由電荷的量子性看靜電場(chǎng)的能量計(jì)算

苑新喜

[中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢)數(shù)學(xué)與物理學(xué)院 武漢 湖北 430074]

電荷的量子性是電荷最基本和最深刻的特征之一. 我們已經(jīng)知道，電荷的基本量子單元就是一個(gè)電子或質(zhì)子所帶電荷量的絕對(duì)值，電荷的電荷量總是這個(gè)絕對(duì)值的整數(shù)倍.電子和質(zhì)子不妨都可以稱為基本單元電荷，簡(jiǎn)稱基元電荷.

相對(duì)靜止的電荷在周圍空間產(chǎn)生的電場(chǎng)稱為靜電場(chǎng). 靜電場(chǎng)是電磁場(chǎng)的一種具體表現(xiàn)，同樣具有能量、質(zhì)量和動(dòng)量等物質(zhì)屬性，電荷之間的庫(kù)侖力就是經(jīng)過(guò)靜電場(chǎng)傳遞的.

自然，基元電荷自身固有一個(gè)靜電場(chǎng)，該電場(chǎng)的能量稱為基元電荷的電場(chǎng)固有能，也稱為該電場(chǎng)的自能.作為基元電荷之一的電子，它的電場(chǎng)固有能及其對(duì)應(yīng)(相對(duì)論意義上)的電磁質(zhì)量至今仍然懸而未決[1].

在經(jīng)典電磁場(chǎng)理論中帶電體系的電荷由于數(shù)量巨大而通常被看成是宏觀上連續(xù)分布的，從而忽略電荷微觀上的量子性. 電荷的微觀量子性與宏觀連續(xù)性之間畢竟還是有本質(zhì)區(qū)別的. 因此，應(yīng)用經(jīng)典電磁場(chǎng)理論計(jì)算宏觀帶電體的靜電場(chǎng)能量時(shí)，最終計(jì)算結(jié)果只能局限于給出基元電荷之間一定體系范圍內(nèi)的相互作用能，根本上不包含基元電荷的固有能(自能).靜電場(chǎng)能量計(jì)算上的這么一點(diǎn)局限性正是電荷微觀量子性與宏觀連續(xù)化之間本質(zhì)區(qū)別的一種必然表現(xiàn). 這點(diǎn)局限性讓我們看到了靜電場(chǎng)能量計(jì)算與場(chǎng)源特性之間所存在的一種內(nèi)在關(guān)聯(lián)性.

由于牛頓萬(wàn)有引力定律與靜電場(chǎng)的庫(kù)侖定律表達(dá)形式上的高度相似性，理論上很容易把靜電場(chǎng)的能量密度公式推廣到牛頓的萬(wàn)有引力場(chǎng). 如果把靜電場(chǎng)的能量計(jì)算與場(chǎng)源的特性之間那種關(guān)聯(lián)性也同時(shí)推廣到引力場(chǎng)，這樣就可以幫助我們從一個(gè)特殊的角度認(rèn)識(shí)和化解引力場(chǎng)的負(fù)能量問題.

1 靜電場(chǎng)能量的計(jì)算

有關(guān)電磁學(xué)和電磁場(chǎng)的課程中都要涉及到一些靜電場(chǎng)能量的計(jì)算問題[2～4]. 經(jīng)典電磁場(chǎng)理論給出了幾種不同的靜電場(chǎng)能量計(jì)算的方法，這幾種方法的計(jì)算結(jié)果彼此都可以相互呼應(yīng)和驗(yàn)證. 其中，對(duì)靜電場(chǎng)的能量密度進(jìn)行積分是最基本和最重要的計(jì)算方法.經(jīng)典電磁場(chǎng)理論給出真空中靜電場(chǎng)E的能量密度

式中ε0為真空介電常數(shù).宏觀帶電體的靜電場(chǎng)總能量

由此可以求出一個(gè)半徑為R、電荷量為Q的宏觀均勻帶電球面S的靜電場(chǎng)總能量為

用此方法也可以求出一個(gè)半徑為R、電荷量為Q的宏觀均勻帶電球V的靜電場(chǎng)總能量為

在這里，我們首先要說(shuō)明的是，本文所涉及的計(jì)算都是一般電磁學(xué)和電磁場(chǎng)課程中的常見計(jì)算，故本文只給出計(jì)算結(jié)果，過(guò)程從略，下面也一樣.其次，此處計(jì)算中帶電球面S上和帶電球V內(nèi)電荷分布均看成是連續(xù)分布的. 最后，我們想強(qiáng)調(diào)的是，上面的計(jì)算結(jié)果無(wú)論W(S,R,Q)還是W(V,R,Q)肯定都不包含基元電荷的電場(chǎng)固有能(自能)，它們只能是組成電荷量Q的所有那些基元電荷之間一定程度或一定范圍的相互作用能！也就是說(shuō)用能量密度we計(jì)算靜電場(chǎng)能量時(shí)存在一個(gè)無(wú)法突破的局限或界限.

電荷量Q所激發(fā)的靜電場(chǎng)E從根本上說(shuō)完全是由基元電荷的電場(chǎng)疊加構(gòu)成的，但靜電場(chǎng)E的能量卻不包含基元電荷的電場(chǎng)固有能，這一點(diǎn)不能不讓人覺得多少有些驚奇！造成這種情況的根本原因，就在于把電荷量Q看成是空間連續(xù)分布，這就完全忽略或屏蔽了電荷量子化的本質(zhì). 為了能更清楚地說(shuō)明這個(gè)問題，下面我們?cè)儆昧硗庖环N常見的方法計(jì)算W(S,R,Q)和W(V,R,Q).

在經(jīng)典電磁場(chǎng)理論中，也可以通過(guò)計(jì)算電勢(shì)能的方法計(jì)算靜電場(chǎng)的能量.首先，經(jīng)典電磁場(chǎng)理論給出了由n個(gè)點(diǎn)電荷組成的宏觀帶電體系的相互作用能

式中φi為點(diǎn)電荷qi所在處除它之外的其他電荷所產(chǎn)生的電勢(shì)，qiφi為qi的電勢(shì)能. 這n個(gè)點(diǎn)電荷屬于離散分布，每個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)分別在空間激發(fā)各自的靜電場(chǎng). 不妨將點(diǎn)電荷qi激發(fā)的靜電場(chǎng)記為Ei，Ei具有能量Wi，習(xí)慣上稱Wi為點(diǎn)電荷qi的電場(chǎng)自能. 顯然W(n,q)不包含這n個(gè)點(diǎn)電荷各自的電場(chǎng)自能Wi[6]，盡管體系的電場(chǎng)就是由這n個(gè)Ei疊加構(gòu)成.W(n,q)只等于把這n個(gè)點(diǎn)電荷從當(dāng)前位置移到彼此相距無(wú)窮遠(yuǎn)處時(shí)電場(chǎng)力所做的功.W(n,q)與點(diǎn)電荷各自的電場(chǎng)自能Wi沒有任何關(guān)系，同時(shí)也就與基元電荷的電場(chǎng)固有能沒有任何關(guān)系.

然后，將

直接推廣到電荷連續(xù)分布的宏觀帶電體系. 不妨設(shè)宏觀帶電體系Q在空間的電勢(shì)分布為φ，這時(shí)再將帶電體系的電荷Q分割成一個(gè)個(gè)的電荷微元dQ，把W(n,q)中的累加符號(hào)相應(yīng)地?fù)Q成積分符號(hào)，得到公式

其中φdQ可以理解為dQ的電勢(shì)能. 公式W(Q,φ)代表了計(jì)算宏觀帶電體系的電場(chǎng)能量的另外一個(gè)常見和重要方法. 由此，應(yīng)用W(Q,φ)計(jì)算帶電球面S和帶電球V的靜電場(chǎng)能量，同樣得到與前面完全一致的計(jì)算結(jié)果W(S,R,Q)和W(V,R,Q)[2，8,9]. 既然前面的W(n,q)與基元電荷的電場(chǎng)固有能沒有任何關(guān)聯(lián)，W(S,R,Q)和W(V,R,Q)也一樣與基元電荷的電場(chǎng)固有能沒有任何關(guān)聯(lián)！理論上W(S,R,Q)和W(V,R,Q)相當(dāng)于這些基元電荷從當(dāng)前位置移動(dòng)到彼此相距無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)電場(chǎng)力所做的功.

對(duì)于“宏觀小，微觀大”的點(diǎn)電荷而言，它實(shí)際上還是具有特定大小的物理尺度的，只要給出相應(yīng)的物理尺度，它的靜電場(chǎng)自能Wi就具有確定的數(shù)值. 比如當(dāng)帶電球面S和帶電球V的半徑R足夠小，都可以看成是一個(gè)點(diǎn)電荷，但無(wú)論半徑R多么小，只要給出R，其靜電場(chǎng)自能都是一個(gè)確定的數(shù)值，但這個(gè)確定的計(jì)算結(jié)果依然只是基元電荷之間的相互作用能的總和，不包含基元電荷的各自的固有能. 電荷微元dQ在數(shù)學(xué)形式上可以趨于零(等同于“電荷可以無(wú)限細(xì)分下去”)，對(duì)應(yīng)的dQ的靜電場(chǎng)自能也可以趨于零，比如當(dāng)電荷微元dQ均勻分布在球面S上時(shí)，其靜電場(chǎng)自能也同步隨dQ自身無(wú)限地趨于零. 顯然，一個(gè)在數(shù)學(xué)形式上能無(wú)限地趨于零的電場(chǎng)自能與具有物理實(shí)在意義和大小的基元電荷的電場(chǎng)固有能沒有任何關(guān)聯(lián).

對(duì)于微觀帶電體系如分子、原子，盡管單個(gè)的基元電荷也可以看成一個(gè)點(diǎn)電荷，但也不能計(jì)算出基元電荷的電場(chǎng)固有能. 并且在這些微觀情形下，基元電荷的狀態(tài)比較復(fù)雜，已超出經(jīng)典電磁學(xué)的范疇，在此不展開討論.

從微觀粒子的內(nèi)部結(jié)構(gòu)上看，基元電荷的電場(chǎng)固有能是帶電粒子質(zhì)量的一個(gè)來(lái)源或組成部分，已融于物質(zhì)的結(jié)構(gòu)之中. 因此，不論帶電體系的電磁場(chǎng)發(fā)生什么樣的變化，基元電荷的靜電場(chǎng)固有能(自能)都是一個(gè)保持不變的常數(shù). 所以，在計(jì)算宏觀帶電體系的電磁場(chǎng)能量及其變化時(shí)，自然可以在形式上把基元電荷的電場(chǎng)自能排除在外[5].

最后，再舉一個(gè)常見的計(jì)算電場(chǎng)能量的例子. 充電電容器存儲(chǔ)的電場(chǎng)能量也是可以計(jì)算的，如板面為S、板間距為d的真空平行平板電容器存儲(chǔ)的電場(chǎng)總能量

式中W(S,d,Q)也只表示電容器正極板上的電荷+Q與負(fù)極板上的電荷-Q在特定意義下的相互作用能，與基元電荷的電場(chǎng)固有能無(wú)關(guān).

綜上所述，靜電場(chǎng)的能量計(jì)算與場(chǎng)源的特性之間存在著一種內(nèi)在關(guān)聯(lián)性.由于電荷的量子化本質(zhì)，宏觀帶電體系靜電場(chǎng)能量的計(jì)算與微觀上基元電荷的電場(chǎng)固有能無(wú)關(guān). 宏觀帶電體系的靜電場(chǎng)能量本質(zhì)上是基元電荷之間的相互作用能，在形式上可正可負(fù)；基元電荷的電場(chǎng)固有能作為物質(zhì)結(jié)構(gòu)的組成部分，只能是正的.

2 對(duì)引力場(chǎng)的負(fù)能量問題的一點(diǎn)啟示

由于牛頓萬(wàn)有引力定律與靜電場(chǎng)的庫(kù)侖定律表達(dá)形式上的高度相似性，不可避免地引起了人們對(duì)引力場(chǎng)與電磁場(chǎng)的類比思考. 麥克斯韋不僅是經(jīng)典電磁場(chǎng)理論的集大成者，也是引力場(chǎng)與電磁場(chǎng)類比研究的一位先行者. 1864年麥克斯韋把靜電場(chǎng)的能量密度公式推廣到引力場(chǎng). 考慮到引力只有相互吸引作用，引力場(chǎng)的能量密度只能是負(fù)值，麥克斯韋認(rèn)為這個(gè)“負(fù)能量”是不可接受的，并因此放棄了對(duì)引力的進(jìn)一步研究.

在我們今天看來(lái)，電磁場(chǎng)是一種客觀存在的特殊物質(zhì)形態(tài)，具有物質(zhì)實(shí)在性. 如果說(shuō)，類比電磁場(chǎng)，傳遞引力作用的引力場(chǎng)也具有物質(zhì)實(shí)在性，那么從這個(gè)角度看，引力場(chǎng)的“負(fù)能量”問題變得更加不可思議. 因此，引力場(chǎng)的負(fù)能量問題一直被看成是牛頓引力理論的一個(gè)邏輯“漏洞”或“缺陷”！

但是，如果我們?cè)趫?chǎng)源的特性上對(duì)引力場(chǎng)與電磁場(chǎng)進(jìn)行類比，引力場(chǎng)的負(fù)能量問題未必不能解決. 電磁場(chǎng)的場(chǎng)源是電荷，具有量子性，那么我們是不是可以簡(jiǎn)單地設(shè)想一下引力場(chǎng)的場(chǎng)源(即引力質(zhì)量)也具有和電荷一樣的某些特性？假設(shè)引力質(zhì)量也具有量子性，其量子化單元不妨稱為“基元質(zhì)量荷”， “基元質(zhì)量荷”也有相應(yīng)的引力場(chǎng)固有能(自能). 如果“基元質(zhì)量荷”的引力場(chǎng)固有能存在，它應(yīng)該是物質(zhì)結(jié)構(gòu)的組成部分，和基元電荷的電場(chǎng)自能一樣.

今天我們所能探測(cè)到的引力場(chǎng)，都是名副其實(shí)的宏觀引力體系所產(chǎn)生的.我們這里從3個(gè)層面將宏觀引力體系與上述宏觀帶電體系進(jìn)行類比.一是宏觀引力體系的引力場(chǎng)可以認(rèn)為是微觀的“基元質(zhì)量荷”的引力場(chǎng)的疊加構(gòu)成；也就是說(shuō)，宏觀引力體系的引力質(zhì)量分布在宏觀形式上是連續(xù)的，在微觀本質(zhì)上是離散的.二是一旦把靜電場(chǎng)的能量密度公式推廣到引力場(chǎng)[11]，所計(jì)算出的宏觀引力體系的引力場(chǎng)能量也一定都是“基元質(zhì)量荷”之間的相互作用能.三是宏觀引力體系的引力場(chǎng)能量也應(yīng)該不包含“基元質(zhì)量荷”的引力場(chǎng)固有能(自能)，也就是說(shuō)，宏觀上引力場(chǎng)能量(相互作用能)與微觀上引力場(chǎng)固有能(自能)無(wú)關(guān).因此不妨假設(shè)“基元質(zhì)量荷”的引力場(chǎng)固有能(自能)恒為正，這個(gè)假設(shè)與宏觀引力體系引力場(chǎng)的能量為負(fù)值的事實(shí)不產(chǎn)生矛盾，而且不影響宏觀引力體系引力場(chǎng)能量的計(jì)算！這樣我們把引力場(chǎng)能量問題分隔成宏觀與微觀兩個(gè)不同層次上的問題，為在理論邏輯上化解了引力場(chǎng)負(fù)能量問題提供了一條可行的思路或途徑.

基元電荷有正負(fù)，有電子或質(zhì)子等不同的載體，因此可以說(shuō)基元電荷的種類或載體不是唯一的. 那么，“基元質(zhì)量荷”的種類或載體也可以類似地認(rèn)為不是唯一的，電子與質(zhì)子等不同的基本粒子是不是因此可以看成是不同種類或載體的“基元質(zhì)量荷”呢？物質(zhì)世界中基本粒子的種類畢竟是有限的，這是不是意味著引力場(chǎng)的場(chǎng)源事實(shí)上就是量子化的？其實(shí)這都是可以商榷的.

3 結(jié)論

由于宏觀帶電體系的電荷分布看成是連續(xù)的，完全屏蔽了電荷的量子性，所能計(jì)算出來(lái)的體系的靜電場(chǎng)能量只是基元電荷之間一定程度或一定范圍的相互作用能，不包含基元電荷的電場(chǎng)固有能，盡管宏觀帶電體系的靜電場(chǎng)是由基元電荷的電場(chǎng)疊加構(gòu)成. 類比電場(chǎng)，我們可以假設(shè)引力場(chǎng)的場(chǎng)源也是量子化的，這樣就為解決引力場(chǎng)的負(fù)能量問題提供一個(gè)值得探討的理論邏輯思路.