應(yīng)變功率譜密度傳遞比與工作應(yīng)變模態(tài)參數(shù)識別

王世東，任偉新

（1.合肥工業(yè)大學土木與水利工程學院，安徽合肥 230009；2.深圳大學土木與交通工程學院，廣東深圳 518060）

引 言

模態(tài)參數(shù)是結(jié)構(gòu)固有的動力特性，通過識別模態(tài)參數(shù)可以對結(jié)構(gòu)的工作狀態(tài)進行評估。傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別基于結(jié)構(gòu)的輸入（激勵）和輸出（響應(yīng)），對于處于運營（工作）狀態(tài)下的橋梁、建筑、核反應(yīng)堆、大壩、海上平臺等大型土木工程結(jié)構(gòu)，要準確測得結(jié)構(gòu)所受到的激勵非常困難，而且做不到實時監(jiān)測。工作模態(tài)參數(shù)分析（Operational Modal Anal?ysis，OMA）是僅基于響應(yīng)數(shù)據(jù)，即只需測試結(jié)構(gòu)響應(yīng)信息，完成模態(tài)參數(shù)識別的過程，此時一般將結(jié)構(gòu)工作期間所受的激勵（環(huán)境激勵）假定為白噪聲。基于環(huán)境激勵的結(jié)構(gòu)工作模態(tài)參數(shù)識別方法快速發(fā)展，并形成了一系列較為經(jīng)典的方法，如峰值拾取法（Peak?picking，PP）、頻域分解法（Frequency Domain Decomposition，F(xiàn)DD）、多參考最小二乘復(fù)頻域法、NExT 法（Natural Excitation Technique）、特征系統(tǒng)實現(xiàn)算法（Eigensystem Realization Algorithm，ERA）、隨機子空間識別（Stochastic Subspace Identi?fication，SSI）等。大量實踐表明：結(jié)構(gòu)正常工作期間所受激勵難以避免地包含有非白噪聲如諧波成分等，OMA 方法對激勵所做的白噪聲假定與實際激勵有差別，會影響模態(tài)參數(shù)的識別結(jié)果，甚至導(dǎo)致錯誤的識別結(jié)果［1?2］。

Yan 等［3］提出了功率譜密度傳遞比（Power Spectrum Density Transmissibility，PSDT）的概念。PSDT 定義為兩響應(yīng)測點i，j與一參考測點k的互功率譜密度函數(shù)Sik和Sjk的比值。從理論上證明了在系統(tǒng)的極點處，PSDT 收斂于兩測點i和j的振型系數(shù)之比φi/φj，這一特性與激勵類型和參考點位置的選擇無關(guān)。因此，在一種激勵工況下，對相同的測點選擇不同的參考點來計算多組PSDT，在系統(tǒng)極點處，各組PSDT 均相等且收斂于對應(yīng)測點的振型系數(shù)。隨后，張昱等［4］和Li 等［5］細致地論述了以上特性。基于PSDT 的概念，Yan 等［6］進一步提出了改進的PSDT 方法，即PSDT?driven PP 和EPSDT 方法。Araujo 等［7?8］基于PSDT 相繼提出了PSDTM?SVD方法和改進的PSDTM?SVD 方法。結(jié)果表明，基于PSDT 的工作模態(tài)參數(shù)識別方法具有理論價值和實際應(yīng)用優(yōu)勢［9］。

經(jīng)典的模態(tài)參數(shù)識別指位移模態(tài)參數(shù)識別，所得到的振型為位移振型［10］。和位移相比，應(yīng)變對結(jié)構(gòu)的局部損傷（如裂縫、孔洞等）更加敏感，能更好地反映出結(jié)構(gòu)局部特性的變化，在損傷識別領(lǐng)域應(yīng)用較多［11?12］。早期的模態(tài)試驗通過測試位移模態(tài)然后借助中心差分法間接得到應(yīng)變模態(tài)［13?14］，為了避免中心差分所產(chǎn)生的數(shù)值誤差，學者們研究直接利用應(yīng)變測試數(shù)據(jù)來建立應(yīng)變響應(yīng)模型。伊立言［15］將應(yīng)變計用于模態(tài)試驗，提出了應(yīng)變模態(tài)的概念。Yam等［16］推導(dǎo)了應(yīng)變頻響函數(shù)（Strain Frequency Re?sponse Functions，SFRFs），給出了應(yīng)變模態(tài)參數(shù)（頻率、阻尼、應(yīng)變振型）識別的實驗測試方法。隨后，許多經(jīng)典的位移模態(tài)分析方法也被引入到應(yīng)變模態(tài)參數(shù)識別中，如隨機子空間方法、特征系統(tǒng)實現(xiàn)算法、頻域空間域分解法等［17?20］。

為了實現(xiàn)僅基于應(yīng)變響應(yīng)測試的結(jié)構(gòu)應(yīng)變工作模態(tài)參數(shù)識別，本文定義了響應(yīng)應(yīng)變功率譜密度傳遞比，從理論上證明了其在系統(tǒng)的極點處為應(yīng)變振型系數(shù)之比。利用這一性質(zhì)，選取一系列不同的參考點構(gòu)造響應(yīng)應(yīng)變功率譜密度傳遞比矩陣，在系統(tǒng)的極點處對該矩陣進行奇異值分解，分解所得左奇異矩陣的第一列向量即為應(yīng)變振型，從而實現(xiàn)結(jié)構(gòu)工作應(yīng)變模態(tài)參數(shù)的識別。該方法不需要對激勵做白噪聲假設(shè)，也不需要改變激勵類型，直接通過測試一種工況下的應(yīng)變響應(yīng)數(shù)據(jù)就能識別出結(jié)構(gòu)的應(yīng)變工作模態(tài)參數(shù)。

1 應(yīng)變模態(tài)分析理論

由模態(tài)分析理論，結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)u由位移振型向量φr和模態(tài)坐標qr疊加而成。類似地，結(jié)構(gòu)的應(yīng)變響應(yīng)ε也可以用應(yīng)變振型φεr和模態(tài)坐標q′r疊加而成，如下式所示：

位移和應(yīng)變是結(jié)構(gòu)同一能量狀態(tài)的兩種表達，對于第r階模態(tài)，應(yīng)變模態(tài)坐標q′r和位移模態(tài)坐標qr相等。對于線性時不變系統(tǒng)，模態(tài)坐標可以表示為：

式中kr，mr和cr分別代表第r階模態(tài)剛度、模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)阻尼；N表示模態(tài)的數(shù)目；F表示激勵力的幅值；ω表示圓頻率；j 表示虛數(shù)符號，j2=?1；t表示時間。由方程（2）和（3）得到如下式所示的應(yīng)變模態(tài)表達式：

由方程（3）和（4）得到j(luò)點激勵，i點響應(yīng)的應(yīng)變頻響函數(shù)（Strain Frequency Response Function，SFRF）表達式如下：

式（5）表示第r階應(yīng)變模態(tài)振型向量在i測點的系數(shù)，φjr由表示第r階位移模態(tài)振型向量在i測點的系數(shù)，應(yīng)變頻響函數(shù)(ω)組成應(yīng)變頻響矩陣Hε如下：

將方程（6）寫成如下式所示的極點留數(shù)形式：

式中s表示一個復(fù)數(shù)，表示系統(tǒng)的極點；表示留數(shù)矩陣；為第r階模態(tài)參與系數(shù)向量，其含義是第r階模態(tài)在振動響應(yīng)中所占的比重；和分別為和λr的復(fù)共軛，ζr表示第r階模態(tài)阻尼比。當不考慮阻尼的影響時有ζr=0，λr=jωr為系統(tǒng)的極點。此時結(jié)構(gòu)的第r階頻率如下式所示：

2 應(yīng)變功率譜密度傳遞比

對于平穩(wěn)隨機過程，系統(tǒng)的輸入與輸出有如下關(guān)系：

式中S(s)m×m表示響應(yīng)的功率譜密度矩陣；m為位移響應(yīng)的測試點數(shù)；G(s)n×n表示激勵的功率譜密度矩陣；n表示激勵的作用點數(shù)；H(s)為m×n階頻響函數(shù)矩陣；H*(s)T表示H(s)的共軛轉(zhuǎn)置。

由方程（9），點i與點j的互功率譜可以表示為以下方程：

式中表示H(s) 第i行；（s）j表示矩陣H*(s)T的第j列。方程（10）可以寫成如下式所示的累加求和形式：

式中Hik(s)表示i點響應(yīng)和k點（k=1，2，…，N）激勵之間的傳遞函數(shù)；Gkn(s)表示在點k和點n（n=1，2，…，N）上激勵的互功率譜密度；(s)表示j點的位移響應(yīng)和n點激勵的傳遞函數(shù)的復(fù)共軛。

選定任一響應(yīng)測試點p為參考點，i點和j點的功率譜密度傳遞比PSDT 定義為：i點響應(yīng)yi（t）與參考點p點響應(yīng)yp（t）之間的互功率譜Sip（s），j點響應(yīng)yj（t）與參考點p點響應(yīng)yp（t）之間的互功率譜Sjp（s），兩者之比表示為：

借鑒位移響應(yīng)功率譜密度傳遞比的概念，定義響應(yīng)應(yīng)變功率譜密度傳遞比（Strain Power Spectrum Density Transmissibility，SPSDT），即i點應(yīng)變響應(yīng)εi（t）與參考點p點應(yīng)變響應(yīng)εp（t）之間的互功率譜，j點應(yīng)變響應(yīng)εj（t）與參考點p點響應(yīng)εp（t）之間應(yīng)變響應(yīng)的互功率譜密度兩者之比表示為：

由方程（6）和（9），對于平穩(wěn)隨機過程，可以建立用應(yīng)變表示的系統(tǒng)的輸入與輸出關(guān)系：

式中Sε(s)m×m表示結(jié)構(gòu)應(yīng)變響應(yīng)的功率譜矩陣，m為響應(yīng)測點；G(s)n×n表示激勵的功率譜密度矩陣，n為激勵作用點數(shù)；Hε(s)為m×n階應(yīng)變傳遞函數(shù)矩陣；Hε*(s)T為Hε(s)的共軛轉(zhuǎn)置。由方程（9），（10），（11）和（14）可得：

則由方程（15）和（13），響應(yīng)應(yīng)變功率譜密度傳遞比可以表示為：

式中(s)表示k點激勵，i點響應(yīng)的應(yīng)變傳遞函數(shù)；Gkn(s)表示在k點和n點的激勵的互功率譜密度。在方程（16）中，取分母與分子有相同下標的項得到εtkn(s)：

當s→λr，εtkn(s)的極限：

式中和分別代表i測點和j測點在第r階應(yīng)變模態(tài)振型中對應(yīng)的振型系數(shù)。在復(fù)平面中，當fn（s）和gn（s）（n=1，2，…，N）滿足下式時：

方程（19）中η表示同一常數(shù)，可得：

結(jié)合方程（16），（18），（19）和（20）可以得到：

同理，當參考點選擇為q點時，可以得到下式：

至此證明了在系統(tǒng)的極點處，SPSDT 等于測點i和測點j的應(yīng)變振型系數(shù)和的比值，這一特性與參考點的選擇無關(guān)，只與測點i和j的位置有關(guān)。

3 基于SPSDT 的應(yīng)變模態(tài)參數(shù)識別

對測點i和j，選擇不同參考點p和q，對SPSDT做差，由方程（21）和（22）可以得到：

當s→λr時：

對方程（24）取倒數(shù)記為Δ-1[(s)］，顯然系統(tǒng)的極點是Δ-1[(s)]的極點。需要注意的是，由方程（25）所得到的極點中可能包含與系統(tǒng)極點無關(guān)的虛假極點。為了減少虛假極點的出現(xiàn)，融合所有參考點的信息構(gòu)造如下方程，確定系統(tǒng)的極點：

選定k（k=1，2，…，N）測點為基準點，然后結(jié)合其他N個測點和N個參考點的信息，構(gòu)成SPSDT矩陣εT(s)如下式所示：

由方程（21），（22）和（27），當s=λr時：

方程（28）中應(yīng)變功率譜密度傳遞比矩陣εT(λr)的秩為1。在λ r處對εT(λr)矩陣進行奇異值分解：

方程（29）中所得到的左奇異矩陣U的第一列向量為第r階應(yīng)變振型。依次改變k（k=1，2，…，N）的取值，S表示對角線位置的元素由奇異值組成的對角矩陣，VH表示右奇異矩陣。由方程（27），（28）和（29）計算N個向量（k=1，2，…，N）。對以上所得N個向量按照最大值歸一化以后取平均，即可得到應(yīng)變振型如下式所示：

綜上，基于響應(yīng)應(yīng)變功率譜密度傳遞比的結(jié)構(gòu)應(yīng)變工作模態(tài)參數(shù)識別過程如圖1所示。

圖1 基于SPSDT 的應(yīng)變模態(tài)參數(shù)識別流程圖Fig.1 Flow chart of strain modal parameter identification based on SPSDT

4 數(shù)值算例

如圖2所示為三跨連續(xù)梁模型，連續(xù)梁總長為60 m，跨度為20 m+20 m+20 m。截面為矩形，寬0.6 m，高0.2 m。梁的材料特性如下：密度為7900 kg/m3，彈性模量為210 GPa。采用有限元方法，全橋劃分為60 個單元，每個單元的長度為1 m，單元類型為BEAM188，通過自振分析可得到結(jié)構(gòu)固有頻率。

圖2 三跨連續(xù)梁模型Fig.2 Model of 3-span continuous beam

用Matlab 生成61 組服從標準正態(tài)分布的隨機數(shù)，每組數(shù)據(jù)包含5000 個數(shù)，模擬隨機激勵同步加載到各個節(jié)點，對梁做動力時程分析，時間步長為0.01 s，計算節(jié)點的應(yīng)變時程數(shù)據(jù)。采用建立的基于響應(yīng)應(yīng)變功率譜密度傳遞比方法，僅基于應(yīng)變響應(yīng)識別梁的應(yīng)變模態(tài)參數(shù)。按照最大值歸一化，得到應(yīng)變模態(tài)振型如圖3所示，頻率識別結(jié)果比較如表1所示。

表1 頻率識別結(jié)果Tab.1 Recognition results of frequencies

值得注意的是，應(yīng)變模態(tài)和位移模態(tài)是結(jié)構(gòu)同一種狀態(tài)的兩種表達。通常位移模態(tài)振型φ和應(yīng)變模態(tài)振型φε是不同的，如圖3所示，圖中位移模態(tài)振型由有限元計算直接得到，而應(yīng)變振型為用本文方法識別得到的。

圖3 位移振型和應(yīng)變振型Fig.3 Displacement mode shapes and strain mode shapes

對于受彎為主的梁而言，應(yīng)變是位移的二階導(dǎo)數(shù)。有限元計算無法直接計算出應(yīng)變模態(tài)振型，一般由位移模態(tài)振型差分2 次得到應(yīng)變模態(tài)振型。本文所建立的應(yīng)變功率譜密度傳遞比方法，基于結(jié)構(gòu)的應(yīng)變響應(yīng)，可以直接識別出結(jié)構(gòu)的應(yīng)變模態(tài)振型。

5 實驗驗證

實驗簡支梁模型的梁長為3.05 m，凈跨為3 m。矩形截面高為22.5 mm，寬為125 mm，材料為鋁合金，密度為2.7×103kg/m3，彈性模量為70 GPa。梁等間距分為20 段，共設(shè)置19 個應(yīng)變測點，測點布置如圖4所示。實驗采用的應(yīng)變片為電阻式應(yīng)變計，型號為BX120?3AA，由浙江黃巖測試儀器廠生產(chǎn)，電阻值為120 Ω，靈敏系數(shù)為2.08。實驗數(shù)據(jù)采集使用NI 動態(tài)數(shù)據(jù)采集儀，該儀器包括的組件有NI PXIe?1082、PXIe?8840 控制器、PXIe?4330 應(yīng)變測試模塊、TB4330 接線盒。簡支梁模型、動態(tài)數(shù)據(jù)采集儀、支座模型和應(yīng)變片分別如圖4～7 所示。

圖4 簡支梁模型Fig.4 Model of simply supported beam

圖5 NI 數(shù)據(jù)采集儀Fig.5 NI data acquisition instrument

圖6 支座模型Fig.6 Support model

圖7 應(yīng)變片F(xiàn)ig.7 Strain gauge

本文給出的SPSDT 模態(tài)參數(shù)識別法不需要對激勵類型做任何假設(shè)，僅利用響應(yīng)數(shù)據(jù)就能識別模態(tài)參數(shù)。因此實驗室做試驗時用小錘敲擊作為加載，加載位置和敲擊力大小隨機。采樣時長為150 s，采樣頻率為1000 Hz。測點10 的時長30 s 的應(yīng)變時程曲線如圖8所示。

圖8 測點10 時長30 s 的應(yīng)變時程Fig.8 30 seconds strain history of testing point 10

針對模型實驗梁實測應(yīng)變響應(yīng)數(shù)據(jù)，采用本文SPSDT 方法進行了應(yīng)變模態(tài)參數(shù)識別，并采用傳統(tǒng)的頻域分解法（FDD）和隨機子空間方法（SSI）識別，同時給出有限元結(jié)果和理論解，五種方法所得固有頻率結(jié)果比較如表2所示，結(jié)果吻合良好。

表2 頻率結(jié)果比較Tab.2 Comparison of frequency results

由SPSDT 方法直接識別出的前四階應(yīng)變模態(tài)振型如圖9所示。各振型按照最大值歸一化處理，表明本文建立的基于響應(yīng)應(yīng)變功率譜密度傳遞比結(jié)構(gòu)工作應(yīng)變模態(tài)參數(shù)識別方法，僅基于應(yīng)變響應(yīng)，不僅能方便地識別出結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率，還可以識別出結(jié)構(gòu)的工作應(yīng)變模態(tài)振型。圖9對比了解析應(yīng)變振型和識別應(yīng)變振型；表3給出了前四階解析應(yīng)變振型和識別的應(yīng)變振型的MAC 值，其中對角項的MAC 均大于0.99，非對角項小于0.01。結(jié)果表明兩種方法所得到的結(jié)果是一致的。

表3 解析應(yīng)變振型與識別應(yīng)變振型的MACTab.3 MAC of analysis strain mode shape and identifi?cation strain mode shape

圖9 簡支梁應(yīng)變振型Fig.9 Strain mode shapes of simply supported beam

為探討數(shù)據(jù)長度（采樣時長）對識別結(jié)果的影響，選取一段時長4 min，采樣頻率1000 Hz 的應(yīng)變響應(yīng)數(shù)據(jù)，將其劃分成時長為1，2，3 和4 min 的四段數(shù)據(jù)，進行應(yīng)變模態(tài)參數(shù)識別。4 種不同時長的應(yīng)變數(shù)據(jù)識別出實驗梁的固有頻率比較如表4所示，所得前四階頻率結(jié)果相同。

表4 采樣時長與頻率Tab.4 Sampling time and frequency

對于應(yīng)變模態(tài)振型的比較，采用模態(tài)置信準則（Modal Assurance Criterion，MAC）：

式（31）中，當MAC 為0 時，表示兩向量完全無關(guān)；當MAC 為1 時，表示兩向量完全相關(guān)。以采樣時長60 s 的數(shù)據(jù)識別出的前四階應(yīng)變模態(tài)振型作為基準，和其他三組不同時長數(shù)據(jù)做比較。分別取2，3，4 min 時長數(shù)據(jù)所識別出的前四階應(yīng)變模態(tài)振型計算MAC，各組數(shù)據(jù)所識別結(jié)果不同階次的應(yīng)變模態(tài)振型之間的MAC 均小于0.01，相同階次的應(yīng)變振型MAC 接近于1。在表5中列出不同時長數(shù)據(jù)所識別的前四階相同階次應(yīng)變模態(tài)振型之間的MAC值，其中第二列數(shù)值為采樣時長1 min 的數(shù)據(jù)所識別的前四階應(yīng)變模態(tài)振型的MAC。

表5 采樣時長與MACTab.5 Sampling time and MAC

6 結(jié) 論

（1）選取一個應(yīng)變響應(yīng)測點作為參考點，定義了一個響應(yīng)應(yīng)變功率譜密度傳遞比（Strain Power Spectrum Density Transmissibility，SPSDT），從理論上證明了SPSDT 在系統(tǒng)的極點處為應(yīng)變振型系數(shù)之比；

（2）選取一系列不同的響應(yīng)參考點構(gòu)造響應(yīng)應(yīng)變功率譜密度傳遞比矩陣，在系統(tǒng)的極點處對該矩陣進行奇異值分解，分解所得左奇異矩陣的第一列向量即為應(yīng)變振型，從而實現(xiàn)結(jié)構(gòu)工作（僅基于響應(yīng)）應(yīng)變模態(tài)參數(shù)的識別；

（3）數(shù)值模擬算例和實驗室模型試驗驗證了所提出方法的有效性，并分析了采樣時長對識別結(jié)果的影響，結(jié)果表明該方法具有較好的魯棒性；

（4）與傳統(tǒng)的工作模態(tài)分析方法相比，SPSDT方法不需要對激勵做白噪聲假定，不需要多種激勵類型，僅在一種激勵下，即可識別出結(jié)構(gòu)的工作應(yīng)變模態(tài)參數(shù)。