圓錐擺模型的探究與拓展

劉萬強(qiáng) 肖夢軍

圓錐擺是水平面內(nèi)的勻速圓周運動的典型實例，建立圓錐擺模型，研究其受力特點、運動特點、等效模型及臨界問題，突破圓錐擺的動力學(xué)分析這一學(xué)習(xí)難點，可以更好地激發(fā)同學(xué)們的研究、創(chuàng)造與創(chuàng)新意識。

一、圓錐擺模型的建立

1.模型特點：一根質(zhì)量和伸長量可以忽略不計的細(xì)線，上端固定，下端系一個可以視為質(zhì)點的擺球，擺球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，細(xì)線所掠過的路徑為圓錐表面。

2.受力特點：如圖1所示，擺球只受豎直向下的重力mg和沿細(xì)線方向的拉力F兩個力作用。這兩個力的合力提供擺球做圓周運動所需的向心力F。（也可以理解為拉力F的豎直分力與擺球的重力平衡，拉力 F的水平分力提供向心力）。

3.運動特點：設(shè)擺長為L，細(xì)線與豎直方向之間的夾角為，擺的周期為T，根據(jù)牛頓第二定律得Fn==mr，其中 r=，解得T=。因此周期T越小，圓錐擺轉(zhuǎn)得越快，越大，擺高h(yuǎn)=Lcos越小，拉力F=越大，擺球的加速度a=gtan越大。

二、圓錐擺模型的拓展

拓展1：影響周期、加速度等的因素。

根據(jù)圓錐擺的運動特點可得，圓錐擺的擺角大小決定拉力的大小，也決定周期、加速度等描述運動快慢的物理量。根據(jù)圓錐擺的運動特點可以將其分為以下三種。

1.等長擺：如圖2甲所示，其特點是擺長 L相同，周期T=2πLcos由決定。

2.等高擺：如圖2乙所示，其特點是擺高 h相同，周期T=2π相同。

3.等角擺：如圖2丙所示，其特點是擺角0相同，擺球的加速度a=gtan θ相同。

例1天花板下懸掛的輕質(zhì)光滑小圓環(huán)P可繞過懸掛點的豎直軸無摩擦地旋轉(zhuǎn)。一根輕繩穿過圓環(huán)P，兩端分別連接質(zhì)量為m1和m2的小球A、B（m1≠m2）。設(shè)兩球同時做如圖3所示的圓錐擺運動，且在任意時刻兩球均在同一水平面內(nèi)，則（）。

A.兩球運動的周期相等

B.兩球的向心加速度大小相等

C.小球A、B到圓環(huán)P的距離之比等于m2：m

D.小球A、B到圓環(huán)P的距離之比等于m1：m2

解析：選其中一個小球為研究對象，進(jìn)行受力分析，受到重力和輕繩的拉力F作用，設(shè)輕繩與豎直方向之間的夾角為，小球到圓環(huán)P的距離為l，則，解得周期T=。因為任意時刻兩球均在同一水平面內(nèi)，所以兩球運動的周期相等，選項A正確。因為連接兩球的輕繩的張力F相等，向心力Fn=Fsin 0=mω2lsin ，所以m與l成反比，即選項C正確.D錯誤。因為向心加速度an=，所以兩球的向心加速度大小不相等，選項B錯誤。

答案：AC

拓展2：“類圓錐擺”問題。

將圓錐擺擺繩的拉力由接觸面的支持力等效替代，將不同位置的支持力作用線的交點等效為輕繩的懸點，則其加速度、周期等運動分析與圓錐擺相同，這類圓周運動稱為“類圓錐擺”問題。根據(jù)類圓錐擺的運動特點可以將其分為以下三種。

1.等長半球擺：如圖4甲所示，其特點是擺長L相同，周期T由決定。

2.等高圓環(huán)擺：如圖4乙所示，其特點是擺高h(yuǎn)相同，周期T=2π相同。

3.等角漏斗擺：如圖4丙所示，其特點是擺角相同，擺球的加速度a=gtan相同。例2如圖5所示，一個內(nèi)壁光滑的圓錐筒固定在地面上，圓錐筒的軸線豎直。一個小球貼著筒的內(nèi)壁在水平面內(nèi)做圓周運動，由于微弱的空氣阻力作用，小球的運動軌跡由A軌道緩慢下降到B軌道，則在此過程中（）。

A.小球的向心加速度逐漸減小

B.小球的角速度逐漸減小

C.小球的線速度逐漸減小

D.小球的周期逐漸減小

解析：以小球為研究對象，進(jìn)行受力分析，如圖6所示，根據(jù)牛頓第二定律和圓周運動規(guī)律得F。=/n5=ma。=v2=mω2r，因此小球在A、B兩軌道上運動時的向心力Fn=大小相等，向心加速度an=不變，選項A錯誤。根據(jù)ω= g可知，若半徑r減小，則角速度ω增大，選項B錯誤。根據(jù)v=gr 可知，若半徑r減小，則線速度v減小，選項C正確。根據(jù)T=2π可知，若角速度ω增大，則周期T減小，選項D正確。

答案：D

拓展3：圓錐擺的臨界問題。

根據(jù)圓錐擺的動力學(xué)方程mgtan=mω2Lsin得角速度ω=，可見圓錐擺的擺角越大，角速度ω越大，運動越快。當(dāng)擺角確定時，僅由重力和拉力（等效于拉力的支持力）的合力提供向心力，此時的角速度ω。稱為臨界角速度。當(dāng)擺球?qū)嶋H運動的角速度ω<ω。時，重力和拉力（等效于拉力的支持力）的合力提供的向心力過大，需要其他力（彈力或摩擦力）來削弱;當(dāng)擺球?qū)嶋H運動的角速度ω>ω。時，重力和拉力（等效于拉力的支持力）的合力提供的向心力過小，需要其他力（彈力或摩擦力）來彌補(bǔ)。圓錐擺臨界問題的常見案例有以下四種。

1.接觸面彈力與輕繩拉力束縛：如圖7甲所示，當(dāng)ω很小時，物體懸空;當(dāng)ω較大時，物體與側(cè)壁接觸。

2.雙繩束縛：如圖7乙所示，當(dāng)ω很小時，輕繩B松弛;當(dāng)ω較大時，輕繩B繃緊。

3.接觸面雙彈力束縛：如圖7丙所示，當(dāng)ω很小時，內(nèi)軌對車輪有壓力;當(dāng)ω較大時，外軌對車輪有壓力。

4.彈力與摩擦力束縛：如圖7丁所示，當(dāng)ω很小時，摩擦力指向外側(cè);當(dāng)ω較大時，摩擦力指向內(nèi)側(cè)。

例3如圖8所示，內(nèi)壁光滑的玻璃管內(nèi)用長為L的輕繩懸掛一個小球。當(dāng)玻璃管繞豎直軸以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動時，小球與玻璃管間恰無彈力作用。下列說法中正確的是（）。

A.僅增加繩長后，小球?qū)⑹艿讲ＡЧ苄毕蛏戏降膹椓?/p>

B.僅增加繩長后，若仍保持小球與玻璃管間無彈力，則需減小ω

C.改變小球質(zhì)量后，小球仍不受到玻璃管的彈力

圖8 D.僅增大角速度至ω'后，小球?qū)⑹艿讲ＡЧ苄毕蛏戏降膹椓?/p>

解析：設(shè)輕繩與豎直方向之間的夾角為，小球的質(zhì)量為m，當(dāng)玻璃管繞豎直軸以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動時，對小球進(jìn)行受力分析，如圖9所示，則Fn=mgtan=mω2r=mω2Lsinθ。增加繩長L后，小球需要的向心力增大，小球有做離心運動的趨勢，小球?qū)D壓右側(cè)管壁，玻璃管對小球的彈力斜向下，選項A錯誤。增加繩長L后，小球做圓周運動的半徑增大，要想保持小球與管壁之間無彈力，則需減小角速度ω，選項B正確。改變小球質(zhì)量后，根據(jù)mgtan0=mω2Lsinθ中的質(zhì)量可被約去可知，小球做圓周運動的半徑不變，小球仍不受到玻璃管的彈力，選項C正確。僅增大角速度至ω'之后，小球需要的向心力增大，小球有做離心運動的趨勢，小球?qū)D壓右側(cè)管壁，玻璃管對小球的彈力斜向下，選項D錯誤。

答案：BC

例4如圖10所示，半徑為R的半球形陶罐固定在可以繞豎直軸旋轉(zhuǎn)的水平轉(zhuǎn)臺上，轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)軸與過陶罐球心O的對稱軸OO'重合，轉(zhuǎn)臺以一定的角速度ω勻速旋轉(zhuǎn)，一質(zhì)量為m的小物塊落入陶罐內(nèi)，經(jīng)過一段時間后，物塊陶罐隨陶罐一起轉(zhuǎn)動且相對罐壁靜止，物塊和O點的連線與OO'之間的夾角θ=60°，重力加速度大小為g。下列說法中正確的是（）。

A.若ω=，則物塊受到的摩擦力恰好為零

B.若ω=，則物塊受到的摩擦力恰好為零

C.若ω=，則物塊受到的摩擦力沿罐壁切線方向向下

D.若ω=，則物塊受到的摩擦力r=1/3mg

解析：當(dāng)物塊受到的摩擦力為零時，物塊只受重力和支持力作用，如圖11所示，則Fn=mg mgtan 0=mwRsin 0，解得，選項A正確，B錯誤。當(dāng)ω=<ω0時，物塊受到的靜摩擦力f的方向沿罐壁切線方向向上，選項C錯誤。當(dāng)ω=時，物塊受到的靜摩擦力f的方向沿罐壁切線方向向下，則fcos θ+Nsin θ=mω2r，Ncos θ=fsin θ+mg，其中 r=Rsin θ，解得f=3/3mg，選項D正確。

答案：AD

總結(jié)：圓錐擺是生產(chǎn)生活中常見的模型，建立圓錐擺模型，分析其特點可以起到化繁為簡、化難為易的作用。掌握圓錐擺（類圓錐擺）模型的受力特點和運動特點，從物理觀念來看，可以幫助同學(xué)們加深對力的合成與分解的理解，進(jìn)而應(yīng)用牛頓運動定律解決動力學(xué)問題;從科學(xué)思維來看，可以幫助同學(xué)們掌握類圓錐擺中應(yīng)用的等效法，進(jìn)而提高邏輯思維能力;從科學(xué)探究來看，同學(xué)們通過尋找向心力的來源，可以進(jìn)一步理解和掌握圓周運動的動力學(xué)問題的探究方法;從科學(xué)態(tài)度與責(zé)任來看，體會等效思想的內(nèi)涵，有助于提高同學(xué)們的科學(xué)素養(yǎng)，通過動態(tài)分析擺球的受力情況，有利于同學(xué)們科學(xué)思維觀和方法論的形成，為同學(xué)們的終身學(xué)習(xí)、研究和發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

（責(zé)任編輯張巧）