多重對(duì)比，讓計(jì)算學(xué)習(xí)走向深入
——以人教版二年級(jí)下冊(cè)『除法豎式』為例

文 張慧

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中提出：“數(shù)的運(yùn)算重點(diǎn)在于理解算理、掌握算法，數(shù)與運(yùn)算之間有密切的關(guān)聯(lián)?！睂W(xué)生在計(jì)算的學(xué)習(xí)過程中不僅要掌握算法，明晰算理，還要感悟計(jì)算的本質(zhì)，建立計(jì)算知識(shí)體系，從而實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。劉月霞教授在《深度學(xué)習(xí)：走向核心素養(yǎng)（理論普及讀本）》中指出：“在深度學(xué)習(xí)中，學(xué)生掌握學(xué)科的核心知識(shí)，理解學(xué)習(xí)的過程，把握學(xué)科的本質(zhì)及思想方法，形成積極的內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、高級(jí)的社會(huì)性情感、積極的態(tài)度、正確的價(jià)值觀，成為既具獨(dú)立性、批判性、創(chuàng)造性又有合作精神，基礎(chǔ)扎實(shí)的優(yōu)秀的學(xué)習(xí)者，成為未來社會(huì)歷史實(shí)踐的主人?！笨梢姡疃葘W(xué)習(xí)著眼于學(xué)生對(duì)于知識(shí)的遷移和對(duì)知識(shí)整體的把握，并重視學(xué)生思維和情感的提升。

四則運(yùn)算中難度最大的是除法，學(xué)生在描述書寫過程和計(jì)算中有一定的困難。除法豎式的形式較為特殊，因此掌握其算法、理解其算理都存在一定的困難。人教版二年級(jí)下冊(cè)教材第六單元中第一次出現(xiàn)了“除法豎式”，學(xué)生在掌握豎式計(jì)算方法和理解算理的過程中遇到困難。原因有三：其一，除法豎式的書寫格式與學(xué)生本節(jié)課前學(xué)習(xí)的加、減、乘法豎式不一樣；其二，除法豎式中被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)的書寫位置沒有按照橫式的順序進(jìn)行排列；其三，學(xué)生難于從除法豎式中直接觀察到平均分的過程。比較是一切理解和一切思維的基礎(chǔ)，對(duì)于難理解和難掌握除法豎式的學(xué)習(xí)來說，教師可以讓學(xué)生在多次對(duì)比的過程中理解除法豎式的計(jì)算過程，建立起除法橫式與除法豎式之間的聯(lián)系，從而深化對(duì)除法豎式模型的理解和掌握。

一、對(duì)比豎式圖形，解析除法豎式過程

邏輯并不產(chǎn)生于語(yǔ)言，而是可以從動(dòng)作的普遍協(xié)調(diào)中找到其較深的起源，計(jì)算思維是一種邏輯推理，學(xué)生在算理的學(xué)習(xí)中就要借助動(dòng)作來經(jīng)歷邏輯推理過程，從而形成計(jì)算思維。小學(xué)生的思維大多處于具體運(yùn)算階段，在此階段中，學(xué)生要借助具體的表象來表征抽象的運(yùn)算，從而理解運(yùn)算的道理。小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算是十分抽象的，其豎式的書寫規(guī)則是約定俗成的，學(xué)生不能夠直接體會(huì)其優(yōu)勢(shì)。幾何直觀作為理解計(jì)算的腳手架，是連接豎式計(jì)算外在形式和內(nèi)在算理的橋梁。在“除法豎式”一課的教學(xué)中，教師在學(xué)生列橫式計(jì)算后創(chuàng)設(shè)“有13 個(gè)車輪，組裝1 輛車用4 個(gè)車輪，可以組裝幾輛車？”的情境，為學(xué)生提供豎式計(jì)算的機(jī)會(huì)，并讓學(xué)生借助操作圓片解析豎式計(jì)算過程。

師：（如圖1）這位同學(xué)列的豎式就是數(shù)學(xué)上規(guī)定的除法豎式，它與我們以前學(xué)習(xí)的加法、減法和乘法豎式不一樣，你能看懂這個(gè)豎式嗎？請(qǐng)你借助圓片擺出豎式計(jì)算的過程，一邊擺一邊說豎式里面的每一個(gè)數(shù)表示什么？

借助已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生擺出圖2，邊擺邊解釋圖1 豎式計(jì)算的過程。

圖1

圖2

師：結(jié)合圖來說說，豎式里的13、4、3、12 和1 分別表示什么？

生：13 是被除數(shù)，是表示車輪的總數(shù)，是所有圓片數(shù)。

生：4 是除數(shù)，是每輛車有4個(gè)車輪，是一輛的車輪數(shù)。

生：3 是商，是可以裝3 輛車，一共有3 輛。

生：12 是3×4 的積，是用掉的車輪。

生：1 是余數(shù)，是分剩下的車輪。

借助分圓片的操作過程，學(xué)生將抽象的除法豎式計(jì)算過程具體化。豎式計(jì)算的過程較為抽象，學(xué)生不能夠直接理解其過程中的各數(shù)是什么意思，尤其是12，只有在豎式中有所體現(xiàn)，無法在橫式中找到。學(xué)生借助操作經(jīng)歷平均分的過程，找到了豎式中的除數(shù)4和商3，也找到了12 的原型，是3個(gè)4，即組裝3 輛車用掉的車輪數(shù)。在本環(huán)節(jié)中，學(xué)生通過擺一擺、圈一圈等活動(dòng)，將平均分的過程與豎式計(jì)算的過程相結(jié)合，就能夠理解豎式計(jì)算中的每一個(gè)數(shù)字表示的含義。

二、對(duì)比橫式豎式，感悟豎式的完整性

比學(xué)什么更重要的是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)過程中一定要遷移舊的知識(shí)與方法。知識(shí)遷移是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最重要的方法之一，任何數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)之前，學(xué)生都有著一定數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和生活經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)。如學(xué)生在學(xué)習(xí)列除法豎式前已經(jīng)學(xué)習(xí)了列橫式計(jì)算有余數(shù)的除法，知道除法橫式中各部分的名稱，能列出“13÷4＝3（輛）……1（個(gè)）”的算式，求出組裝3 輛車，還剩1 個(gè)車輪。但是橫式計(jì)算有局限，其無法呈現(xiàn)豎式計(jì)算的全過程。對(duì)于第一次接觸除法豎式的學(xué)生來說，初步理解和掌握除法豎式計(jì)算模型是本節(jié)課的重難點(diǎn)之一。因此，教師在教學(xué)前要充分把握學(xué)生的知識(shí)起點(diǎn)，找準(zhǔn)學(xué)生知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)。學(xué)生要遷移除法橫式的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)學(xué)習(xí)豎式，將除法豎式中各部分名稱與橫式相對(duì)應(yīng)，從而感悟除法豎式能夠完整清晰地體現(xiàn)除法豎式的計(jì)算過程。

師：觀察橫式和豎式，它們有什么相同與不同？

生：橫式里的被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)在豎式里面也有。

生：豎式比橫式多了一個(gè)12，12 是3×4 的積。

師：橫式與豎式表示的道理都一樣，只不過豎式能夠清楚地表示出除法計(jì)算的過程。

學(xué)生在學(xué)習(xí)豎式前是用橫式表示除法計(jì)算的，在學(xué)習(xí)豎式后，學(xué)生學(xué)會(huì)用豎式來表示計(jì)算的過程，也能夠詳細(xì)描述除法豎式的算法。除法橫式是舊知識(shí)，豎式是新知識(shí)，在教學(xué)中教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生借助對(duì)比的手段在新舊知識(shí)之間形成聯(lián)系，使得除法豎式各部分與橫式的各部分一一對(duì)應(yīng)起來，從而借助橫式來理解豎式的計(jì)算過程。此外，在學(xué)習(xí)除法豎式的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生將橫式和豎式進(jìn)行對(duì)比，區(qū)分橫式與豎式各自的優(yōu)勢(shì)，感悟豎式不僅能夠體現(xiàn)除法各個(gè)部分，還能夠體現(xiàn)除法計(jì)算的過程，即感悟豎式的完整性。

三、對(duì)比正誤格式，鞏固除法豎式表象

相對(duì)于加法、減法和乘法來說，除法豎式的模型更難于掌握，學(xué)生嘗試豎式計(jì)算除法時(shí)更容易遷移加法、減法和乘法豎式模型來計(jì)算除法。世界各國(guó)的除法豎式模型不盡相同，但是無論模型外在形式是怎樣，其都要在豎式計(jì)算的過程中體現(xiàn)除法計(jì)算的過程，體現(xiàn)出計(jì)算方法。在豎式計(jì)算的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生需要記憶豎式計(jì)算的過程，也要經(jīng)歷知識(shí)的再認(rèn)與辨析等。除法豎式計(jì)算過程對(duì)于二年級(jí)的學(xué)生來說稍復(fù)雜，學(xué)生在剛學(xué)習(xí)除法豎式時(shí)難免會(huì)出現(xiàn)兩種錯(cuò)誤。其一，是遷移加、減、乘法豎式計(jì)算的模型，將除法豎式寫成乘法豎式的形式（如圖3）；其二，是漏掉除法的計(jì)算過程，只體現(xiàn)被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)（如圖4）。

圖3

圖4

學(xué)生遷移原有舊知識(shí)來幫助自己理解和掌握新知識(shí)，在除法豎式的學(xué)習(xí)中，學(xué)生也會(huì)遷移加法、減法、乘法的模型來構(gòu)建除法豎式。但是，受除法計(jì)算特殊性影響，除法豎式計(jì)算的外在表現(xiàn)形式與其他三種運(yùn)算不同。因此，教師在發(fā)現(xiàn)學(xué)生遷移其他豎式的形式來計(jì)算除法時(shí)要將其與正確除法豎式格式進(jìn)行對(duì)比，幫助學(xué)生建立正確的除法豎式模型。

師：想一想，剛才老師為什么沒有選擇這個(gè)除法豎式（圖3）？

生：它沒有表示出3×4 的積是12。

師：原來這個(gè)豎式（圖3）沒有表示出除法計(jì)算的過程，它不夠完整。

除法豎式的書寫格式是人為約定的，約定的正確書寫格式能夠完整體現(xiàn)除法計(jì)算過程的形式。對(duì)比正誤，學(xué)生不僅加深了對(duì)除法豎式外在形式的印象，還可以更加深入地理解各部分所表示的含義。此外，在二年級(jí)的除法豎式計(jì)算中，學(xué)生經(jīng)常在商的書寫位置上出現(xiàn)錯(cuò)誤，學(xué)生會(huì)將商與十位和個(gè)位的中間對(duì)齊，且這個(gè)錯(cuò)誤常常會(huì)持續(xù)很久，甚至?xí)３值轿迥昙?jí)學(xué)“小數(shù)除法”時(shí)。由此可見，學(xué)生對(duì)于商書寫位置的理解需要加強(qiáng)。針對(duì)這種現(xiàn)象，教師同樣可以借助對(duì)比的方法，讓學(xué)生對(duì)比兩種商的書寫位置并說一說哪種書寫是正確的。借助直觀圖，學(xué)生能夠說出除得的3 表示的是3 輛車，而不是30 輛車，所以應(yīng)該與個(gè)位對(duì)齊。學(xué)生在對(duì)比辨析中，不僅能夠深化對(duì)正確書寫格式的記憶，還可以進(jìn)一步說理，再次深入分析除法豎式計(jì)算的算理鞏固算法，從而培養(yǎng)學(xué)生的批判精神。

四、對(duì)比有無余數(shù)，深化除法豎式模型

除法的本質(zhì)是等分計(jì)數(shù)單位，剛好分完是等分的一種特殊情況，大部分的整數(shù)除法都是有剩余的，寫在除法橫式中就是余數(shù)。學(xué)生在除法豎式中容易出現(xiàn)兩種錯(cuò)誤：其一，剩余的數(shù)大于或者等于除數(shù)；其二，沒有剩余時(shí)，忘記用0 來占位。針對(duì)學(xué)生容易走進(jìn)的誤區(qū)，教師在教學(xué)過程中要準(zhǔn)確把握教學(xué)重難點(diǎn)和學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)，著重介紹除法計(jì)算中的余數(shù)。除法計(jì)算的最后一步就是看有沒有剩余，如果有余數(shù)，就在豎式的最后一行寫下余數(shù)，如果剛好除盡，沒有剩余，就在余數(shù)的位置寫0 來占位。在學(xué)習(xí)除法豎式的過程中，學(xué)生要經(jīng)過有無余數(shù)的對(duì)比，才能夠體驗(yàn)余數(shù)的產(chǎn)生過程，也就能夠理解沒有余數(shù)還要寫一個(gè)0 來占位的道理。

師：對(duì)比13÷4 和16÷4 這兩道題的豎式（如圖1、圖5），它們有什么不同？

圖5

生：13÷4 的橫式和豎式中都有余數(shù)，16÷4 的橫式和豎式中都沒有余數(shù)。

生：13÷4 沒有分完，所以有余數(shù)；16÷4 正好分完，所以沒有余數(shù)。

生：被除數(shù)比除數(shù)與商的積大時(shí)，有余數(shù)；被除數(shù)和除數(shù)與商的積一樣時(shí)沒有余數(shù)。

通過對(duì)比，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，余數(shù)就是等分后的剩余，剛好分完就沒有余數(shù)；平均分到不能夠再分還有剩余，剩余的部分就是余數(shù)。學(xué)生在觀察豎式的過程中發(fā)現(xiàn)，豎式的書寫是十分完整的，無論有沒有余數(shù)，都要寫出一個(gè)數(shù)來表示剩余情況，0 就是沒有剩余，非0 就是有剩余，而以前學(xué)習(xí)的橫式則采用直接不寫余數(shù)來體現(xiàn)沒有剩余。可見，除法豎式對(duì)除法過程描述更加詳細(xì)。對(duì)比有無剩余的橫式豎式，學(xué)生進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)了除法豎式的優(yōu)勢(shì)，采用的除法豎式不僅能將除法的各個(gè)部分體現(xiàn)出來，還能夠完整體現(xiàn)除法計(jì)算的全過程，進(jìn)一步深化對(duì)除法計(jì)算的理解。

對(duì)比是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要方法。通過對(duì)比學(xué)習(xí)計(jì)算，學(xué)生能夠深入理解各種計(jì)算的相同和不同，領(lǐng)悟計(jì)算之間的關(guān)聯(lián)，感悟計(jì)算的一致性。因此，小學(xué)計(jì)算學(xué)習(xí)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多角度對(duì)比。對(duì)比正誤，經(jīng)歷計(jì)算知識(shí)的形成過程；對(duì)比同一種計(jì)算的不同外在形式來掌握計(jì)算方法；對(duì)比計(jì)算與幾何直觀，深入理解算理；對(duì)比不同計(jì)算之間的相同與不同，使抽象的除法計(jì)算越來越具體、清晰。在充分對(duì)比的計(jì)算學(xué)習(xí)中，學(xué)生憑借多角度對(duì)比建立豎式表象、鞏固豎式模型，經(jīng)歷計(jì)算推理過程，從而實(shí)現(xiàn)運(yùn)算能力的提升，促進(jìn)自身深度學(xué)習(xí)的發(fā)生。