基于互質(zhì)陣列的運動單站信號直接定位方法

吳癸周 張源 張文俊 裴禹豪 張敏 郭福成

(國防科技大學電子科學學院CEMEE國家重點實驗室 長沙 410073)

1 引言

自身不發(fā)射電磁信號，僅利用單個或多個觀測站截獲信號并確定輻射源位置的技術(shù)被稱為無源定位技術(shù)。相對有源的定位方式，該技術(shù)具有電磁隱蔽性好、可定位距離遠等優(yōu)勢，在電子偵察、搜索救援、無人駕駛等軍用和民用領(lǐng)域具有重要應用價值[1—26]。

傳統(tǒng)無源定位技術(shù)通常采用兩步法估計輻射源的位置，即首先估計與輻射源位置有關(guān)的定位參數(shù)，例如相位差[5—7]、到達時差(Time Difference Of Arrival，TDOA)[8—11]、到達頻差(Frequency Difference Of Arrival，F(xiàn)DOA)[12，13]、多普勒變化率(Doppler Rate)[14—17]、到達角(Direction Of Arrival，DOA)[18—20]、接收信號強度(Received Signal Strength，RSS)[21—25]等，再利用這些定位參數(shù)構(gòu)建方程進行解算，求解輻射源的位置。該方法也被統(tǒng)稱為兩步定位法。兩步定位法計算復雜度較低，但在低信噪比下魯棒性較差，這是由于其忽略了信號來源于同一輻射源的先驗信息。在多輻射源場景下，兩步定位法還存在參數(shù)關(guān)聯(lián)困難、無法處理同時同頻信號等問題，

除了傳統(tǒng)兩步定位方式之外，近十幾年來一種不需要單獨估計定位參數(shù)，而是直接對原始采樣信號進行處理，利用信號中蘊含的輻射源位置信息，構(gòu)建僅與輻射源位置相關(guān)的目標函數(shù)(代價函數(shù))，通過窮盡搜索等優(yōu)化算法實現(xiàn)定位的新體制受到了廣泛關(guān)注。其由于實現(xiàn)的是從信號到輻射源位置的直接估計，因此一般被稱為直接定位法(Direct Position Determination，DPD)。已有研究表明[27—33]：相較于傳統(tǒng)兩步定位法，直接定位技術(shù)具有低信噪比下定位精度高、無需參數(shù)關(guān)聯(lián)、可處理同時同頻信號等優(yōu)勢。最早的DPD是基于到達角以及到達時差兩個信息類型提出的[34]，它利用多個固定陣列對單個窄帶信號進行定位，構(gòu)建了基于AOA(Angle of Arrival)和TDOA的截獲信號模型，隨后基于最大似然(Maximum Likelihood，ML)準則，建立了僅與輻射源位置相關(guān)的代價函數(shù)，最終通過窮盡搜索法實現(xiàn)了輻射源位置的估計。類似的還有基于 FDOA[35，36]，TDOA聯(lián)合FDOA[37，38]，DOA聯(lián)合FDOA[39]等信息類型構(gòu)建的直接定位方法。

然而，隨著電磁環(huán)境的日益復雜，頻譜資源愈發(fā)緊張，電子偵察系統(tǒng)常常能夠截獲到時頻混疊的多個信號。另外，被偵察方也可能采用多個低成本同時同頻輻射源對關(guān)鍵輻射源進行掩護，使傳統(tǒng)無源定位手段失效。以上問題已經(jīng)成為限制現(xiàn)有無源定位發(fā)揮作用的關(guān)鍵，特別是對DPD算法在分辨率以及自由度兩個方面的性能提出了更高要求。已有研究主要通過3種方式提升DPD的分辨率和自由度。第1種是放棄基于ML的代價函數(shù)，而是采用基于空間譜的方法構(gòu)建代價函數(shù)。例如基于多重信號分類(Multiple Signal Classification，MUSIC)[36]、最小方差無失真響應(Minimum Variance Distortionless Response，MVDR)[40，41]、特征空間(Eigen Space，ES)[42]等方法構(gòu)建DPD代價函數(shù)，獲得高分辨的定位結(jié)果。然而此類方法也僅較基于ML的DPD具有顯著性能提升，其相互之間性能相差不大，且無法帶來自由度性能的提升。第2種方式是采用相參的信號處理方式。它將多個陣列響應向量聯(lián)立成為一個大的陣列響應向量[43]，將空間中多個陣列分別進行信號處理的方式轉(zhuǎn)變成空間中一個大的陣列集中進行信號處理的方式，可以等效為陣列孔徑的增加，以獲得分辨率和自由度性能的提升。然而，正是由于這種相參處理將多個陣列等效成一個陣列，因此其定位性能受陣列間時頻不同步、陣列模型誤差、陣列位置誤差等因素影響較大，且并不適用于單站直接定位。第三種方式是改進陣列構(gòu)型。例如使用旋轉(zhuǎn)陣列進行直接定位[44]，通過轉(zhuǎn)臺等時變機構(gòu)牽引陣列旋轉(zhuǎn)，實現(xiàn)各陣元相對參考陣元的時變，增加陣元與輻射源之間幾何關(guān)系的多樣性，從而提升直接定位的分辨率，但是該方法對自由度也無增益。

此外也有研究初步探索了使用稀疏陣列(Sparse Array，SA)對非圓信號進行直接定位，以提升非圓信號直接定位的分辨率和自由度。SA是一種人為設(shè)計的非均勻陣列，它的出現(xiàn)最早被應用于提升陣列測向以及波束形成的自由度。典型的SA構(gòu)型主要包括嵌套陣列和互質(zhì)陣列，其基本原理都是通過系統(tǒng)地設(shè)計兩級或者多級均勻線陣并進行組合形成非均勻線陣，在截獲信號后通過對信號協(xié)方差矩陣向量化變形，構(gòu)建等效的差分共性陣及其截獲信號，以此為基礎(chǔ)進行DOA的估計。由于等效的差分共性陣具有更多的陣元數(shù)，因此其自由度可以大幅提升。經(jīng)過十幾年的研究，SA已經(jīng)從嵌套陣列[45]和互質(zhì)陣列[46]兩種基礎(chǔ)構(gòu)型優(yōu)化成泛化互質(zhì)陣列[47]、超級嵌套陣列[48]、增強型嵌套陣列[49]等多種構(gòu)型，被用于消除孔洞、耦合等各種問題，在陣列測向領(lǐng)域中得到了深入研究。

借助稀疏陣列在自由度提升方面的優(yōu)勢，已有學者開展了基于稀疏陣列的直接定位相關(guān)研究。目前主要的研究集中于使用運動單觀測站搭載的稀疏陣列對非圓信號進行直接定位[50—52]，該類工作主要結(jié)合非圓信號的特征以及稀疏陣列的特性構(gòu)建數(shù)學模型以及相應的DPD代價函數(shù)，增強DPD的性能，然而其數(shù)學模型僅對非圓信號有效，存在一定的局限性。此外，文獻[53]提出使用多個位于不同位置的稀疏陣列對信號進行直接定位的方法，驗證了其在定位精度方面性能的提升，但是多觀測站容易引入時頻不同步、通信負荷大等問題，且該方法在自由度性能增強方面也缺乏有力的驗證?？梢?，已有研究在適應信號類型、自由度增強分析、系統(tǒng)易實現(xiàn)等方面依然存在不足。

為此，本文提出了一種基于互質(zhì)陣列的運動單站信號直接定位技術(shù)，與已有研究相比，本文的主要貢獻包括：

(1) 以典型窄帶信號為目標建立DPD相關(guān)數(shù)學模型，給出了更為通用的稀疏陣列截獲信號模型和DPD代價函數(shù)，所提算法適用于所有的窄帶類型信號，具有更好的電磁環(huán)境適應性，具有時頻混疊信號定位能力；

(2) 采用運動單站截獲信號，無需考慮采用多稀疏陣列時存在的互相通信或時頻同步等問題，具有更高的工程應用價值；

(3) 對稀疏陣列DPD在自由度、分辨率、定位精度、計算復雜度等方面的性能進行了分析，給出了客觀結(jié)論。

2 數(shù)學模型

以二維空間為例建立直接定位的數(shù)學模型，該模型可以簡單拓展至三維空間。假設(shè)二維平面內(nèi)有Q個輻射源，發(fā)射連續(xù)的互不相關(guān)的窄帶信號sq(t)，q=1，2，...，Q，位置為pq。在輻射源遠場區(qū)域有一觀測站，搭載具有Y=M+N -1個陣元的無源線性互質(zhì)陣列，M和N是該互質(zhì)陣列兩個子陣的陣元數(shù)，且為互質(zhì)的整數(shù)。不失一般性，可以假設(shè)M＜N。假設(shè)這兩個子陣共享第1個陣元，且該陣元為參考陣元，則根據(jù)互質(zhì)陣列的結(jié)構(gòu)特點，可知該互質(zhì)陣列各個陣元距離參考陣元的距離為

其中，d為信號半倍波長，以N=4，M=3為例，總陣元數(shù)為Y=6，該互質(zhì)陣列的結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 互質(zhì)陣列示意圖Fig.1 Coprime array diagram

假設(shè)各陣元之間無幅/相誤差，在全部觀測時間t∈[0，T]內(nèi)，該陣列都可以接收到所有輻射源的信號。但是出于計算量和硬件存儲量的考慮，僅保留L個短時觀測批次，每個觀測批次持續(xù)時間KTs很短，該時間內(nèi)陣列位置近似不變，其中K為每個觀測批次內(nèi)的采樣點數(shù)(通過人為限制可確保每個觀測批次采樣點數(shù)相同)，Ts為采樣時間，對應第l=1，2，...，L個觀測批次的直接定位場景如圖2所示。

圖2 直接定位場景示意圖Fig.2 Scenario diagram of direct position determination

在遠場場景下，第l個觀測批次陣列截獲的第k采樣點的信號可以表示為

其中，αl，q是一個未知的復標量，代表第l個觀測批次截獲的第q個輻射源的信號衰減系數(shù)，與相對距離和信號環(huán)境有關(guān)；wl(k)為高斯復白噪聲，假設(shè)其與信號無關(guān)，且不同陣元間的噪聲也相互獨立。al(pq)是陣列在第l個觀測批次對第q個輻射源的陣列響應，由于單個觀測批次內(nèi)持續(xù)時間很短，其與采樣序號k無關(guān)，可以表示為

式(2)可以寫成更為緊湊的形式，即

3 方法描述

3.1 差分共性陣(Difference Co-Array)信號模型

對式(6)給出的信號計算自相關(guān)，則陣列截獲信號的協(xié)方差矩陣為

將Rl，xx的每一列逐個排列成一列，形成Y2×1的列向量，用 vec(Rl，xx)表示這一過程，則式(7)可以重寫為

由圖3可知，形成的等效差分虛擬陣列包含17個陣元，此外存在兩個孔洞(hole)，這是互質(zhì)陣列與嵌套陣列的重要區(qū)分。針對等效差分陣列陣元數(shù)與M，N的關(guān)系目前已經(jīng)有相關(guān)的研究，尤其是文獻[47]給出了兩種更為一般性的互質(zhì)陣列自由度的解析解，此非本文研究重點，在此不做深入討論，僅假設(shè)等效差分虛擬陣列包含的陣元個數(shù)為。

3.2 空間平滑技術(shù)

空間平滑需要對連續(xù)的均勻線陣使用，因此需要去除孔洞以及孔洞之外的虛擬陣元。用[-ξ，ξ]表示去除后的連續(xù)均勻線陣各個陣元的地址，以圖3給出的差分共性陣列為例，ξ=6，陣元總數(shù)為2ξ+1=13，則差分共性陣的輸出為該矩陣為滿秩矩陣，可以使用MUSIC算法實現(xiàn)直接定位。

圖3 等效的差分共性陣Fig.3 The equivalent difference co-array

3.3 基于空間譜類型的直接定位算法

本節(jié)基于MUSIC的方法構(gòu)建直接定位的代價函數(shù)。與陣列測向不同，單站直接定位需要累積多個觀測間隔才能夠?qū)崿F(xiàn)對輻射源位置的估計。對于任意的觀測批次，都可以通過上述方法獲取其對應的差分共性陣列經(jīng)過空間平滑之后的協(xié)方差矩陣Rl，對其進行子空間分解，可得

由式(14)可知，給定可行解空間中任意位置p，可以計算其對應的直接定位代價值，通過二維窮盡搜索，最多可定位的輻射源數(shù)量為ξ=6＞Y -1=5個。

3.4 計算復雜度分析

計算復雜度是評價算法的重要指標。為分析所提方法計算復雜度，本文將其與以下兩種傳統(tǒng)DPD方法以及兩步法進行對比，并對其縮寫進行說明。

(1) ULA-DPD：與文獻[43]中的方法類似，采用陣元間隔為半倍波長的均勻線陣對目標進行直接定位。

(2) CAori-DPD：采用互質(zhì)陣列對目標進行直接定位，但是并不進行差分共性陣列的構(gòu)建以及空間平滑，而是直接構(gòu)建基于MUSIC的代價函數(shù)進行直接定位，因此其自由度無提升。

(3) CA-2Step：采用互質(zhì)陣列對目標進行先測向后定位的兩步定位法，在測向過程中構(gòu)建差分共性陣列并進行空間平滑[46]，獲得測向結(jié)果之后，再利用最小二乘方法進行定位(文獻[54]第Ⅳ節(jié))。

為便于描述，本文所提方法使用CA-DPD縮寫。

對于以上考慮的4種方法，分別以其所需的乘法運算次數(shù)作為評估其計算復雜度的主要指標進行具體分析。

對于ULA-DPD，主要運算包括協(xié)方差矩陣計算、特征值分解，以及代價函數(shù)計算。協(xié)方差矩陣計算需對所有觀測批次的信號進行共軛相乘，所需乘法運算次數(shù)為LKY2，Y是陣元數(shù)，L是觀測批次，隨后需對Y×Y的矩陣進行特征值分解，假設(shè)都采用Cholesky分解，則所需乘法運算次數(shù)可以粗估為最后計算代價函數(shù)，假設(shè)網(wǎng)格搜索個數(shù)為Ne，忽略方向矢量的計算，則每一個網(wǎng)格計算代價函數(shù)所需乘法運算為LY(Q+1)，因此ULADPD 所需的乘法運算次數(shù)約為

對于CAori-DPD，采用與ULA-DPD同樣的處理方法，只是陣列構(gòu)型不同，因此所需乘法運算與ULA-DPD相同，即

對于CA-DPD，主要運算包括構(gòu)建互質(zhì)陣列、空間平滑、以及代價函數(shù)計算。構(gòu)建互質(zhì)陣列需要與ULA-DPD同樣的協(xié)方差矩陣計算，即LKY2，隨后構(gòu)建差分共性陣僅需要進行移位和排序，由于該計算與數(shù)值很大的K無關(guān)，因此在此忽略不計，隨后需要進行空間平滑，所需乘法運算次數(shù)為L(ξ+1)3，其中ξ+1表示子陣陣元個數(shù)，最后進行代價函數(shù)計算，與ULA-DPD類似，所需乘法次數(shù)為NeL(ξ+1)(Q+1)。綜上所述，CA-DPD所需乘法運算次數(shù)為

對于CA-2Step，主要運算量僅體現(xiàn)在角度的搜索。由于采用的是一維搜索，因此其所需的乘法次數(shù)NCA-2Step遠低于需要進行二維搜索的直接定位方法所需的乘法次數(shù)。同時，考慮到一般情況下，ξ+1＞Y，因此有

可見，CA-DPD所需的計算量相比其他方法略有增加。為進一步分析，以第3.2節(jié)場景為例，設(shè)定網(wǎng)格個數(shù)為5000個，CA-DPD所需乘法運算次數(shù)為5653834，其他兩種直接定位方法所需乘法運算次數(shù)為5040072，說明本文所提算法的計算復雜度增加并不顯著。

4 仿真分析

本節(jié)對第3節(jié)提出的互質(zhì)陣列運動單站直接定位性能進行仿真分析。為了驗證其性能的優(yōu)劣，分別從自由度、分辨率、定位精度、計算復雜度4個方面進行測試，并與第3.4節(jié)介紹的ULA-DPD，CAori-DPD以及CA-2Step進行對比。

4.1 自由度

設(shè)定互質(zhì)陣列的構(gòu)型如圖1所示，即M=3，N=4，則總陣元數(shù)為Y=6，采用MUSIC方法直接處理，其自由度為5，即最多可定位5個目標，而采用CA-DPD方法，由第1節(jié)分析可知其最大定位個數(shù)為6。

為了驗證上述推論，設(shè)定如下仿真場景：建立二維參考坐標系，x軸沿東西方向，以東為正；y軸沿南北向，以北為正。設(shè)定觀測站沿x軸進行由西向東的勻速直線運動，其運動軌跡的中心為參考坐標系的原點。假設(shè)在運動過程中，對信號的觀測時間均勻分布，觀測批次總數(shù)為40次，不做特殊說明的情況下，每個觀測批次持續(xù)時長為50 μs。則觀測站運動軌跡、對應各觀測批次的位置以及輻射源的位置分布如圖4所示。

圖4 運動單觀測站對6個輻射源進行定位場景示意圖Fig.4 The scene of 6 radiation sources localized by single moving observation

在二維空間中設(shè)定有6個輻射源同時發(fā)射BPSK信號，不同信號之間碼元隨機生成，采樣率為20 MHz，位置分布于[0，200] m，[100，200] m，[—100，200] m，[300，200] m，[—200，200] m，[200，200] m。同時，目標信號載頻都為1 GHz，對應波長為0.3 m(假設(shè)電磁波在該場景中傳播速度為3×108m/s)。因此仿真中所采用的陣元間隔配置基于該信號波長進行設(shè)定，即d=λ/2=0.15 m。如果以第1個陣元為參考陣元，則各物理陣元位置可以表示為[0，0] m，[0.45，0] m，[0.6，0] m，[0.9，0] m，[1.2，0] m，[1.35，0] m。

需要注意的是，在不同觀測批次內(nèi)觀測站與輻射源最近距離為200 m，而 200 m＞＞10λ=3 m的關(guān)系可以確保該場景為遠場場景。

采用第3節(jié)方法對其進行直接定位，設(shè)定帶內(nèi)信噪比SNR為10 dB，蒙特卡羅試驗次數(shù)為100次，對式(14)給出的代價函數(shù)進行空間范圍內(nèi)的搜索，得出如圖5所示代價函數(shù)。

通過尋峰即可求得輻射源的具體位置。由圖5可知，僅使用6個陣元，在中度信噪比條件下CADPD可以有效區(qū)分并定位出6個輻射源，與第3節(jié)中理論分析一致，其自由度高于ULA-DPD(其協(xié)方差矩陣秩為6，無法定位5個以上輻射源)。

在目標數(shù)為CA-DPD所能適應的最大個數(shù)條件下，進一步測試信噪比、觀測批次以及觀測時長3個因素對CA-DPD多目標適應能力的影響。為了觀察簡便，繪制其代價函數(shù)譜圖。圖6分別給出了其他條件與圖5相同，僅改變信噪比、僅減少觀測批次數(shù)、僅減少觀測時長情況下CA-DPD的代價函數(shù)譜圖。其中，黑色“+”代表輻射源的真實位置，譜圖中顏色越淺代表代價函數(shù)譜的數(shù)值越大。

圖6(c)是與圖5對應的代價函數(shù)譜。對比圖6(a)、圖6(b)、圖6(c)不難發(fā)現(xiàn)：CA-DPD多目標適應能力對信噪比不敏感，在低信噪比下(0 dB)其譜函數(shù)幾乎與中信噪比(10 dB)一致，僅在極低信噪比下(—10 dB)表現(xiàn)出一定的譜峰變粗現(xiàn)象，但其峰值依然位于輻射源真實位置處。對比圖6(c)和圖6(d)，觀測批次從40次降低為4次，此時其代價函數(shù)譜出現(xiàn)虛假峰，無法適應多目標的情況，出現(xiàn)該現(xiàn)象的主要原因是觀測批次的減少破壞了可觀測性，在視線矢量交叉處造成虛假定位點。對比圖6(c)和圖6(e)不難發(fā)現(xiàn)：保持觀測次數(shù)不變，減少每次觀測的時長，依然可以有效分辨6個目標且無虛假譜峰，但對應譜峰也會變粗，其主要原因是觀測時長減少使得含有位置信息的采樣數(shù)據(jù)減少，從而造成位置信息在代價函數(shù)譜上的聚集性減弱。

圖5 CA-DPD代價函數(shù)Fig.5 CA-DPD cost function

圖6 CA-DPD多目標代價函數(shù)譜Fig.6 Multiple target cost function spectrum of CA-DPD

當獲得類似圖5所示的代價函數(shù)時，可以首先提取最大代價函數(shù)值處的位置，即其中一個輻射源的位置，隨后將該最大值及其周邊位置代價函數(shù)值賦值為零，再尋找下一個代價函數(shù)最大值對應的位置，以此類推，即可獲得所有輻射源的位置。在后續(xù)仿真中，都采用該方法提取輻射源位置的估計值并計算定位誤差。

4.2 分辨率

通過兩個臨近輻射源的代價函數(shù)譜以及其定位精度對分辨率進行測試?；ベ|(zhì)陣列依然采用圖1所示構(gòu)型，此外設(shè)定一個均勻線陣，其陣元間隔為半倍波長。觀測站運動狀態(tài)以及觀測批次設(shè)定與圖4一致。輻射源減少為兩個并重新調(diào)整其位置，發(fā)射的信號與第3.1節(jié)一致。帶內(nèi)信噪比保持為10 dB。獲得的代價函數(shù)譜如圖7所示，其中白色“+”表示輻射源真實位置。

從圖7可以看出，對于臨近的兩個輻射源(位置分別位于[—10，200] m，[10，200] m)，CAori-DPD可以有效區(qū)分，并在真實位置附近形成兩個尖銳的譜峰，而ULA-DPD也可以有效區(qū)分，但是其譜峰相對較粗，且譜峰位置偏離真實位置附近，由于兩者處理方法一樣，因此該分辨率性能差異主要源自陣列孔徑的不同。更為重要的是，本文提出的方法CA-DPD難以分辨這兩個臨近輻射源，其譜峰只有一個且位于兩個輻射源連線的中心位置。下面對本次仿真中，CA-DPD分辨率有所降低的原因進行分析。觀察圖3可知，仿真中使用的互質(zhì)陣列對應的差分共性陣列可達 12d，但是為解差分共性陣列對應信號的相干性，通常采用空間平滑方法進行處理，平滑后等效的陣列孔徑為 7d。雖然其孔徑依然大于ULA-DPD的孔徑，但是空間平滑技術(shù)本身在大陣列小子陣陣元數(shù)的情況下會造成較大的信息損失，因此最終其分辨率性能表現(xiàn)反而不如ULA-DPD。

為了進一步驗證該結(jié)論，設(shè)定兩個臨近輻射源的位置為[—e，200] m，[e，200] m，改變e的大小，分別統(tǒng)計在100次蒙特卡羅試驗下3種直接定位方法對右側(cè)輻射源的定位均方根誤差(左側(cè)目標與其一致)，如圖8所示。均方根誤差計算方法為

其中，‖·‖2表 示2范數(shù)，Nm表示蒙特卡羅試驗的次數(shù)。

由圖8可見，CAori-DPD的分辨率最高，并且隨著輻射源距離的增加，定位精度越來越高；而ULA-DPD和CA-DPD兩者分辨率較差，且隨著輻射源距離的增加，都表現(xiàn)出誤差先增加再減少的變化趨勢，這是由于在兩個輻射源距離較近時，這兩種方法無法區(qū)分兩個輻射源，僅在兩個輻射源中心出現(xiàn)一個譜峰，此時隨著兩個輻射源間距的增加，定位誤差也會增加，而當超過一定距離門限時，可以表現(xiàn)出兩個譜峰，此時定位誤差會隨著間距的增加而減少。顯然該距離門限反應其分辨率性能。對于ULA-DPD，其門限為7；對于CA-DPD，其門限為9；而對于CAori-DPD，其門限小于5。該分辨率仿真結(jié)果與圖7表現(xiàn)一致。

圖7 臨近目標代價函數(shù)譜Fig.7 Cost function spectrum of adjacent targets

圖8 定位均方根誤差與e關(guān)系圖Fig.8 The effect of e on localization RMSE

4.3 定位精度

4.3.1 定位精度與信噪比關(guān)系

本節(jié)分析CA-DPD，ULA-DPD以及CAori-DPD這3種方法的定位精度。仿真條件與第2.1節(jié)設(shè)定的一致。在帶內(nèi)信噪比為0 dB條件下，分別繪制3種方法對應的單個輻射源([0，200] m)的代價函數(shù)譜圖，如圖9所示。

從圖9可以看出，ULA-DPD方法的代價函數(shù)譜形成的峰最為粗糙，可能造成輻射源定位不精確，而CAori-DPD和本文提出的CA-DPD相對尖銳，但CA-DPD略差于CAori-DPD方法，這一結(jié)果是由空間平滑帶來的陣列孔徑損失造成的。為了進一步驗證該推論，需要對其定位精度進行分析。

圖9 單個目標代價函數(shù)譜Fig.9 Cost function spectrum of single target

為此，采用多級網(wǎng)格窮盡搜索法對該輻射源進行直接定位，網(wǎng)格最小為0.0001 m，通過200次蒙特卡羅試驗統(tǒng)計定位均方根誤差與帶內(nèi)信噪比的關(guān)系，并將其與克拉默-拉奧下限(Cramer-Rao Lower Bound，CRLB)進行對比。CRLB根據(jù)文獻[43]進行計算，且僅給出圖3互質(zhì)陣列對應的CRLB。仿真結(jié)果如圖10所示。

從圖10可以發(fā)現(xiàn)CA-DPD定位精度在仿真的信噪比范圍內(nèi)優(yōu)于ULA-DPD，但其定位精度無法達到CAori-DPD的定位精度，進一步驗證了陣列孔徑損失對定位精度的影響。此外，采用兩步法的CA-2Step方法在低信噪比下定位精度較差，僅在SNR＞9 dB之后才能達到與CA-DPD相近的定位精度，驗證了直接定位法對低信噪比信號的適應能力。

圖10 定位均方根誤差與SNR關(guān)系圖Fig.10 The effect of SNR on localization RMSE

4.3.2 定位精度與快拍數(shù)關(guān)系

除信噪比外，定位精度還與截獲信號的快拍數(shù)(采樣點數(shù))有關(guān)，為分析各方法定位精度與快拍數(shù)關(guān)系，僅改變每個觀測批次的快拍數(shù)，保持采樣率、觀測批次數(shù)總數(shù)等其他參數(shù)不變，在信噪比為5 dB的情況下獲得各方法定位均方根誤差與快拍數(shù)的關(guān)系，如圖11所示。

從圖11可以發(fā)現(xiàn)，隨著快拍數(shù)的增加，所有方法定位精度都會提升。CA-DPD定位精度明顯優(yōu)于ULA-DPD以及CA-2Step方法，在較小快拍數(shù)(2e3)時，即可達到0.2 m左右的高定位精度。

圖11 定位均方根誤差與快拍數(shù)關(guān)系圖Fig.11 Relation between the number of sampling points in each observation interval and localization RMSE

4.3.3 定位精度與觀測批次數(shù)關(guān)系

除信噪比、截獲信號快拍數(shù)外，定位精度還與觀測批次數(shù)量有關(guān)，為分析各方法定位精度與觀測批次數(shù)量的關(guān)系，保持觀測站運動距離不變，改變其觀測批次數(shù)量，保持采樣率、每個觀測批次的快拍數(shù)等其他參數(shù)不變，在信噪比為5 dB的情況下獲得各方法定位均方根誤差與快拍數(shù)的關(guān)系，如圖12所示。注意，在運動過程中，假設(shè)各觀測批次的時間均勻分布。

圖12中，隨著快拍數(shù)的增加，所有方法定位精度都會提升。與圖10、圖11類似，本文所提的CADPD方法顯著優(yōu)于ULA-DPD以及CA-2step方法，僅需10次以上的觀測批次即可獲得高精度的定位結(jié)果(0.2 m)。

圖12 定位均方根誤差與觀測批次數(shù)關(guān)系圖Fig.12 Relation between the number of observation interval and localization RMSE

4.4 計算耗時

為進一步對比各算法計算復雜度，對計算耗時進行統(tǒng)計。在相同信噪比、快拍數(shù)以及觀測批次數(shù)條件下，記錄各算法實現(xiàn)單個目標準確定位所需的計算耗時，其中所有DPD方法都采用多級網(wǎng)格進行搜索，每一級網(wǎng)格設(shè)置為16×16個，直至網(wǎng)格大小縮小至0.0001 m時停止搜索。采用主頻為2.9 GHz的計算機單核中央處理器對以上算法進行計算，經(jīng)過100次蒙特卡羅試驗，獲得定位所需的計算耗時如表1所示。

表1統(tǒng)計結(jié)果表明，CA-DPD所需耗時最長，相比ULA-DPD以及CAori-DPD，計算所需時間僅增加約10%，該結(jié)論與第3.4節(jié)計算復雜度的理論分析結(jié)果一致。此外，兩步法由于不需要進行位置上的二維搜索，其計算復雜度最低，所需的計算時間也最少。

表1 算法耗時Tab.1 Elapsed time of algorithms

5 總結(jié)與展望

本文以典型窄帶信號為目標建立了運動單觀測站DPD相關(guān)數(shù)學模型，給出了更為通用的稀疏陣列截獲信號模型和對應的DPD代價函數(shù)，并對其自由度、分辨率、定位精度以及計算復雜度等性能進行了詳細分析，得出以下結(jié)論。

本文所提出的CA-DPD方法在僅需犧牲較少的計算復雜度和定位精度的條件下，即可較大幅度地提升定位自由度，自由度可以超過陣元個數(shù)減1，等效于其空間平滑中使用的子陣自由度，在復雜電磁環(huán)境以及時頻混疊信號掩護場景下具有極大的應用價值，能較好地適應現(xiàn)代和未來電子對抗的發(fā)展趨勢。

基于仿真分析結(jié)論可知，采用互質(zhì)陣列進行直接定位時需根據(jù)目標和陣元數(shù)目關(guān)系進行所用方法的決策，當目標個數(shù)小于陣元數(shù)時，采用CAori-DPD進行直接定位，獲得精度稍高的結(jié)果，而當目標個數(shù)大于等于陣元數(shù)時，采用CA-DPD獲得全部目標的定位結(jié)果。

顯然，CA-DPD依然存在較大的性能提升空間。改進信號解相干方法，彌補位置信息損失，并進一步提升算法計算效率將是后續(xù)研究的重點。