基于模糊閾值的小波函數(shù)去噪算法

黎道花，周 驊

（貴州大學(xué)大數(shù)據(jù)與信息工程學(xué)院，貴陽(yáng) 550025）

1 引言

小波變換在圖像處理、壓縮和小波去噪等領(lǐng)域應(yīng)用十分廣泛，但由于不同頻率的時(shí)域選取的復(fù)雜性，尤其是由于噪聲的存在，使分析變得困難[1-4]。通過(guò)將時(shí)域與頻域兩個(gè)空間單獨(dú)分析，會(huì)發(fā)現(xiàn)噪聲信號(hào)往往出現(xiàn)在高頻段內(nèi)。通過(guò)低通濾波器能夠成功過(guò)濾高頻段的噪聲信號(hào)從而達(dá)到去除噪聲的效果。小波包信號(hào)去噪主要包括確定分解層、選擇小波包基、量化重構(gòu)小波系數(shù)等步驟[5]。由于分解層、小波包基和閾值的選擇比較困難，使其在實(shí)際應(yīng)用中受到限制。近年來(lái)，眾多研究者對(duì)此類(lèi)問(wèn)題做出研究，如文獻(xiàn)[6]提出一種自適應(yīng)小波去噪，設(shè)置合適的調(diào)整參數(shù)達(dá)到去噪的目的。文獻(xiàn)[7]提出一種新穎的改進(jìn)符號(hào)函數(shù)的小波閾值圖像去噪系數(shù)，設(shè)置不同的調(diào)節(jié)因子分析圖像中的信噪比變化。文獻(xiàn)[8]提出一種改進(jìn)的閾值函數(shù)，利用調(diào)節(jié)參數(shù)對(duì)典型的硬閾值和軟閾值進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)節(jié)，其峰值信噪比得到一定程度的改善。

本研究提出的改進(jìn)算法，便是綜合參考此類(lèi)現(xiàn)有研究成果，利用硬閾值、軟閾值兩方面的優(yōu)點(diǎn)，動(dòng)態(tài)地選取閾值，以在圖像處理中得到更加理想的去噪效果。

2 小波變換原理

在小波函數(shù)分析中，小波類(lèi)型主要分為兩類(lèi)，即DB小波和Harr小波，分別側(cè)重于對(duì)圖形概貌和圖形細(xì)節(jié)的分析，其雙尺度方程如下：

式中，n=0,1,2,…。u0(t)則對(duì)應(yīng)正交小波的尺度函數(shù)，u1(t)對(duì)應(yīng)小波函數(shù)。hk和gk是利用正交小波基的濾波函數(shù)。圖像中的混合信號(hào)為：

式中，s(t)為正交信號(hào)，η(t)為噪聲。通過(guò)正交小波包變換，可得各分解層的逼近系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)。小波包算法通過(guò)頻帶的多尺度分解，可以對(duì)高頻部分進(jìn)行重分解，并對(duì)某一層小波信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)。

常用閾值函數(shù)主要有硬閾值法和軟閾值法，如Stein無(wú)偏的似然估計(jì)準(zhǔn)則、最大最小閾值、固定閾值和啟發(fā)式閾值等[9-11]。閾值的選取直接關(guān)系到去噪的效果，閾值選擇偏大，會(huì)導(dǎo)致圖像細(xì)節(jié)系數(shù)在跳變過(guò)程中出現(xiàn)損失或數(shù)據(jù)包丟失；閾值選取偏小，去噪效果則不明顯，甚至小到近似于連續(xù)，沒(méi)有跳變過(guò)程。目前經(jīng)常使用Donoho等人基于高斯噪聲模型的去噪法，它是基于獨(dú)立正態(tài)遍歷的決策理論提出的[12]，表達(dá)式為:

式中，λ為閾值，M×N是圖像的像素，δ為高斯噪聲的方差。

3 改進(jìn)的模糊閾值算法

現(xiàn)有的小波閾值函數(shù)利用高斯噪聲模型進(jìn)行去噪，是基于獨(dú)立正態(tài)遍歷決策理論提出的。它在實(shí)際中的噪聲無(wú)法預(yù)知，并且噪聲會(huì)均勻地存在于信號(hào)的頻帶上。針對(duì)這一缺陷，對(duì)高斯噪聲進(jìn)行改進(jìn)，得到一種模糊噪聲模型，其表達(dá)式為：

由此可得出新的閾值函數(shù)表達(dá)式為：

這里，方程中存在了lg(i+1)項(xiàng)，隨著i的增大，閾值函數(shù)λ將會(huì)降低。小于λ的模糊系數(shù)最有可能由噪聲產(chǎn)生，而大于λ的模糊系數(shù)最有可能由原始信號(hào)產(chǎn)生。

考慮到硬閾值的閾值函數(shù)是不連續(xù)的，軟閾值具有常偏差，在此基礎(chǔ)上對(duì)模糊閾值公式做出改進(jìn)，取代了硬閾值和軟閾值兩個(gè)表達(dá)方法，直接合并成一個(gè)式子來(lái)表達(dá)。這也體現(xiàn)出了改進(jìn)模糊閾值后的自適應(yīng)性質(zhì)。同時(shí)，通過(guò)改進(jìn)模糊閾值函數(shù)而言，整個(gè)傳輸過(guò)程中的噪聲也會(huì)變得越來(lái)越小，控制因子也會(huì)隨著i值的增加，使閾值函數(shù)逐漸變小。

閾值函數(shù)中的細(xì)節(jié)系數(shù)包含更多的噪聲，相關(guān)函數(shù)能夠判斷噪聲背景中的有用信息，因此采用相關(guān)分析進(jìn)行細(xì)節(jié)系數(shù)分析。改進(jìn)模糊閾值的小波閾值算法的設(shè)計(jì)流程如圖1所示。

圖1 改進(jìn)模糊閾值小波去噪算法流程圖

4 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

為驗(yàn)證改進(jìn)模糊閾值的小波函數(shù)在圖像處理中的有效性和實(shí)用性，以高斯白噪聲下的Lorenz信號(hào)為實(shí)驗(yàn)研究對(duì)象。正交小波包具有消失矩序和支持集，前者決定了信號(hào)的接近能力，當(dāng)階數(shù)越大，分頻效果越好，然而同時(shí)也會(huì)增加后者的長(zhǎng)度和計(jì)算量。綜合考慮算法的效果與效率，以db5小波為例進(jìn)行分析。所有實(shí)驗(yàn)都基于MATLAB 2018a版本上的小波工具箱實(shí)現(xiàn)，小波基的分解層數(shù)為三層。

先在Lorenz數(shù)據(jù)中分別加入5%、10%、20%、30%、50%、70%和90%的高斯白噪聲，然后使用db5小波包對(duì)污染信號(hào)進(jìn)行分析。以不同噪聲水平下的SNR和RMSE作為指標(biāo)，對(duì)比情況如表1。

表1 不同噪聲水平下各算法評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)比

由表中可見(jiàn)，改進(jìn)的模糊閾值小波函數(shù)具有更好的信噪比，能獲得更好的去噪效果。隨著噪聲水平的逐步增加，SNR會(huì)持續(xù)降低，但模糊閾值法與其他算法相比仍然具備良好的去噪性能。另外，從RMSE方面來(lái)看，模糊閾值去噪法的均方根誤差相對(duì)更小，去噪效果更趨穩(wěn)定。

實(shí)驗(yàn)對(duì)上述指標(biāo)做了進(jìn)一步的驗(yàn)證。對(duì)不同類(lèi)型的系數(shù)采用奇異值分析、模糊閾值分析和相關(guān)性分析。結(jié)果表明，改進(jìn)算法具有廣泛的適用性，對(duì)不同噪聲水平的信號(hào)去噪都是有效的。噪聲水平越高，該算法去噪效果越好。實(shí)驗(yàn)條件選取噪聲水平20%，得到信號(hào)去噪前后的相空間圖和時(shí)間序列曲線，以反映不同改進(jìn)閾值下的小波信號(hào)和噪聲情況，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示。

圖2 不同改進(jìn)閾值的小波信號(hào)和噪聲

圖中，經(jīng)過(guò)小波包硬閾值和軟閾值后的信號(hào)相空間圖都比較粗糙，部分點(diǎn)偏離了原始軌跡。同時(shí)，時(shí)間序列曲線在某些地方存在振蕩現(xiàn)象。這主要是由于選擇了固定閾值。相比之下，改進(jìn)算法不存在這種現(xiàn)象，能更好地反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)和平滑特性。

為進(jìn)一步驗(yàn)證相關(guān)系數(shù)之間的評(píng)價(jià)方法，從相關(guān)系數(shù)方面進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析，同樣引入硬閾值和軟閾值法的噪聲信號(hào)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比。在給定延遲時(shí)間下，得出信號(hào)去噪前后的相關(guān)系數(shù)和相對(duì)偏差，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2。

表2 不同噪聲水平下的相關(guān)系數(shù)對(duì)比

通過(guò)表中數(shù)據(jù)對(duì)比可知，改進(jìn)算法去噪信號(hào)的相關(guān)系數(shù)均為高相關(guān)。當(dāng)噪聲水平為70%時(shí)，與小波包硬閾值的相關(guān)性顯著；當(dāng)噪聲水平為90%時(shí)，與小波包軟閾值的相關(guān)性顯著。改進(jìn)算法的相對(duì)偏差也控制在很小的程度，小于0.5%。經(jīng)過(guò)改進(jìn)算法去噪的信號(hào)更接近原始信號(hào)的特征，實(shí)驗(yàn)中使用該算法對(duì)具體圖像進(jìn)行處理，處理效果如圖3所示。

圖3 不同去噪方法實(shí)驗(yàn)效果對(duì)比

從圖中對(duì)比結(jié)果可清晰看出，改進(jìn)的模糊閾值去噪法具有顯著優(yōu)勢(shì)，體現(xiàn)出此方法在圖像處理中的優(yōu)越性。

5 結(jié)束語(yǔ)

改進(jìn)的模糊閾值去噪算法改善了實(shí)際受噪聲影響的信號(hào)特性。算法將小波包與奇異性、模糊閾值和相關(guān)性的分析結(jié)合起來(lái)，確定了最優(yōu)改良方案。通過(guò)計(jì)算信噪比、均方根誤差、相關(guān)系數(shù)和功率譜等不同去噪指標(biāo)，反映出改進(jìn)去噪算法的優(yōu)缺點(diǎn)。經(jīng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，新的算法不僅可以有效降低混沌噪聲，對(duì)于具體圖形所做的優(yōu)化處理，該法也獲得了更為顯著的效果提升，因此具有一定的應(yīng)用前景。