基于自耦PID的三連桿機(jī)械臂軌跡跟蹤控制

陳麗秋, 曾喆昭

長(zhǎng)沙理工大學(xué)，長(zhǎng)沙 410114

0 引 言

近20余年來(lái)，隨著人工智能的發(fā)展和高難度、高風(fēng)險(xiǎn)作業(yè)環(huán)境的需要，多連桿機(jī)械臂系統(tǒng)在許多工業(yè)和航空航天領(lǐng)域獲得了廣泛應(yīng)用[1-3].然而，由于多連桿機(jī)械臂系統(tǒng)是一種多輸入多輸出、強(qiáng)耦合的非線(xiàn)性系統(tǒng)[4]，且存在復(fù)雜內(nèi)部未知?jiǎng)討B(tài)和外部干擾，因而實(shí)現(xiàn)其關(guān)節(jié)軌跡跟蹤控制存在一定的難度.目前，針對(duì)這一問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了多種控制方法，并取得了許多有效的研究成果，如：PID(proportional-integration-differential)控制[5-7]、自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[8-10]、自抗擾控制[11-12]以及滑模控制[13-16]等，其中，PID控制結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，不依賴(lài)于具體的系統(tǒng)模型，卻存在增益魯棒性差與抗擾動(dòng)魯棒性差的局限性，為此，文獻(xiàn)[6-7]提出了改進(jìn)的PID算法，盡管能有效解決傳統(tǒng)PID的局限性問(wèn)題，但也增加了控制系統(tǒng)的復(fù)雜程度；自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制ANNC (adaptive neural network control)可以在線(xiàn)估計(jì)補(bǔ)償系統(tǒng)內(nèi)部不確定因素以及外部干擾，進(jìn)而提高控制系統(tǒng)的抗擾動(dòng)魯棒性，然而該方法存在結(jié)構(gòu)復(fù)雜、參數(shù)較多、計(jì)算量較大的局限性；自抗擾控制ADRC (auto disturbance rejection control)則涉及一些非線(xiàn)性不光滑函數(shù)的復(fù)雜計(jì)算，導(dǎo)致了閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的難度；滑?？刂芐MC (sliding mode control)不依賴(lài)于被控對(duì)象模型，且具有較好的增益魯棒性與抗擾動(dòng)魯棒性，然而因涉及符號(hào)函數(shù)的等速趨近率，所以存在高頻抖振現(xiàn)象，不利于執(zhí)行機(jī)構(gòu).此外，文獻(xiàn)[17]通過(guò)設(shè)計(jì)估計(jì)器實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)內(nèi)部未知?jiǎng)討B(tài)以及外部干擾的估計(jì)補(bǔ)償，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂各關(guān)節(jié)的控制，卻增加了控制系統(tǒng)的復(fù)雜性；文獻(xiàn)[18]通過(guò)設(shè)計(jì)自適應(yīng)魯棒控制算法實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)不確定干擾和建模誤差的補(bǔ)償，但該方法依賴(lài)于被控系統(tǒng)的模型信息，且涉及參數(shù)較多.

為解決上述控制方法存在的局限性問(wèn)題，擬使用文獻(xiàn)[19-20]提出的自耦PID，即ACPID(auto-coupling proportional-integration-differential)控制方法，該方法包括ACPI(auto-coupling proportional-integration)和ACPD(auto-coupling proportional-differential)，通過(guò)一個(gè)速度因子將比例、積分和微分3個(gè)不同屬性的物理環(huán)節(jié)緊密耦合為量綱相同的整體，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)3個(gè)環(huán)節(jié)功能各異、目標(biāo)一致的協(xié)同控制，不僅糾正了傳統(tǒng)PID控制系統(tǒng)的量綱沖突問(wèn)題，而且避免了比例作用力、積分作用力以及微分作用力獨(dú)自工作的不協(xié)調(diào)控制，解決了傳統(tǒng)PID增益魯棒性差與抗擾動(dòng)魯棒性差的問(wèn)題，且控制器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，便于實(shí)際應(yīng)用.

借鑒ACPID控制思想來(lái)解決三連桿機(jī)械臂軌跡的跟蹤控制問(wèn)題，根據(jù)文獻(xiàn)[21]中提出的總和擾動(dòng)思想，三連桿機(jī)械臂各關(guān)節(jié)已知或未知?jiǎng)討B(tài)和外部擾動(dòng)等復(fù)雜因素分別定義為3個(gè)總擾動(dòng)，進(jìn)而將各關(guān)節(jié)非線(xiàn)性系統(tǒng)映射為未知線(xiàn)性系統(tǒng)，并構(gòu)建了受控誤差系統(tǒng)，在忽略積分作用的情況下，分別設(shè)計(jì)了各關(guān)節(jié)的ACPD子控制器，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)各關(guān)節(jié)的獨(dú)立跟蹤控制；采用基于誤差變化率的自適應(yīng)速度因子，在保證快的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度同時(shí)，也可以保證高的穩(wěn)態(tài)控制精度與強(qiáng)的抗擾動(dòng)能力；不僅為機(jī)械臂軌跡的跟蹤控制提供一種有效的應(yīng)用案例，而且也進(jìn)一步驗(yàn)證ACPD控制方法的有效性.

1 問(wèn)題描述

三連桿機(jī)械臂結(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1 三連桿機(jī)械臂結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure chart of three-link manipulator

其中，mj為連桿j的質(zhì)量，lj為第j連桿的長(zhǎng)度，Ij為第j關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，rj為第j連桿質(zhì)心到轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的距離，qj為第j關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)變量.

考慮到關(guān)節(jié)摩擦力和外部擾動(dòng)的影響，三連桿機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型[4]可以表示為

(1)

針對(duì)三連桿機(jī)械臂系統(tǒng)(1)，建立3個(gè)通道分別對(duì)各關(guān)節(jié)進(jìn)行控制，令第j(j=1,2,3)個(gè)連桿的控制力矩為第j關(guān)節(jié)的主要控制輸入，其他連桿控制力矩作為第j關(guān)節(jié)的擾動(dòng)，根據(jù)文獻(xiàn)[21]中所提出的總擾動(dòng)(或擴(kuò)張狀態(tài))思想，將各關(guān)節(jié)已知或未知?jiǎng)討B(tài)、外部擾動(dòng)等復(fù)雜因素分別定義為3個(gè)總擾動(dòng)w1、w2、w3，所謂的未知?jiǎng)討B(tài)包括了模型不確定性與時(shí)變不確定性引起的未知?jiǎng)討B(tài)，則系統(tǒng)(1)可以等價(jià)映射為線(xiàn)性擾動(dòng)系統(tǒng)

(2)

其中，

由于系統(tǒng)(2)是系統(tǒng)(1)的等價(jià)映射，因而設(shè)置有效的控制器控制系統(tǒng)(2)即可有效控制系統(tǒng)(1).

2 ACPID控制器

2.1 三連桿機(jī)械臂軌跡的ACPD控制器設(shè)計(jì)

(3)

其中，uj為第j連桿的控制力矩，yj為第j關(guān)節(jié)的角度輸出，b0j=1/hjj為第j關(guān)節(jié)的控制力矩系數(shù).

由于3個(gè)通道均是基于ACPID控制方法設(shè)計(jì)控制器，且原理一致，故對(duì)3個(gè)通道控制器統(tǒng)一進(jìn)行設(shè)計(jì)分析，如下：

設(shè)機(jī)械臂第j關(guān)節(jié)的期望軌跡為rj，則跟蹤誤差為ej1=rj-yj=rj-xj1，誤差微分為

(4)

由式(3)～(4)可得機(jī)械臂第j關(guān)節(jié)的受控誤差系統(tǒng)為

(5)

根據(jù)文獻(xiàn)[19-20]提出的ACPID (包括ACPI、ACPD)控制思想，在忽略積分環(huán)節(jié)的情況下，設(shè)計(jì)三連桿機(jī)械臂第j關(guān)節(jié)的ACPD控制律為

(6)

其中，zjc>0是第j關(guān)節(jié)ACPD控制律的速度因子，量綱為s-1，j=1,2,3.

根據(jù)ACPD控制律(6), 則系統(tǒng)(1)或(2)的控制原理框圖如圖2所示.

圖2 三連桿機(jī)械臂系統(tǒng)ACPD控制原理框圖Fig 2 Three-link manipulator system ACPD control schematic

2.2 閉環(huán)控制系統(tǒng)分析

證明. 將ACPD控制律(6)代入受控誤差系統(tǒng)(5)，可得第j關(guān)節(jié)的ACPD控制子系統(tǒng)為

(7)

對(duì)受控誤差子系統(tǒng)(7)取單邊拉普拉斯變換，得

(8)

整理可得

(9)

定義系統(tǒng)(8)的傳輸函數(shù)為

(10)

由式(10)可知, 當(dāng)0

由式(10)可得第j關(guān)節(jié)控制子系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)hj(t)為

hj(t)=te-zjct,t>0

(11)

(12)

2.3 ACPD控制力限幅

考慮到任何實(shí)際控制系統(tǒng)都是輸入受限系統(tǒng)，因此，控制輸入存在一定的約束條件，滿(mǎn)足

(13)

其中，ujm為機(jī)械臂第j關(guān)節(jié)控制輸入的最大幅值.

為驗(yàn)證各關(guān)節(jié)ACPD控制力限幅的合理性，現(xiàn)給出其受限時(shí)的穩(wěn)定性定理及證明.

定理2.當(dāng)速度因子0

(14)

對(duì)其進(jìn)行單邊拉普拉斯變換整理可得

(15)

由此可定義第j關(guān)節(jié)控制力受限下的系統(tǒng)傳輸函數(shù)為

(16)

令A(yù)j(s)=s2+2λjzjcs+λjzjc2，根據(jù)勞斯判據(jù)，系統(tǒng)(16)穩(wěn)定的充要條件為Aj(s)勞斯陣列表的第一列元素全部正定，其中，Aj(s)的勞斯陣列第一列存在3個(gè)元素，分別為

(17)

由式(17)可得，當(dāng)0

2.4 自適應(yīng)速度因子

zjc=zjcmexp(-βj|ej2|)

(18)

其中，zjcm=20αj/Tjr是第j關(guān)節(jié)ACPD控制律的最大速度因子，1<αj≤10為常數(shù)，βj=1+0.3αj是衰減因子，Tjr是第j關(guān)節(jié)ACPD子控制系統(tǒng)由動(dòng)態(tài)過(guò)程進(jìn)入穩(wěn)態(tài)過(guò)程的過(guò)渡過(guò)程時(shí)間.

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

為了驗(yàn)證本控制方法的有效性，以文獻(xiàn)[18]中的機(jī)械臂模型參數(shù)為例進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，其結(jié)構(gòu)如圖1所示，其具體模型參數(shù)如表1所示.

表1 三連桿機(jī)械臂模型參數(shù)Tab.1 Parameter values of three-link manipulator

三連桿機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型中的元素具體如下：

b1=(m2r2+m3l2)g，b2=m3r3g,

h11=I1+a1cos2(q2)+a2cos2(q2+q3)+

2a3cosq2cos(q2+q3)，

h12=h21=h13=h31=0，

h22=I2+a1+a2+2a3cosq3，

h23=h32=a2+a3cosq3，h33=I3+a2，

g2=b1cos(q2)+b2cos(q2+q3)，

g3=b2cos(q2+q3)，

μ1=μ2=μ3=5 N·m為相關(guān)庫(kù)侖摩擦力矩大小.

令機(jī)械臂各關(guān)節(jié)的初始狀態(tài)、外部干擾、期望軌跡以及最大輸入幅值分別為

2)外部干擾：d1=0.1sin(t),d2=0.1cos(0.5t),d3=0.1sin(t/3)；

3)期望軌跡：r1=1.5sin(0.04πt),

r2=1.5cos(0.04πt),r3=1.5sin(0.04πt)；

4)最大輸入幅值：u1m=150 N·m,u2m=700 N·m,u3m=300 N·m.

下列實(shí)驗(yàn)中，三連桿機(jī)械臂3個(gè)關(guān)節(jié)的ACPD控制器分別如下：

(19)

令T1r=T2r=T3r=1，α1=α2=α3，機(jī)械臂各關(guān)節(jié)的速度因子取值如表2所示，仿真時(shí)間100 s，仿真步長(zhǎng)0.001 s，本控制方法的仿真結(jié)果如圖3所示.

表2 各關(guān)節(jié)自適應(yīng)速度因子值Tab.2 Adaptive speed factor for each joint

圖3 機(jī)械臂三關(guān)節(jié)位置跟蹤效果圖Fig.3 Position tracking results of three joints for manipulator

由圖3可以看出，當(dāng)αj=5或αj=10時(shí)，三連桿機(jī)械臂3個(gè)關(guān)節(jié)的位置跟蹤響應(yīng)速度都很快，不僅無(wú)超調(diào)、無(wú)振蕩現(xiàn)象，而且控制信號(hào)光滑、穩(wěn)態(tài)跟蹤控制精度高；當(dāng)αj=5時(shí)，分別在1.4 s、2.0 s及1.7 s左右即可跟蹤期望軌跡，各關(guān)節(jié)的穩(wěn)態(tài)誤差絕對(duì)值分別小于1.5×10-4rad、1×10-3rad以及2×10-3rad；當(dāng)αj=10時(shí)，分別在1.7 s、2.5 s及1.8 s左右即可跟蹤期望軌跡，各關(guān)節(jié)的穩(wěn)態(tài)誤差絕對(duì)值分別小于4×10-5rad、2.5×10-4rad以及4×10-4rad，表明所使用的自適應(yīng)速度因子具備較大的整定裕度，且均能取得良好的控制效果；文獻(xiàn)[18]中3個(gè)關(guān)節(jié)的控制信號(hào)較為光滑，但位置跟蹤響應(yīng)速度較慢，期望軌跡與實(shí)際輸出誤差較大，且存在超調(diào)、振蕩現(xiàn)象.因此，與文獻(xiàn)[18]相比，本控制方法具有更快的響應(yīng)速度和更高的控制精度.

4 結(jié) 論

針對(duì)三連桿機(jī)械臂軌跡跟蹤控制問(wèn)題，提出了一種基于 ACPID的控制方法，該方法將已知或未知?jiǎng)討B(tài)和外部擾動(dòng)等復(fù)雜因素分別定義為一個(gè)總擾動(dòng)，在忽略積分環(huán)節(jié)的情況下，分別設(shè)計(jì)了各關(guān)節(jié)的ACPD子控制器，分析了各關(guān)節(jié)ACPD控制子系統(tǒng)是魯棒穩(wěn)定的，并且具有良好的抗擾動(dòng)魯棒性.仿真結(jié)果表明本文控制方法不僅響應(yīng)速度快、控制精度高、抗擾動(dòng)魯棒性強(qiáng)，而且無(wú)超調(diào)與振蕩現(xiàn)象.此外，ACPD控制器涉及參數(shù)只有速度因子zjc和控制系數(shù)b0j，控制器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，便于實(shí)際工程應(yīng)用，因而在機(jī)械臂軌跡跟蹤控制領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用前景.