互質(zhì)層析SAR最少航過數(shù)量估計方法

于龍龍 馮東 王建 黃曉濤

(國防科技大學電子科學學院 長沙 410073)

1 引言

在對城市場景的觀測應(yīng)用中[1]，層析合成孔徑雷達技術(shù)(Tomographic Synthetic Aperture Radar，TomoSAR)[2]具有巨大的應(yīng)用價值。層析SAR通過多次航過、以不同的波束視角觀測同一場景，能夠獲取被觀測場景的三維圖像。在層析SAR的實際應(yīng)用中，航過數(shù)量的選擇是一個重要的考量因素。因為航過數(shù)量的選擇不僅取決于層析性能指標，同時還要受到成本的制約。從節(jié)約成本方面考慮，用戶希望使用盡可能少的航過數(shù)量實現(xiàn)性能指標。

為了減少航過數(shù)量，文獻[3，4]提出了一種互質(zhì)層析SAR技術(shù)?；ベ|(zhì)層析SAR的基線(指航過位置的分布結(jié)構(gòu))按照互質(zhì)陣列幾何[5]構(gòu)建?；ベ|(zhì)層析SAR可以應(yīng)用在機載平臺上，因為機載平臺的軌跡偏航量小。而偏航后的軌跡可以利用基線插值技術(shù)[6]恢復(fù)到理想位置。文獻[3]和文獻[4]證實：在層析性能相同的情況下，互質(zhì)層析SAR比均勻?qū)游鯯AR(其航過位置均勻地分布)所需的航過數(shù)量少。互質(zhì)層析SAR另一個優(yōu)勢是，其航過位置可以根據(jù)解析公式計算得到。相比之下，最小冗余陣列(Minimum Redundancy Arrays，MRA)幾何不具有解析形式，因而MRA層析SAR[7，8]的航過位置必須通過計算機輔助搜索的方式確定。這種構(gòu)建基線的方式往往比較耗時，并且當航過數(shù)量較多的時候，甚至不可行。

在實際應(yīng)用中，用戶希望使用盡可能少的航過數(shù)量實現(xiàn)層析性能指標。但是，一味地減少航過數(shù)量可能導致層析重構(gòu)結(jié)果不可靠。為了將互質(zhì)層析SAR技術(shù)推向?qū)嵱茫疚难芯苛俗钌俸竭^數(shù)量(Minimum Number of Acquisitions)估計問題。最少航過數(shù)量的選擇不僅取決于層析性能指標，而且與所采用的重構(gòu)方法緊密相關(guān)。在采用Fourier重構(gòu)方法[2]的情況下，根據(jù)分辨率(除非特別說明，專指層析SAR的高度向分辨率)和模糊度指標可以輕松地計算所需的最少航過數(shù)量。然而，F(xiàn)ourier方法的重構(gòu)性能有限。考慮到城市場景的高度向回波信號具有稀疏性，層析重構(gòu)處理大多采用超分辨重構(gòu)方法。這類方法作為一類基于觀測數(shù)據(jù)的自適應(yīng)方法，其重構(gòu)性能與多個參數(shù)有關(guān)，包括航過數(shù)量、基線幾何、航過間隔、散射點數(shù)量、散射點間的高度向位置間隔(高度間隔)、信噪比以及視數(shù)。因此，在采用超分辨重構(gòu)方法的情況下，要準確分析具體性能所需的最少航過數(shù)量，必須綜合考慮所有相關(guān)參數(shù)對重構(gòu)性能的影響。

針對最少航過數(shù)量估計問題，研究人員開展過多項研究工作。文獻[9]針對子空間方法，提出了一種通過簡單的數(shù)值計算就可以估計最少航過數(shù)量的方法。但是該方法僅考慮了航過數(shù)量與分辨率之間的關(guān)系，而其余的參數(shù)在最少航過數(shù)量分析過程中被忽視。文獻[10]針對壓縮感知方法，僅分析了信噪比與最少航過數(shù)量之間的約束關(guān)系。這種方法必須借助計算機仿真才能應(yīng)用，所以該方法在實際應(yīng)用中往往比較麻煩。此外，文獻[10]僅針對單視數(shù)據(jù)情況，沒有考慮多視數(shù)據(jù)對最少航過數(shù)量的影響。繼文獻[10]之后，Zhu等人[11]將壓縮感知方法拓展到了多視數(shù)據(jù)情況下，并指出利用多視數(shù)據(jù)能夠降低航過數(shù)量需求。但是，他們并沒有定量地分析視數(shù)對最少航過數(shù)量的影響。

在采用超分辨重構(gòu)方法的情況下，最少航過數(shù)量估計是一個復(fù)雜的多參數(shù)問題。然而，傳統(tǒng)的最少航過數(shù)量估計方法[9，10]因為沒有同時考慮所有相關(guān)參數(shù)對最少航過數(shù)量的影響，所以無法準確響應(yīng)參數(shù)變化。也就是說，當參數(shù)變化有利于降低最少航過數(shù)量時(比如提高信噪比或者增加視數(shù))，由傳統(tǒng)方法估算的航過數(shù)量可能存在冗余；相反，當參數(shù)變化需要增加航過數(shù)量時(比如降低信噪比或者減少視數(shù))，由傳統(tǒng)方法估算得到的航過數(shù)量可能無法保證重構(gòu)結(jié)果可靠。

針對子空間方法，本文提出了一種估計最少航過數(shù)量的方法。與傳統(tǒng)方法[9，10]相比，本文方法同時考慮了所有的相關(guān)參數(shù)，且具有解析的數(shù)學描述式。由于兼顧了所有相關(guān)參數(shù)，因此該方法能夠靈活應(yīng)對各種場景。也就是說，該方法可以準確跟蹤最少航過數(shù)量隨相關(guān)參數(shù)的變化。因此，由這種方法確定的航過數(shù)量在保證重構(gòu)結(jié)果可靠的條件下接近最少。由于具有解析的形式，該方法通過簡單的數(shù)值計算就可以得到所需的最少航過數(shù)量。另外，本文方法可以適用于任意基線幾何的層析SAR，包括互質(zhì)層析SAR。相比之下，文獻[9]中所提出的方法沒有考慮基線幾何對航過數(shù)量的影響。

為了確保所選定的航過數(shù)量能夠獲得可靠的重構(gòu)結(jié)果，本文分析子空間方法的可靠重構(gòu)的保證條件。根據(jù)這個保證條件建立了航過數(shù)量與其余影響重構(gòu)性能參數(shù)之間的約束關(guān)系?？紤]到子空間方法的重構(gòu)性能直接依賴樣本協(xié)方差矩陣的特征值(樣本特征值)，而樣本特征值與多個參數(shù)有關(guān)[12，13]。這些參數(shù)包括航過數(shù)量、基線幾何、航過間隔、散射點數(shù)量、高度間隔、信噪比以及視數(shù)。因此，為了準確響應(yīng)參數(shù)變化對子空間方法重構(gòu)結(jié)果的影響，我們通過定量地分析樣本特征值與所有相關(guān)參數(shù)之間的關(guān)系，定義了可靠重構(gòu)的保證條件。根據(jù)這個可靠性保證條件，提出了一種估計最少航過數(shù)量的方法。仿真結(jié)果表明，本文方法估算的航過數(shù)量確實接近最小，且能夠保證層析重構(gòu)結(jié)果可靠。

2 互質(zhì)層析SAR

文獻[3，4]提出了互質(zhì)層析SAR技術(shù)，其航過位置按照互質(zhì)陣列幾何[5]配置。本文將互質(zhì)層析SAR的基線幾何稱為互質(zhì)基線。圖1為互質(zhì)層析SAR的數(shù)據(jù)獲取幾何的示意圖。圖中r0表示參考航過至位于高度位置h的散射點之間的最近斜距。Rm(r0，h)表示第m條航過至該散射點之間的斜距。

圖1 互質(zhì)層析SAR的數(shù)據(jù)獲取幾何Fig.1 The acquisition geometry of the coprime TomoSAR

為了說明方便，假定所有航過均沿垂直斜距(Normal-to-Slant-Range，NSR)方向排列?；ベ|(zhì)基線由兩個間距不等、均勻且稀疏的子基線構(gòu)成。假定兩個子基線的起始航過位置重合，互質(zhì)基線的航過位置集合為 D=D1∪D2，其中D1={(m-1)分別表示第1個子基線和第2個子基線的航過位置集合；∪表示并集運算符；M1和M2分別表示第1個子基線和第2個子基線的航過數(shù)量，且被要求為一對互質(zhì)整數(shù)；d表示相鄰航過間的最小間隔(最小航過間隔)，這個值的選擇與成像幾何參數(shù)和觀測場景的模糊高度有關(guān)[2，9]?？梢钥闯?，互質(zhì)基線相當于從均勻基線的位置集合{0，1，2，···，(M1—1)M2}d中篩選出的一種非均勻、稀疏基線。由于具有非均勻和稀疏特性，互質(zhì)基線幾何使用較少的航過數(shù)量就能獲得與均勻基線幾何相同的層析重構(gòu)性能[3，4]。

3 協(xié)方差矩陣的特征值特性

對于子空間方法而言，層析重構(gòu)性能直接依賴于樣本特征值。這是因為，散射點數(shù)量估計處理要基于樣本特征值開展[14，15]，并且散射點的高度位置估計(高度估計)處理過程中的子空間劃分也要依據(jù)樣本特征值的大小開展。然而，樣本特征值與多個參數(shù)有關(guān)。這些參數(shù)為航過數(shù)量、基線幾何、航過間隔、散射點數(shù)量、高度間隔、信噪比以及視數(shù)。因此，在層析性能指標給定的情況下，航過數(shù)量的選擇要綜合考慮所有相關(guān)參數(shù)的影響。這樣才有可能使得所確定的航過數(shù)量在保證重構(gòu)性能達標的條件下接近最少。

對于子空間方法而言，準確估計散射點數(shù)量是保證重構(gòu)結(jié)果可靠的首要條件。因此，散射點數(shù)量估計的可靠性被選來作為評估重構(gòu)結(jié)果是否可靠的標準。為了保證層析重構(gòu)結(jié)果的可靠性，本節(jié)通過定量地分析樣本特征值與所有相關(guān)參數(shù)之間的關(guān)系，定義了可靠重構(gòu)的保證條件。根據(jù)這個保證條件建立了航過數(shù)量與相關(guān)參數(shù)之間的約束關(guān)系。基于這個約束關(guān)系，可以解析地計算最少航過數(shù)量。

3.1 層析信號模型

在城市場景下，層析信號可以看作少量幾個點散射體的回波。當層析SAR獲取的二維SAR圖像組經(jīng)過良好的聚焦、相位校正和配準后，同一個距離-方位分辨單元中的層析信號可以表示為

式中，Y∈CM×L表示觀測數(shù)據(jù)，是一個M×L維的復(fù)數(shù)矩陣；M和L分別表示航過數(shù)量和視數(shù)，其中多視數(shù)據(jù)可以通過多視處理[16]或者非局部濾波處理[17]獲得；A=[a(h1)，a(h2)，...，a(hK)]∈CM×K表示觀測矩陣，其中a(hk)表示基線相對于第k個散射點的導向矢量，而hk表示這個散射點的高度位置；s=[s1，s2，···，sK]T，其中sk表示第k個散射點的散射系數(shù)，通常假定散射點的回波信號之間互不相關(guān)。(·)T代表矩陣或者向量的轉(zhuǎn)置運算符。K表示散射點數(shù)量；a(hk)的第m個元素為am(hk)=exp[j4πbmdhk/(κr0sinθ)]，其中bm表示第m條航過相對于參考航過的正交基線分量；κ表示雷達波長；r0表示參考航過的斜距；。η(l)表示第l視數(shù)據(jù)中的噪聲信號，通常被假定為一個獨立同分布的高斯隨機過程。

在城市場景下，由于層析信號具有稀疏性，所以層析重構(gòu)處理被看作一個參數(shù)求逆問題，即從觀測數(shù)據(jù)Y中估計散射點的數(shù)量K、各個散射點的高度位置和其散射點系數(shù)。由于子空間方法具有超分辨性能且運算量適中，本文考慮采用子空間方法開展層析重構(gòu)處理。對子空間方法而言，重構(gòu)結(jié)果的可靠性直接依賴樣本特征值。然而，樣本特征值與多個參數(shù)有關(guān)。為此，3.2節(jié)將定量分析樣本特征值與所有相關(guān)參數(shù)之間的關(guān)系。

3.2 樣本協(xié)方差矩陣的特征值特性

觀測數(shù)據(jù)Y的期望協(xié)方差矩陣被定義為

式中，E[·]表示期望運算符。(·)H代表矩陣或者矢量的共軛轉(zhuǎn)置運算符。

在模型(1)的假設(shè)條件下，R有如下形式

協(xié)方差矩陣的期望值僅具有理論上的意義，在實際信號處理中通常用其估計值替代，也就是樣本協(xié)方差矩陣。樣本協(xié)方差矩陣可以通過多個獨立的樣本計算得到

對子空間方法而言，重構(gòu)結(jié)果的可靠性直接依賴樣本特征值。這是因為散射點數(shù)量估計要基于樣本特征值開展，并且高度估計處理中的子空間劃分也要依據(jù)樣本特征值的大小實施。理論上，信號的樣本特征值應(yīng)該大于噪聲的樣本特征值。這是因為信號的樣本特征值中不僅包含信號自身的貢獻，同時也包含噪聲的貢獻。因此，可以利用信號的樣本特征值和噪聲的樣本特征值在幅度方面的差異性來估計散射點的數(shù)量。在得到散射點數(shù)量的可靠估計值之后，根據(jù)樣本特征值的大小就能準確地劃分信號子空間與噪聲子空間。然而，在實際中，由于噪聲信號的隨機性，信號的樣本特征值有可能等于，甚至小于噪聲的樣本特征值。在這種情況下，信號的樣本特征值與噪聲的樣本特征值不能分辨，從而也就無法根據(jù)樣本特征值可靠地估計散射點的數(shù)量。自然而然，也就無法準確地得到信號子空間和噪聲子空間，進而導致高度估計值嚴重偏離真實值。

下面通過定量地分析樣本特征值與所有相關(guān)參數(shù)之間的關(guān)系，定義子空間方法的可靠重構(gòu)的保證條件。

文獻[12]針對航過數(shù)量和視數(shù)均有限的情況，采用矩陣擾動理論(Matrix Perturbation)分析了樣本特征值與相關(guān)參數(shù)之間的關(guān)系。文獻[12]給出，在下面條件滿足的情況下

信號的樣本特征值的下限以概率1-ε-ε1-ε2滿足

文獻[12]同時給出，噪聲的樣本特征值的上限以概率1-ε1滿足

在式(6)—式(8)中，γS表示任意一個信號的期望特征值；?S表示與γS對應(yīng)的樣本征值。σ2，M和L分別表示噪聲方差、航過數(shù)量、視數(shù)。ε是一個與自選常數(shù)C有關(guān)概率值，且ε=Pr[|N(0，1)|＞C]，其中Pr[·]表示概率分布函數(shù)；N(0，1)表示一個標準正態(tài)分布函數(shù)。ε1和ε2是與航過數(shù)量、視數(shù)等有關(guān)的概率值，非常小。

從式(6)—式(8)可以看出，在信號的期望特征值滿足條件(6)的情況下，對應(yīng)信號的樣本特征值大于噪聲樣本特征值的上限?；谶@個結(jié)論，讓幅度最小的信號的樣本特征值滿足條件(6)就能夠保證信號的樣本特征值與噪聲的樣本特征值分開。

根據(jù)以上討論，將定義子空間方法的可靠性保證條件為

式中，γK表示矩陣R的第K個特征值，也就是信號的期望特征值序列中的最小值。在實際的信號處理過程中，可以采用閾值檢測方法，并將特征值閾值設(shè)定在，通過統(tǒng)計超過閾值的樣本特征值數(shù)量估計散射點數(shù)量。根據(jù)以上的分析可知，條件(9)在理論意義上可以保證估計結(jié)果可靠。

從式(9)可以看出，可靠檢測條件包含變量γK。實際上，信號的期望特征值γK的大小是變化的。針對散射點數(shù)量K=2的情況，文獻[13]給出了信號的期望特征值與相關(guān)參數(shù)之間的解析關(guān)系式。

對于信號模型(1)，當觀測場景中存在兩個散射點時(K=2)，期望協(xié)方差矩陣可以表示成如下形式

式中，為了簡化，令a1=a(h1)，a2=a(h2)。

對式(10)中的R進行特征值分解可以得出信號的期望特征值[13]解析式，即

式(12)就是2個散射點情況下的可靠檢測條件?？梢钥闯觯@個檢測條件具有解析形式，其中的變量為基線幾何、航過間隔、航過數(shù)量、散射點數(shù)量、高度間隔、信噪比以及視數(shù)。

文獻[18]指出，在層析SAR場景中，同一個距離-方位分辨單元的散射點數(shù)量有可能且最多不超過3個，分別表示來自地面、建筑的外立面以及頂部的散射點。為了應(yīng)對這種情況，本文針對K=3，推導了信號的期望特征值與相關(guān)參數(shù)之間的解析關(guān)系式。具體推導過程見附錄，這里只給出相應(yīng)的結(jié)論。

對于信號模型(1)，當觀測場景中存在3個散射點時(K=3)，期望協(xié)方差矩陣可以表示為

式中，為了簡化，令ak=a(hk)，k=1，2，3。

對式(13)中的R進行特征值分解可以得到信號的期望特征值的解析式，即

式中

式中，Re(·)表示復(fù)數(shù)的實部。

由于可靠檢測條件(9)具有解析形式，因此在給定條件下，最少航過數(shù)量和子空間方法的分辨率極限通過簡單的數(shù)值計算就可以得到。

4 最少航過數(shù)量的估計方法

根據(jù)3.2節(jié)定義的可靠性保證條件[見式(9)]，本文提出一種估計最少航過數(shù)量估計方法，其數(shù)學形式如下

式中，d表示最小航過間隔；dNyq表示滿足奈奎斯特采樣定律條件下d的上限值，這個值與觀測場景的模糊高度有關(guān)。在估計最少航過數(shù)量的過程中，除M和d之外的其余參數(shù)(即基線幾何、散射點數(shù)量、高度間隔、信噪比以及視數(shù))可以根據(jù)具體情況設(shè)定。

對于任意給定的航過數(shù)量M，構(gòu)成互質(zhì)基線幾何的整數(shù)對(即M1和M2)可以通過如下方式獲得。

式中，/2表示小于M/2的最大整數(shù)。對于一個給定的M，構(gòu)造方式(18)能夠使得互質(zhì)層析SAR的基線孔徑最長，進而使得重構(gòu)性能最佳。

關(guān)于本文方法[見式(17)]在實際中的應(yīng)用，有幾點需要說明。(1)航過數(shù)量M是一個離散的變量，而d是一個連續(xù)變量。因此，可能存在多個可行的d使得同一個最少航過數(shù)量滿足可靠檢測條件。在這種情況下，建議選擇其中最小的d。否則，如果最小航過間隔固定在最大值dNyq，則由于航過數(shù)量的非連續(xù)變化，導致所設(shè)計的層析SAR系統(tǒng)的性能與設(shè)計指標之間差異很大。(2)參數(shù)C雖然是一個由用戶自選的參數(shù)，但其大小會影響概率值ε=Pr[|N(0，1)＞C]，進而影響樣本特征值檢測的可靠性。設(shè)定為C=3。這是因為概率Pr[|N(0，1)＞3]＜1-0.997足夠小，意味著基于樣本特征值的信號檢測結(jié)果足夠可靠。

圖2給出了本文提出的最少航過數(shù)量估計方法的流程圖。

圖2 本文提出的最少航過數(shù)量估計方法的流程圖Fig.2 The flow chart for the propose approach to estimate the minimum number of acquisitions

步驟1 初始化參數(shù)。設(shè)定基線幾何、成像幾何參數(shù)、觀測場景的相關(guān)參數(shù)、視數(shù)L、分辨率指標ρh以及航過數(shù)量的初始值M0。成像幾何參數(shù)包括雷達波長κ、斜距r0、波束視角θ。觀測場景的參數(shù)包括散射點數(shù)K、信噪比以及模糊高度。成像幾何參數(shù)和觀測場景的參數(shù)是構(gòu)造觀測矩陣A=[a(h1)，a(h2)，···，a(hK)]的必要參數(shù)，并且最小航過間隔的上限值dNyq需要根據(jù)成像幾何參數(shù)和模糊高度計算得出。

步驟2 固定航過數(shù)量M=M0，在d∈(0，dNyq]整個范圍內(nèi)計算信號的期望特征值γK(d)，并判斷可靠檢測條件是否滿足。如果可靠檢測條件滿足，則此時的航過數(shù)量就是最少航過數(shù)量，即Mmin=M0。否則，更新M0=M0+1后，繼續(xù)執(zhí)行步驟2。在計算γK(d)的過程中，分辨率指標就是兩個距離最近散射點的高度間隔，即mink／=g|hk-hg|=ρh。

步驟3 計算滿足可靠檢測條件的最小航過間隔的最低值dM。得到最少航過數(shù)量Mmin的確切值之后，在保證可靠檢測條件滿足的情況下，搜索最小航過間隔的最低值。

在確定最少航過數(shù)量和最小航過間隔之后，根據(jù)基線幾何就可以確定層析SAR的基線構(gòu)型。

5 仿真實驗結(jié)果

通過仿真實驗驗證了本文方法的可靠性和有效性。可靠性是指航過數(shù)量的估計值能否保證子空間方法的重構(gòu)結(jié)果達到性能指標；有效性是指航過數(shù)量的估計值在保證重構(gòu)結(jié)果可靠性的條件下能否接近最少。為此，開展以下5項實驗內(nèi)容。

(1) 通過比較最少航過數(shù)量的實測值和其理論值，分析本文方法[見式(17)]的可靠性。其中，最少航過數(shù)量的實測值根據(jù)仿真實驗通過測量得到，而最少航過數(shù)量的理論值由本文方法通過數(shù)值計算得到。結(jié)果表明：對于任意給定的實驗條件，最少航過數(shù)量的實測值總是小于其理論值。這說明：由本文方法所估算的航過數(shù)量能保證重構(gòu)結(jié)果可靠。

(2) 利用子空間方法中特有的“性能崩塌(Performance Breakdown)”現(xiàn)象[19，20]，分析本文方法的有效性。對子空間方法而言，當信號的樣本特征值和噪聲的樣本特征值在大小上比較接近時，高度估計結(jié)果會發(fā)生“性能崩塌”現(xiàn)象。這種現(xiàn)象意味著，相應(yīng)的參數(shù)條件已經(jīng)瀕臨子空間方法性能崩塌的邊緣。仿真實驗結(jié)果表明：由本文方法選定的航過數(shù)量接近可靠重構(gòu)的極限條件。

(3) 進一步，通過改變散射點數(shù)量、視數(shù)和信噪比等參數(shù)，分析本文方法準確跟蹤參數(shù)變化的能力。實驗結(jié)果表明，本文方法能夠有效跟蹤由參數(shù)變化導致的最少航過數(shù)量的需求變化。

(4) 比較本文方法與傳統(tǒng)方法。結(jié)果表明，當參數(shù)變化有利于降低最少航過數(shù)量，由本文方法估計的航過數(shù)量比由傳統(tǒng)方法估計的少。相反，當參數(shù)變化需要增加航過數(shù)量時，本文方法能夠準確跟蹤這種變化，從而保證重構(gòu)結(jié)果可靠。而傳統(tǒng)的方法由于沒有考慮參數(shù)變化對最少航過數(shù)量的影響，因而由這些方法估計的航過數(shù)量不足，以致無法保證重構(gòu)結(jié)果可靠。

(5) 分析基線偏差對層析性能的影響。在實際數(shù)據(jù)獲取過程中，由于氣流擾動的影響，機載平臺的實際航跡會偏離預(yù)先規(guī)劃的航跡位置，導致出現(xiàn)基線偏差。通過仿真實驗比較了理想情況下和存在基線偏差情況下的層析性能。實驗結(jié)果表明，當基線偏差處于合理范圍內(nèi)時，存在基線偏差情況下的層析性能與對應(yīng)理想情況下的層析性能接近。這說明本文提出的最少航過數(shù)量估計方法能夠有效地應(yīng)用于實際。

在仿真實驗過程中，以正確檢測概率作為散射點數(shù)量估計性能的測量指標。正確檢測概率被定義為散射點數(shù)量估計正確的次數(shù)占總實驗次數(shù)的比例。在實測過程中，筆者認為可靠估計是正確檢測概率達到100%的狀態(tài)。測量結(jié)果通過計算一萬次獨立實驗的平均值得到。散射點數(shù)量的估計方法采用閾值檢測方法，而檢測閾值被設(shè)定為噪聲的樣本特征值的上限，其中σ2表示噪聲方差；c=M/L。在基線理想情況下，采用求根-多重信號分類(Root-MUltiple SIgnal Classification，Root-MUSIC)算法[21]估計散射點的高度位置；當存在基線偏差時，采用頻域Root-MUSIC (Fourier-Domain Root-MUSIC，F(xiàn)D Root-MUSIC)算法[22]估計散射點的高度位置。采用均方根誤差(Root Mean Squared Error，RMSE)評價高度估計精度。高度估計的均方根誤差被定義為RMSE(h)=，其中，h=[h1，h2，···，hK]T，表示第q次正確檢測實驗中hk的估計值；hk表示第k個散射點的真實高度位置。K和Q分別表示散射點數(shù)量和散射點數(shù)量估計正確的次數(shù)。

仿真實驗所采用的層析SAR系統(tǒng)參數(shù)如下：雷達系統(tǒng)的中心頻率為10 GHz。假定所有的航過都分布在相同高度位置10 km，參考航過距觀測場景的距離r0=18 km。假定觀測場景的模糊高度為30 m，根據(jù)奈奎斯特采樣定律，航過間的最小間距d不能超過7.5 m。

5.1 最少航過數(shù)量估計方法的可靠性

實驗首先比較最少航過數(shù)量的理論估計值和測量估計值。其中，理論估計值由式(17)計算得出；而測量估計就是實測的檢測概率達到100%時所需的最少航過數(shù)量。

假定觀測場景中有2個功率不相等的散射點，信噪比分別為 SNR1==0 dB 和SNR2==10 dB。噪聲為高斯白噪聲。兩個散射點的高度位置分別為h1=-Δh/2，h2=Δh/2，其中Δh表示高度間隔。高度間隔被固定在1 m。仿真實驗共考慮3種視數(shù)情況，分別L=10，20和50。

對于每一種視數(shù)情況，按照式(17)計算所需的最少航過數(shù)量和最小航過間隔。計算結(jié)果如表1所示。從表1可以看出，對于不同的實驗條件，最少航過數(shù)量和最小航過間距均存在差異。為了保證最少航過數(shù)量的理論估計值與其實測估計值的比較在相同條件下開展，在生成仿真數(shù)據(jù)的過程中，對于每一種情況將最小航過間隔設(shè)定在由表1給出的相應(yīng)值。

表1 由本文方法計算得到的最少航過數(shù)量和最小航過間隔(K=2;SNR1=0 dB，SNR2=10 dB;Δh=1 m)Tab.1 The minimum number of acquisitions and the minimum inter-acquisition spacing calculated by the proposed approach(K=2;SNR1=0 dB，SNR2=10 dB;Δh=1 m)

圖3給出了正確檢測概率隨航過數(shù)量的變化曲線。從圖3可以看出，相比于均勻?qū)游鯯AR，互質(zhì)層析SAR的正確檢測概率達到100%所需的最少航過數(shù)量更少。根據(jù)檢測結(jié)果，我們計算了最少航過數(shù)量的實測估計值，即正確檢測概率達到100%時所需的最少航過數(shù)量。表2對比了最少航過數(shù)量的理論估計值和實測估計值。通過對比，可以發(fā)現(xiàn)：在同等條件下，最少航過數(shù)量的理論估計值均比其實測估計值大。這說明，由本文方法(17)估算的最少航過數(shù)量能夠保證在相應(yīng)條件下獲得可靠檢測結(jié)果。

表2 基于樣本特征值檢測方法所需的最少航過數(shù)量的理論估計值和實測估計值(K=2;SNR1=0 dB，SNR2=10 dB;Δh=1 m)Tab.2 The theoretical estimate and the measured estimate of the minimum number of acquisitions in the sense of the sample-eigenvalue-based detection (K=2;SNR1=0 dB，SNR2=10 dB;Δh=1 m)

圖3 基于樣本特征值檢測方法的正確檢測概率隨航過數(shù)量的變化曲線(K=2;SNR1=0 dB，SNR2=10 dB;Δh=1 m)Fig.3 Successful detection rate varies with the number of acquisitions (K=2;SNR1=0 dB，SNR2=10 dB;Δh=1 m)

圖4給出了高度估計的RMSE隨航過數(shù)量的變化曲線。從圖4可以看出，當航過數(shù)量增加時，高度位置估計的RMSE均接近各自的克拉默-拉奧界限(Cramer-Rao Bound，CRB)[23]。此外，比較可以發(fā)現(xiàn)，在航過數(shù)量和視數(shù)相同的條件下，互質(zhì)層析SAR在高度估計精度方面優(yōu)于均勻?qū)游鯯AR。這得益于互質(zhì)基線幾何的稀疏采樣特性。相比于均勻?qū)游鯯AR，互質(zhì)基線在基線幾何方面的優(yōu)勢能夠有效延長基線孔徑，進而提高高度估計精度。

圖4 高度估計的RMSE隨航過數(shù)量的變化(K=2;SNR1=0 dB，SNR2=10 dB;Δh=1 m)Fig.4 The RMSE of the height estimation varies with the number of acquisitions (K=2;SNR1=0 dB，SNR2=10 dB;Δh=1 m)

下面分析由本文方法所設(shè)計的層析SAR系統(tǒng)的實測分辨率。其中，基線結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示，其余的參數(shù)(包括散射點數(shù)量、信噪比以及視數(shù))與本節(jié)最小航過數(shù)量分析實驗中的參數(shù)相等。這里分析正確檢測概率隨高度間隔 Δh的 變化，其中 Δh的變化范圍為0.1～2.0 m。

圖5給出了正確檢測概率隨高度間隔的變化曲線。根據(jù)圖5的正確檢測概率，實際測量了基于樣本特征值的信號檢測方法的分辨率。分辨率的實測值被定義為正確檢測概率達到100%狀態(tài)的最小的高度間隔。表3給出了基于樣本特征值信號檢測方法的實測分辨率。通過與相同條件下的瑞利分辨率比較，可以發(fā)現(xiàn)基于樣本特征值的信號檢測方法具有超分辨性能。其中，瑞利分辨率被定義為ρR=κr0·sinθ/(2B)，B表示基線孔徑長度的正交分量。通過比較基于樣本特征值檢測方法的分辨率的理論值(ρh=1 m)和相應(yīng)的實測值，可以發(fā)現(xiàn)：分辨率的實測值接近并且全部小于相應(yīng)的理論值。這說明，由本文方法確定的最少航過數(shù)量能夠保證層析重構(gòu)性能達標。

圖5 基于樣本特征值的信號檢測方法的正確檢測概率隨高度間隔的變化曲線(K=2;SNR1=0 dB，SNR2=10 dB;ρh=1 m)Fig.5 Successful detection rate varies with the height separation (K=2;SNR1=0 dB，SNR2=10 dB;ρh=1 m)

表3 基于樣本特征值檢測方法的實測分辨率(K=2;SNR1=0 dB，SNR2=10 dB;ρh=1 m)Tab.3 The measured tomographic resolution of the sample-eigenvalue-based detection (K=2;SNR1=0 dB，SNR2=10 dB;ρh=1 m)

圖6給出了高度估計的RMSE隨高度間隔的變化曲線。從圖6可以看出，當散射點之間的高度間隔足夠大時，高度估計的RMSE與其CRB趨于一致。但是，當散射點之間距離較近時，高度估計的RMSE嚴重偏離了CRB。這是因為在這部分區(qū)域，雖然散射點數(shù)量的估計值正確，但是由于信號子空間和噪聲子空間發(fā)生交換，因此散射點的高度位置估計值嚴重偏離了其真實值。最終，造成高度估計的RMSE嚴重偏離了CRB。這種現(xiàn)象是子空間方法特有的現(xiàn)象，稱作“性能崩塌”。5.2節(jié)將會分析這種現(xiàn)象及其原因。令人意外的是，當分辨間隔足夠高時，高度估計的RMSE的最低值出現(xiàn)在視數(shù)L=10的互質(zhì)層析SAR的情況中。但是通過仔細分析不難發(fā)現(xiàn)，這個情況中的基線孔徑最長，是188 m。隨后，依次是133 m (Uniform-L=10)，131 m (Coprime-L=20)，102 m (Uniform-L=20)，88 m(Coprime-L=50)，77 m (Uniform-L=50)。這個順序基本與高度估計精度排序一致。同時可以發(fā)現(xiàn)，當高度間隔大于設(shè)計指標(ρh=1 m)時，由本文方法確定的航過數(shù)量能夠保證高度估計結(jié)果可靠。雖然，互質(zhì)層析SAR的部分高度估計結(jié)果出現(xiàn)異常，但是整體的高度估計誤差小于0.1 m，這種估計精度能夠滿足實用需求。

圖6 高度估計的RMSE隨高度間隔的變化曲線(K=2;SNR1=0 dB，SNR2=10 dB;ρh=1 m)Fig.6 The RMSE of the height estimation varies with the height separation (K=2;SNR1=0 dB，SNR2=10 dB;ρh=1 m)

5.2 散射點數(shù)量對層析重構(gòu)性能的影響

實驗分析散射點數(shù)量對最少航過數(shù)量和高度估計精度的影響。仿真實驗分別在K=2和K=3的條件下開展。為了消除散射點數(shù)量不同可能引起的信噪比差異，所有散射點的功率被固定在相同值(即SNR=0)。噪聲為高斯白噪聲。對于散射點數(shù)量K=2的情況，散射點的高度位置分別為h1=—Δh/2，h2=Δh/2；對于散射點數(shù)量K=3的情況，散射點的高度位置分別為h1=—Δh，h2=0，h3=Δh。高度間隔Δh被固定在1 m。視數(shù)被固定在L=20。

對于每一種仿真情況，根據(jù)本文方法計算所需的最少航過數(shù)量和最小航過間隔。計算結(jié)果如表4所示。和上一節(jié)實驗中的做法一樣，在生成仿真數(shù)據(jù)的過程中，對于每一種仿真情況將最小航過間隔設(shè)定在由表4給出的相應(yīng)值。

表4 本文方法計算所得的最少航過數(shù)量和最小航過間隔(Δh=1 m;L=20；所有散射點信噪比均等于0 dB)Tab.4 The minimum number of acquisitions and the minimum inter-acquisition spacing calculated by the proposed approach(Δh=1 m;L=20;all the SNRs=0 dB)

圖7給出了正確檢測概率隨航過數(shù)量的變化。根據(jù)圖7的結(jié)果，計算了每種情況下的最少航過數(shù)量的實測估計值，并將結(jié)果列在表5中。從表5可以看出，散射點數(shù)量的增加確實會導致最少航過數(shù)量的增加。此外，還可以看出，在各種條件下，最少航過數(shù)量的理論值均大于其實測值。這說明，由本文方法估算的最少航過數(shù)量能夠保證檢測結(jié)果可靠。

表5 基于樣本特征值檢測方法所需的最少航過數(shù)量的理論估計值和實測估計值(Δh=1 m;L=20；所有散射點信噪比均等于0 dB)Tab.5 The theoretical estimate and the measured estimate of the minimum number of acquisitions in the sense of the sample-eigenvalue-based detection (Δh=1 m;L=20;all the SNRs=0 dB)

圖7 基于樣本特征值檢測方法的正確檢測概率隨航過數(shù)量的變化曲線(Δh=1 m;L=20；所有散射點信噪比均等于0 dB)Fig.7 Successful detection rate varies with the number of acquisitions (Δh=1 m;L=20;all the SNRs=0 dB)

圖8給出了高度位置估計的RMSE隨航過數(shù)量的變化?？梢钥闯?，隨著航過數(shù)量的增加，高度估計的RMSE均接近各自的CRB。這表明，Root-MUSIC算法在信號子空間與噪聲子空間能夠可靠分離的條件下可以獲得一致估計。此外，在仿真條件相同且高度估計精度相同的條件下，互質(zhì)層析SAR比均勻?qū)游鯯AR所需的航過數(shù)量少。這個結(jié)果從高度估計方面說明，互質(zhì)層析SAR能夠降低航過數(shù)量需求。

圖8 高度估計的RMSE隨航過數(shù)量的變化曲線(Δh=1 m;L=20；所有散射點信噪比均等于0 dB)Fig.8 The RMSE of the height estimation varies with the number of acquisitions (Δh=1 m;L=20;all the SNRs=0 dB)

下面分析散射點數(shù)量對分辨率和高度估計誤差的影響，并比較分辨率的理論值和其實測值。將理論分辨率固定在ρh=1 m，根據(jù)本文方法計算相應(yīng)條件下的最少航過數(shù)量和最小航過間隔。分辨率的實測值是根據(jù)相應(yīng)的檢測結(jié)果通過測量得到。

在仿真實驗中，基線結(jié)構(gòu)參數(shù)如表4所示，其余的參數(shù)(包括散射點數(shù)量、信噪比以及視數(shù))與5.2節(jié)最少航過數(shù)量分析實驗中的參數(shù)相等。對于每一種情況，計算正確檢測概率隨高度間隔Δh的變化，其中Δh的變化范圍為0.1～2.0 m。

圖9給出了正確檢測概率隨高度間隔的變化。根據(jù)圖9的正確檢測概率，測量了基于樣本特征值的信號檢測方法的分辨率。表6給出了每種情況下，基于樣本特征值的信號檢測方法的實測分辨率。通過比較分辨率理論值(ρh=1 m)和對應(yīng)的實測值，可以發(fā)現(xiàn)：分辨率的實測值均接近且小于相應(yīng)的理論值。這說明，在給定條件下由本文方法確定的最少航過數(shù)量能夠保證檢測結(jié)果可靠。進而說明，本文方法能夠適用于更廣泛的情況。

表6 基于樣本特征值檢測方法的實測分辨率(L=20；所有散射點信噪比均等于0 dB；ρh=1 m)Tab.6 The measured tomographic resolution of the sample-eigenvalue-based detection (L=20;all the SNRs=0 dB;ρh=1 m)

圖9 基于樣本特征值檢測方法的正確檢測概率隨高度間隔的變化曲線(L=20；所有散射點信噪比均等于0 dB；ρh=1 m)Fig.9 Successful detection rate varies with the height separation (L=20;all the SNRs=0 dB;ρh=1 m)

圖10給出了高度估計的RMSE隨高度間隔的變化。可以看出，隨著高度間隔的增加，高度估計的RMSE均接近各自的CRB。但是，當高度間隔比較小的時候，高度估計的RMSE會突然增加。這種現(xiàn)象被稱作“性能崩塌”[19，20]，是子空間方法的特有現(xiàn)象。造成這種現(xiàn)象的原因是：當子空間方法的性能瀕臨崩塌的邊緣時(此時，信號的樣本特征值與噪聲的樣本特征值在幅度基本接近)，雖然散射點數(shù)量能夠得到正確估計，但是由于發(fā)生子空間交換(Subspace Swap)或者子空間泄露(Subspace Leakage)，高度估計結(jié)果嚴重偏離真實值。這種現(xiàn)象恰好說明：本文定義的可靠檢測條件[見式(9)]接近基于樣本特征值的信號檢測的極限；進而說明，由本文方法估算的航過數(shù)量確實接近最小。同時可以發(fā)現(xiàn)，當高度間隔大于設(shè)計指標(ρh=1 m)時，由本文方法估算的航過數(shù)量能夠保證高度估計結(jié)果可靠。此外，通過對比均勻?qū)游鯯AR和互質(zhì)層析SAR，可以發(fā)現(xiàn)：在達到指定的高度估計精度的情況下，互質(zhì)層析SAR比均勻?qū)游鯯AR所需的航過數(shù)量少。

圖10 高度估計的RMSE隨高度間隔的變化曲線(L=20；所有散射點信噪比均等于0 dB；ρh=1 m)Fig.10 The RMSE of the height estimation varies with the height separation (L=20;all the SNRs=0 dB;ρh=1 m)

5.3 信噪比對最少航過數(shù)量的影響

考慮到航過數(shù)量是一個離散的變量，而信噪比是一個連續(xù)的變量，因此采用文獻[10]中的做法，通過分析信噪比與航過數(shù)量之間的約束關(guān)系，來分析信噪比對最少航過數(shù)量的影響。從式(9)和式(12)可以看出，在達到可靠檢測條件下，航過數(shù)量與信噪比之間是存在約束關(guān)系的。為了定量描述這種約束關(guān)系，固定航過數(shù)量，轉(zhuǎn)而計算滿足可靠檢測條件的最小信噪比。

在理論計算和生成仿真數(shù)據(jù)的過程中，最少航過間隔d被固定為7.5 m。仿真數(shù)據(jù)包含2個功率相等的散射點。兩個散射點的高度位置分別為h1=—Δh/2，h2=Δh/2。高度間隔Δh被固定在1 m；視數(shù)L=10。

最少航過數(shù)量與信噪比之間的約束關(guān)系如圖11所示。其中，約束關(guān)系的理論值是在航過數(shù)量給定條件下，由式(9)通過計算滿足可靠檢測條件的最小信噪比得到；約束關(guān)系的實測值是通過測量正確重構(gòu)概率達到100%時的最少航過數(shù)量得到。通過比較約束關(guān)系的理論值和實測值可以發(fā)現(xiàn)，兩者的變化趨勢一致。這說明，本文定義的可靠檢測條件能夠有效跟蹤最少航過數(shù)量隨信噪比的變化。此外，通過比較可以發(fā)現(xiàn)，對于任意的信噪比，最少航過數(shù)量的理論值大于實測值。這說明，本文定義的理論檢測條件能夠保證實際檢測結(jié)果可靠。通過比較均勻?qū)游鯯AR和互質(zhì)層析SAR的最少航過數(shù)量可以發(fā)現(xiàn)：當信噪比較高時，互質(zhì)層析SAR有助于降低最少航過數(shù)量。但是，當信噪比較低時，互質(zhì)層析SAR在降低最少航過數(shù)量方面的優(yōu)勢基本消失了。優(yōu)勢消失的原因可以通過分析可靠檢測條件看出。當散射點數(shù)量K=2時，式(12)給出了可靠檢測條件。從式(12)可以看出，基線幾何對信號的期望特征值的影響反映在導向矢量a1和a2中，且||a1||2=||a2||2=M。因此，當互質(zhì)層析SAR和均勻?qū)游鯯AR的航過數(shù)量相等時，兩者信號的期望特征值的差異僅體現(xiàn)在|＜a1，a2＞|2。圖12顯示了|＜a1，a2＞|/M隨航過數(shù)量的變化。對比圖11和圖12可以發(fā)現(xiàn)，兩者的隨航過數(shù)量的變化趨勢基本一致。

圖11 最少航過數(shù)量與信噪比之間的約束關(guān)系(K=2;Δh=1 m; L=10)Fig.11 The constraint relationship between the minimum number of acquisitions and the SNR (K=2;Δh=1 m; L=10)

圖12 |＜a1，a2＞|/M隨航過數(shù)量的變化(d=7.5 m;K=2;Δh=1 m)Fig.12 |＜a1，a2＞|/M varies with the number of acquisitions(d=7.5 m;K=2;Δh=1 m)

圖13(a)和圖13(b)分別給出了均勻?qū)游鯯AR和互質(zhì)層析SAR的高度估計RMSE隨航過數(shù)量和信噪比的相變圖(Phase Transition)。比較可以看出，在航過數(shù)量和信噪比相等的條件下，互質(zhì)層析SAR獲得的高度估計精度優(yōu)于均勻?qū)游鯯AR的。這源于互質(zhì)層析SAR具有較長的基線孔徑。同時，可以看出，當航過數(shù)量較低時，高度估計誤差較大且嚴重偏離相應(yīng)的CRB。造成這種問題的原因有兩部分。一是，當航過數(shù)量較低時，高度估計誤差本應(yīng)該就比較大(就高度估計的CRB而言)。但是更重要的原因在于，當航過數(shù)量較低時，子空間方法容易發(fā)生“性能崩塌”現(xiàn)象，導致高度估計的部分結(jié)果嚴重偏離真實值，最終造成整體的高度估計RMSE出現(xiàn)急劇增大的現(xiàn)象。圖13中紅色曲線描述了由式(9)計算得到的最少航過數(shù)量與信噪比之間的約束關(guān)系。通過分析高度估計的RMSE可以發(fā)現(xiàn)，當航過數(shù)量或者信噪比超過其理論最小值時(即紅色曲線右上側(cè)區(qū)域)，高度估計結(jié)果能夠有效避免“性能崩塌”問題。這說明，本文方法能夠有效跟蹤參數(shù)變化對最少航過數(shù)量的影響，從而使得所選定的航過數(shù)量能夠保證高度估計結(jié)果可靠。

圖13 高度估計RMSE隨航過數(shù)量和信噪比的相變圖(K=2;Δh=1 m; L=10)Fig.13 The phase transition of the RMSE as a function of the number of acquisitions and the SNR (K=2;Δh=1 m; L=10)

5.4 與傳統(tǒng)方法比較

在最少航過數(shù)量估計的可靠性和有效性兩方面比較本文方法與傳統(tǒng)方法。在比較過程中，僅考慮文獻[9]中的方法。因為本文方法和文獻[9]方法都是針對子空間的方法，而文獻[10]是針對壓縮感知方法。此外，本文方法和方法[9]都是針對多視數(shù)據(jù)情況，而文獻[10]是針對單視情況。考慮到適用條件上的差異，在對比實驗中沒有分析文獻[10]中的方法。

文獻[9]針對體散射目標(森林場景)和均勻?qū)游鯯AR，利用橢球波函數(shù)(Prolate Spheroidal Wave Functions)定義了樣本協(xié)方差矩陣的有效秩(Effective Rank)，并在此基礎(chǔ)上提出了最少航過數(shù)量估計方法。因為考慮的是均勻?qū)游鯯AR，因此文獻[9]通過估計航過數(shù)量和基線孔徑長度就可以確定基線結(jié)構(gòu)。在文獻[9]中，有效秩Mefs、最少航過數(shù)量Mmin以及基線孔徑長度B被定義為

式中，κ表示雷達波長；Δmax和Δmin分別表示體散射目標在NSR方向上的最大擴散角(Angular Dispersion)和最小擴散角。Mcom是一個大于1的整數(shù)，因此Mmin大于Mefs。根據(jù)文獻[9]的方法，Mcom的選擇要求使得樣本特征值的最小值與最大值之間的比值足夠小。本文Mcom被固定為1，因而Mmin=Mefs+1。因為本文考慮的是視數(shù)和航過數(shù)量均有限的情況。在這種情況下，Mcom=1總是能夠保證選定的最少航過數(shù)量達到文獻[9]的要求。表示向上取整數(shù)操作。

根據(jù)文獻[9]中的定義，Δmax和Δmin與模糊高度Hamb和分辨率ρh之間滿足如下關(guān)系。

本次實驗所采用的參數(shù)與5.3節(jié)中的參數(shù)完全一樣。其中，分辨率和模糊高度分別為ρh=1 m和Hamb=30 m。在這種參數(shù)條件下，由文獻[9]方法估算得到的最少航過數(shù)量為Mmin=16。由于文獻[9]的方法沒有考慮基線幾何和信噪比等參數(shù)對最少航過數(shù)量的影響，因此該方法估計得到的最少航過數(shù)量為固定值。圖11(見5.3節(jié))給出了不同信噪比條件下所需的最少航過數(shù)量。從圖11可以看出，當信噪比降低時，需要增加航過數(shù)量以保證重構(gòu)結(jié)果可靠。對均勻?qū)游鯯AR和互質(zhì)層析SAR而言，當信噪比分別低于1.6 dB和—2.3 dB時，16條航過在實測意義上已經(jīng)無法保證重構(gòu)結(jié)果可靠。

相比較而言，本文方法能夠準確跟蹤參數(shù)變化引起的最少航過數(shù)量的變化，從而使得所選定的航過數(shù)量能夠保證相應(yīng)條件下的重構(gòu)結(jié)果可靠。此外，從圖11可以看出，當信噪比變化有利于降低所需的最少航過數(shù)量時，本文方法能夠準確響應(yīng)這種變化，從而使得所選定的航過數(shù)量盡可能少。根據(jù)圖11的結(jié)果可知，對于均勻?qū)游鯯AR和互質(zhì)層析SAR，當信噪比分別高于3.3 dB和—0.2 dB時，由本文方法估算的最少航過數(shù)量小于16。

下面分析由文獻[9]方法設(shè)計的層析SAR的重構(gòu)性能。根據(jù)本次的實驗參數(shù)，由文獻[9]方法估計得到的最少航過數(shù)量和基線孔徑長度分別為Mmin=16，B=112 m。文獻[9]僅考慮了均勻?qū)游鯯AR。因此在本次實驗中，按照文獻[9]方法設(shè)計的均勻?qū)游鯯AR的最小航過間隔d=7.5 m。為了與互質(zhì)層析SAR做比較，在固定航過數(shù)量和基線孔徑的條件下，構(gòu)造互質(zhì)層析SAR。相應(yīng)地，互質(zhì)層析SAR的互質(zhì)整數(shù)對為M1=9，M2=8，最小航過間隔d等于1.8 m。

圖14(a)給出了正確檢測概率隨信噪比的變化。從圖14(a)可以看出，當信噪比低于1.6 dB時，由文獻[9]方法選定的航過數(shù)量無法保證重構(gòu)結(jié)果的可靠性。這是因為文獻[9]方法沒有考慮信噪比變化對最少航過數(shù)量的影響。通過比較均勻?qū)游鯯AR和互質(zhì)層析SAR可以發(fā)現(xiàn)，兩者的重構(gòu)性能基本相等。這是因為在本次實驗中，兩者的航過數(shù)量和基線孔徑長度都相等。

圖14(b)給出高度估計RMSE隨信噪比的變化。從圖中可以看出，當信噪比較高時，高度估計誤差基本趨于各自的CRB。通過比較均勻?qū)游鯯AR和互質(zhì)層析SAR可以發(fā)現(xiàn)，兩者的高度估計精度非常接近。這說明，相比于均勻?qū)游鯯AR，互質(zhì)層析SAR的優(yōu)勢在于通過稀疏分布航過位置來延長基線孔徑，從而達到提高層析重構(gòu)性能的目的。在信噪比較小的區(qū)域，互質(zhì)層析SAR的部分估計結(jié)果由于發(fā)生子空間交換，導致高度估計偏差較大。根據(jù)式(9)計算本次實驗條件下所需的最小信噪比。圖14(b)中的黑色虛線和藍色虛線分別給出均勻?qū)游鯯AR和互質(zhì)層析SAR所需的最低信噪比，分別是3.3 dB和3.1 dB。比較可以發(fā)現(xiàn)，當信噪比超過最低信噪比時，高度估計結(jié)果可靠?；ベ|(zhì)層析SAR的部分估計結(jié)果雖然出現(xiàn)異常值，但是高度估計誤差接近0.1 m。這說明，由本文方法估計的航過數(shù)量能夠保證層析重構(gòu)結(jié)果可靠。

圖14 由文獻[9]方法設(shè)計的均勻?qū)游鯯AR和互質(zhì)層析SAR的重構(gòu)結(jié)果[均勻?qū)游鯯AR (M=16;d=7.5 m;B=112 m)；互質(zhì)層析SAR (M1=9，M2=8;d=1.8 m;B=112 m)]Fig.14 The reconstruction results from the uniform TomoSAR and the coprime TomoSAR which are designed by Ref.[9] vary with the SNR [the uniform TomoSAR (M=16;d=7.5 m;B=112 m);the coprime TomoSAR (M1=9，M2=8;d=1.8 m;B=112 m)]

5.5 基線偏差對層析性能的影響

在實際數(shù)據(jù)獲取過程中，由于氣流擾動的影響，機載平臺的實際航跡會偏離預(yù)先規(guī)劃的航跡位置，導致出現(xiàn)基線偏差?；€位置的理想值與其真實值之間的偏差通常包含兩部分，分別是基線偏差和基線誤差?；€偏差是指由氣流擾動導致基線位置的測量值與其理想值之間的偏差，但是導航設(shè)備能夠測量這部分偏差?；€誤差是指由導航設(shè)備的測量精度不足造成的基線位置的測量值與其真實值之間的偏差，而這部分偏差通常是未知的。就目前導航設(shè)備的技術(shù)水平而言，機載平臺的航跡偏差可以控制在2～3 m，而基線誤差在幾十厘米量級。

就基線偏差和基線誤差對層析性能的影響而言，由于基線誤差和基線偏差相差一個量級，因此在基線誤差得到準確校正的情況下，其對層析重構(gòu)結(jié)果最終性能的影響可以被忽略。因此，在實驗過程中，僅考慮基線偏差對層析性能的影響。

下面比較理想情況下和存在基線偏差情況下的層析性能。

關(guān)于仿真實驗參數(shù)，假定觀測場景中有2個等功率的散射點且SNR=0。兩個散射點的高度位置分別為h1=—Δh/2，h2=Δh/2。高度間隔Δh的變化范圍為0.1～2.0 m。視數(shù)L=20。理論分辨率ρh=1 m，由本文方法計算得到理想情況下的最少航過數(shù)量和最小航過間隔分別為：Mmin=18，dM=7.4 m(均勻?qū)游鯯AR)；Mmin=10;dM=6.1 m (互質(zhì)層析SAR)。

關(guān)于高度位置的估計方法，對于理想情況下，仍然采用經(jīng)典Root-MUSIC算法[21]。然而，由于存在基線偏差，經(jīng)典Root-MUSIC算法不再適用。針對存在基線偏差情況下的高度位置估計，我們采用FD Root-MUSIC算法。

圖15給出了存在基線偏差情況下和理想情況下的正確檢測概率曲線。從圖15可以看出，對于任意一種基線幾何，各種基線偏差情況下的正確檢測概率曲線與其理想情況下的基本重合。這說明，當基線偏差處于合理范圍內(nèi)時，分辨率性能基本上不受基線偏差的影響。這種結(jié)果很容易被解釋。這是因為，在固定航過數(shù)量和基線孔徑長度的情況下，樣本特征值幾乎不隨基線幾何變化，因此各種基線偏差情況下的正確檢測概率基本一致。這種結(jié)果與圖14的結(jié)果類似。圖14表明，在固定航過數(shù)量和基線孔徑長度的情況下，均勻?qū)游鯯AR和互質(zhì)層析SAR的性能基本一致。

圖15 存在基線偏差情況下和理想情況下的正確檢測概率(K=2；所有散射點的信噪比均等于0 dB；L=20；ρh=1 m)Fig.15 Successful detection rate calculated from the deviated tracks and the nominal tracks (K=2;all the SNRs=0 dB;L=20;ρh=1 m)

圖16給出了存在基線偏差情況下和理想情況下的高度估計RMSE。通過比較可以發(fā)現(xiàn)，

圖16 存在基線偏差情況下和理想情況下的高度估計的RMSE(實驗參數(shù)的設(shè)置與圖 15中的參數(shù)相等)Fig.16 RMSE of the height estimation calculated from the deviated tracks and the nominal tracks(the simulation parmeters are seted as the same as in Fig.15)

(1) 當高度間隔大于分辨率指標時(即Δh ≥ρh)，理想情況下和存在基線偏差情況下的高度估計性能基本一致。除了，互質(zhì)層析SAR在 Δh≈1.035 m時由于發(fā)生“性能崩塌”而出現(xiàn)異常。

(2) 當接近“性能崩塌”區(qū)域時(圖像左側(cè))，基線偏差的增大會增加“性能崩塌”現(xiàn)象發(fā)生的概率，導致高度估計精度下降。這是因為這一區(qū)域介于可靠重構(gòu)和不可靠重構(gòu)的邊緣，因此影響子空間方法性能的相關(guān)參數(shù)的微小變化都會引發(fā)“性能崩塌”現(xiàn)象。雖然由基線偏差引發(fā)的“性能崩塌”事件發(fā)生的概率極小，但是“性能崩塌”對高度估計的影響很大，導致高度估計的RMSE嚴重偏離其CRB。

(3) FD Root-MUSIC算法和經(jīng)典Root-MUSIC算法的高度估計性能基本相同。這一結(jié)論可以通過比較δmax=0情況下的FD Root-MUSIC算法與理想基線情況下的經(jīng)典Root-MUSIC算法的高度估計結(jié)果得出。通過比較，發(fā)現(xiàn)兩者的高度估計的RMSE基本一致。

從分辨率和高度估計的分析實驗中可以看出，當基線偏差處于合理范圍內(nèi)時，存在基線偏差情況下的層析性能與相應(yīng)的理想情況下的層析性能基本接近。這種結(jié)果也很容易理解。因為，在基線位置準確已知的情況下，基線偏差對層析性能的影響不一定是負面作用。同時發(fā)現(xiàn)，基線偏差的確對高度估計帶來了一定的影響，尤其在“性能崩塌”區(qū)域。因此，在實際應(yīng)用中，更可靠的做法就是在估計最少航過數(shù)量的過程中考慮基線偏差的影響。后續(xù)，會對這一問題開展研究。

6 結(jié)語

在應(yīng)用子空間方法重構(gòu)層析圖的實踐中，為了保證所選定的航過數(shù)量能夠獲得可靠的重構(gòu)結(jié)果，本文研究了最少航過數(shù)量估計問題。在分析最少航過數(shù)量的過程中，考慮到子空間方法的重構(gòu)性能依賴于樣本特征值，我們通過定量分析樣本特征值與所有相關(guān)參數(shù)之間的關(guān)系，定義了可靠重構(gòu)的保證條件?；谶@個可靠性保證條件，本文提出了一種估計最少航過數(shù)量的方法。該方法能夠準確跟蹤參數(shù)變化對最少航過數(shù)量的影響，因此由該方法選定的航過數(shù)量能夠保證子空間方法的重構(gòu)結(jié)果可靠。此外，該方法具有解析的數(shù)學公式。因此，在層析性能給定的情況下，該方法通過簡單的數(shù)值計算就可以得到最少航過數(shù)量。實驗結(jié)果表明，由本文方法所選定的航過數(shù)量確實接近最小，且能夠保證重構(gòu)結(jié)果可靠。雖然本文考慮是互質(zhì)基線幾何，但是本文方法能夠適用于任意構(gòu)型的基線幾何。

附錄 在3個散射點數(shù)量情況下，信號期望特征值與相關(guān)參數(shù)之間的解析關(guān)系式

假定場景中存在K=3個點目標，且噪聲為加性高斯白噪聲，則期望協(xié)方差矩陣具有如下形式

式中，為了簡化，令ak=a(hk)，k=1，2，3。

下面，推導矩陣R的特征多項式和特征值與相關(guān)參數(shù)之間的解析關(guān)系式。

由矩陣特征值的特性可知：(1)矩陣AB的特征值與矩陣BA的特征值相等，而特征值相等則意味著兩個矩陣的特征多項式也完全相等。(2)如果λ為矩陣A的一個特征值，則λ+1是A+I的特征值。因為Ax=λx，必定有(A+I)x=(λ+1)x，式中x表示與特征值λ對應(yīng)的特征向量。

根據(jù)一元3次方程的求根公式，可得多項式p(λ)的3個實根(因為對應(yīng)矩陣具有共軛對稱特性)分別為

式中

由此，可得3個散射點情況下信號的期望特征值為γk=λk+σ2，k=1，2，3。