明明是110°，如何會(huì)量成70°

文|強(qiáng)震球

【問(wèn)題凝視】

教學(xué)完“角的度量”第1 課時(shí)，學(xué)生練習(xí)用量角器量角。把量角器的中心點(diǎn)對(duì)準(zhǔn)角的頂點(diǎn)，角的一條邊對(duì)準(zhǔn)量角器的“內(nèi)圈0 刻度線(xiàn)”，另一條邊正好既對(duì)著內(nèi)圈刻度110，又對(duì)著外圈刻度70，不少學(xué)生把這個(gè)角量成70°。

【成因透視】

“角的度量”這一內(nèi)容，歷來(lái)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)。通常，教師把這一內(nèi)容的教學(xué)界定為“技能訓(xùn)練課”，在這個(gè)界定之下，教師往往先簡(jiǎn)單地介紹量角的單位“度”，然后組織學(xué)生認(rèn)識(shí)量角器的各個(gè)部分，最后在學(xué)生熟記量角“對(duì)點(diǎn)、對(duì)邊、讀刻度”的三大步驟的前提下，組織學(xué)生進(jìn)行大量的技能訓(xùn)練。雖然訓(xùn)練花了大量的時(shí)間，但是學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果卻并不理想，問(wèn)題主要集中在兩個(gè)方面：一是量角器的擺放，二是利用內(nèi)外圈的刻度正確讀出角的度數(shù)。經(jīng)過(guò)對(duì)難點(diǎn)的成因進(jìn)行深入思考和分析，筆者認(rèn)為造成學(xué)生學(xué)習(xí)困難的原因是兩個(gè)“不明”：

一是學(xué)生對(duì)于量角器的本質(zhì)不明。首先，從本質(zhì)上說(shuō)，量角器是測(cè)量單位的集合，是單位小角的集合。但是由于量角的基本單位“一度的角”實(shí)在太小，因此在量角器上難以反映，量角器的制作者一般都把量角器中的一度分割線(xiàn)去掉大部分，只留下沿著圓周的一些刻度。把量角器作為現(xiàn)成產(chǎn)品介紹給學(xué)生，教學(xué)時(shí)空上雖然通暢和快捷，但由于學(xué)生對(duì)量角器的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)不甚理解，學(xué)生認(rèn)識(shí)量角器會(huì)顯得比較突兀，學(xué)生不理解量角器上為什么會(huì)有那么多的小格，為什么要標(biāo)里一圈外一圈的刻度。也就是學(xué)生很難理解“量角器就是單位小角的集合”。其次，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)的度量工具中有的沒(méi)刻度，有的有刻度；有的只有單向刻度，有的有雙向刻度，“尺”上只有單向刻度，是因?yàn)椤俺摺钡臄[放與讀數(shù)比較容易；“方格紙”上沒(méi)有刻度，是因?yàn)樯源笠稽c(diǎn)的面積可以借助計(jì)算得到；用量角器量角時(shí)，如果只有單向刻度，量不同朝向的角的大小時(shí)不方便，因此不得不加上兩圈刻度，學(xué)生對(duì)此也不理解。我們認(rèn)為：量角器的高度簡(jiǎn)約化、高度智慧化、高度截面化和學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)之間的矛盾使得學(xué)生對(duì)于量角器本質(zhì)的理解產(chǎn)生了障礙。

二是學(xué)生對(duì)量角方法的本質(zhì)不明。無(wú)論是長(zhǎng)度、面積、體積、重量、角度的度量的本質(zhì)都是用基本單位與當(dāng)前所測(cè)量對(duì)象進(jìn)行比較。例如，測(cè)量面積就是把被測(cè)量對(duì)象與單位面積進(jìn)行比較，被測(cè)量對(duì)象中含有多少個(gè)面積單位它的面積就是多少；而量角的本質(zhì)是看被測(cè)量的角中包含多少個(gè)單位角。正由于學(xué)生對(duì)于量角器的本質(zhì)不明，所以學(xué)生對(duì)于量角方法的本質(zhì)的理解也就造成了障礙。兩個(gè)原因相比較，第一個(gè)原因是主要原因。

【出路審視】

一、從“揭示本源”入手，設(shè)計(jì)教學(xué)策略

量角器的本質(zhì)是“單位小角”的集合，角的度量的本質(zhì)是看被測(cè)對(duì)象中含有多少個(gè)“單位小角”，促使學(xué)生對(duì)這兩個(gè)本質(zhì)充分而深刻地理解是上好這節(jié)課的邏輯基礎(chǔ)。

1.明確量角的單位是“單位小角”。

筆者首先設(shè)計(jì)了“利用大小相同的小角，比較∠1、∠2 這兩個(gè)角的大小”這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)；在此基礎(chǔ)上得出“利用大小相同的小角”的優(yōu)越性：不僅能比出角的大小，而且可以比出到底大了多少。這樣設(shè)計(jì)事實(shí)上明確了量角的單位是“單位小角”，而且用量角器量角的方法的雛形已經(jīng)悄然而出。

需要指出的是：本環(huán)節(jié)非常重要，但是用“1 度”小角來(lái)作為單位角在制作和操作上都非常不便，因此我們選擇了“10 度”的角作為“單位小角”。

2.明確量角器是“單位小角”的集合。

在教學(xué)過(guò)程中筆者專(zhuān)門(mén)設(shè)計(jì)了一個(gè)把單位小角合并成為半圓的過(guò)程。通過(guò)這個(gè)過(guò)程，一個(gè)“簡(jiǎn)易量角器”就完全形成了，更重要的是突出了量角器與“單位小角”的內(nèi)在聯(lián)系。

3.強(qiáng)化用“簡(jiǎn)易量角器”量角的方法。

教學(xué)過(guò)程中筆者特意安排學(xué)生用“簡(jiǎn)易量角器”測(cè)量了三個(gè)角的大小。

“簡(jiǎn)易量角器”與“成品量角器”相比具有線(xiàn)條稀便于數(shù)、無(wú)刻度只能數(shù)、無(wú)缺省可以數(shù)的三個(gè)特點(diǎn)，正因?yàn)橛写巳齻€(gè)特點(diǎn)，所以用“簡(jiǎn)易量角器”學(xué)習(xí)量角就有了非常大的優(yōu)勢(shì)，一是方法容易學(xué)會(huì)，二是能夠突出“量角器”和“量角方法”的本質(zhì)，三是有效地化解了難點(diǎn)。

4.“簡(jiǎn)易量角器”漸變?yōu)椤俺善妨拷瞧鳌薄?/p>

在引出“成品量角器”的過(guò)程中，筆者不是一步到位，而是逐漸形成，經(jīng)歷了下面五個(gè)階段。

每次“漸變”都賦予其“現(xiàn)實(shí)需要”，“漸變”和“現(xiàn)實(shí)需要”可以促使學(xué)生理解知識(shí)的來(lái)龍去脈，便于其知識(shí)和方法的自然遷移，不斷調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性，感受到當(dāng)前學(xué)習(xí)的“現(xiàn)實(shí)價(jià)值”。

二、從“經(jīng)歷過(guò)程”入手，建構(gòu)動(dòng)態(tài)課堂

1.由角的大小的意義引出可以用單位角來(lái)度量角的大小。

（1）利用活動(dòng)角的變化復(fù)習(xí)角的大小指的是角的兩條邊叉開(kāi)的大小。

（2）利用活動(dòng)角比較兩個(gè)角的大小。

（3）利用單位小角比較兩個(gè)角的大小。

（4）比較“利用活動(dòng)角比較”和“利用單位小角比較”兩種方法，指明后者的優(yōu)勢(shì)。

本環(huán)節(jié)激活了舊知——角的大小的含義和用活動(dòng)角比較角的大小的方法，通過(guò)學(xué)生的討論與操作，引出用小角來(lái)比較的方法，量角器的本質(zhì)是單位角的集合，讓學(xué)生悟出用小角測(cè)量的可行性與操作要點(diǎn)，為學(xué)生理解量角的原理打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

2.由單位小角的使用的不便引出要把單位小角合并為半圓工具。

（1）設(shè)疑：我們能不能想個(gè)辦法，既保留小角比得精確的優(yōu)點(diǎn)，又改進(jìn)操作麻煩的缺點(diǎn)，讓這些小角用起來(lái)更方便呢？

（2）練習(xí)：用“簡(jiǎn)易量角器”測(cè)量三個(gè)角的大小。（其中第三個(gè)角測(cè)量不出整數(shù)結(jié)果，用以引出單位角還要細(xì)分）突出反映了量角器的本質(zhì)——單位角的集合，強(qiáng)化了用“簡(jiǎn)易量角器”測(cè)量角的大小的方法。

3.由這種半圓工具度量不準(zhǔn)確引出要把單位小角分得更細(xì)些。

（1）設(shè)疑：第三個(gè)角測(cè)量不出整數(shù)結(jié)果，怎樣才能知道比較確切的結(jié)果？

（2）教學(xué)1°。

（3）演示：把上面工具簡(jiǎn)單化。

（4）呼應(yīng)：測(cè)量第三個(gè)角的準(zhǔn)確結(jié)果。

4.由細(xì)分后的半圓工具讀數(shù)不便引出要加刻度，進(jìn)而引出兩圈刻度。

（1）左面這個(gè)角多少度？從哪邊數(shù)起？從而引出要加第一圈刻度。（圖略）

（2）右面這個(gè)角多少度？從哪邊數(shù)起？從而引出要加第二圈刻度。（圖略）

（3）完整認(rèn)識(shí)量角器。

（4）讀刻度的專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練。（圖略）

本教學(xué)環(huán)節(jié)特別重視用真實(shí)、強(qiáng)烈的問(wèn)題情境引導(dǎo)學(xué)生感悟出必須加兩圈刻度，到此時(shí)一個(gè)完整的量角器已經(jīng)形成，順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生完整認(rèn)識(shí)量角器，然后進(jìn)行讀刻度的練習(xí)。

5.完整總結(jié)量角方法，進(jìn)行相應(yīng)練習(xí)。

（1）學(xué)生自己量出一個(gè)角的大小。

（2）由學(xué)生總結(jié)測(cè)量方法。

（3）量角練習(xí)。

【片斷重構(gòu)】

片斷一：探索角的度量方法，把握量角工具的基本特點(diǎn)

1.用同樣大的小角（10°角）來(lái)比較兩個(gè)角的大小，激發(fā)學(xué)生度量角的需求。

師：老師這兒還有一樣材料，看，這是一個(gè)小角（手勢(shì)，出示一個(gè)小角），用這么多大小一樣的小角（出示一些小角），可以比出∠1 和∠2 哪個(gè)大嗎？

生：能。

師：究竟怎樣比呢？哪個(gè)小組的同學(xué)到臺(tái)上來(lái)試一試？（指名一組演示）

師：同學(xué)們，你們想不想也來(lái)親自動(dòng)手比一比??？

師：這些材料就裝在每個(gè)小組的1 號(hào)信封袋里，趕快把它打開(kāi)，在小組長(zhǎng)的帶領(lǐng)下開(kāi)始活動(dòng)。（學(xué)生小組合作活動(dòng)，教師指導(dǎo)）

師：同學(xué)們，我們一起來(lái)看黑板，你們也是這樣擺的嗎？

生：是。

師：擺這些小角的時(shí)候要注意些什么呢？

生：小角的共同頂點(diǎn)要和∠1 和∠2 的頂點(diǎn)重合；（教師配手勢(shì)）擺第一個(gè)小角的起始邊要和∠1 和∠2的一條邊重合。（小角和小角要靠緊）

師：這兩個(gè)角誰(shuí)大？

生：∠2 大。

師：你們又是怎么看出來(lái)的？

生：∠1 里面正好有3 個(gè)小角，∠2 里面正好有4個(gè)小角，∠2 比∠1 多了一個(gè)小角。所以∠2 大。

師：真好！同學(xué)們，前面的實(shí)踐告訴我們，用活動(dòng)角可以比出這兩個(gè)角的大小，用這些大小一樣的小角我們不僅可以比出∠2 比∠1 大，而且還發(fā)現(xiàn)了什么？

生：∠2 比∠1 大了一個(gè)小角。

師：這樣就比得更加（停頓）精確了。如果用活動(dòng)角來(lái)比，能一下子做到嗎？

2.啟發(fā)學(xué)生把單位小角拼成半圓，構(gòu)造最簡(jiǎn)單的量角工具。

師：不過(guò)啊，用小角一個(gè)一個(gè)來(lái)比比較零散，操作起來(lái)也不方便。我們能不能想個(gè)辦法，既保留小角比得精確的優(yōu)點(diǎn)，又改進(jìn)操作麻煩的缺點(diǎn)，讓這些小角用起來(lái)方便些呢？

生：把小角拼起來(lái)。

師：把小角拼起來(lái)，這個(gè)辦法好不好？（好）真妙！就聽(tīng)大家的意見(jiàn)，我們選擇一些小角來(lái)拼一拼。同學(xué)們看，拼成了一個(gè)什么圖形呀？（動(dòng)畫(huà)演示）

生：半圓形。

師：仔細(xì)數(shù)一數(shù)，這個(gè)半圓里有多少個(gè)一樣大小的小角呢？

生：18 個(gè)。

師：我們用來(lái)拼的小角比較特別，用18 個(gè)這樣大小一樣的小角正好拼成了一個(gè)半圓。這兒有一個(gè)角，你能用這個(gè)18 等份的半圓工具來(lái)量一量嗎？（投影一個(gè)50°的角）仔細(xì)看，這一點(diǎn)（教師指）就是這個(gè)半圓工具的中心點(diǎn)，中心點(diǎn)就是這18 個(gè)小角共同的頂點(diǎn)。誰(shuí)來(lái)試一試？

3.用半圓工具度量角，初步把握量角要點(diǎn)。

師：用這個(gè)半圓工具量角時(shí)要怎么擺呢？

生：中心點(diǎn)要和角的頂點(diǎn)重合，這個(gè)半圓工具的一條邊要和角的一條邊重合。

師：這個(gè)角多大？

生：它有5 個(gè)小角。

師：對(duì)，它正好包含了5 個(gè)小角。

師：你想用這個(gè)工具來(lái)量幾個(gè)角嗎？練習(xí)一有3個(gè)角，請(qǐng)大家拿出2 號(hào)信封袋里這個(gè)工具來(lái)量一量。（學(xué)生活動(dòng)）

片斷二：優(yōu)化量角工具，認(rèn)識(shí)量角器

1.優(yōu)化量角工具。

（1）細(xì)分半圓工具。

師：這多出來(lái)的一點(diǎn)點(diǎn)不滿(mǎn)這么大的一個(gè)小角，（手勢(shì)）到底是多少呢？同學(xué)們知道嗎？

生：不知道。

師：有沒(méi)有什么好辦法讓大家都知道呢？小組內(nèi)一起商量商量。

生：（小組討論）把小角分得更細(xì)一點(diǎn)。

（2）認(rèn)識(shí)1°的角。

師：大家的意思，就是用這個(gè)小角來(lái)量還太大，要將每一個(gè)小角分得更加小一些是嗎？多么有創(chuàng)造性的想法?。⊥瑢W(xué)們，為了更加精確地量出角的大小，我們就把半圓工具里的每一個(gè)小角再平均分成10 份，變成10 個(gè)小小角。請(qǐng)大家仔細(xì)觀察，一個(gè)小角被平均分成10 個(gè)小小角，想一想，整個(gè)半圓被平均分成了多少個(gè)小小角呢？（動(dòng)畫(huà)演示）

生：180 個(gè)。

師：你是怎么知道的？

生：18×10=180。

師：我們將半圓平均分成了180 份，每一份是一個(gè)小小角，這每一個(gè)小小角的大小就是1 度。這是一個(gè)小小角，它的大小就是1 度?！岸取笔怯?jì)量角的單位，用符號(hào)“°”表示，1 度記作1°。

師：伸出你的小手，我們一起來(lái)寫(xiě)1°。

師：這個(gè)角是1°，這個(gè)角呢？這個(gè)角還是1°。整個(gè)半圓工具上有多少個(gè)1°角?。?/p>

生：180 個(gè)。

師：180 個(gè)啊，看上去密密麻麻的，為了讓它更加簡(jiǎn)約美觀，我們把它簡(jiǎn)化一下，變一變，再變一變（動(dòng)畫(huà)演示），現(xiàn)在清楚多了吧！

（3）認(rèn)識(shí)幾度的角。

2.認(rèn)識(shí)內(nèi)、外刻度線(xiàn)。

師：屏幕上的這個(gè)角，你能讀出幾度嗎？（屏幕顯示）

生：能。（自由數(shù)）

師：我們從哪邊數(shù)起?。空l(shuí)能把數(shù)的方向來(lái)比劃一下？

師：這樣比劃對(duì)嗎？我們一起用手勢(shì)來(lái)比劃一下。（教師示范，學(xué)生學(xué)習(xí)）

師：數(shù)數(shù)看，是幾度？

生：55°。

師：再來(lái)看一個(gè)角，從哪邊數(shù)起？怎么數(shù)？我們也一起用手勢(shì)來(lái)比劃一下幾度呢？

生：125°。

師：有沒(méi)有什么好辦法，讓大家一眼就能讀出一個(gè)角的度數(shù)呢？

生：給180 等份的工具標(biāo)上刻度。

師：同學(xué)們聽(tīng)到了嗎，覺(jué)得這個(gè)辦法怎樣？（好）太有智慧了，掌聲送給他。讓我們一起來(lái)給它標(biāo)上刻度。

師：剛才我們是從哪里開(kāi)始數(shù)的？（學(xué)生指）開(kāi)始數(shù)起的地方就標(biāo)上0°，這里標(biāo)幾度？（10°）接下來(lái)標(biāo)幾？……一直標(biāo)到180°為止。

師：現(xiàn)在你能一眼就讀出這個(gè)角是幾度了嗎？（顯示50°的角）

生：50°。

師：多快！這個(gè)角呢？（反向顯示30°角）

生1：150°。

生2：30°。

師：到底是150°還是30°呢？

生3：30°。

師：說(shuō)說(shuō)你的想法？

（學(xué)生說(shuō)，課件涂色陰影顯示）

師：剛才錯(cuò)讀成150°的同學(xué)明白了嗎？

師：那30°能從這圈刻度上直接讀出來(lái)嗎？

生：不行。

師：如果也能一下子就讀出來(lái)多好，怎么辦？

生：再標(biāo)上一圈刻度。

師：你們認(rèn)為呢？我們從哪里開(kāi)始標(biāo)起？

3.認(rèn)識(shí)量角器。

師：同學(xué)們，屏幕上展現(xiàn)的就是我們現(xiàn)在專(zhuān)門(mén)用來(lái)量角的工具，叫作量角器。（教師完整介紹量角器，介紹中心點(diǎn)、零刻度線(xiàn)及內(nèi)、外圈刻度）