基于交替方向懲罰法的低精度量化MIMO雷達(dá)恒模波形設(shè)計(jì)方法

萬(wàn) 環(huán) 余顯祥 全 智 廖 斌*

①(深圳大學(xué)電子與信息工程學(xué)院 深圳 518060)

②(電子科技大學(xué)信息與通信工程學(xué)院 成都 611731)

1 引言

多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output，MIMO)雷達(dá)采用多信號(hào)同時(shí)發(fā)射與接收模式[1—3]，可按需調(diào)整發(fā)射波形，實(shí)現(xiàn)高增益窄波束或全區(qū)域覆蓋的寬波束。相比傳統(tǒng)相控陣?yán)走_(dá)，MIMO雷達(dá)基于波形分集，可為系統(tǒng)發(fā)射與接收端提供更多的自由度，提高波達(dá)角(Directions of Arrival，DOA)估計(jì)精度、目標(biāo)檢測(cè)能力、干擾抑制能力[4—6]。MIMO雷達(dá)波形設(shè)計(jì)的一個(gè)主要目的是使發(fā)射能量集中在目標(biāo)空間區(qū)域(主瓣)范圍內(nèi)，同時(shí)降低非目標(biāo)區(qū)域(副瓣)能量輻射，實(shí)現(xiàn)波束能量的最佳匹配發(fā)射，從而提高雷達(dá)目標(biāo)探測(cè)、參數(shù)估計(jì)和檢測(cè)性能[7—9]。為了提升性能，MIMO雷達(dá)系統(tǒng)通常會(huì)配置大量有源天線單元，但采用高精度(超過(guò)10位)數(shù)模轉(zhuǎn)換器(Digital-to-Analog Converters，DAC)組件會(huì)大幅增加系統(tǒng)電路的復(fù)雜度、能耗及成本。相反地，低精度DAC組件可以顯著降低系統(tǒng)功耗與成本[10—12]，已廣泛應(yīng)用于各種場(chǎng)景，例如低功耗超寬帶通信系統(tǒng)、大規(guī)?；虺笠?guī)模MIMO系統(tǒng)[13，14]等。

現(xiàn)有的MIMO雷達(dá)波形設(shè)計(jì)方法主要面向采用高精度DAC組件的系統(tǒng)[15—20]，針對(duì)采用低精度DAC組件的MIMO雷達(dá)波形設(shè)計(jì)方法相對(duì)較少[21—26]。若直接對(duì)現(xiàn)有的基于無(wú)限精度DAC算法所設(shè)計(jì)的波形進(jìn)行量化來(lái)適配低精度DAC組件，系統(tǒng)性能將會(huì)嚴(yán)重下降。低精度量化波形設(shè)計(jì)的核心難點(diǎn)在于離散相位或離散幅度的非凸約束求解。最直接的方法是采用窮搜法，但隨著信號(hào)維度和快拍數(shù)的增加，計(jì)算復(fù)雜度與時(shí)間也呈指數(shù)量級(jí)增加。為了克服計(jì)算效率問(wèn)題，目前主要有兩類(lèi)解決方法，第1類(lèi)為改進(jìn)式窮搜法，通過(guò)改變搜索策略與范圍來(lái)減少搜索次數(shù)從而降低計(jì)算復(fù)雜度與運(yùn)算時(shí)間。例如，文獻(xiàn)[21]提出了基于塊坐標(biāo)下降(Block Coordinate Descent，BCD)搜索法，使搜索次數(shù)從指數(shù)級(jí)LNtN(L為低精度離散相位或幅度的個(gè)數(shù)，Nt為發(fā)射陣列天線數(shù)，N為快拍數(shù))降低至TLNtN(T為該算法收斂時(shí)最大迭代次數(shù))。基于此思路，文獻(xiàn)[22]提出了兩種廣義似然上升搜索算法，第t+1次迭代結(jié)果可通過(guò)似然判斷從第t次迭代結(jié)果翻轉(zhuǎn)符號(hào)得到，進(jìn)一步降低BCD算法的收斂迭代次數(shù)，但該方案僅對(duì)極低精度(1比特)波形有較好的求解效果。第2類(lèi)將離散約束近似為連續(xù)函數(shù)進(jìn)行求解，再將無(wú)限量化精度解重新量化或映射為低精度。文獻(xiàn)[23]采用最小化積分副主瓣比(Integrated Sidelobe-to-Mainlobe Ratio，ISMR)準(zhǔn)則，結(jié)合特殊的矩陣塊結(jié)構(gòu)，利用半正定松弛(Semidefinite Relaxation，SDR)技術(shù)，獲得高精度發(fā)射信號(hào)，再通過(guò)量化器得到1比特信號(hào)。文獻(xiàn)[24]采用連續(xù)可微函數(shù)來(lái)逼近1比特信號(hào)，并利用交替方向乘子法(Alternation Direction Method of Multipliers，ADMM)求得高精度解，再映射為1比特信號(hào)?；谖墨I(xiàn)[24]，文獻(xiàn)[25，26]利用輔助變量與發(fā)射信號(hào)向量相互約束關(guān)系，將1比特信號(hào)的離散約束轉(zhuǎn)換成區(qū)間連續(xù)約束，再通過(guò)ADMM算法使得信號(hào)不斷逼近1比特后再映射為1比特，從而提高信號(hào)對(duì)1比特DAC的適配能力。

文獻(xiàn)[23—26]考慮的是極低精度1比特波形，波形序列元素的實(shí)部與虛部的取值均為(E為發(fā)射波形總功率)，對(duì)應(yīng)在極坐標(biāo)軸上體現(xiàn)為有限個(gè)相位點(diǎn)(離散相位)，即{π/4，3π/4，5π/4，7π/4}。現(xiàn)有的低精度量化波形設(shè)計(jì)方法主要針對(duì)1比特，面向低精度多比特(2～5比特)的波形設(shè)計(jì)方法相對(duì)匱乏。另外，在雷達(dá)應(yīng)用中，為了最大化發(fā)射機(jī)效率，防止發(fā)射機(jī)功放非線性失真，通常要求發(fā)射波形具有恒模特性，即每個(gè)碼元的模值是恒定的[27—30]。因此，本文研究基于ISMR最小化準(zhǔn)則的低精度(包括極低精度1比特)有限相位恒模波形設(shè)計(jì)方法。所建模的波形優(yōu)化問(wèn)題包含二次分式目標(biāo)函數(shù)和非凸離散約束，難以求解。為此，本文提出了一種基于丁克爾巴赫交替方向懲罰法(Dinkelbach Alternating Direction Penalty Method，DADPM)的優(yōu)化求解方法。該方法首先利用Dinkelbach算法[31]將目標(biāo)函數(shù)二次分?jǐn)?shù)形式轉(zhuǎn)換成減法形式，再通過(guò)ADPM框架求解非凸離散相位約束問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了低精度量化恒模發(fā)射波形設(shè)計(jì)問(wèn)題的高效求解。

2 低精度量化恒模波形優(yōu)化問(wèn)題建模

即B比特恒模發(fā)射波形有L個(gè)相位均勻分布在以半徑為q的極坐標(biāo)圓周上。圖2展示了1比特與2比特波形元素可行域。

圖2 1比特與2比特波形元素可行域(紅點(diǎn))Fig.2 Feasible areas of 1 bit and 2 bit waveform entries (red dots)

基于上述系統(tǒng)模型，在遠(yuǎn)場(chǎng)方向θ處，N個(gè)采樣快拍下的信號(hào)可表示為[16]

當(dāng)MIMO雷達(dá)發(fā)射相干波形，式(5)表示相控陣方向圖。如果發(fā)射相互正交的波形，表明各個(gè)方向輻射的功率相等，實(shí)現(xiàn)了空域均勻覆蓋。若發(fā)射相關(guān)波形，發(fā)射波束方向圖取決于波形具體形式。

圖1 配置低精度DAC組件的MIMO雷達(dá)發(fā)射端系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 System structure diagram of MIMO radar transmitter with low-resolution DACs

本文采用ISMR最小化準(zhǔn)則來(lái)設(shè)計(jì)B比特恒模發(fā)射信號(hào)，因此該優(yōu)化問(wèn)題模型描述為

式(8)中，angle(·)表示輸入變量的相位。上述問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)為二次分式，約束條件包含非凸離散相位約束，該問(wèn)題為非確定性多項(xiàng)式-難(Nondeterministic Polynomial-hard，NP-hard)，難以求解。

3 問(wèn)題求解

本節(jié)將提出一種基于ADPM的優(yōu)化算法對(duì)問(wèn)題(8)進(jìn)行求解。該方法首先通過(guò)Dinkelbach算法將目標(biāo)函數(shù)二次分?jǐn)?shù)形式轉(zhuǎn)換成減法形式，再基于ADPM框架，引入輔助變量，將離散相位約束轉(zhuǎn)換為NtN個(gè)獨(dú)立并行的三角函數(shù)問(wèn)題，通過(guò)迭代逐步逼近最優(yōu)解。

3.1 基于Dinkelbach算法的等價(jià)轉(zhuǎn)化

基于Dinkelbach算法原理，可以將目標(biāo)函數(shù)二次分?jǐn)?shù)形式轉(zhuǎn)換成減法形式，即

式中，Ξ表示為

式中，參數(shù)ξ≥0，在Dinkelbach方法中通過(guò)式(11)不斷更新：

式中，k為迭代次數(shù)。這里需注意的是，Ξ可能不是正定矩陣。當(dāng)Ξ為非正定矩陣時(shí)，對(duì)該矩陣進(jìn)行對(duì)角加載，使其滿足正定，即

問(wèn)題(13)中約束條件包括離散相位約束以及恒模約束，可以利用ADPM算法[32]進(jìn)行求解。

3.2 ADPM算法求解問(wèn)題(13)

根據(jù)ADPM算法原理，式(14)的增廣拉格朗日函數(shù)表達(dá)式為

3.3 ADPM算法迭代終止條件與初始值

根據(jù)文獻(xiàn)[33]，可將迭代終止條件設(shè)置為

另外，初始值?(0)會(huì)影響算法的收斂速度。文獻(xiàn)[34]利用正則最小化和二次規(guī)劃約束找到ADMM迭代收斂因子最小的最優(yōu)初始值參數(shù)。本文采用的ADPM算法為ADMM算法的改進(jìn)算法，對(duì)ADMM初始值的選取方式在ADPM算法中同樣適用。因此，本文所根據(jù)文獻(xiàn)[34]所提方法思想，將ADPM算法的懲罰因子初始值?(0)設(shè)置為

式中，λmax(·)表示矩陣最大特征值。

初始發(fā)射波形信號(hào)采用正交線性調(diào)頻信號(hào)S(0)，S(0)矩 陣的第(m，n)個(gè)元素表示為

3.4 算法收斂性與復(fù)雜度

本文所提算法外層循環(huán)采用Dinkelbach法，內(nèi)層循環(huán)采用ADPM算法，算法偽代碼如表1所示。為分析算法的收斂性，首先證明序列{ξ(k)}是單調(diào)減小的。

表1 丁克爾巴赫交替方向懲罰法的低精度量化MIMO雷達(dá)恒模波形設(shè)計(jì)算法Tab.1 MIMO radar constant modulus waveform design algorithm with low-precision quantized based on DADPM

由式(39)得出，Dinkelbach法具有嚴(yán)格的單調(diào)性。內(nèi)層循環(huán)采用ADPM算法，其中懲罰因子基于原始?xì)埐钪祫?dòng)態(tài)更新，避免了傳統(tǒng)ADMM算法在處理NP-hard問(wèn)題時(shí)依賴(lài)懲罰因子初始值選取而存在不收斂問(wèn)題，保證任意初始值情況下的收斂性[32]。綜上，本文提出的DADPM算法中外循環(huán)Dinkelbach法具有嚴(yán)格的單調(diào)性，內(nèi)循環(huán)ADPM算法具有強(qiáng)收斂性，可得出DADPM算法具有良好的收斂性。

4 數(shù)值仿真

為了方便算法性能分析，針對(duì)極低精度(1比特)量化的波形分析，本文提出的基于ADPM算法的1比特量化的波形(DADPM-1bit)對(duì)比了基于無(wú)窮比特(無(wú)量化/無(wú)相位約束)的ADMM優(yōu)化算法設(shè)計(jì)的恒模發(fā)射波形[20](ADMM-∞bit)與該無(wú)窮比特波形直接運(yùn)用符號(hào)函數(shù)量化后得到的1比特量化的波形(QADMM-1bit)。還對(duì)比了5種針對(duì)1比特量化DAC的設(shè)計(jì)方法，分別為：基于BCD算法的設(shè)計(jì)方法[21](BCD-1bit)、兩種基于廣義似然上升搜索算法的設(shè)計(jì)方法[22](GLAS1-1bit，GLAS2-1bit)、基于SDR算法的設(shè)計(jì)方法[23](SDR-1bit)、基于ADMM算法的1比特波形設(shè)計(jì)方法[25](ADMM1-1bit)。

針對(duì)低精度(2～5比特)量化波形，測(cè)試了主瓣對(duì)稱(chēng)與非對(duì)稱(chēng)情況下本文提出的基于DADPM算法的2～5比特量化的波形(DADPM-Bbit，B=2，3，...，5)性能，同時(shí)與基于ADMM優(yōu)化算法的無(wú)窮比特恒模發(fā)射波形直接量化為2～5比特的波形(QADMM-Bbit，B=2，3，...，5)進(jìn)行分析比較。

4.1 極低精度(1比特)量化波形性能分析

本節(jié)測(cè)試分析極低精度1比特量化波形的性能。對(duì)于1比特量化的波形，其B=1，相位符號(hào)數(shù)為L(zhǎng)=2B+1=4個(gè)，根據(jù)式(2)計(jì)算，相位符號(hào)表示為{π/4，3π/4，5π/4，7π/4}。圖3為極低精度量化的對(duì)稱(chēng)單主瓣波形序列相位分布圖，展示了不同方法的相位分布情況。從圖3可見(jiàn)，ADMM-∞bit算法波形序列元素的相位個(gè)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)4個(gè)相位，其他本文測(cè)試的所有1 比特量化的波形方案相位均屬于{π/4，3π/4，5π/4，7π/4}中。

圖3 極低精度1比特量化的對(duì)稱(chēng)單主瓣波形序列相位分布圖Fig.3 1-bit quantized waveform for single symmetrical mainlobe element phase diagram

極低精度1比特量化的波形對(duì)稱(chēng)單主瓣與雙主瓣波形性能分別如圖4和圖5所示。圖4(a)與圖5(a)分別為1比特量化的對(duì)稱(chēng)單主瓣與雙主瓣波形方向圖，橫坐標(biāo)均為空間角度，縱坐標(biāo)為發(fā)射信號(hào)在該方向上的平均功率，可通過(guò)式(5)計(jì)算得到。圖4(b)和圖5(b)分別為1比特量化波形的對(duì)稱(chēng)單主瓣與雙主瓣ISMR與迭代次數(shù)k關(guān)系圖，橫坐標(biāo)為迭代次數(shù)，縱坐標(biāo)為系統(tǒng)ISMR。

從圖4(a)可明顯觀察到，無(wú)窮比特的恒模方案(ADMM-∞bit)具有最低的副瓣，且主瓣區(qū)域較寬、有良好的增益，但該無(wú)窮比特波形直接量化為1比特波形后(QADMM-1bit)，副瓣明顯提高，高于本文測(cè)試的所有基于1比特DAC設(shè)計(jì)的波形，且主瓣中心出現(xiàn)輕微下陷現(xiàn)象。相比另外5種基于1比特DAC設(shè)計(jì)的波形，本文所提方法具有最低的副瓣，在主瓣區(qū)間也有良好的增益。這種波形現(xiàn)象對(duì)應(yīng)在波形ISMR表現(xiàn)為ADMM-∞bit具有最低ISMR，當(dāng)該無(wú)窮量化精度波形直接量化應(yīng)用在1比特DAC組件時(shí)(QADMM-1bit)，ISMR提高了將近11 dB，皆高于其他1比特波形的ISMR。本文提出的DADPM-1bit波形，相較于無(wú)窮比特波形，ISMR提高了大約6 dB，相較于其他1比特波形，ISMR值最低。

圖4 極低精度1比特對(duì)稱(chēng)單主瓣波形方向圖和ISMR與迭代次數(shù)關(guān)系圖Fig.4 1-bit quantized waveform for single symmetrical mainlobe beampattern and the relationship between ISMR versus iteration number

從圖5(a)可觀察到，ADMM-∞bit波形具有最低副瓣，其他1比特量化算法波形方向圖大致重合。因此，圖5(b)中，ADMM-∞bit波形ISMR明顯最低，其他1比特波形ISMR相差不大，但仍可以看出，無(wú)窮比特波形直接量化的QADMM-1bit波形的ISMR最高，本文提出的DADPM-1bit波形的ISMR最低。

圖5 極低精度1比特量化的對(duì)稱(chēng)雙主瓣波形方向圖和ISMR與迭代次數(shù)關(guān)系圖Fig.5 1-bit quantized waveform for two symmetrical mainlobe beampattern and the relationship between ISMR versus iteration number

表2為極低精度1比特量化的主瓣對(duì)稱(chēng)情況下不同算法1000次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)性能統(tǒng)計(jì)表。從表格運(yùn)算時(shí)間可發(fā)現(xiàn)，相同條件下，SDR-1bit算法運(yùn)算時(shí)間最長(zhǎng)，GLAS1-1bit算法運(yùn)算時(shí)間最短。本文所提DADPM-1bit算法性能明顯優(yōu)于其他極低算法性能，但運(yùn)算時(shí)間相對(duì)較長(zhǎng)。

表2 主瓣對(duì)稱(chēng)下極低精度量化波形算法性能統(tǒng)計(jì)表Tab.2 Performance statistics table of the extreme low precision quantized waveform algorithm for symmetrical mainlobe

4.2 低精度(2～5比特)量化的波形性能分析

本節(jié)測(cè)試分析了本文所提方法和基于ADMM優(yōu)化算法的無(wú)窮比特(無(wú)相位約束)恒模發(fā)射波形與其直接量化為不同量化精度的低精度波形性能。測(cè)試的量化精度為2比特、3比特、4比特、5比特和無(wú)窮比特的ADMM算法。圖6(a)與圖7(a)分別為低精度2～5比特量化的對(duì)稱(chēng)單主瓣與雙主瓣波形方向圖。圖6(b)與圖7(b)分別為低精度2～5比特量化波形的對(duì)稱(chēng)單主瓣與雙主瓣ISMR與迭代次數(shù)k關(guān)系圖。

從圖6(a)可明顯觀察到，ADMM方案經(jīng)過(guò)低精度量化后，主瓣會(huì)出現(xiàn)中心下凹的現(xiàn)象，且本文所提方案明顯比低精度量化后的ADMM方案具有更低的副瓣。圖6(b)為對(duì)稱(chēng)單主瓣ISMR與迭代次數(shù)關(guān)系圖，從圖6可發(fā)現(xiàn)，相較于ADMM-∞bit波形，

本文所提DADPM-5bit波形ISMR差距約5 dB。與相同精度量化的ADMM波形相比，本文所提低精度量化的DADPM算法設(shè)計(jì)的波形具有更低的ISMR。

從圖7(a)可觀察到，本文所提低精度波形與量 化后的ADMM波形較為接近，主瓣大體重合，ADMM-∞bit波形具有較低的副瓣。從圖7(b)可觀察到，對(duì)稱(chēng)雙主瓣時(shí)，相較于ADMM-∞bit波形，本文所提DADPM-5bit波形ISMR差距約1 dB。相同量化精度下，本文所提低精度量化的DADPM算法設(shè)計(jì)的波形比直接量化后的ADMM算法波形具有更低的ISMR。通過(guò)圖6(b)與圖7(b)可觀察到，隨著DAC量化精度提高，波束的ISMR減小，但I(xiàn)SMR下降的幅度值越來(lái)越小。

圖6 低精度(2～5比特)量化的對(duì)稱(chēng)單主瓣波形方向圖和ISMR與迭代次數(shù)關(guān)系圖Fig.6 Low precision quantized waveform for symmetrical single mainlobe beampattern and the relationship between ISMR versus iteration number

圖8為低精度(2～5比特)非稱(chēng)雙主瓣波形方向圖和ISMR與迭代次數(shù)關(guān)系圖。從圖8(a)可觀察到，當(dāng)兩個(gè)主瓣不對(duì)稱(chēng)時(shí)，其中一個(gè)主瓣的峰值會(huì)下降，甚至主瓣區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生零陷。主要由于優(yōu)化準(zhǔn)則為最小化積分(離散累加和)副瓣與主瓣的比值，且矩 陣R(θ) 具有共軛性，使得Pt(θ)+Pt(-θ)=，因此，非對(duì)稱(chēng)情況下無(wú)法保證每個(gè)主瓣都有一個(gè)較高的峰值，而主瓣對(duì)稱(chēng)情況下，可使得兩個(gè)主瓣都具有較好的增益，如圖5(a)與圖7(a)。從圖8(b)可觀察到，主瓣非對(duì)稱(chēng)時(shí)，ADMM-∞bit波形直接量化后，ISMR值提高超過(guò)6 dB以上，而本文所提2～5比特低精度DADPM波形與ADMM-∞bit波形的ISMR相差約1 dB。

圖7 低精度(2～5比特)量化的對(duì)稱(chēng)雙主瓣波形方向圖和ISMR與迭代次數(shù)關(guān)系圖Fig.7 Low precision quantized waveform for two symmetrical mainlobe beampattern and the relationship between ISMR versus iteration number

圖8 低精度(2～5比特)量化的非稱(chēng)雙主瓣波形方向圖和ISMR與迭代次數(shù)關(guān)系圖Fig.8 Low precision quantized waveform for two asymmetrical mainlobe beampattern and the relationship between ISMR versus iteration number

表3為低精度量化的對(duì)稱(chēng)主瓣波形算法在1000次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)下的性能統(tǒng)計(jì)表。從表3運(yùn)算時(shí)間可發(fā)現(xiàn)，本文所提DADPM算法，不同精度對(duì)算法的運(yùn)算時(shí)間沒(méi)有太大影響，精度越高波形ISMR越小。DADPM算法的ISMR明顯低于同精度量化的ADMM算法，但DADPM算法運(yùn)算時(shí)間明顯長(zhǎng)于同精度量化的ADMM算法。主要是因?yàn)閮?nèi)循環(huán)采用的ADPM算法在迭代的同時(shí)動(dòng)態(tài)更新懲罰因子，從而保證算法的收斂性。而ADMM算法懲罰因子直接根據(jù)設(shè)計(jì)人員經(jīng)驗(yàn)或者實(shí)驗(yàn)總結(jié)給定，省略了算法尋找合適懲罰因子的過(guò)程，算法運(yùn)算時(shí)間更短，但算法性能表現(xiàn)過(guò)于依賴(lài)懲罰因子。

表3 低精度量化的對(duì)稱(chēng)主瓣波形算法性能統(tǒng)計(jì)表Tab.3 Performance statistics table of the low precision algorithm for symmetrical mainlobe

5 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種基于低精度量化的MIMO雷達(dá)發(fā)射波形設(shè)計(jì)方法。通過(guò)設(shè)計(jì)B比特恒模發(fā)射波形序列，使發(fā)射波形對(duì)低精度量化DAC組件有更好的適配性，實(shí)現(xiàn)任意精度波形的最佳匹配發(fā)射。為解決所建模的恒模離散相位約束非凸優(yōu)化問(wèn)題，首先通過(guò)Dinkelbach算法將二次分式轉(zhuǎn)換成減法形式，再運(yùn)用ADPM算法框架，將離散相位約束轉(zhuǎn)換為并行的三角函數(shù)問(wèn)題，通過(guò)交替迭代逐步逼近最優(yōu)解。低精度DAC組件可降低MIMO雷達(dá)電路結(jié)構(gòu)復(fù)雜度與能耗，但這些低精度組件也會(huì)導(dǎo)致一定程度的性能下降。本文所提出的低精度恒模發(fā)射模型設(shè)計(jì)方法可適用于任意量化精度的發(fā)射波形設(shè)計(jì)，相對(duì)其他低精度設(shè)計(jì)方法，取得了更低的ISMR性能表現(xiàn)，可為實(shí)際工程應(yīng)用中對(duì)波形性能要求與DAC量化精度的選擇提供理論依據(jù)與參考價(jià)值。