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    數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn):彰顯數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)魅力
    ——《圓的周長(zhǎng)》教學(xué)片斷與賞析

    2022-09-02 02:18:34文|湯
    關(guān)鍵詞:周長(zhǎng)車輪板書

    文|湯 倩

    《圓的周長(zhǎng)》是蘇教版五年級(jí)的教學(xué)內(nèi)容。從測(cè)量方法上看,圓的周長(zhǎng)屬于間接測(cè)量,需要通過(guò)具體操作(數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn))得到周長(zhǎng)與直徑的關(guān)系,再推導(dǎo)圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式。圓的周長(zhǎng)在數(shù)學(xué)發(fā)展史上具有迷人的魅力,特別是周長(zhǎng)與直徑的比值π,至今還是數(shù)學(xué)研究的對(duì)象。數(shù)學(xué)教學(xué)怎樣引導(dǎo)學(xué)生穿越千年的研究歷史,讓學(xué)生親自參與探究圓的周長(zhǎng)過(guò)程?數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是學(xué)生在教師指導(dǎo)下利用一定的工具(實(shí)物或軟件),通過(guò)動(dòng)手操作、觀察思考、歸納抽象等過(guò)程,建構(gòu)數(shù)學(xué)概念、驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論、探索數(shù)學(xué)規(guī)律、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種學(xué)習(xí)方式。將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)融入數(shù)學(xué)課堂,有利于培養(yǎng)學(xué)生的認(rèn)知能力,發(fā)展學(xué)生的智慧,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感。安徽丁元春老師執(zhí)教的“圓的周長(zhǎng)”一課,帶領(lǐng)學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)獲得數(shù)學(xué)結(jié)論,展現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的魅力。

    【片斷一】激活經(jīng)驗(yàn),直觀感知

    師:(板書:圓)上節(jié)課我們認(rèn)識(shí)了圓。瞧,這里有三個(gè)大小不同的圓形車輪,想一想,如果它們各滾動(dòng)一周,哪個(gè)車輪滾動(dòng)的距離比較遠(yuǎn)呢?

    生:半徑最長(zhǎng)的圓;直徑最長(zhǎng)的圓。

    師:那到底是不是這樣呢?我們一起來(lái)驗(yàn)證一下。

    師:(課件動(dòng)態(tài)演示)同學(xué)們對(duì)圓的感覺(jué)真好。其實(shí)車輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周所行駛的距離就是車輪的?

    生:(齊)周長(zhǎng)。

    師:(板書:周長(zhǎng))車輪的周長(zhǎng)在哪里呢?誰(shuí)愿意上來(lái)選擇一個(gè)指一指?

    生:(學(xué)生上臺(tái)指)是這一條線段的長(zhǎng)度,也是它一圈的長(zhǎng)度,這兩個(gè)長(zhǎng)度一樣。

    師:車輪一周邊線的長(zhǎng)就是車輪的周長(zhǎng)。這里三個(gè)車輪的大小不一樣,周長(zhǎng)也不一樣,車輪的周長(zhǎng)可能與什么有關(guān)?

    生:我覺(jué)得它應(yīng)該和半徑、直徑有關(guān)系。

    師:圓的周長(zhǎng)跟它的半徑、直徑到底有沒(méi)有關(guān)系呢?如果有,又是什么樣的關(guān)系呢?今天我們就一起來(lái)探索與圓周長(zhǎng)有關(guān)的奧秘。

    【片斷二】對(duì)比猜測(cè),定性描述

    師:今天的探索不妨就從圓的周長(zhǎng)與直徑的關(guān)系開始。(板書:直徑)

    師:這是三個(gè)圓的直徑和它們的周長(zhǎng),請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真觀察并比較,有什么發(fā)現(xiàn)?

    生:直徑越長(zhǎng),周長(zhǎng)也就越長(zhǎng)。

    師:圓的周長(zhǎng)和它的直徑之間有什么關(guān)系呢?

    生:它們之間可能是倍數(shù)關(guān)系。

    師:如果是倍數(shù)關(guān)系,說(shuō)明圓的周長(zhǎng)和直徑之間存在什么運(yùn)算關(guān)系?什么是不變的?

    生:說(shuō)明圓的周長(zhǎng)除以直徑所得的商是不變的。

    師:研究?jī)蓚€(gè)量之間的關(guān)系,除了可以看它們的商,還可以看什么?

    生:還可以看它們的和、差、積。

    師:同學(xué)們提出了四個(gè)不同的猜想,哪一個(gè)可能性更大,或者說(shuō)更合理呢?

    生:我覺(jué)得差不變和商不變可能性最大,因?yàn)橹睆皆介L(zhǎng),周長(zhǎng)就越長(zhǎng),兩個(gè)都增大不可能出現(xiàn)和不變或積不變的。

    師:差不變和商不變相比,哪個(gè)可能性更大?

    生:還是商不變的可能性最大。雖然直徑越長(zhǎng),周長(zhǎng)就越長(zhǎng),但直徑增加一點(diǎn),周長(zhǎng)可能增加較多。

    【片斷三】動(dòng)手實(shí)驗(yàn),定量刻畫

    師:圓的周長(zhǎng)與直徑的商到底是不是一個(gè)確定的數(shù)呢?如果是,它們的商又是多少呢?(板書÷ =)四人小組在一起商量,制定研究方案。

    生:可以多找?guī)讉€(gè)圓,先量一量它們的周長(zhǎng)和直徑,再計(jì)算。

    生:可以像三年級(jí)測(cè)量樹葉周長(zhǎng)那樣,用一根細(xì)線沿著邊線圍一圈,然后把線拉直,再用直尺量出它的長(zhǎng)度,測(cè)量圓的周長(zhǎng)也可以這樣做。

    師:這個(gè)提醒很重要,測(cè)量圓的周長(zhǎng)可以采用化曲為直的方法。

    師:老師為每個(gè)小組準(zhǔn)備了這樣一個(gè)實(shí)驗(yàn)材料袋,里面有一些大小不同的圓片,還有一些測(cè)量的材料以及工具,同學(xué)們可以根據(jù)需要選擇合適的材料去測(cè)量,并把測(cè)量的數(shù)據(jù)填寫在《實(shí)驗(yàn)記錄單》上,最后用計(jì)算器計(jì)算出周長(zhǎng)與直徑的商。

    (學(xué)生分組實(shí)驗(yàn),教師巡視、指導(dǎo))

    師:黑板上是各小組實(shí)驗(yàn)結(jié)果。請(qǐng)認(rèn)真觀察這些不同的圓的周長(zhǎng)與直徑的商,你有什么發(fā)現(xiàn)呢?

    生:商的開頭都是3。

    生:它們好像都在3.14、3.15、3.16 徘徊。

    師:也就是說(shuō),它們雖然都是三點(diǎn)幾,但這些數(shù)一樣嗎?

    生:不一樣。

    師:既然這些數(shù)不一樣,那是不是說(shuō)明我們剛才的猜想是錯(cuò)誤的呢?

    生:其實(shí)也不一定,有可能因?yàn)槊總€(gè)小組測(cè)量時(shí)出現(xiàn)誤差,才使得實(shí)驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)波動(dòng)。

    師:合理的誤差是一種正?,F(xiàn)象。通過(guò)剛才的實(shí)驗(yàn)我們發(fā)現(xiàn),周長(zhǎng)都是直徑的三倍多一點(diǎn)。到底多多少呢?為了減少誤差對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響,我們不妨借助現(xiàn)代技術(shù)工具幫助驗(yàn)證一下。

    (課件動(dòng)態(tài)演示測(cè)量、計(jì)算)

    師:通過(guò)借助現(xiàn)代技術(shù)和工具進(jìn)行測(cè)量、計(jì)算,你們有什么發(fā)現(xiàn)?

    生:商不變的猜想是正確的。

    師:根據(jù)剛才的實(shí)驗(yàn),你們對(duì)差不變這個(gè)猜想怎么看?

    生:我覺(jué)得差不變的猜想是不成立的。在第一個(gè)圓中,周長(zhǎng)是十二點(diǎn)多,直徑是四點(diǎn)多,它們的差大約是八;在第二個(gè)圓中,周長(zhǎng)是十八點(diǎn)多,直徑是六點(diǎn)多,它們的差大約是十二。從八到十二,變化太大,所以不正確。

    師:是的。借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),我們?cè)隍?yàn)證一個(gè)猜想正確的同時(shí),發(fā)現(xiàn)另一個(gè)猜想是錯(cuò)誤的。

    師:在數(shù)學(xué)中,我們把圓的周長(zhǎng)與直徑的商叫做圓周率。(板書:圓周率)圓周率實(shí)際上是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù),通常用字母π 來(lái)表示。為了方便計(jì)算,π通常取兩位小數(shù),也就是說(shuō),π≈3.14。把你們的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和π 比較一下,有什么想說(shuō)的?

    生:我們組的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和3.14 相差只有零點(diǎn)一幾。

    師:還有小組的實(shí)驗(yàn)結(jié)果就是3.14。實(shí)際上,人類關(guān)于圓的周長(zhǎng)與直徑關(guān)系的探索,經(jīng)歷了一個(gè)很漫長(zhǎng)的過(guò)程。在我國(guó)最早的一部數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中,就有關(guān)于圓的周長(zhǎng)與直徑的關(guān)系的記載(板書:周三徑一),意思周長(zhǎng)是直徑的3 倍。后來(lái),我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽在給《九章算術(shù)》做注解時(shí)發(fā)現(xiàn),所謂的“周三徑一”,只是圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)和圓直徑的關(guān)系。(見右圖)

    借助幾何直觀,引導(dǎo)學(xué)生解釋正六邊形的周長(zhǎng)是圓直徑的3 倍,圓的周長(zhǎng)比直徑的3 倍多一些。

    師:劉徽用這種方法發(fā)現(xiàn)周三徑一有余。(板書:有余)后來(lái),另外一位大數(shù)學(xué)家祖沖之在劉徽研究的基礎(chǔ)上又有新的發(fā)現(xiàn),祖沖之把圓周率改進(jìn)為3.1415926 到3.1415927 之間,是世界上第一個(gè)算到小數(shù)點(diǎn)后七位的人,他的這個(gè)發(fā)現(xiàn),在當(dāng)時(shí)比歐洲等西方國(guó)家早大約1000 多年。同學(xué)們,回望中華民族五千年文明史,我們中國(guó)人在很多領(lǐng)域?yàn)槿祟惖陌l(fā)展進(jìn)步都做出過(guò)突出貢獻(xiàn),我們每一個(gè)人都應(yīng)該為自己是一個(gè)中國(guó)人而感到驕傲。

    【片斷四】借助結(jié)論,推導(dǎo)公式

    師:現(xiàn)在我們回過(guò)頭看看剛才探索的過(guò)程,想一想,我們是怎樣一步一步發(fā)現(xiàn)圓的周長(zhǎng)與直徑關(guān)系的?

    生:我們是先提出一個(gè)猜想,然后通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證猜想。(板書:猜想驗(yàn)證)

    師:驗(yàn)證的過(guò)程要科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)。只有經(jīng)歷大膽猜想、小心求證的過(guò)程,才能得到科學(xué)的結(jié)論。(板書:結(jié)論)我們就是用這種方法得到了圓的周長(zhǎng)與直徑之間的關(guān)系。如果圓的周長(zhǎng)用大寫字母C 表示,直徑用小寫字母d 表示,它們之間的關(guān)系可以怎樣表示?

    生:C÷d=π。(板書:C÷d=π)

    推導(dǎo)圓周長(zhǎng)公式:C=πd(板書)

    師:我們根據(jù)周長(zhǎng)與直徑的關(guān)系,推導(dǎo)出周長(zhǎng)與半徑的關(guān)系,數(shù)學(xué)知識(shí)就是這么相互聯(lián)系著。

    師:回顧這節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容,你都有哪些收獲?我們今天學(xué)習(xí)了圓周長(zhǎng)的有關(guān)知識(shí),關(guān)于圓還有很多奧秘值得我們進(jìn)一步探索和研究,期待同學(xué)們?cè)谝院蟮膶W(xué)習(xí)中有更多的發(fā)現(xiàn)。

    【賞析】

    縱觀整節(jié)課,丁老師以“圓的周長(zhǎng)”內(nèi)容為載體,以動(dòng)手做數(shù)學(xué)為主要方式,注重滲透對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的感悟、對(duì)數(shù)學(xué)特有思維方式的把握和對(duì)數(shù)學(xué)精神(理性精神和探究精神)的追求,使學(xué)生切實(shí)體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的魅力。

    1.實(shí)驗(yàn)價(jià)值:知識(shí)與素養(yǎng)聚合。

    數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種有效方式。丁老師設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)任務(wù),不僅僅是滿足于趣味的“動(dòng)手做”,還特別注重“實(shí)驗(yàn)”后的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理、“思考”后的歸納概括與素養(yǎng)形成。在實(shí)驗(yàn)探究過(guò)程中,教師先放手讓學(xué)生動(dòng)手做,得到真實(shí)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),借助思維參與,對(duì)“商不變”結(jié)論由質(zhì)疑到肯定。之后,教師通過(guò)精選數(shù)學(xué)史料,將數(shù)學(xué)文化相機(jī)滲透于課堂學(xué)習(xí)之中,激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和民族自豪感,涵養(yǎng)數(shù)學(xué)探索精神。最后,組織學(xué)生根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)論,自主推導(dǎo)圓的周長(zhǎng)公式,得出科學(xué)的數(shù)學(xué)結(jié)論。丁老師充分展開公式的探究發(fā)現(xiàn)過(guò)程,在過(guò)程中達(dá)成知識(shí)與素養(yǎng)的聚合。

    2.實(shí)驗(yàn)工具:傳統(tǒng)與現(xiàn)代融合。

    數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是學(xué)生運(yùn)用有關(guān)工具,通過(guò)動(dòng)手操作,在認(rèn)知與非認(rèn)知因素參與下進(jìn)行的一種探索數(shù)學(xué)、理解知識(shí)、解決問(wèn)題的思維活動(dòng)。丁老師在教學(xué)中選擇大小不同的圓片、毛線繩、長(zhǎng)紙條、三角板、直尺等傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)器材,讓學(xué)生動(dòng)手操作、體驗(yàn)、探索、領(lǐng)悟,在“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程中,積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。除外,教師還充分利用現(xiàn)代信息技術(shù),通過(guò)直觀展示、動(dòng)靜結(jié)合,擴(kuò)大課堂信息容量,優(yōu)化課堂教學(xué)效果。在學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)整數(shù)部分是3 但小數(shù)部分不同時(shí),教師相機(jī)借助現(xiàn)代信息技術(shù)工具模擬實(shí)驗(yàn),揭示數(shù)學(xué)真相,讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性。丁老師將傳統(tǒng)工具與現(xiàn)代工具有機(jī)融合,既促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解,又彰顯了數(shù)學(xué)的科學(xué)與嚴(yán)謹(jǐn)。

    3.實(shí)驗(yàn)過(guò)程:主導(dǎo)與主體結(jié)合。

    數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是在教師引導(dǎo)下,學(xué)生通過(guò)動(dòng)手動(dòng)腦,以“做”為支架的教與學(xué)的活動(dòng)方式。本節(jié)課丁老師為學(xué)生定制“直觀感知——定性描述——定量刻畫”的探究線索,課始展示不同大小的車輪,讓學(xué)生直觀感知周長(zhǎng)與直徑、半徑有關(guān)系,接著提出關(guān)鍵性問(wèn)題“圓的周長(zhǎng)到底與直徑有怎樣的關(guān)系呢?”鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想,定性描述圓周長(zhǎng)與直徑之間可能存在商不變關(guān)系,還可能存在和不變、差不變、積不變的關(guān)系,教師繼而提出輔助性問(wèn)題“你覺(jué)得哪個(gè)可能性更大?”引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有理有據(jù)地篩選,優(yōu)化猜想,在此基礎(chǔ)上,通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)定量刻畫、驗(yàn)證猜想。整個(gè)探究過(guò)程學(xué)生始終是學(xué)習(xí)的主體,他們通過(guò)動(dòng)手操作、動(dòng)腦思考,自探、自得,體驗(yàn)做數(shù)學(xué)的快樂(lè)。

    總之,整節(jié)課丁老師以“圓周率”為核心,充分借力數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、猜想、驗(yàn)證、推理等過(guò)程,促進(jìn)深度學(xué)習(xí)。學(xué)生不僅獲得了數(shù)學(xué)結(jié)論,而且發(fā)展了數(shù)學(xué)思維,滲透了數(shù)學(xué)文化,培育了數(shù)學(xué)素養(yǎng),感受了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的魅力。

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