基波頻率的非整數(shù)倍，它是使電壓發(fā)生閃變的主要原因，因此對間諧波的高精度檢測也很重要.為驗證本算法對間諧波參數(shù)檢測的有效性，利用RVSMC與其他幾類窗函數(shù)進行試驗對比，仿真采用一個由基波和5種間諧波組成的復(fù)合信號，信號模型為

(32)

式中：i為諧波次數(shù)；Ai為諧波的幅值；φi為諧波的相位.間諧波的幅值、頻率和相位設(shè)置見表2，仿真結(jié)果如表3-5所示.由表3-5可知，RVSMC能夠準確檢測出間諧波的幅值、頻率及相位參數(shù).相對于Nuttall、HSM-4和HSC-4窗，幅值的相對誤差數(shù)量級降低至10-11～10-12，頻率的相對誤差通常降低至10-15～10-16，相位的相對誤差降低至10-12～10-14.相較于其他幾類窗函數(shù)，新方法有效地提高了間諧波的參數(shù)檢測精度.

表2 諧波信號參數(shù)設(shè)置

表3 間諧波幅值相對誤差

表4 間諧波頻率相對誤差

表5 間諧波相位相對誤差

3.3 基頻變動試驗

基頻的變化會導(dǎo)致諧波頻率的不確定性，從而降低諧波參數(shù)檢測的精度.為此本試驗考察新方法在基頻變動情況下的檢測性能.GB/T 15945—2009規(guī)定電力系統(tǒng)基波頻率偏差最大范圍為±0.5 Hz，故仿真中設(shè)基波頻率波動的范圍為49.5～50.5 Hz，變化步長為0.1 Hz，這里仍采用式(31)的21次諧波復(fù)雜信號進行試驗分析.各次諧波的參數(shù)估計誤差如圖3所示.

圖3 基頻變動時幅值、頻率和相位估計相對誤差

由圖3可知，新方法對幅值檢測的相對誤差絕對值不超過5×10-11，頻率相對誤差不超過9×10-14，相位相對誤差絕對值不超過6×10-10，諧波參數(shù)分析精度均滿足要求.

4 結(jié) 論

設(shè)計了一種Rife-Vincent自乘-卷積窗函數(shù)，相比于經(jīng)典窗，該窗具有很低的旁瓣峰值和更快的旁瓣衰減速度.在此基礎(chǔ)上，結(jié)合最小二乘和三譜線插值方法，給出了基于Rife-Vincent自乘-卷積窗三譜線插值諧波參數(shù)估計算法.仿真試驗結(jié)果表明：與基于經(jīng)典Nuttall窗、Hanning自乘積窗和Hanning自卷積窗的算法相比，在復(fù)雜信號諧波與間諧波的幅值、頻率和相位的檢測方面，基于Rife-Vincent自乘-卷積窗三譜線插值諧波分析算法的檢測精度有了明顯提高，而且該算法能夠克服基波頻率波動帶來的影響，在分析動態(tài)信號時仍具有較高的檢測精度.