“數(shù)學(xué)語言”的教學(xué)：意蘊與實施

文|莫廣榮

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》將“會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界”確立為學(xué)生核心素養(yǎng)的一個方面。“數(shù)學(xué)語言”逐漸成為數(shù)學(xué)教育研究中的高頻詞。數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)閱讀、數(shù)學(xué)表達以及數(shù)學(xué)交流的工具。不止于數(shù)學(xué)領(lǐng)域，現(xiàn)代社會方方面面都廣泛使用數(shù)學(xué)語言，數(shù)學(xué)語言能力已經(jīng)成為人的必備素養(yǎng)之一。盡管先前的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)引入了“數(shù)學(xué)語言”概念，教育理論及實踐圍繞“數(shù)學(xué)語言”業(yè)已展開了零星的研究，但對數(shù)學(xué)語言的內(nèi)涵、心理機制、教學(xué)價值及其教學(xué)策略的認識仍很模糊。本文將對這幾個方面做進一步探索，以期相關(guān)的研究能深入下去、立體起來。

一、數(shù)學(xué)語言的內(nèi)涵及其心理機制

（一）數(shù)學(xué)語言的內(nèi)涵。

數(shù)學(xué)語言是由數(shù)學(xué)符號、圖表以及加工之后的日常語言組成的用來表達數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)思想的專門語言。數(shù)學(xué)語言是抽象、準(zhǔn)確、簡約、形式化之下的概念、公式、符號、圖形、圖表的結(jié)合體，是描述與交流現(xiàn)實世界的表達方式。從基本構(gòu)成要素上看，數(shù)學(xué)語言由詞素、單詞、詞組、句子、句群組成。從承載對象看，數(shù)學(xué)語言分為：文字語言，它是在日常語言的基礎(chǔ)上形成的語言，是對日常語言的加工與改造、限定與精確化；符號語言，即以數(shù)學(xué)符號形式出現(xiàn)的語言，簡明、抽象；圖表語言，它以圖形、圖表的形式呈現(xiàn)，一般還配以文字說明，直觀、形象。數(shù)學(xué)語言常以這三類語言融合的形式整體出現(xiàn)在我們的面前。

（二）數(shù)學(xué)語言的心理機制。

第一，輸入階段的數(shù)學(xué)語言。此階段，主體接觸語言符號并將其中與數(shù)學(xué)相關(guān)的重要信息從背景中提取出來，選擇性地對重點內(nèi)容保持敏感，比如，對文字、符號、圖表理解辨析，對復(fù)合語義拆分、理解、組合，初步理解命題含義。此階段的理解常常是句法分析先于整體的語義理解，即先深入到語言材料中，弄清關(guān)系，明確結(jié)構(gòu)。如“a 的3 倍相當(dāng)于b”與“a 相當(dāng)于b 的3 倍”，兩句話中的詞語完全相同，但兩句話的內(nèi)部構(gòu)造不同，句法結(jié)構(gòu)讓同樣的詞語在不同的“系統(tǒng)安排”下產(chǎn)生出不同的意思。輸入階段的數(shù)學(xué)語言理解是基于結(jié)構(gòu)關(guān)系的語義理解和整體理解。

第二，轉(zhuǎn)換階段的數(shù)學(xué)語言。這是深度理解語義的階段。即在不同形式的數(shù)學(xué)語言之間，數(shù)學(xué)語言與日常語言之間，同一種數(shù)學(xué)語言內(nèi)部各種表征形式之間進行互譯。在這個階段，內(nèi)部語言異?；钴S，我們有必要認識內(nèi)部語言的活動機理。維果茨基研究發(fā)現(xiàn)，內(nèi)部語言是在內(nèi)部思維、外部語言之間迂回的功能強大的活動語言。內(nèi)部語言有自己獨立的功能和形式，這種功能和形式的要義不在于將內(nèi)部語言陳述出來進行交流，而在于促進思維。內(nèi)部語言傾向于用語義，而不是用明確的詞、句去思維，因此它是一種語法獨特的準(zhǔn)語言。這就導(dǎo)致內(nèi)部語言轉(zhuǎn)換為外部語言并不像復(fù)制、粘貼那樣簡單。

第三，輸出階段的數(shù)學(xué)語言。內(nèi)部語言是跳躍的、經(jīng)驗的語言，往往只有屬己意義。在轉(zhuǎn)換為邏輯化、簡約化、規(guī)則化的外部語言前必須進行再加工。再加工不可避免地要面向現(xiàn)實，主要表現(xiàn)為，一方面是對數(shù)學(xué)語言共同體中的語言基本規(guī)范的遵循；另一方面要符合數(shù)學(xué)語言的抽象、準(zhǔn)確、簡約、形式化要求。因此，內(nèi)部語言轉(zhuǎn)化為外部語言必須經(jīng)歷深加工的過程，以符合外化的條件和需要。

輸入、轉(zhuǎn)換和輸出階段的數(shù)學(xué)語言，其本質(zhì)上都表現(xiàn)為一種數(shù)學(xué)語言向另一種數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換（見圖1）。其中，輸入階段是把外在的數(shù)學(xué)語言向主體認知結(jié)構(gòu)中自我能理解的語言轉(zhuǎn)換的過程，輸出階段是將自我的認知、思維過程進行整理，以轉(zhuǎn)換成符合言語規(guī)范要求的外在語言形式。因此，數(shù)學(xué)語言的心理過程的核心是“轉(zhuǎn)換”。

圖1 數(shù)學(xué)語言的教學(xué)框架

數(shù)學(xué)語言的心理過程及其核心為數(shù)學(xué)語言教學(xué)提供了內(nèi)在機制參考，使得在學(xué)校層面通過教學(xué)途徑發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)語言能力有了依據(jù)。

二、數(shù)學(xué)語言的教學(xué)價值

（一）承載語言教育，促進數(shù)學(xué)課程內(nèi)涵的提升。

思維是數(shù)學(xué)的主要標(biāo)識。思維的發(fā)展需要語言的同步發(fā)展來支撐。因此，數(shù)學(xué)語言的教學(xué)勢在必行。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)面臨的是語言發(fā)展和思維發(fā)展雙重任務(wù)。從思維到語言和從語言到思維，語言與思維在相互的連續(xù)往復(fù)運動中彼此都有了新的發(fā)展變化。當(dāng)年，斯托利亞爾甚至提出“數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)語言的教學(xué)”的論斷，歐內(nèi)斯特則把對話當(dāng)做數(shù)學(xué)的一個隱喻，認為數(shù)學(xué)語言建設(shè)與數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)精神同等重要。一言以蔽之，歷史上的數(shù)學(xué)包含其語言本身。核心素養(yǎng)時代，我們不僅要在數(shù)學(xué)課程的全鏈條中進一步明晰數(shù)學(xué)語言的重要地位，賦予其更為具體的教學(xué)內(nèi)容，更要增大直面數(shù)學(xué)語言開展活動的比例，讓數(shù)學(xué)語言成為學(xué)生學(xué)習(xí)與訓(xùn)練、實踐與運用的直接對象，助力數(shù)學(xué)語言從理念課程向?qū)嵺`課程轉(zhuǎn)型。

（二）復(fù)活語用實踐，促進教師教學(xué)方法的優(yōu)化。

絕大多數(shù)教師認為語言教學(xué)是文科老師的事，幾乎沒有數(shù)學(xué)教師進行數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)表述教學(xué)法研究。受此影響，數(shù)學(xué)教學(xué)的方法總是囿于學(xué)科之內(nèi)探路、尋變。迄今為止，數(shù)學(xué)與其他學(xué)科間的血脈仍然處于割裂狀態(tài)，學(xué)生的學(xué)習(xí)世界因?qū)W科而分離成條塊，且邊界分明。片面強化學(xué)科素養(yǎng)、弱化整體素養(yǎng)的現(xiàn)象愈演愈烈。鑒于此，推進課程整合，倡導(dǎo)跨學(xué)科素養(yǎng)培養(yǎng)，成為我國當(dāng)代基礎(chǔ)教育改革的必然趨勢。從語言學(xué)習(xí)需要看，語言是人們工作、學(xué)習(xí)、生活中不可或缺的工具，學(xué)生語言素養(yǎng)不可一味地瑟縮在語文等少數(shù)幾門文科的光照之下，而應(yīng)開動全學(xué)科體驗的引擎。數(shù)學(xué)教學(xué)要從自身性質(zhì)出發(fā)，妥善處理數(shù)學(xué)語言應(yīng)用帶動數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)思維應(yīng)用的關(guān)系，打造以數(shù)學(xué)語言教學(xué)為特色的“學(xué)科衍射”“學(xué)科互動”式課堂。要鼓勵教師向全科教師方向邁進，教師教數(shù)學(xué)要遵循生活語言、準(zhǔn)數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)語言的導(dǎo)向路徑與漸進原則。數(shù)學(xué)教學(xué)法的研究要覆蓋到數(shù)學(xué)語言教學(xué)方面，而不能僅僅滿足于學(xué)生懂算理、明方法、會思考。

（三）涵泳語言習(xí)得，促進學(xué)生關(guān)鍵能力的形成。

國際學(xué)生評估項目（PISA）2000～2012 數(shù)學(xué)框架中的關(guān)鍵能力共由8 項內(nèi)容組成，“陳述技能（陳述）”“交流技能（交流）”就占據(jù)了8 項中的2 項。再后來，PISA2021 數(shù)學(xué)框架從既往關(guān)鍵能力中選出新的8 項組成了“21 世紀技能”，同樣包括“交流”技能。數(shù)學(xué)交流就是使用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)方法進行各類數(shù)學(xué)活動的動態(tài)過程，是以數(shù)學(xué)語言（文字語言、符號語言、圖表語言）為主的活動。數(shù)學(xué)語言能力已經(jīng)成為學(xué)生交流能力中不可或缺的部分。記敘文語言的“求真”，議論文語言“求證”，說明文語言“求實”，等等，可以看作語文學(xué)科中的語言要求；文字語言的直接、符號語言的形式化、圖表語言的直觀，這些應(yīng)是數(shù)學(xué)語言能力的朝向。數(shù)學(xué)教學(xué)是為了培養(yǎng)適應(yīng)未來社會需要的人，學(xué)科育人思想呼喚學(xué)生數(shù)學(xué)語言能力的訓(xùn)練與發(fā)展，數(shù)學(xué)學(xué)科應(yīng)為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語用能力盡責(zé)。

三、數(shù)學(xué)語言教學(xué)的策略

只要學(xué)數(shù)學(xué)，從小學(xué)到大學(xué)，都會涉及數(shù)學(xué)語言方面的問題，只是符號化的層次要求不同，抽象度不同。課堂是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)語言能力的主陣地?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中有關(guān)學(xué)生數(shù)學(xué)語言能力的要求是：能描述數(shù)量關(guān)系和空間形式；能構(gòu)建模型，表達和解決問題；能理解數(shù)據(jù)的意義與價值，通過數(shù)據(jù)分析合理判斷或決策；幫助學(xué)生養(yǎng)成表達交流能力。歷經(jīng)二十多年的教學(xué)實踐，筆者得出，面向數(shù)學(xué)語言的教學(xué)策略需從以下兩個方面入手。

（一）依托“說”為軸心的數(shù)學(xué)語言教學(xué)框架展開訓(xùn)練，釋放結(jié)構(gòu)性能效。

能用數(shù)學(xué)語言表述是衡量學(xué)生對數(shù)學(xué)知識理解的標(biāo)志?！罢f數(shù)學(xué)”除了能讓學(xué)生增長專業(yè)知識、發(fā)展專業(yè)技能、獲得專業(yè)思想方法之外，還承載著數(shù)學(xué)語言教學(xué)的功能。

第一，加強“說”的本體建設(shè)。筆者嘗試研制了“說”為軸心的數(shù)學(xué)語言教學(xué)框架，內(nèi)含“說點”“說理”“說題”三個貫通的環(huán)節(jié)（見圖1）。首先，擷取“說點”為語言學(xué)習(xí)提供載體?！罢f點”一般是一節(jié)課的重點或難點所在，可能是縱向追蹤中的某一個知識點，可能是橫向上知識點與知識點之間在數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想層面上的某種一致性，也可能是基于某個切口的發(fā)散點，等等。教師可以憑借教學(xué)經(jīng)驗把握“說點”，也可以從即時課堂專業(yè)覺察中挖掘“說點”，還可以從課堂前測中發(fā)現(xiàn)“說點”。其次，通過“說理”點化語言?！罢f理”是基于“說點”的語言靶向活動，換言之，這個過程不是只講數(shù)學(xué)道理，還應(yīng)幫助學(xué)生從“一般表述”向“精準(zhǔn)表述”漸進與躍遷，要用數(shù)學(xué)語言的邏輯性、層次性、簡約化等要求對學(xué)生的語言進行干預(yù)。展示→比較→優(yōu)化、示范→模仿→再創(chuàng)造，是引領(lǐng)學(xué)生數(shù)學(xué)語言走向成熟的有效路徑。最后，在“說題”中形成數(shù)學(xué)語言能力。課堂上，作為數(shù)學(xué)語言學(xué)習(xí)機會的“說理”，會因“說點”相同而形成“說”的技術(shù)性模仿局面。因此，有必要引入“說題”作為語言訓(xùn)練的必要補充。“說題”即學(xué)生扮演教師角色講述問題解決的過程。其路徑為：自我默思→題意表征→解題陳述→評價反思。問題解決的過程就是數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換過程，學(xué)生的數(shù)學(xué)語言能力大多時候是在問題解決中形成的。

第二，加強“說”的條件建設(shè)。作為與“說”關(guān)系緊密的因子，“聽”“想”“寫”“讀”在數(shù)學(xué)語言教學(xué)中發(fā)揮著重要的作用。首先，“聽”能催生出“說”的針對性。數(shù)學(xué)對話是以“聽”為先導(dǎo)的藝術(shù)，聽是飽含尊重、專注、耐心、理解的行動，高質(zhì)量的傾聽是高質(zhì)量對話的前提，培養(yǎng)學(xué)生的傾聽能力是發(fā)展其數(shù)學(xué)語言能力的先決條件。其次，“想”能催生出“說”的深刻性。“想”既包含“數(shù)學(xué)地思維”，還包括“用怎樣的表達形式更妥帖”，亦即調(diào)遣的字、詞、句要與表達的思想保持高度一致。高品質(zhì)的“想”就是數(shù)學(xué)理解力、思維力與語言建構(gòu)能力的協(xié)同發(fā)展。再次，“寫”能催生出“說”的條理性。條理性指做事有邏輯思維，有步驟、有規(guī)矩、不混亂的性質(zhì)。大多時候，口語化的數(shù)學(xué)語言過分強調(diào)達意功能而缺乏語言成本意識。具體表現(xiàn)為，只求說清楚道理與解題思路而不考慮所用詞素、單詞、詞組、句子的多少以及它們相互間的結(jié)構(gòu)關(guān)系。如果經(jīng)常提供機會讓學(xué)生將數(shù)學(xué)闡釋“寫”出來，那推敲斟酌、謀篇布局等數(shù)學(xué)語言教學(xué)就有了看得見的機會。最后，“讀”能催生出“說”的規(guī)范性。發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)倡導(dǎo)數(shù)學(xué)閱讀，目前，數(shù)學(xué)閱讀的指導(dǎo)大多指向于概念、規(guī)則、定律的理解與應(yīng)用，也不乏向數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)思想、理性精神等方面開掘的例子，還有的指導(dǎo)深及情感、態(tài)度、價值觀層面，但針對知識結(jié)構(gòu)表層的字、詞、句、段、篇的指導(dǎo)十分罕見?！白x”除卻具有與“聽”類似的輸入功能之外，還蘊藏著語言的積累與建構(gòu)，這是由書面語言的規(guī)范性特質(zhì)所決定的。從這個角度看，“讀”伴隨著語言的模仿與習(xí)得，對于“說”而言，“讀”有著匡正扶持的意義。

（二）構(gòu)筑數(shù)學(xué)語言教學(xué)框架的支柱，釋放支持性能效。

上述中的數(shù)學(xué)語言教學(xué)框架需要話語模式和話語環(huán)境兩大支柱。前者是技術(shù)支持，后者是情感支持。

話語模式是指教師、學(xué)生在交往中為達成數(shù)學(xué)的語言訓(xùn)練功能與意圖而使用的規(guī)律性的語言策略和話語邏輯。包括教師話語模式和學(xué)生話語模式兩個方面。從數(shù)學(xué)語言教學(xué)的視角審視當(dāng)下課堂，我們發(fā)現(xiàn)，優(yōu)秀教師都是應(yīng)用話語模式的高手，在他們的語言感召下，學(xué)生個個想說，且說的內(nèi)容豐富，在教師話語模式的指引、調(diào)整之下，學(xué)生總是說得愈發(fā)得體、到位，學(xué)生語言能力的拔節(jié)生長看得見。如，“關(guān)于這個問題，誰有想法了？”提醒學(xué)生說出完整的思考過程而非僅僅說答案；“看了這樣的解題過程，誰明白其中的意思？”意在讓學(xué)生轉(zhuǎn)譯現(xiàn)有解題方法；“課堂上如果只有一種答案，那多單調(diào)啊”，鼓勵學(xué)生批判、反駁；“用‘先……再……最后……’的形式重說一遍解題思路，你的發(fā)言會更精彩”，強調(diào)表達的邏輯結(jié)構(gòu)及層次順序；“這幾種解答方法之間有什么聯(lián)系？有什么不同？”呼喚哲學(xué)思辨式的分析、評價語言。優(yōu)秀教師除了有自己的話語模式之外，還會幫助學(xué)生養(yǎng)成他們的話語模式。包括合作討論階段的話語模式、小組匯報階段的話語模式、全班交流階段的話語模式。如合作交流時用“我發(fā)現(xiàn)……我知道……”陳述己見；用“我不明白的是……”尋求幫助；用“聽了你的發(fā)言我還想問的是……”展開追問；用“不要告訴我方法和答案，讓我再想想”表達獨立思考的愿望，等等。學(xué)生對這些話語模式駕輕就熟后，序列化調(diào)用就會形成言語實踐的支架，指引語言實踐的進階。

學(xué)習(xí)不只是一個認知、思維的過程，還是一個情意的過程，一個社會化的過程。一切語言教學(xué)都以學(xué)生想說、愛說為基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)語言教學(xué)也不例外。數(shù)學(xué)語言教學(xué)需創(chuàng)設(shè)尊重、信任、民主、寬松、溫馨的對話環(huán)境。需要特別強調(diào)的是，數(shù)學(xué)語言的心理過程其核心是轉(zhuǎn)換，其本質(zhì)是建模，教師要深刻認識作為學(xué)習(xí)參與的課堂沉默的必要性，它是學(xué)生話語形式的另一種呈現(xiàn)，是學(xué)生的隱性權(quán)力和技術(shù)運用。鑒于此，數(shù)學(xué)語言教學(xué)不能把消除沉默作為追求，而應(yīng)潛入學(xué)生的內(nèi)心世界，理解沉默話語，助推學(xué)生的數(shù)學(xué)語言能力的發(fā)展。